Закон сохранения импульса и энергии

Закон сохранения импульса

• Формула:
  • ( m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v_1' + m_2 \cdot v_2' )
  • ( v_1, v_2 ) – скорости до взаимодействия, ( v_1', v_2' ) – скорости после взаимодействия.
• Суммарный импульс тел до взаимодействия равен суммарному импульсу после.

Закон сохранения энергии

• Работа равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.
  • Теорема о потенциальной энергии.
• Работа равнодействующих сил равна изменению кинетической энергии.
• Формула энергии:
  • ( E_{потенц1} + E_{кин1} = E_{потенц2} + E_{кин2} )

Пример задачи

• Условие:
  • Преграда массы ( M = 10 \text{ кг} ), цилиндрическая поверхность, радиус ( R ).
  • Тело массы ( m = 1 \text{ кг} ), начальная скорость ( v_0 = 3 \text{ м/с} ).
  • Определить скорость тела на высоте, равной радиусу (( v_1 )).
  • Трение отсутствует.

Решение задачи

Использование закона сохранения импульса:

• Уравнение:
  • ( m \cdot v_0 = (M + m) \cdot u )
  • Скорость системы ( u = \frac{m \cdot v_0}{M + m} )

Использование закона сохранения энергии:

• Кинетическая энергия:
  • ( \frac{mv_0^2}{2} = \frac{(M+m)u^2}{2} + mgR + \frac{mv_1^2}{2} )
• Упрощенное уравнение:
  • ( mv_0^2 = (M+m)u^2 + 2mgR + mv_1^2 )
• Подставляем ( u ) и решаем:
  • ( mv_1^2 = mv_0^2 - \frac{m^2v_0^2}{M+m} - 2mgR )
  • ( v_1 = \sqrt{v_0^2 \left(1 - \frac{m}{M+m}\right) - 2gR} )

Подстановка и вычисления

• Все величины известны, расчет скорости тела в точке на высоте равной радиусу.