Schauen wir uns zum Abschluss noch die Exponentialfunktion an. Zunächst einmal die allgemeine Gestalt von Potenzfunktionen ist f von x gleich a hoch x, wobei a eine positive Zahl und gleich 1 ist. 1 hoch x wäre auch nicht gerade sehr spannend.
Und die wichtigste Basis ist, wie wir wissen, die Euler-Zahl e. Diese werden Sie im Studium, je nach Studiengang, unterschiedlich tief noch behandeln. Sie taucht immer wieder.
in verschiedensten natürlichen Prozessen auf, immer wieder in der Mathematik, weswegen sie eben von hoher Bedeutung ist, ähnlich wie zum Beispiel Pi. Und die Euler-Zahl ist zum Beispiel das Ergebnis einer unendlichen Summe, einer sogenannten Reihe. Das heißt also, wenn Sie die Zahlen 1 plus 1,5 plus 1,6, hier kommt immer die Fakultät unten rein, aufaddieren, unendlich oft, dann kommt keine unendlich große Zahl raus, wie man vielleicht naiv...
glauben könnte, sondern es kommt die Euler-Zahl raus. Oder zum Beispiel sie ist auch ein Grenzwert, nämlich von der Folge 1 plus 1 durch n hoch n. Hier würde man auch denken, wenn man noch nicht so viel mit Grenzwerten zu tun hatte, naja, ich schicke mal n gegen unendlich, 1 durch n wird gegen 0, dann habe ich hier noch 1 und hier geht das gegen unendlich, 1 hoch irgendwas sind mal 1, da käme 1 raus, nein, das ist falsch. Werden Sie dann im Studium gegebenenfalls kennenlernen, warum das auch falsch ist, auf jeden Fall der Grenzwert hiervon ist. wie man dann zeigen kann, auch beispielsweise die Euler-Zahl.
Und sie taucht in verschiedensten Kontexten manchmal auch recht überraschend auf. Sie ist ungefähr 2,71828. Es gibt auch immer wieder dazu Contests, die auf eine sehr hohe Nachkommastelle zu berechnen, ähnlich wie bei Pi. 1,4 mal 10 hoch 12. Stelle ist auf jeden Fall schon bekannt. Vielleicht mittlerweile, während ich das Video hier drehe, wird vielleicht schon die nächste Stelle wieder bekannt sein.
Aber soweit dazu. Die Exponentialfunktion selbst ist eine Funktion von R nach R zunächst einmal. Und zwar wird X abgebildet auf E hoch X. Es gibt hier zwei Schreibweisen. Entweder man schreibt es in dieser Potenzgestalt, also zum Beispiel E hoch 5. Oder ich schreibe EXP von 5. Gerade wenn Sie programmieren, wenn Sie zum Beispiel viele Studiengänge hier haben mit der Programmiersprache R zu tun.
Die werden dann das hier eher kennenlernen, dass man nämlich im Computer eben oft schreibt EXP von irgendwas. Und manchmal bietet sich das auch bei Handschriftlichen an, wenn man sehr lange Ausdrücke hat. Weil wenn man hier zum Beispiel oben in der Exponenten einen sehr langen Ausdruck hat, dann kann das sehr unangenehm werden, wenn ich damit arbeiten muss. Und dann ist manchmal diese Schreibweise EXP angenehmer.
Sie sind absolut äquivalent, meinen exakt das Gleiche. Die Exponentialfunktion ist die Umkehrfunktion von dem natürlichen Logarithmus, den wir ja schon kennengelernt haben. Was heißt das?
Nun, Umkehrfunktion bedeutet, wenn ich die eine Funktion in die andere einsetze, dann heben sie sich gewissermaßen gegenseitig auf, es kommt wieder x bei rum. Das heißt ln von e hoch x ist dasselbe wie e hoch ln von x und in beiden Fällen kommt einfach nur x raus. Das ist auch ganz einfach vorzustellen wie mit der Wurzel- und der Quadratfunktion, wenn Sie eine Zahl erst quadrieren, danach die Wurzel ziehen oder erst die Wurzel ziehen und dann quadrieren. dann sollte hoffentlich auch wieder das rauskommen, was Sie reingesteckt haben. Hier noch der Graph zu der Exponentialfunktion.
e hoch 0 ist 1, also geht sie hier entsprechend durch die 1. Passend dazu wissen wir ja ln von 0 ist 1. Hier nochmal leicht angedeutet die ln-Funktion. Ansonsten, sie geht für x gegen minus, endlich geht sie gegen 0. Und hier geht sie eben sehr steil nach oben. Exponentielles Wachstum ist der passende Begriff hierzu. Das ist ja auch etwas, was wir relativ schlecht verstehen als menschenexponentielles Wachstum.
Da haben Sie sicherlich schon häufiger von gehört. Das bekannte Beispiel mit dem Schachbrett und den Reiskörnern möchte ich hier gar nicht wiederholen, denn das wird sehr oft schon vermittelt. Falls Sie es nicht kennen, können Sie das ja schnell auch im Internet finden.
Ein anderes Beispiel, das nicht ganz so oft erklärt wird, habe ich mal aufgegriffen. Und zwar stellen Sie sich vor, wir nehmen ein Blatt Papier, ein ganz normales Sina-4-Blatt Papier. Und wir falten das. Wenn wir das falten, wird die Dicke ja jedes Mal verdoppelt.
Das heißt, wir haben immer wieder Verdopplung, Verdopplung, Verdopplung. Das heißt, wir haben exponentielles Wachstum da drin. Und wenn wir jetzt mal ein ganz normales Papier nehmen, dann hat das eine Dicke von etwa 0,1 Millimeter.
Und um mal einen sehr großen Unterschied dazu zu nehmen, nehmen wir mal die Entfernung von der Erde zum Mond. Die beträgt etwa 380.000 Kilometer. Und jetzt ist die Frage, angenommen ich könnte es, es ist physikalisch nicht umsetzbar, aber angenommen ich könnte das Blatt Papier beliebig oft falten, wie oft müsste ich es falten, bis ich eine Brücke habe, die von der Erde bis zum Mond reicht?
Nun, zunächst einmal müssen wir dafür die Einheiten angleichen, wenn wir das ausrechnen wollen. Das heißt, wir müssen die 0,1 mm in Kilometer umwandeln oder wir hätten die Kilometer in Millimeter umwandeln können. Das muss man sich aussuchen, was einem besser gefällt. Ich nehme jetzt die Millimeter. 0,1 mm ist dasselbe wie 10 hoch minus 7 km.
Und das Papierverhalten entspricht einer Verdopplung. Das heißt, wir suchen also jetzt einen... einen Exponenten x, sodass 10 hoch minus 7, das ist ja die Dicke vom Papier, mal 2 hoch x gleich 380.000 ist.
2 hoch x, weil ich ja jedes Mal die Dicke mal 2 nehme und wie oft muss ich sie mal 2 nehmen, bis 380.000 rauskommt. Nun, das können wir mittlerweile, wir würden hier durch 10 hoch minus 7 teilen und danach entsprechend den Zweierlogarithmus nehmen oder mit Basiswechsel könnten wir auch einen Natürlichen Logarithmus nehmen. Und wenn wir das machen...
kommt etwa 41,78 aus. Weil wir aber nicht 41,78 mal falten können, müssen wir das nächste Größere nehmen. Also nehmen wir die bekannte Zahl 42, die hier rauskommt.
Und wenn wir zum Beispiel zu Mars wollten, dann wäre es auch nicht mehr viel weiter. Der hat eine Entfernung von etwa 228 Millionen Kilometer von der Erde zum Mond. Also doch nochmal ein ganz schönes Stück. Dafür müssten wir...
nicht 42 Mal, sondern 51 Mal falten. Das heißt, wir müssen eigentlich nur 9 Mal noch drauf falten und wir wären dann schon von der Erde, vom Mond schon, dann auch noch zum Mars. Und soweit ich das zumindest rausfinden konnte, gibt es noch eine Entfernung zum bekannten Rand des Universums und wenn ich jetzt noch 52 Mal weiter falte, nachdem ich bei Mars angekommen bin, dann bin ich am Rande des Universums. Und Das sollte nochmal deutlich machen, diese kleinen Zahlen, diese sehr überschaubare kleine Anzahl an Faltungen, die ich vornehmen muss, um enorm große Strecken zu überbrücken, soll nochmal deutlich machen, wie krass exponentielles Wachstum werden kann, schon nach wenigen Schritten.
Am Anfang passiert kaum was, wir haben erst 0,1 mm, aber dann haben wir eine Verdopplung auf 0,2, dann haben wir 0,4 usw. Am Anfang passiert nichts und irgendwann steigt das über alles hinaus, wie wir hier sehen. Letztlich ist natürlich eine Faltung...
von, soweit ich weiß, mehr als siebenmal eines Blattpapiers nicht möglich. Das heißt, auch wenn wir es technisch nicht umsetzen können, so ist es dennoch ein gutes Bild dafür, was exponentielles Wachstum eigentlich bedeutet.