Chapitre sur les Ensembles

Définition des ensembles

• Collection d'éléments : 0, 1, rouge, noir, etc.
• Ensemble vide : ne contient aucun élément
• Notations :
  • x \in E$ : $x$ est un élément de $E$
  • $x \notin E$ : $x$ n'est pas un élément de $E$

Exemples d'ensembles

• Entiers naturels $(\mathbb{N})$ : 0, 1, 2, 3, ...
• Entiers relatifs $(\mathbb{Z})$ : 0, ±1, ±2, ...
• Rationnels $(\mathbb{Q})$ : quotients $\frac{p}{q}$ avec $p, q$ entiers
• Réels $(\mathbb{R})$ : 1, $\sqrt{2}$, $\pi$, ...
• Complexes $(\mathbb{C})$

Vocabulaire de base

• Sous-ensemble : $E$ est inclus dans $F$ si tout élément de $E$ est dans $F$
• Égalité d'ensembles : $E = F$ si $E \subseteq F$ et $F \subseteq E$
• Ensemble des parties : Noté $P(E)$, inclut toutes les combinaisons possibles des éléments de $E$
• Complémentaire : $A^c$ dans $E$ est l'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$

Opérations sur les ensembles

• Union : $A \cup B$ contient les éléments de $A$ ou $B$
• Intersection : $A \cap B$ contient les éléments communs à $A$ et $B$
• Propriétés :
  • $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
  • $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
  • Complémentaire du complémentaire : $(A^c)^c = A$
  • Inclusion inversée par complément : $A \subseteq B \iff B^c \subseteq A^c$
  • Complément échange union et intersection :
    • $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$
    • $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$

Produit cartésien

• Définition : $E \times F$ est l'ensemble des couples $(x, y)$ où $x \in E$ et $y \in F$
• Exemples :
  • $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$
  • $[0, 1] \times \mathbb{R}$ : bande verticale infinie
  • $[0, 1] \times [0, 1] \times [0, 1]$ : cube dans $\mathbb{R}^3$

Anecdote historique

• Paradoxe de Russell :
  • Le problème de l'ensemble de tous les ensembles
  • Énigme du barbier : "Qui rase le barbier ?"
  • Base de la réflexion sur les fondements logiques des ensembles

Conseils pour l'étude :

• Travaillez en profondeur les bases avant de passer aux concepts avancés.