Nous commençons ce chapitre en discutant comment définir des ensembles. Nous verrons ensuite le vocabulaire de base concernant les ensembles, comme l'union et l'intersection, puis nous étudierons les règles de calcul s'y afférent. Nous terminons avec le produit cartésien.
Au début du XXe siècle, un éminent professeur peaufinait la rédaction du second tome d'un ouvrage qui souhaitait refonder les mathématiques sur des bases logiques. Il reçut une lettre d'un tout jeune mathématicien. J'ai bien lu votre premier livre.
Malheureusement, vous supposez qu'il existe un ensemble qui contient tous les ensembles. Un tel ensemble ne peut exister. S'ensuit une démonstration de deux lignes. Tout le travail du professeur s'écroulait. Ce paradoxe a été popularisé par l'énigme suivante.
Dans une ville, le barbier rase tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes. Qui rase le barbier ? La seule réponse valable est qu'une telle situation ne peut exister. Rassurez-vous, Russell et d'autres ont fondé la logique et les ensembles sur des bases solides. Cependant, il n'est pas possible dans ce cours de tout redéfinir.
Heureusement, vous connaissez déjà quelques ensembles. L'ensemble des entiers naturels, n, 0, 1, 2, 3. L'ensemble des entiers relatifs, z, 0, plus 1, moins 1, plus 2, moins 2, etc. L'ensemble des rationnels, q, c'est-à-dire l'ensemble des quotients p sur q avec p et q entiers.
L'ensemble des réels, par exemple 1, racine de 2, pi, etc. Et enfin, l'ensemble des nombres complexes, c. Nous allons dire qu'un ensemble est une collection d'éléments.
Par exemple, 0 et 1, rouge et noir, ou 0, 1, 2, 3, etc., qui est l'ensemble des antinaturels N. Un ensemble particulier est l'ensemble vide, qui est l'ensemble ne contenant aucun élément. On note X appartient à E si X est un élément de l'ensemble E. Si x n'est pas un élément de E, on note x n'appartient pas à E.
Une deuxième façon de définir des ensembles est de demander aux éléments de vérifier une certaine propriété. Par exemple, on définit ainsi l'ensemble des réels x qui vérifie valeur absolue de x moins 2 plus petit que 1. De même pour l'ensemble des nombres complexes z, tels que z à la puissance 5 est égal à 1. Enfin, L'ensemble des réels compris entre 0 et 1 s'écrit aussi comme l'intervalle 0,1. Reprenons à la base le vocabulaire sur les ensembles. Tout d'abord, un ensemble E est inclus dans un autre ensemble F si tout élément de E est aussi un élément de F. On dit aussi que E est un sous-ensemble ou une partie de F.
Deux ensembles E et F sont égaux si l'on a les deux inclusions E incluant F et F incluant E. En termes d'éléments, tout élément de E est aussi un élément de F et réciproquement, tout élément de F est aussi un élément de E. Nous noterons P2E, l'ensemble des parties de E.
Par exemple, si E est constitué des éléments 1, 2 et 3, alors il y a six parties incluses dans E. Les singletons 1, singletons 2, singletons 3, les paires 1, 2, la paire 1, 3, la paire 2, 3. Et on n'oublie pas l'ensemble vide qui est inclus dans tout ensemble, ni l'ensemble E tout entier qui est inclus dans lui-même. Continuons avec le complémentaire. Si A est une partie d'un ensemble E, le complémentaire de A dans E est l'ensemble des éléments X de E qui n'appartiennent pas à A. Illustrons ceci par un dessin.
Si E est représenté par le grand disque et A par le petit disque, alors le complémentaire de A dans E est la partie rose. On note aussi très souvent ce complémentaire E privé de A ou aussi juste complémentaire de A. Si l'on a deux parties A et B d'un ensemble E, alors A union B est l'ensemble des X appartenant à A ou bien à B. L'union est ici toute la partie rose.
En particulier, un élément de l'union peut appartenir aux deux parties A et B. A inter B est l'ensemble des X appartenant à A et à B, que l'on illustre de la sorte. Voici quelques règles de calcul avec les ensembles.
Tout d'abord, A inter B inter C est égal à A inter B inter C. On peut donc écrire A inter B inter C sans parenthèse. Même chose avec l'union, A union B union C est égale à A union B union C.
Plus subtil, on a A inter B union C est égale à A inter B union A inter C. Les parenthèses sont indispensables lorsque l'on mélange l'union et l'intersection. On a aussi A union B inter C est égal à A union B inter A union C.
Enfin, le complémentaire du complémentaire de A est égal à A lui-même, et le passage au complément renverse les inclusions. A est inclus dans B si et seulement si le complémentaire de B est inclus dans le complémentaire de A. Le complément échange aussi union et intersection.
En effet, le complémentaire de A inter B est égal à complémentaire de A union complémentaire de B, alors que le complémentaire de A union B est égal à complémentaire de A inter complémentaire de B. Illustrons ceci par des dessins. On représente A et son complément.
On représente B. Et son complément ? Le complément de A inter B est la partie rose. C'est bien l'union des deux compléments en rose au-dessus.
Le complément de A union B est la partie rose. C'est bien l'intersection des deux compléments en rose au-dessus. Voyons comment s'effectue l'épreuve.
Nous allons montrer A inter B union C est égal à A inter B union A inter C. X appartient à A inter B union C, si et seulement si X appartient à A et X appartient à B union C. Donc si et seulement si X appartient à A et X appartient à B ou X appartient à C.
Donc si et seulement si x appartient à A et x appartient à B, ou x appartient à A et x appartient à C, ce qui est encore équivalent à x appartient à A inter B ou x appartient à A inter C, ce qui est enfin équivalent à x appartient à A inter B union A inter C. Donc tout élément de A inter B union C est un élément de A inter B union A inter C. A inter C, et comme nous avons raisonné par équivalence, tout élément de A inter B union A inter C est aussi un élément de A inter B union C. Les deux ensembles sont donc égaux. Montrons également la propriété complémentaire de A inter B est égale à complémentaire de A union complémentaire de B.
C'est parti ! X appartient à complémentaire de A inter B est équivalent à ce que X appartienne pas à A inter B, ce qui équivaut à non X appartient à A inter B, ce qui est équivalent à non X appartient à A et X appartient à B, ce qui donne l'équivalence avec non X appartient à A ou non x appartient à b ce qui équivaut à x n'appartient pas à A ou x n'appartient pas à B, et ce qui est bien équivalent à x appartient à A, union complémentaire de B. Remarquez que pour ces démonstrations, nous sommes repassés aux éléments de l'ensemble et qu'en fait nous avons reformulé les propriétés des opérateurs logiques et ou non.
Il nous reste à définir le produit cartésien de deux ensembles E et F. E croix F est l'ensemble des couples XY où X est un élément de E et Y un élément de F. Vous connaissez déjà R2 qui est R croix R, c'est-à-dire l'ensemble des couples XY, X et Y appartenant à R.
Autre exemple, 0,1 croix R, c'est l'ensemble des couples XY R3 où x est compris entre 0 et 1 et y appartient à R. Cela correspond à une bande verticale infinie. On peut faire plusieurs produits.
0,1 croix 0,1 croix 0,1, c'est l'ensemble des triplets x, y, z, avec x, y et z compris entre 0 et 1. Cela correspond à un cube dans R3. Travaillez les bases en profondeur avant de poursuivre.