Hello Students, मेरा नाम Dr. Gajan Puraith और आप देख रहे हैं हमारा YouTube चैनल अगर आप B.Sc. कर रहे हैं, B.Tech कर रहे हैं, किसी भी competitive exam की तैरी कर रहे हैं, जहाँ पर हार mathematics पूछा जाता है, हमारा चैनल आपके लिए बहुत helpful है, इसलिए आज मैं आपके सामने हैं, partial differential equation पे जो concept है, homogeneous function का, जिस पर best कभी-कभी question बन जाता हैं, और यहाँ पर Euler's theorem होती है, जो की homogeneous function के लिए होती है, तो वो भी बताने की कोशिश करूँगा, और उस पर best हम कुछ questions करने की कोशिश करेंगे, तो सुन शुरू करते हैं. कि सुनिए आप हमारे पास अगर कोई भी फंक्शन इस टाइप का लिखा हुआ अलटीमेटली हमारे पास जो डिग्री है वह सेम होनी चाहिए यहां पर एंड डिग्री है आप लोग इस तरह यहां पर यहां पर प्रश्न प्रश्न प्रश्न प्रश् अगर मैं आपके सामने function यहाँ पर यह लिख लूँ कि fxy is equal to यहाँ हमारे पास x cube plus y cube divided by x minus y तो सुन उपर की degree 3 है, नीचे की degree 1 है, तो यह 2 degree का homogeneous होगा क्योंकि difference है वो हमारे पास 2 है आपके मन में सवाल उठेगा सर, लिखते कैसे हैं, लिख के बता दो आप तो यहाँ पर हम लिखते कैसे हैं, सुन यहाँ पर उपर से हम x cube को मन निकालेंगे, क्या निकालेंगे भीया, x cube को मन निकालेंगे, तो सुन यह x cube को मन निकाला, तो यह हमारे पास हो जाएगा y by x का cube और इससे यहाँ से हम x कॉमन निकालेंगे, तो यह आएगा 1 minus y by x, इससे यह जो होता है, यह function of y by x आता है, और यहाँ पर इसको cancel करेंगे, तो यह आएगा x square function of y by x, तो इससे यह हमारे पास होता है 2 degree का homogeneous function, तो हमारे पास Euler theorem क्या बोलती है, इसका मैं आपको proof बताता हूँ, n.uk बराबर होती है आपके मन में सवाल उठेगा सर यार कैसे आता है यह बताओ तो मैं आपके सामने इसको prove करके बताता हूँ सर हम यह लेके चलेंगे मैं इसको differentiate करता हूँ with respect to x तो बिटा जब x के respect में differentiate करेंगे तो n x power n minus 1 बिटा यह f y by x ऐसी तीज रहेगा फिर हम x power n को छोड़ता हूँ इसका करेंगे तो f dash y by x minus का y by x square अब मैं क्या करता हूँ, इसको x से multiply कर लेता हूँ, क्योंकि हम x del u by del x, जब x से multiply करेंगे, तो यहाँ पर आएगा यह x power n, f y by x है, तो यह हमारे पास n minus होने है, तो यह x power n हो जाएगा, यह y by x है, तो यहाँ पर हम x से multiply करेंगे, तो चुकी ���मारे पास नीचे x square है, तो यह cancel तो सुन यहाँ एक्स पावर एन माइनस वन वाई एफ डेश वाई बाई एक्स हो जाएगा सुन यहाँ आप पास यहाँ पर इसकी वेल्यू हैगी नाओ जो आप पास फंक्शन देरेखा है इसको हम किसके रिस्पेक्ट में डिफरेंशिट करेंगे सुन वाई कर सुन करेंगे वाइस मिल्टिप्लाइड कर लेता हूं तो वाइट डेली यू बाइड डेल वाइड एक्वेट जो वाइस से करेंगे तो सुनिए आप एक्स को कैंसल हुआ तो यह गवाइड पावर एक्स माइनस वन एफ डेश वाइड एक्स हो जाएगा इसमें हमारे पास यहां पर जो रि प्लस क्या है तो हमारे पास सिर्फ बचेगा यह देट इज एन इंटू एक्स पावर एन एफ वाय बाय एक्स तो यह जो हमारे पास देखो यह जो फंक्शन हमारे पास अगर आप देख रहे हैं वाला बटाई हमारे पास यू के बारावर है तो इसको मैं देख सकता हूं यू प्रियाएगा एंड ऑट यू तो यह ही हमारे थिवरम होती है मैं आपके सामने चोटा सा एक्सडांपल देता हूं मानी जिमार पास एक फंक्शन देखा यू इएक्वेल टू एक्स क्यूब माइनस वाइ क्यूब अपन एक्स स्क्वार प्लस वाइस पर और कोई आपसे बोले कि एक्स डेल यू बाय डेल एक्स प्लस वाय डेल यू देटा इसको माइनस करेंगे तो 1.u आनसर आएगा और u की value हमारे पास यह है तो इसलिए x3-y3 upon x2 plus y2 इसलिए यह हमारे पास यहाँ पर क्या जाएगी इसकी value आजाएगी तो इस तरस हम यहाँ पर इस theorem को apply कर सकते हैं इसलिए कुछ और example देने की कोशिश करता हूँ जिसे हम प्लस वायर डेल यू बाइडल वायर तो सुनिए हमारे पास होमोजीनिस फंक्शन है तो ऊपर की डिग्री माइनस नीचे की डिग्री वन आ रही है इंटू यू हो जाएगा बेटा टू यू हमारे पास है यहां पर क्या जाएगा इसका आंसर हैगा तो इस तरह से हम बहुत log u is equal to z लोग यू इस इक्वल टू ज़ेड मान लेंगे जो भी यो log u है इसको आप ज़ेड मान लेंगे जब ज़ेड मान लेंगे तो हमारे पास यहाँ पर क्या जाएगा ज़ेड इस इक्वल टू x cube प्लस y cube अपन 3x प्लस 4y बटा यहाँ पर यूलर थोनम लगाएंगे तो x del z by del x प्लस y del z by del y सुनिया आएगा हमारे पास x del by del x log u प्लस वाइड एल बाइड एल वाइड ऑफ लॉग यू इस इक्वल टो सिंट टू लॉग यू जाएगा बट आज का डिविटी करेंगे तो लॉग यू कावता वन अपन यू यह एक्स बाई यू डेल यू बाई डेल एक्स प्लस वाइड आईए डेल यू बाय डेल वाय है ना कि लॉग यू को वन अपन यू होगा एंड इस तुम यह हमारे पास टू लॉग यू आ जाएगा बटाइज यू है इसको क्रॉस मुल्टिप्लाई कर लीजिए तो यह आएगा एक्स डेल यू बाय डेल एक्स प्लस वाय डेल यू बाय डेल वाय इस इक्वल टू यू लॉग य� प्रूव करना था इसे प्रकास हम नेक्स्ट क्वेश्चन को भी कर सकता है इस पर हमारे पास यह क्वेश्चन रिखा तो सुन थी हमारे पास वेरिबल है तो भी हमारे पास कंसेप्ट ही होता है यहां पर भी होने वाला इस तुम यहां पर इक्वल टू थे सना हमारे पास क्या इसने पी इक्वल टू एक्स प्लस वाय प्लस एड इस इक्वल टू एक्स पावर 8 वाय पावर 8 एंड जेड पावर 8 हो जाएगा तो सुन एक्स डेल पी बाय डेल एक्स प्लस वाय डेल पी बाय डेल वाय प्लस जैड पी बाई डेल जैड इस एक्वल टू ऊपर की डिग्री माइनस नीचे की डिग्री इंटू पी हो जाएगा इस लिए जहां पर भी पी वापिस आइन यू रख दीजिए यह एक्स हमारे पास होगा डेल साइन यू इंटू डेल एक्स प्लस वाय डेल बाई डेल वाय ऑफ साइन यू जाएगा प्लस जैड डेल बाई डेल जैड ऑफ साइन यू जाएगा और सुनियों का माइनस का प्लस प्लस इस इक्वल टू सुनिया गा माइनस का सेवन साइन यू इसमें हमारे पास जो एक कॉसिएस को कॉमन निकालेंगे और इसको डिवाइड कर देंगे तो यह हमारे पास एक्स डेल यू बाइटल एक्स प्लस वायर डेल यू बाइटल वायर प्लस जेट डेल यू बाइटल जैड इस इक्वल टू माइनस का सेवन साइन यू अपन कॉस यू जाएगा बटा साइन यू अपन कॉस यू की जो वेली होती वह tan u होती है, तो इसकी जो value है यह वो minus का tan u हो जाएगी, तो इस तरह साम इसको बहुत इज़िली यहाँ पर prove कर सकता है, so next question देखे, यह भी हमारे पास इसी प्रकार का question है, तो इन क्या करेंगे यहाँ पर दियां देखेंगा, यह sin inverse देखेंगा, तो sin inverse को पहले रूट x प्लस रूट y हो जाएगा, इसलिए हमारे पास क्या है x del p by del x प्लस y del p by del y is equal to उपर की पावर minus नीचे की पावर into p हो जाएगा, इसलिए पी की जगह वापिस sin u रख दीजे, तो x del by del x sin u प्लस y del by del y of sin u is equal to हमारे पास यहाँ है 1 by 2 sin u हो जाएगा, इसलिए sin u का derivative करिए, तो यह आएगा x cos u del u by del x प्लस y cos u डेल यू बाद एल वायर एस इक्वल टू यह जाएगा वन बाई टू साइन यू जाएगा बटा कॉस्ट यू कॉमन निकाल के डिवाइड कर दीजिए एक्स डेल यू बाद एल एक्स प्लस वायर डेल यू बाद एल वायर एस इक्वल वन बाई टू इस तरह समय से इसको बह तो हम क्या करेंगे, यहाँ पर U is equal to, हम ले लेंगे इसको P plus Q, right, मैं इसको ऐसा लेता हूँ, इस पी के लिए हम देखते हैं अगर हम देखें तो जो पी फंक्शन आ रहा है वह हमारे पास कैसा रहा तो पी इज इक्वल तो हमारे पास यहां रहा है एक्स क्यूब वाइ क्यूब जेड क्यूब डिवाइड बाय हमारे पास क्या है इस पी यहां एक्स क्यूब प्लस वाइ क तो आप आप आप तो Q is equal to हमारे पास हो रहा है, सुन लोग, XY plus YZ plus ZX upon X square plus Y square plus Z square, सुन यहाँ रहा है, हम क्या करेंगे, सुन लोग को इधर लेके आते हैं, तो यहाँ हमारे पास क्या है, E की power Q हो जाएगा, तो यहाँ हो जाएगा, हमारे पास E की power Q is equal to XY plus YZ plus ZX upon X square plus Y square plus Z, लेट, E की power Q is equal to, मैंने R मान लिया, तो सुन मार्वर्स कैट यूर्म होगी सुन बात करेंगे तो जब हमारे पास यह आ जाएगा तो यह हमारे पास आ रहा है तो आर इज गुड हो जाएगा सुन यह मानेंगे तो यह हमारे पास यहां पर बाराबर आर हो जाएगा और जब इस पिछरम लगाएंगे तो एक्स हमा e की power q upon del x plus y del by del y of e की power q plus z del by del z of e की power q is equal to 0 हो जाएगा इस विन एकी power q का derivative करेंगे तो यहाँ से एकी power q ही हो जाएगा तो इस विन concept को मैं यहाँ solve करता हूँ तो यहाँ आएगा x हमारे पास यहाँ जाएगा del q by del x plus y del q by del y प्लस जैड डेल क्यों बाइड जैड इसमें इकी पावर क्यों बाहर देखो इकी पावर क्यों का होगा एक्स के रिस्पेंट इकी पावर क्यों और क्यों का होगा डेल क्यों बढ़ लें तो इकी पावर क्यों इकी पावर क्यों बाहर की तरफ को बनाएगा इसको एक रिजल्ट हमारे पास यह आ रहा है इसमें एक रिजल्ट हमारे पास यह आ रहा है जब इन दोनों को जोड़ेंगे हम लोग हैं प्लस प्लस प् तो सुनिए यहाँ पर यह वाले टर्म को हम जोड़ेंगे, तो यह देखेंगे x del by del x, बटाईए हमारे पास p plus q हो जाएगा, इस टाइप से y del by del y, सुनिए हमारे पास p plus q हो जाएगा, इस टाइप से z, del z, सुनिए आएगा हमारे पास z, del by del z of p plus q हो जाएगा, is equal to 6, और p की प्लस वाय पावर थी प्लस ज़ेट पावर थी वह सुन जो पी प्लस क्यों इसकी ज़िए में यू रुक लेता हूं तो एक्स डेल यू बाइट एल एक्स प्लस वाय डेल यू बाइट एल वाय प्लस ज़ेट डेल यू बाइट एल जैड इस इकुल टो सिक्स यह एक्स क्यूब प्लस वाइक्यूब प्लस एक्स क्यूब प्लस एक्स क्यूब प्लस एक्स क्यूब प्लस एक्स क्यूब प्ल प्रूव कर सकते हैं इस विदेशन आपके लिए कमेंट बॉक्स के लिए इसको जरूर सॉल करेगा एस क्वेश्चन को सॉल करने आपको कितना लगा वह अपकमेंट करके मुझे बता सकते हैं बाकि अगर आप सीएस आयान टाइडी जैम्स यूटीपीजी का कोर्स जॉइन करना चाहिए तो मैं जो मैच करें वह मिलती है कैसे मैच के पर सब्सक्राइब कर सकते हैं और यहां पर जाकर देख सकते हैं एंड इस पुराना डिफरेंशन कैलकुल इसका पूरा पूरा प्ले लिस्ट है वह आपको यहां जाकर मिल जाएगा यहां जाकर चैनल को सब्सक्राइब कर सकते है