[Musique] bonjour dans cette vidéo je te propose de revoir tout le cours sur le chapitre des pourcentages l'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre plus précisément parlera de proportions d'évolution de taux d'évolution on parlera également des évolutions successives et d'évolution réciproque pour préparer un contrôle ou un examen ceci ne suffira évidemment pas il faudra encore faire de nombreux exercices n'hésite pas à cliquer sur le lien en haut à droite pour le court c'est parti alors sans revenir à la notion même de pourcentage qu'est ce que c'est qu'un pourcentage on peut juste ray du résumé ça en disant que les pourcentages en fait c'est plus une abréviation une notation tout part de ce fameux symbole composé de deux petits ronds séparés par une barre oblique qui signifie % c'est bien une abréviation c'est une notation et ses pourcentages peuvent servir à exprimer différentes choses par exemple une proportion ce par quoi on va commencer tout de suite mais également une évolution une augmentation une diminution faut pas confondre les deux alors commençons par parler de proportion et pour ça donc on va partir d'un exemple on suppose qu'on a un ensemble de 480 élèves en classe de seconde parmi eux on annah108 qui sont externes alors ceci signifie que la population totale à la population de référence l'ensemble de référence c'est au départ les élèves de seconde qu'on peut noter grands thèmes et qui est égal à 480 parmi eux on le voit dans le schéma on en a 108 qui sont externes ceci c'est une sous population puisqu'elle est incluse dans la population de référence donc c'est une sous population cette fois ci on va l'appeler petites haines et elle est allée égal à 100 8 on voudrait exprimer la proportion des élèves externes parmi l'ensemble des élèves de seconde cette proportion va la notte paix et elle est égale à petit n sur grand peine alors ça l'écrire comme ça là de façon algébrique c'est en fait une traduction de ce qui se dit en français on à 108 élèves sur 480 en tout qui sont externes et bien 108 petites ailes sur sur trets de fractions 480 en tout et là on a exprimé une proportion mais en seulement on l'a pas encore exprimée en % mais en tout cas ça ça se calcule si on divise 108 par 480 on trouve 0,225 c'est-à-dire 0,225 c'est quoi c'est 22,5 100e ici j'ai le rang des centièmes 22,5 centièmes c'est à dire 22 5% et pourquoi on préfère l'exprimer en % tout simplement parce que sans lundi ce sens il est facile à comprendre on imagine bien si on te dit il y à 22 5 % des élèves externes en classe de seconde dans mon lycée eh bien on arrive tout de suite à s'imaginer les choses quand on dit 108 sur 480 c'est un petit peu moins parlants ce qui signifie que 22 25 % 6 est égal à 100 800 480 ça signifie également que 100 800 480 est égale à 25% ou sur 100 peut essayer ici de faire le produit en crois tu verras que ça marche très bien voilà donc là on a calculé une proportion la proportion d'une sous population par rapport au contenu dans une population plus grande et grâce à cette proportion ensuite eh bien on peut faire des calculs on peut calculer la % le pourcentage d'un nom blablo pourcentage d'une valeur on va le voir tout de suite on continue donc notre petite histoire avec nos 4 180 élèves de seconde et cette fois ci on va nous donner une proportion on nous dit que parmi ces 481 on en a 15 % qui ont choisi l'option grec ou latin alors on nous dit pas le nombre mais on nous donne la proportion est bien c'est pas grave parce que si on a le nombre on a vu juste à l'instant qu'on peut obtenir la proportion en faisant le quotient et si on a la proportion est bien on peut retrouver le nombre suffit de calculer le pourcentage d'un homme c'est à dire il faudrait pouvoir calculer les 15% 2 481 combien font 15% de 480 alors 15% de 480 on a dit que 15% ses 15 sur 102 480 bien le 2 se traduit en fait pour un produit quand je dis le double de 3 je fais bien deux fois 3 quand je dis le triple de ce un jeu fait bien trois fois 5 donc quand je dis les 15 centièmes 2 481 je fais 15 centièmes x 480 et bien ensuite il suffit juste de l'effectuer et on trouve 72 élèves voilà on a donc bien compris que quand on a la proportion après on peut calculer la valeur correspondante poursuivons avec les proportions échelonnée alors l'idée est en fait ici d'exprimer une proportion de proportion alors pour être plus clair regardons ce schéma on voit que ici on a trois ensembles qui sont imbriqués l'un dans l'autre on considère que le plus grand ensemble c'est l'ensemble qui s'appelle car qui a une forme de cars de bus 1 c'est en fait un car de transport scolaire dedans on a un ensemble qui s'appelle s est dans s on a un ensemble qui s'appelle f alors plus précisément on a un quart qui représentez ici en brun dans ce car il y à 40% de scolaire c'est-à-dire il ya 40 % d'élèves qui vont se rendre à leur école et parmi ces scolaires donc parmi ces 40 pour cent soixante pour cent des scolaires sont des filles l'idée en fait ici c'est de calculer la proportion de filles non pas par rapport aux scolaires parce que ça c'est donner ses 60 mais par rapport à l'ensemble par rapport à car combien il ya deux filles scolaire donc d'élèves filles qui sont dans ce cas et ça on voudrait l'exprimer en pourcent alors pour résumer on a donc notre ensemble des filles f qui est inclus dans s es on connaît sa proportion sa proportion et p2f on voit la notte pdf qui est donc qui est donc égale à 60 % de s c'est noté on a l'ensemble s l'ensemble des scolaires qui lui est inclus dans le car il est compris dans le car et on a dit que cet ensemble représente en termes de proportion 40% de car 40% du tout on va donc l'appeler p 2 sp2 s est égal à 40% de cars et nous on voudrait la proportion de scolaires filles parmi l'ensemble qui est comprise dans le car c'est à dire nous on voudrait 60% de 40% je répète 40% sont des scolaires parmi ceux-là 60% sont des filles donc je voudrais savoir combien ça fait les 60% de cet ensemble de ce sous-ensemble 40% on a dit tout à l'heure que le 2 se traduisait par un produit 60% ses 60 sur 140 % ses 40 sur 100 c'est à dire il suffit de faire 0 26 x 0 24 et si on effectue 0,6 fois 04 on trouve 0,24 c'est à dire 24 centièmes c'est à dire 24% et bien là la réponse c'est 24% 24% des personnes qui sont dans le quart sont des filles scolaires sont donc des élèves filles et de façon générale si on a trois ensembles comme ça hein à b et c a qui est inclus dans b&b qui est inclus dans ces si on dit que p1 c'est la proportion de à dents b et que p2 c'est la proportion de bay dans c est bien pour connaître la proportion de à danser donc comme tout à l'heure proportion de filles scolaire dans le cas il suffit de faire quoi il suffit juste de multiplier les deux proportion p1 et p2 c'est bien ce qu'on a fait ici on a multiplié les deux proportion donc le calcul de proportions échelonné c'est assez facile ça se traduit tout simplement par le produit des proportions alors parlons maintenant d'évolution et justement commençons par voir comment calcule une évolution bien sûr toujours avec les pourcentages alors on ne peut pas confondre tu va tout de suite voir on peut pas confondre proportions et évolution évolution j'ai envie de dire ça bouge à une augmentation il ya une diminution alors que quand on parle de proportion ça ne bouge pas c'est quelque chose de fixe de façon générale on a une propriété qui nous permet directement de calculer une augmentation ou une diminution pour une valeur si on te dit que tu as une valeur qui est augmentée de thé % eh bien ça revient tout simplement à multiplier cette valeur par un plus t'es sur 106 l inverse on a une valeur qui est diminuée de thé % cela revient à la x 1 - tu es sur 100 et ses deux nombres ces deux facteurs un poste et sur 100 et 1 - tu es sur son suivant que ce soit une augmentation ou une diminution sont appelés les coefficients multiplicateurs c'est important de le savoir ça parce qu'en fait on travaille tout le temps avec les coefficients multiplicateurs mais voilà ça c'est la formule maintenant je vais t'expliquer d'où vient ce imputé sur 100 et 1 - tu es sur 100 mais pour mieux le comprendre on va partir d'un exemple on va se donner un survêtement qui écoutent 49 euros et puis ce survêtement augmente de 8% alors voila j'aimerais connaître le nouveau prix de ce survêtement regardons comment ça se passe si j'applique la définition qui nous est donnée là pour calculer une et une évolution plus précisément ici une augmentation je vais donc partir de 49 euros et je vais l'augmenter de 8% c'est à dire je vais multiplier 49 par un plus tu es sur 100 dont qui cite evo8 dont 8 sur 100 alors un plus 8 / 100 ça s'écrit c1 12 08 parce que huit sur 106 8 centièmes donc ça fait 0 08 donc un plus 0,08 ça fait 1,08 finalement augmenter mon survêtement de 49 euros ça revient le x 1,08 et si on effectue sa on trouve la réponse directement qui et 52,92 alors ok mais j'ai toujours pas expliquer pourquoi on le multiplie par un plus 8 sur 100 ou 1 plus tu es sur cent dans le cas général 1 je vais l'expliquer maintenant j'ai donc au départ mon survêtement qui coûte 49 euros et je l'augmentent de 8% cela signifie que je vais prendre 8 % 2 49 euros et je vais les rajouter au prix de départ c'est-à-dire à 49 euros donc là ce qu'il faudrait faire ses calculs et 8% de 49 euros si j'arrive à calculer ça qu'est ce que j'aurais j'aurai mon augmentation mais 8% de 49 euros je rajoute l'augmentation au prix de départ et je devrais normalement trouver les 52 92 qu'on a vu tout à l'heure mais oui pour 149 euros alors là pour le contre c'est une proportion qu'on sait calculer on a dit que 8% de 49 euros comment ça se calcule ont fait 8 sur 100 x 49 et on obtient sa valeur donc au final qu'est ce que j'ai ici j'ai 49 le prix de départ plus 8 100e fois 49 c'est à dire le tout plus 8 centièmes du tout alors j'en suis toujours pas avons un plus tu es sur 100 mais il est presque là pourquoi parce que quand on regarde ça on reconnaît ici qu'on a deux termes avec un facteur comme un facteur commun je peux donc factoriser et si je factory ça me donne 49 x j'ouvre une parenthèse ici dans 49 j'ai pris 49 qu'est ce qui me reste attention il ne reste pas rien reste un plus ici j'ai pris 49 qu'est ce qui me reste il me reste huit centièmes et bien au delà notre un plus tu es sur cent il est ici je fais quoi je prends l'ancien valeurs que je multiplie par un plus 8 sur 108 étant l'augmentation on comprend mieux maintenant d'où vient ici ce fameux coefficient multiplicateur et pour se souvenir de cette formule qui est assez simple à se souvenir quand même on se rappellera comprend la valeur de départ on l'a multiplie par un l'unité le tout un sa forme le tout plus 8 centièmes du tout huit centièmes de 1 ça s'écrit tout simplement huit centièmes alors un peu plus rapidement 1 d un deuxième exemple cette fois ci avec une diminution on nous dit que le prix d'un polo est de 21 euros et son prix diminue de 12 % calculé son nouveau prix si je vois ça schématiquement eh bien on a donc 21 21 euros qu'ils aient diminué de 12% cela signifie que je vais prendre 21 et que je vais le x 1 - 12 sur 101 - tu es sur 100 alors ça ça se calcule un moins 12 centièmes ça fait 0 88 ce qui veut dire qu'il suffit de multiplier 21 par 0,90 0,88 pardon et je trouve ce nouveau prix qui est de 18,48 alors on pourrait le démontrer pour la diminution comme on l'a fait tout à l'heure seulement tout alors j'avais fait quoi j'avais rajouté l'augmentation est bien là on enlèverait la diminution n'aurait donc 1 - ce qui fait que après factorisation on aurait dû 1 - 12 % donc ce qu'on obtient bien ici dans la formule alors petit truc maintenant pour reconnaître très facilement un coefficient multiplicateur c'est facile si on part 2 1 quelques exemples alors j'ai une augmentation de 30% ce qui signifie que je vais x 1 + 30 sur 100 donc un plus trente centièmes un + 30 centièmes ça fait 1,30 l'unité et 30 centièmes 1,30 facile à se rappeler si j'augmente de 5% eh bien sans réfléchir 1,05 l'unité et 5% 5 centièmes si j'augmente de 22% fois 1,22 si j'augmente de 90% 1,90 etc etc qu'en est il pour une diminution une diminution de 15% cela signifie que je vais faire un moins 15 sur 100 c'est à dire 1 - 0,15 ça donne 0,81 5 alors là c'est un petit peu moins visible mais c'était c'est quand même assez facile je pars de l'unité et j'enlève 15 centièmes ici donc si j'enlève 15 centièmes je fais donc sans -15 j'arrive à 85 on retrouve ici c'est 15 ici mais qui ont été enlevés à l'unité là ici gelé rajoute à l'unité normal c'est une augmentation je vais multiplier à chaque fois et là je les enlève pour une diminution de 60 % attention c'est pas zéro avec 60 ça sera un -0 60 comme je lé fais ici il faudra donc x 0,40 pareil je pars de l'unité et j'enlève 60 centièmes alors maintenant il faut savoir faire le chemin contraire c'est à dire on va te donner l'évolution en termes de valeur tu sais que cette valeur allait passer à cette nouvelle valeur et on voudrait calculer le taux d'évolution qui peut être positif si c'est une augmentation ou négatif si c'est une diminution avant on nous le donner le taux d'évolution maintenant on voudrait le calcul est alors pour cela on a une propriété définition que je n'aime pas trop tout simplement parce qu'elle est un peu compliquée et finalement dans la pratique on va voir que c'est assez facile à gérer je te donne déjà je te présente donc cette cette formule et ensuite on voit tout de suite un exemple et dans le monde tu devrais très facilement transposer ça sur d'autres exercices si on considère qu'on a une valeur par exemple un prix qui au départ était de zéro et il subit une évolution pour arriver avait un comme tout à l'heure un indien mais note survêtement écoutez v0 euro et après il a augmenté écoute v 1 euro et bien pour calculer le taux d'évolution il suffit de faire v1 - v 0 / v 0 alors bon j'ai présenté cette formule en disant que les mets pas trop bon ça va c'est pas non plus insurmontable faut juste s'en souvenir mais on s'en souviendra d'autant mieux si on a compris le principe c'est à dire qu'en fait quand on a compris principe on n'a plus tellement besoin de la formule alors voici un exemple donc on a un village qui a compté sa population sur deux années en 2008 il y avait huit mille cinq cents habitants en 2012 on est passé à dix mille quatre cents habitants donc ça augmente et la question est de combien ça augmenté en nombre ok c'est facile mais en % c'est-à-dire qu'elle serait l'augmentation si dans ce village il n'y avait que 100 habitants ah ça c'est autre chose eh bien oui c'est un taux d'évolution en pourcent alors ça voudrait dire quoi ça voudrait dire que déjà pour savoir de combien il a augmenté en pourcent faudrait déjà calculé de combien il a augmenté en réel en nombre d'habitants pas pour cela il suffit de faire 10400 - 8500 bon ça ça nous donne 1900 donc on sait que la population a augmenté de mille neuf cents habitants sur combien sur combien sur 8500 au départ on a donc une augmentation de 1900 sur 8500 donc on peut les filles ont aussi ici sur 8500 au départ et si on calcule ça eh bien on aura l'évolution du nombre d'habitants pas encore en pourcent mais presque en % il suffira juste de passer à la notation en termes 2% si j'effectue 1900 / 8500 et bien je trouve 0,2 124 c'est à dire 22 24 centièmes autrement dit 22 4% eh bien on peut dire que la population a augmenté de 22,4 pour cent mais regardons la formule de départ celle qui nous a permis de calculer le taux en fait qu'est ce qu'on a fait on a pris la population en 2012 - la population en 2008 qu on a divisé par la population en 2008 c'est à dire la valeur v1 - la valeur de départ la valeur 00 pardon des visées par la valeur zéro à faire là on retrouve exactement la formule qui nous est donnée au départ mais on voit que tout ça est très intuitif il suffit juste de calculer la différence par rapport à dans l'unité avec laquelle on travaille dans l'exercice donc si ça survêtement ça sera en euros si c'est une population ça sera en nombre d'habitants est de diviser tout simplement par la valeur de départ puisque c'est ça au départ c'est l' indice sur lequel on s'appuie celle indice de départ c'est ce fameux v 0 alors passons maintenant aux évolutions successives et pour cela avant de démarrer res poser une petite question on va imaginer qu'on a un article qui a augmenté de 10% et puis finalement alors même si ça se fait pas dans la réalité un le commerçant se dit bon je pas réussi à vendre mon article donc je vais leur pc de 10% est ce que il retombe sur le prix de départ pas effectué un essai bah on va supposer qu'on a un article qui coûte justement tout pile 100 euros si je l'augmentent de 10% s'il augmente de 10% et qui coûte 100 euros forcément il va arriver à 110 euros puisque je lui rajoute 10 euros c'est à dire les 10% de sang et derrière ça on va le diminuer de 10% qu'est ce qui lui arrive est bien là il faut le calcul est faux que je calcule donc les 10% de 110 alors les 10% 210 c 10 % x 110 euros ça fait 10 sur 100 x 110 ça nous donne 11 euros donc là notre article va diminuer de 11 euros je fais donc 110 -11 et j'arrive à 99 que vous finalement une augmentation de 10 % suivie d'une diminution des 10% ça ne s'équilibre pas eh oui les règles de calcul ne fonctionnent pas de la même manière avec les pourcentages alors pourquoi tout simplement parce que ici on doit fonctionner en termes de coefficient multiplicateur c'est bien lui qui va nous permettre d'effectuer les calculs comment ça fonctionne concrètement je repars de mes cendres euros que je vais augmenter de 10% et bien qu'est ce que je vais faire je vais faire sans multiplié par le coefficient multiplicateur qu'on a vu tout à l'heure ce fameux un plus tu es sur 100 c'est à dire un + 10 % alors maintenant je pense que tu as compris comme on l'obtient facilement ça fait du 1,10 ou même 1,1 là j'aurai le nouveau prix après une augmentation de 10% et si tu fais ça bien sûr tu vas trouver les 110 euros qu'on vient de voir derrière ça je diminue de 10% et bien qu'est ce que je vais faire je vais prendre ce sens x 1,1 ou 1,10 et je vais le x 0,9 ou 0.90 ça vient d'où je le détail encore un - 10 sur 100 coefficient multiplicateur pour une diminution à un moins dix centièmes ça fait bien 0.90 donc je vais x 0.90 alors là on peut bien sûr écrire 09 et si on fait ça sans x 1,10 nous donnant la première étape x 0.90 nous donnant la deuxième étape on va trouver 99,99 euros et là j'ai tout expliqué en réalité parce que si on a une grandeur qui subit comme ça des évolutions successives et bien qu'est ce qu'on va faire pour obtenir le coefficient multiplicateur du tout est bien on va simplement multiplier les différents coefficient multiplicateur on va les multiplier à la suite car ce qui nous intéresse maintenant c'est finalement si augmenté 10 % puis diminuer de 10 % ça donne pas le truc de départ du coup ça donne quoi ça donne une augmentation une diminution et 6 élus nous si c'est l'autre de combien alors on a vu que ça donnait une diminution puisqu'on était arrivé à 99 euros ok mais alors une diminution de combien et bien pour le savoir il suffit de multiplier ces deux coefficient multiplicateur essai de coefficient multiplicateur quand je fais 1,1 fois 0.9 j'obtiens 0,99 ce qui signifie que augmenté de 10% puis diminuer de 10% ça revient à utiliser le coefficient multiplicateur fois 0,99 mais ça ça signifie quoi fois 0.99 et bien cela signifie que je suis parti de l'unité ici et j'ai enlevé un centième j'ai enlevé 1% car x 0.99 s'est multipliée par 1 - 1 centième c'est la même chose 1 - 1 100e ça fait 0 99 et bien sûr la signifie donc que finalement une augmentation de 10 % suivie d'une diminution de 10% équivaut à une diminution de 1% alors pour les trouver c'est donc ces évolutions successives il n'y a pas de règle face il ya une règle c'est cette propriété là qui nous dit tout simplement que quand tu as une grandeur qui subit des évolutions successives pour obtenir le coefficient multiplicateur qui va directement du début jusqu'à la fin de la jusqu'à là et bien il suffit de multiplier les coefficients multiplicateurs entre eux et après de traduire ça en termes de pourcentage comme on vient de le faire je suis allé un petit peu vite ici enfin je pense avoir sur cette explication n'hésite pas à rejoindre la playlist ici il y a une vidéo qui explique bien plus en détail le principe des évolutions successives parce que en réalité on peut carrément généralisée ça si on avait un article qui subiraient comme ça plein d'augmentation diminution il augmente de 10 % une baisse de 10 puis augmente de 12 puis baisse de 5 etc si on veut à la fin à voir directement le coefficient multiplicateur de l'ensemble le coefficient multiplicateur global il suffira de multiplier tout les coefficients multiplicateurs entre juste multiplier et après bien sûr faire la traduction en termes de pourcentage comme on l'a dit ici donc j'ai pas noté la fin donc cela signifie ici qu'on a une diminution de 1 % - 1 100e alors il nous reste à traiter encore l'évolution réciproque qu'est ce que c'est qu'un taux d'évolution réciproque on peut le comprendre rien de plus simple qu'un exemple on va comprendre comme son nom l'indiqué réciproques dans l'autre sens on a un magasin qui a des ventes qui ont diminué sur l'année 2011 cette diminution est de 8% il est donc passé d'une valeur les héros de ses ventes je passe ça c'est un nombre en euros à une valeur v12 ses ventes et donc on a une augmentation pardon de 8% bien sûr le magasin va se fixer comme objectif de retrouver les ventes qu'ils avaient initialement et donc sur l'année 2012 il se fixe comme objectif de retrouver une valeur zéro qu'ils avaient avant la diminution de ses ventes la question est quelle est dans ce cas le pourcentage d'évolution qui lui faudrait alors comme ça on aurait vu envie de dire c'est faux bien sûr un + 8 % alors pourquoi c'est faux parce qu'on a vu tout à l'heure que deux évolutions successives opposé ne s'équilibre pas moins 8% + lui pour cent ça ne fera pas retombée sont les héros donc c'est pas plus lui pour ça alors c'est plus quelque chose ça c'est clair c'est certainement plus quelque chose proche de 8% mais c'est pas plus 8% comment va-t-on calculer cette valeur eh bien on nous dit c'est que si on considère un taux d'évolution qui va de la valeur zéro à la valeur v1 donc ses notes ici -10% et bien l'évolution réciproque celle qui nous ramène au départ possède un coefficient multiplicateur inverse de l'évolution direct donc il faudrait avoir le coefficient multiplicateur de l'évolution directe celle de départ et après on prendra son inverse et on aura l'évolution qui nous manque alors quel est le coefficient multiplicateur qui correspond à une baisse de 8% il ya ça on connaît ça revient un x 1 - 8 sur 100 alors je le détail encore un - 8 sur son c'est à dire l'unité et on enlève huit centièmes ça nous fait donc 0,91 donc il suffit de multiplier ici par 02 92 et on passe de v 0 avait un et pour passer de v10 et gala propriété nous dit il suffit juste de prendre le coefficient multiplicateur inverse alors c'est quoi à linverse de 0,92 et bien c'est tout simplement un sur 0,92 et bien on l'a ce coefficient multiplicateur c'est un / 0,92 calculons alors on trouve pas une valeur exacte on trouve à environ 1,0 87 donc il suffit de multiplier par environ 1 0,87 mais là j'ai le coefficient multiplicateur j'aimerais en extraire maintenant le taux d'augmentation le taux d'évolution eh bien on refait toujours le même chemin 1 0,87 c'est un + 8 7 centièmes ici je suis au rang des centièmes et bien la réponse se trouve ici il suffit d'augmenter d'environ 8 7% et bien pour retrouver le niveau de ses ventes qu'ils avaient avant la diminution le magasin doit augmenter ses ventes en 2012 de 8 7% alors on voit qu'on a un double passage entre le taux d'évolution et le coefficient multiplicateur on part du coefficient du taux d'évolution de départ pour obtenir le coefficient multiplicateur correspondant ensuite on prend son inverse qu'on calcule et grâce à ce nouveau coefficient on peut en déduire ici le pourcentage voilà donc pour l'évolution réciproque et cette séquence est terminée