Lecture Notes on Homogeneous Functions and Euler's Theorem

परिचय

• लेक्चर का विषय: Homogeneous Function और Euler's Theorem
• प्रस्तुतकर्ता: Dr. Gajan Puraith
• टारगेट ऑडियंस: B.Sc. और B.Tech. के छात्र, प्रतियोगी परीक्षा की तैयारी कर रहे छात्र

होमोजीनियस फंक्शन

• फंक्शन की डिग्री:
  • अगर किसी फंक्शन की डिग्री समान है, तो वह होमोजीनियस होगा।
  • उदाहरण:
    • f(x, y) = (x³ + y³) / (x - y)
      • ऊपर की डिग्री: 3
      • नीचे की डिग्री: 1
      • Difference = 2, hence होमोजीनियस फंक्शन।
• फंक्शन को इस तरह लिखा जा सकता है:
  • x³ को y/x के रूप में निकाला जा सकता है।

Euler's Theorem

• थिओरम का विवरण:
  • n.U_k = 0
• प्रूफ:
  • x के सन्दर्भ में डिफरेंशिएट करें।
  • परिणाम:
    • xⁿ * f(y/x)
    • y/x² का उपयोग करते हुए, यह सिद्ध होता है।*

उदाहरण

• उदाहरण 1:

  • फंक्शन: u = x³ - y³ / (x² + y²)
  • परिणाम: x * (∂u/∂x) + y * (∂u/∂y) = 1
  • U की वैल्यू निकालें।

• उदाहरण 2:

  • log(u) = z
  • फंक्शन: u = x³ + y³ / (3x + 4y)
  • Euler's theorem का प्रावधान।

अन्य महत्वपूर्ण सवाल

• प्रश्न: P = x + y + z
• फंक्शन: P = x⁸y⁸z⁸
• निकालने की प्रक्रिया:
  • x * (∂P/∂x) + y * (∂P/∂y) + z * (∂P/∂z) = Degree(P)*

समापन

• छात्रों को सलाह:
  • प्रैक्टिस करें और अपने सवालों को साझा करें।
  • अगर विद्यार्थी CS, IAS, आदि की तैयारी कर रहे हैं, तो चैनल सब्सक्राइब करें।

संदर्भ

• चैनल पर उपलब्ध अन्य शैक्षणिक सामग्री।
• छात्रों को वीडियो देखने और सब्सक्रिप्शन का सुझाव।

यह नोट्स लेक्चर के मुख्य बिंदुओं और महत्वपूर्ण प्रक्रियाओं को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं, जिससे छात्रों को अध्ययन में सुविधा होगी।