Vorlesungsaufzeichnung zur Mathematik mit Schwerpunkt DGL

Einleitung

• Aufzeichnung der Vorlesung in der Cloud.
• Datenschutz: Falls unerwünschte Inhalte ins Video gelangen, melden, damit sie entfernt werden können.
• Fragen werden anonymisiert wiederholt.
• Hybridunterricht wird bevorzugt.

Teilnehmer und Terminplan

• Etwa 20 Teilnehmer online und 40 im Hörsaal.
• Terminplan leicht angepasst, mehr Zeit für DGS benötigt.
• Start mit DGL Systemen nächste Woche, mit Minitests.

Ziel der Vorlesung

• Ziel: Lösen von DGLs (Differentialgleichungen).
• Allgemeine DGLs zu lösen oft zu komplex.
• Vereinfachung durch lineare DGLs:
  • Homogene Lösung (yh)
  • Partikuläre Lösung (yp)
  • Allgemeine Lösung = Homogene + Partikuläre Lösung

Vereinfachungsschritte

• Erste Ordnung DGLs:
  • Homogene Lösungen: Konstante mal Fundamentallösung
  • Partikuläre Lösung: Variation der Konstanten
• Ente Ordnung mit konstanten Koeffizienten:
  • Homogene Lösung aus C1Y1 + ...
  • Nutzung der Störansatztabelle

Theorie: Fundamentallösungen und Wronski-Kriterium

• Allgemeine Lösung einer homogenen linearen DGL als Linearkombination von Fundamentallösungen.
• Wronski-Kriterium zur Überprüfung der Unabhängigkeit von Funktionen.

Beispiel und Methoden

• Beispiel mit konstanter Koeffizienten-DGL.
• Verwendung von e-Funktionen zur Lösung.
• Charakteristische Gleichungen bilden und lösen.
• Partikuläre Lösungen durch Ansätze finden.
• Superpositionsprinzip bei mehreren Störungen anwenden.

Spezialfälle bei Eigenwerten

• Einfache reelle Eigenwerte
• Doppelte Eigenwerte
• Komplexe Eigenwerte
• Mehrfache komplexe Eigenwerte werden nicht behandelt.

Praktische Umsetzung

• Eulerverfahren zur numerischen Näherungslösung.
• Beispielaufgaben zur Veranschaulichung.

Weitere Hinweise

• Überprüfung der Lösungen mit Tools wie ChatGPT möglich.
• Mathematik ist universell anwendbar und unveränderlich.

Nutzung der Störansatztabelle

• Tabelle für verschiedene Arten von Störfunktionen:
  • Polynome, E-Funktionen, Sinus/Cosinus
• Resonanzfälle identifizieren und handhaben.

Abschließende Gedanken

• Bedeutung der Mathematik für verschiedene Anwendungsbereiche.
• Mathematik bleibt konstant und ist essentiell für technologische Entwicklungen.