aufzeichnung in der Cloud Wie immer wieder Hinweis von Datenschutz gilt also für alle Sollte irgendwas jetzt in die Aufzeichnung reinrutschen was Sie was Sie nicht äh was sie was Sie nicht haben möchten in dem Video geben Sie mir einfach Bescheid Ich schneide das dann raus Ja ansonsten wenn Sie hier im im Hörseil Fragen stellen ist in der Regel kein Problem Sie wenn Sie die Frage nicht äh wahnsinnig laut hier nach vorne rufen dann habe ich gemerkt kommt es gar nicht ins Video rein Ich wiederhole die Frage dann immer Ja ich wiederhole die Frage dann immer und ich sage in der Regel auch keinen Namen dazu wer die Frage gestellt hat oder also ich hoffe dass wir Datenschutzkonform das alles hinkriegen Äh ich bin nach wie vor ein großer Freund davon dass wir Hybridarbeiten Ja wie viel wie viel haben wir denn im Moment ich habe den den Überblick hier verloren Wie viel wie viel haben wir denn hier ähm sieht jemand bei sich online wie viel Logo neben der Chatnachricht unten da ist ein kleines durch drei Strichen Da ist ein I Dann links rüber nach links okay neben oh jawohl also was haben wir ja da haben wir doch ganz schön Das sieht aber mehr wie 18 drauf okay ah das sind die eingeladen okay 19 okay vielen Dank also dann vielen Dank für die Hilfe Also etwa 20 etwa 20° online und hier sind wir gut besetzt Hier sind es bestimmt 40 jetzt im Hörsaal Gut also erster Blick in den Terminplan Ich habe den Terminplan leicht verändert Wir brauchen noch ein bisschen mehr Zeit für die DGS habe ich gemerkt Ich habe also den heutigen Termin völlig den DGS gewidmet Ich habe alles um eins nach hinten geschoben Ich denke dass wir für die Fourierreihen mit zwei Terminen klar kommmen Ansonsten müsste man unter Umständen einen Prüfungsvorbereitungstermin opfern Aber das mache ich sehr ungern Im Moment sieht's noch sehr gut aus Und nächste Woche starten wir dann mit den DGL Systemen Minitests Ja 44 Am Freitag geht's los Pünktlich erstes Thema abgeschlossen Sie haben dann zwei Wochen Zeit um die Minitests zum Thema Differentialgleichungen zu bearbeiten Noch mal der Hinweis wenn Sie im Moment noch völlig desorientiert sind um was geht hier ich bring kein ich bring kein Bein auf den Boden Nutzen Sie das Tutorium die wir haben wirklich tolle Tutoren die nehmen sich Zeit erklären ihnen das noch mal helfen ihnen auch bei dem Minitests Ja wichtig ist jetzt jetzt reinzukommen nicht nach hinten schieben Das haben Sie aus dem ersten Semester bestimmt mitgenommen Wichtig ist die Dinge in Angriff zu nehmen und nicht zu hoffen dass es irgendwann automatisch besser wird Gut dann starte ich mit meinem iPad heute Standortbestimmung wichtig was bisher geschah Also was bisher geschah wir haben ein klares Ziel das wir verfolgen Unser Ziel lautet unser Ziel lautet löse DGLs Ja klares Ziel Das ist das was ich Ihnen beibringen möchte die ganzen Begriffe über DGS und letztendlich das Ziel wie löse ich DGS so Wir sind gestartet mit irgendeiner DGL Ich schreib mal hin allgemeine DGL Also ich stell mir es immer so vor wir haben hier irgendwo ein Sack wo alle Differentialgleichungen drin sind und da greifen wir rein und versuchen so eine Differentialgleichung ziehen wir eine raus ja es ist los der Woche und versuchen die zu lösen Und was ich Ihnen schon gesagt habe diese Idee funktioniert nicht Eine allgemeine DGL ist für uns in der Regel zu kompliziert zum Lösen also in der Regel zu kompliziert zu lösen ist sozusagen die schlechte Nachricht Na ja aber was macht der Mathematiker wenn er Probleme hat die ihm zu kompliziert sind dann macht er eine Vereinfachung Ja das ist so jetzt der erste Schritt Man macht Vereinfachungen Und bei diesen Vereinfachungen da haben wir schon eine Vereinfachung haben wir gelernt Ja ich mache hier mal so ein so ein Block auf den mal nach unten noch offen Ich weiß noch nicht wie weit das geht Ah nee nee nee nee halt Ich mache erst das mach erst anders Unsere erste Vereinfachung war lineare DGS erstmal lineare DGS und bei linearen DGS haben wir gelernt da gibt's eine homogene Lösung also erstens homogene Lösung yh von x und dann gibt's eine partikuläre Lösung partikuläre Lösung yp von x und dann können wir die zusammenzählen Ja also die allgemeine Lösung allgemeine Lösung y von X ergibt sich aus homogener Lösung plus partikuläer Lösung Und jetzt ist ganz wichtig da steht nur homogene Lösung Was muss ich eigentlich dazu schreiben noch was ist wichtig bei den homogenen und was ist wichtig bei den partikulären da gibt's einen Unterschied Ja ganz genau Das ist wichtig Also alle homogenen Lösungen und bei den partikulären reicht's eine spezielle Eine spezielle So das ist also unsere erste Vereinfachung Wir schauen uns nur lineare DGLS an So jetzt kann ich da meinen meinen Block drumrum machen Das war meine erste Vereinfachungsblock Jetzt haben wir die Geschichte noch mal vereinfacht und zwar quasi in den linken Teil und in den rechten Teil Also noch mal eine Vereinfachungen Ich mache das mal so im linken Teil und den rechten Teil Wir machen weitere Vereinfachungen So Und mein linker Teil besteht aus einem Blog den wir schon letztes Mal besprochen haben Wir haben gesagt lass uns erstmal eine DGL erster Ordnung anschauen Also nächste Vereinfachung erste Ordnung Also von ganz allgemeinen DGLS sind wir zu linearen DGLs gekommen und dann haben wir uns erstmal die erste Ordnung DGL angeschaut und die erste DGL da haben wir herausgefunden alle homogenen Lösungen Also wir haben herausgefunden quasi erstens alle homogenen Lösungen bestehen aus Konstante 1 mal y1 von X und das Y1 von X haben wir Fundamentallösung genannt Da haben wir so eine Formel Ja ich schreib da mal hin Punkt Punkt Punkt Also eine Formel und das haben wir dann Fundamentallösung genannt Und dann haben wir im dritten Schritt eine partikuläre Lösung bestimmt Weiß noch jemand das Schlüsselwort welche Methode haben wir verwendet um die partikuläre Lösung zu bestimmen wie sieht's online aus ist da jemand dabei erinnert sich jemand an diesen Schlüsselwort ja fällt's ein Konstante da C und dann soändert Genau Ich ich geb es gerade noch mal wieder was sie sagen Sie sagen oh das Schlüsselwort fällt mir nichtmer ein aber wir haben doch die Konstante veränderlich gemacht so dass es nichtmer C sondern C von X ist Jetzt ist nur die Frage wie heißt wie heißt der Name dafür wie heißt das Schlüsselwort für dieses Prinzip mache die Konstante veränderlich heißt nein das mit Lineal abhängig war was anderes Das war zum Schluss noch mal da waren wir schon Schritt weiter Variation der Konstanten Ja also Variation Variation der Konstanten Ja Und dann wieder y = yh + yp Das muss ich jetzt nicht noch mal aufschreiben Das ist das Schlüsselkonzept für erste Ordnung So wie können wir weiter vereinfachen wenn wir jetzt Enteordnung haben hier also der zweite Block um den es jetzt heute geht der zweite Block beschäftigt sich mit einer anderen Art der Vereinfachung nicht erste Ordnung sondern Ente Ordnung aber nur konstante Koeffizienten aber nur Konstante Koeffizienten und wir werden wieder genau gleich vorgehen Wir werden wieder in diesen Schritten vorgehen St Die homogene Lösung besteht aus C1 Y1 von X plus Und jetzt sind's halt Enterordnung Das heißt wir haben immer mehr Wir haben eine Konstante CN yn von X Wir müssen ausrechnen diese yallösungen Ja Zweitens Fundamentallösungen berechnen Fundamentallösungen berechnen Das zeige ich ein Ihnen gleich wie das funktioniert Und dann für die partikuläre Lösung werden wir ein neues Prinzip lernen also y von X Und das neue Prinzip wird eine Störansatztabelle sein Stör Ansatz Tabelle So und wenn wir das heute verstanden haben dann sind wir durch mit dem Thema Jetzt war da aber eine Frage irgendwo Habe ich gerade eine Frage ist gerade irgendwo eine Frage aufgetaucht die Frage wieder weg oder ist sie noch da ist wieder weg Also gut Frage schon erledigt Okay also wir müssen letztendlich klären wie machen wir das hier das wissen wir noch nicht und wir müssen klären wie funktioniert das mit der Störansatztabelle okay Und jetzt müssen wir erstmal ein kleines bisschen Theorie machen Ein kleines bisschen Theorie Und zwar wie finden wir heraus ob Funktionen Fundamentallösungen sind oder nicht also die zentrale Frage die wir erst noch klären müssen Frage wie finden wir heraus ob Funktionen also jetzt mehrere Funktionen Fundamentallösungen sind und die Antwort hierzu lautet Bronski Ronski ein polnischer Mathematiker auf den geht dieses Prinzip zurück Es ist nach ihm benannt ein sogenanntes Wonski Kriterium Und das zeige ich Ihnen jetzt gerade noch mal Das habe ich also hier auf meinen Folien hier zusammengefasst Also der erste Satz sagt die allgemeine Lösung einer homogenen wichtig ist hier noch mal homogen und linear Enterordnung erhält man als Linearkombination von n von Fundamentallösungen also hier n Fundamentallösungen erste Fundamentallösung zweite Fundamentallösung Fundamentallösung Dabei bilden die ein Fundamentalsystem das müssen wir noch klären Und das C ist sind wir üblich das sind irgendwelche Konstanten beliebig Das ist unwesentlich Jetzt hatten sie aber eine Frage Ich alle einzel ähm da war jetzt die Frage wiederhole ich noch mal war die Fundamentallösung nicht einfach dass da die Konstanten ein sind das gilt aber nur speziell an der Stelle Nur speziell an der Stelle Was habe ich da das Grün markiert nur bei diesem y1 haben wir eine Konstante 1 gesetzt Ja in dieser Formel in dieser Formel mit dem Integral haben wir eine ein eingesetzt und dann war es da eine Fundamentalösung Bei uns wird's jetzt ein bisschen anders gehen Ja das war ist nur der Spezialfall erst Ordnung Da geht es so einfach Hat's die Frage beantwortet okay so und jetzt noch mal das Kriterium Wir haben letztes Mal schon drüber geredet Was heißt es dass Funktionen ein Fundamentalsystem bilden ja das ist so wie bei Vektoren Sie bilden ein Fundamentalsystem wenn sie unabhängig voneinander sind Ja wir werden gleich sehen welche Funktionen unabhängig voneinander sind und welche nicht Und wie findet man heraus ob Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind determinante Ja schreib die Vektoren in die Determinante rein Schau ist die Determinante null dann sind die Vektoren linear abhängig Ist die Determinante ungleich 0 ungereich 0 dann haben wir ein Fundamentalsystem Ja so einfach geht So und jetzt starten wir gleich mit dem Beispiel Da machen wir gar nicht viel Theorie jetzt Jetzt brauchen wir ein Beispiel und noch die richtige Überschrift 14 3 4 143.4 vier Differentialgleichungen Differentialgleichungen mit und standen Ich glaube das ist die längste Überschrift in meinem Buch Koeffizienten Vielleicht noch mal zur Wiederholung was war eine lineare DGL eine lineare DGL muss eine bestimmte Form haben oder man muss sie in eine bestimmte Form bringen können Und zwar sieht es so aus man muss es aufschreiben können mit irgendeiner Funktion an von x Ableitung plus und so weiter plus A1 von X erste Ableitung + A0 von x die Funktion selbst gleich Störfunktion R von X Und wenn wir jetzt konstante Koeffizienten möchten also jetzt konstante Koeffizienten dann heißt es wir müssen uns diese Zahl diese Funktionen hier das dürfen jetzt keine Funktionen mehr sein Also da darf jetzt nimtmer e hoch x oder Sinus oder x² stehen sondern nur noch konstante Zahlen Also da steht dann an und stand yn von x + a1 y von x + a0 y von x Hier weiterhin alles möglich Hier darf das X noch stehen aber das hier sind nur konstante Zahlen Also hier hier und hier konstante Zahlen Die dürfen sich also jetzt nicht mehr mit x verändern Und ich starte gleich mit so einem typischen Beispiel Also typisches Beispiel Y2 strich dann -1 y str + 11 y = 2 e hoch 3x Wir sehen also sofort das hier ist unsere Störfunktion r von x Das passt rechte Seite Das hier ist unser Koeffizient A0 konstanter Wert 11 Das ist unser Koeffizient A1 Ja Und äh klar was ist unser A2 was muss ich mir hier vorstellen das steht ja jetzt nichts aber es ist trotzdem ein A2 da Ja die 1 Genau Da muss ich mir vorstellen dass da die ein steht ein ne so das heißt es ist eine lineare DGL mit Konstanten Koeffizienten und wir lösen zuerst wieder die homogene DGL Also erster Schritt alle homogenen Lösungen Und die Idee ist jetzt total simpel weil die Differentialgleichung jetzt so einfach ist und dann nur noch konstante Werte stehen sind alle Lösungen sind E-Funktionen Also Idee alle Lösungen der homogenen EGL sind E-Funktionen Das heißt die homogenen Lösungen sehen alle so aus Yh von x = irgendeine Efunktion e hoch x Wir wissen aber noch nicht was genau für eine E-Funktion Deshalb schreiben wir hier ein Lambda rein und dieses Lambda wollen wir bestimmen Also Ziel bestimme Lambda passend zur DGL passend zur homogenen DGL Das ist unser Ziel So Und was machen wir wir rechnen einfach die Ableitungen aus Also yh von x die Ableitung von e hoch lambda x ist lambda e hoch lambda x Ja innere Ableitung Lambda und zweite Ableitung noch mal ein Lambda lambda quadrat e hoch lambda x Und jetzt setzen wir alles in die DGL ein und gucken mal ob wir da nicht Lambda ausrechnen können Also in DGL einsetzen So wie geht es zweite Ableitung lambda quadrat e hoch lambda x Ja das ist die zweite Ableitung -1 mal die erste Ableitung das ist Lambda e hoch lambda x + 11 das y also e hoch lambda x Und weil es null ist äh weil es homogen ist muss hier null stehen Ja das haben wir ja gesagt Also jetzt sind wir erst bei der homogenen DGL deshalb nennen wir das auch yh yh yh und ich sehe schon hier yh yh yh und hier die null und weil wir hier immer h haben Oh je das ist jetzt aber eine komplizierte Gleichung Jetzt ist das Lambda steckt in der Efunktion drin Dann haben wir noch Lambda Quadrat und Lambda Mein Gott wie wie löst man denn so eine Gleichung ja man kann e hoch l x ausklammern Man kann e hoch lambda x ausklammern und ich mach's gleich so dass ich sage komm wir teilen gleich durch e hoch l x geteilt durch e hoch lambda x und durch eine e-Funktion zu teilen ist niemals eine schlechte Idee weil eine E-Funktion wird ja nicht null Ja e hoch irgendwas wird ja nicht 0 Das heißt also wir können durch e hoch lambda x teilen und es bleibt was total simples übrig Es bleibt übrig lambda² - 12 lambda + 11 = 0 Und jetzt haben wir eine quadratische Gleichung Also das ist so lambda 1 2 = -b 12 +- Wurzel Jetzt hoffentlich habe ich meine Zahlen gut gewählt B² 12 im Quadrat 12* 12 sind 120 144 -4 Oh jawohl -4 x 11 -4 Ich habe meine Zahlen gut gewählt Geteilt durch 2a 2a 2 Wurzel aus 100 12 + 10 gibt 22 dur 2 gibt 11 Als erste Lösung 12 - 10 gibt 2 durch 2 gibt 1 Also wir haben zwei passende Lambda Werte und damit kriegen wir zwei Fundamentallösungen zwei Fundamentallösungen und die zwei Fundamentallösungen sind y1 von x E hoch 11 x und die zweite y2 von x = e hoch 1 x So jetzt müssen wir aber noch ich habe da schon hingeschrieben Fundamentallösungen Streng genommen müssen wir aber erst noch prüfen ob Fronzist Ja also Fundamentallösungen sind sie nur dann wenn Frons erfüllt ist Also prüfe Front geh mir gerade den Ronski noch mal hier an Ja was ist das ich muss eine Determinante ausrechnen mit den Funktionen und den ersten Ableitungen Also prüfe g bei uns ist n = 2 Das heißt also von uns wie sagt du brauchst die erste Fundamentallösung du brauchst die zweite Fundamentallösung und du brauchst die erste Ableitung der ersten und die erste Ableitung der zweiten Ja und davon musst du die Determinante ausrechnen So das ist also die Determinante von e hoch 11x e hoch x ableitung 11 e hoch 11x ableitung von e hoch x e hoch x und die Determinante Determinante wissen wir wie das geht geht ja noch mal Hauptdiagonale- Nebendiagonale Hauptdiagonale ist also e hoch 11x mal e hoch x- Nebendiagonale e hoch x mal 11 e hoch 11x Da war ich hier zu großzügig mit dem Platz meine ein bisschen kleiner minus e hoch x* 11 e hoch 11x Ja also noch mal farblich markiert Hauptdiagonale das ist das hier minus Nebendiagonale So Und was gibt es das ergibt 1 - 11 das gibt -10 So jetzt weiß ich e hoch x mal e hoch 11x Wie kann man das zusammenfassen ja mit plus Genau das gibt e hoch 12x und die Efunktion wird niemals null Also Fronski alles klar Wonski hat funktioniert Wir haben ein Fundamentalsystem Wir haben Fundamentallösungen und wir können sofort hinschreiben alle Lösungen der homogenen DGL bestehen aus C1 E hoch 11x + c2 e hoch x wobei c1 und c2 beliebige reelle Konstanten sind Wow das war doch wirklich nicht schwierig Ja das ist also ein wirklich super einfacher Ablauf Das das kriegen wir in Zukunft immerhin Ja letztendlich musste man nur das Schwierigste in ganz Geschichte war die quadratische Gleichung lösen Alles andere ist total simpel Aber jetzt wie finden wir jetzt die partikuläre Lösung eine partikuläre Lösung Wir brauchen wieder eine Idee und die Idee die ist jetzt total simpel Lineare DGS mit konstanten Koeffizienten sind eine super einfache Blackbox Ich schreib mal hin also lineare TGL mit konstanten Koeffizienten die sind so eine einfache Blackbox n es mal meine Blackbox In diese Blackbox schiebe ich eine Störfunktion R von X rein Als Ergebnis kommt eine Funktion raus eine partikuläre Lösung Und die Idee lautet dass R von X und YP von X total ähnliche Funktionen sind Also diese lineare DGL die kann sozusagen diese Störfunktion R von X nicht wirklich verändern sondern nur leicht verändern Also die Idee lautet YP von X sieht so ähnlich wie R von X aus Das ist die grundlegende Idee bei uns Was hatten wir unser R von X unser Unser R von X hatte ich gesagt ist 2e hoch 3x und so ähnlich heißt die partikuläre Lösung yp von X ist auch eine E-Funktion und zwar auch eine e hoch 3x Funktion aber Aber sie hat irgendeinen Koeffizienten A so wie wir vorhin das Lambda hatten und das A müssen wir jetzt so bestimmen dass es zur DGL passt Also Ziel bestimme A bestimme A passend zur DGL Was wir jetzt haben wir haben also jetzt keine Homogene sondern jetzt haben wir eine partikuläre die markiere ich mal grün Die Homogene habe ich rot markiert Partikulär markiere ich jetzt mal grün Partikulär Partikulär Und die Idee ist wieder total gleich Also ableiten einsetzen gucken das A ausrechnen Also wir machen wieder das gleiche in die wie habe ich vorhin gesagt ähm in DGL einsetzen In DGL einsetzen Das heißt wir brauchen die erste Ableitung YP von X Es gibt 3 a e hoch 3x und die zweite Ableitung kriege ich vielleicht auch noch hierhin Wenn ich noch mal ableite entsteht noch mal eine innere Ableitung Also 9 a e hoch 3x immer grün markiert partikuläre partikuläre und jetzt in DGL1 setzen Also da vorne hatten wir die zweite Ableitung Die zweite Ableitung ist 9ae hoch 3x Dann wie ging es weiter ich glaube minus- äh 12 oder -12 mal genau -1 mal die erste Ableitung Die erste Ableitung ist also mal 3* a mal e hoch 3x und dann + 11 mal die Funktion selber yp und die Funktion selber haben wir gesagt ist a e hoch 3x und dann muss aber die Störfunktion rauskommen und die Störfunktion ist bei uns 2 e hoch 3x X Ja noch mal markieren Grün markieren Partikulär Partikulär partikulär Partikulär Ja hier nicht null sondern Störfunktion Und wie lösen wir es wieder wie wird die Gleichung super einfach was ist wieder das gleiche Prinzip wir können wieder wie wird diese gleiche Ja wieder durch e hoch 3x teilen Also geteilt durch e hoch 3x weil e hoch 3x wird ja nicht 0 dann fällt e hoch 3x weg e hoch 3x weg e hoch 3x weg e hoch 3x weg und dann haben wir 9a - 36a gibt -27a + 11 - 27 + 11 äh gibt glaube ich 16 oder 16a 16a = 2 Also ist unser gesuchtes A ein äh noch ja -36 -27 + 11 gibt -16a A ist also -18 und unsere partikuläre Lösung yp von x ist -18 e hoch 3x Da gibt's jetzt keine Konstanten und wir sind fertig Drittens die allgemeine Lösung lautet die allgemeine Lösung lautet y von x = alle homogenen Lösungen plus eine partikuläre Lösung Das war C1 E hoch was waren die noch mal 11x + C2 e hoch X - 1 e hoch 3x Oh jetzt habe ich hier viele Oh oh oh viele viele viele Dinge Neue Seite neue Seite und äh und am besten alles was ich da habe gleich darunter schieben und noch mal eine neue Seite Und alles was ich da geparkt habe auch noch mal runterschieben So also vielleicht noch mal farblich markieren grün die partikuläre die partikuläre Lösung Das hier ist der grüne Anteil und der gelbe Anteil die homogene Lösung Das hier ist der homogene Anteil Frage Ja Gott sei Dank eine Frage Okay Bei der partikulären Lösung der jetzt zwei Jahr zur Stör zu vorher wissen wir also nicht mehr Funktion Woher wissen wir was jetzt als ähnlich okay super interessante Frage Er hat gesagt okay jetzt hatten wir eine E-Funktion e hoch 3x Ja was ist ähnlich so e hoch 3x a* e hoch 3x aber es gibt ja total viele andere Funktionen Sinus Cosinus x² was auch immer Woher weiß ich was ähnlich ist das werden wir heute lernen Störansatztabelle ist das Stichwort Ja das werden wir noch genauer lernen Nächste Frage Da war noch mal eine Ja noch mal eine Frage Sieht gleich aus Oh ne ist das tatsächlich so mein Gott es wird Zeit dass wir umziehen aber ich habe in der ich habe in der länger Zeitung gelesen es wird es dauert noch länger bis wir wieder 26 bis wir umziehen Also neue Beamer gibt's vorher nicht aber sie haben recht Ich ähm ich mache Ihnen Vorschlag Ich verzichte jetzt in Zukunft auf das Gelb und das Grün aber ich würde es jetzt nicht mehr rückgängig machen weil weil jetzt äh äh sonst muss ich so viel ändern Ja in meinem Aufschrieb ist es schön Sieht schön aus Okay also ich mache sofort das Grün raus Ich mache eine andere Farbe dazu Oh vielleicht könnte ich wenn ich ein dunkles Grün nehme ja würde ein dunkles Grün funktionieren dass mir das ausspen halt halt Gelb möchte ich behalten hellgrün möchte ich löschen Ich versuche mal das Dunkelgrün Okay wie sieht's Oh jetzt jetzt haben wir ein jetzt jetzt mache ich alles Okay jetzt habe ich jetzt habe ich richtig Spaß Jetzt machen wir richtig jetzt machen wir alles Okay B Jetzt wird's [Musik] dunkelgrün Also alles alles wird dunkelgrün Das war dunkelgrün Oh Gott warum habe ich denn so viel Grün verwendet hellgelb und dunkelgrün Grün grün Hier grün Das im Prinzip Ja das ist auch partikulär Partikulär [Musik] grün partikulär An nee nee nee nee Das habe ich jetzt falsch gemacht Das lasse ich lieber da mir Ja jetzt habe ich alles Also hier das war grün markiert hier grün hier [Musik] grün und so weit sind wir fahren Vielen Dank für den Hinweis Ja wenn Sie sowas haben sagen Sie mir Ich habe es gar nicht ich sehe es da oben gar nicht Ich sehe immer meinen Monitor und der ist perfekt hier Okay so Alles was wir jetzt gemacht haben alles was wir jetzt gemacht haben müssen wir als Theorie aufschreiben Ja das müssen wir jetzt als schöne Theorie aufschreiben und dann haben wir machen wir noch mal ein paar Beispiele haben wir alles im Griff Ja Okay Also jetzt kommt der Theoriepart Theoriepart Erstens wann nenne ich eine lineare Differentialgleichung eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten wenn diese Zahlen das hatte ich vorhin gelb markiert konstante Zahlen sind Konstante Zahlen die sind konstant Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten So nächster Schritt Was habe ich gemacht was habe ich gemacht was war die Idee die Idee war verwende Efunktionen und bestimme ein passendes Lambda Dieses Lambda das haben wir vorhin rot markiert und diese Idee nennt man Exponentialansatz Ja das ist der Name für diese Idee Exponentialansatz Lineare homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten versucht man mit E-Funktionen zu lösen Okay nächste grundlegende Idee Was passiert was passiert wenn ich die E-Funktion einsetze dann erhalte ich eine charakteristische Gleichung ups eine charakteristische Gleichung Und die charakteristische Gleichung die besteht nur aus Lambdas Ja so wie war die vorhin lambda quadrat äh -1 Lambda + 11 = 0 Ja so einfach war die charakteristische Gleichung So und dann lösen wir diese Gleichung Dann lösen wir diese Gleichung und nennen diese Lösungen in Zukunft Eigen Werte und Eigenfunktionen Also die Eigenwerte sind die Lösungen und die Eigenfunktionen sind die zugehörigen E-Funktionen Ja E hoch l 1 2 hoch l n So Achtung da müssen wir noch ein bisschen aufpassen Da steht noch was Schlimmes Können reell oder komplex sein Das das muss man nachher Ja jetzt ich habe mal erst alles ganz einfach gemacht Alle waren jetzt alle waren jetzt schön zwei verschiedene Zahlen und reell und so ein fast Fall Die Spezialfälle müssen wir noch mal in Betracht sehen Ich schreib mal dazu Achtung Spezialfälle Also Achtung Ja Leben ist nicht immer ganz so einfach Spezialfälle Das steht hier schon mal dass man aufpassen muss auf Spezialfälle So aber jetzt machen wir noch mal ein total einfaches Beispiel dass sie sehen wie einfach das letztendlich funktioniert Jetzt Beispiel also fange wieder an mit y2 strich ähm -7y + 12y = m -3x² Ja jetzt sehen Sie jetzt habe ich mal was anderes genommen dass wir schon ein bisschen mehr dazu lernen nachher mit unserem Störansatztabelle Jetzt habe ich rechts immer eine E-Funktion sondern jetzt mal ein Polynom Ich lese sofort die charakteristische Gleichung ab Ja ich mache jetzt alles so so kurz wie möglich Die charakteristische Gleichung kann ich sofort ablesen Die lautet: Statt zweiter Ableitung gibt's ein Lambda Quadrat Statt der ersten Ableitung gibt's ein Lambda und statt der Funktion selber gibt's die 1 also 12 = 0 Ich kann also sofort ablesen in einem Schritt die charakteristische Gleichung Dann kann ich sofort die Eigenwerte ausrechnen Eigenwerte So wie geht es lambda 1 2 ist gleich - bzel aus 49 - 4 x 12 - 48 Hab wieder schöne Zahlen gefunden die passen Gezeilt durch 2 Also sind die Eigenwerte Wurzel 1 ist 1 7 + 1 gibt 8 durch 2 gibt 4 7 - 1 gibt 6 durch 2 gibt 3 und 4 sind die Eigenwerte So und dann die Fundamentallösungen Fundamentallösungen y1 von x = e hoch 4x y2 von x = e hoch 3x wichtig in Zukunft schenken wir unski Das passt immer Das passt immer Wir machen es immer so dass es passt Also merke in Zukunft wir haben das einmal gemacht verzichten wir auf Bronski Ja das markieren mal Brot dass man das in Zukunft nichtmer machen Und dann haben wir die homogene Lösung also homogene Lösung Homogene Lösung y P äh Yh homogen von X C1 erste Fundamentallösung + C2 zweite Fundamentallösung C1 und C2 beliebige Reelle Zung Frage Ja gilt Gute Frage Die Frage lautet gilt es auch äh ist die Zukunft auch die Klausur jawohl die Zukunft ist auch die Klausur In der Zukunft in der Klausur brauchen sie kein Runski Ja sonder genauso wie jetzt diese einfachen Schritte reichen um das in der Klausur zu lösen und partikuläre Lösung Also das war sozusagen der erste Schritt die homogene Lösung Schreibt noch mal hin Den ersten Schritt haben wir abgeschlossen Zweiter Schritt wir schauen uns die Störfunktion an Die Störfunktion ist -3x² Was heißt jetzt eine ähnliche Funktion yp von X Ähnlich bedeutet jetzt Polynom vom Grad 2 Ja - 3x² ist die Kategorie Polynom 2 Und genau diese Kategorie entsteht wieder es entsteht ein neues Polynom vom Grad 2 lautet ax² ich nenne es mal ax² + a2x + a3 und wir müssen arechnen So wie geht es wir leiten ab yp von x polynom ableiten ist sowieso total einfach 2a1x + a2 und noch mal ableiten yp2 von x gibt 2a1 in die dgl einsetzen Also intege L einsetzen Y P2 G2 A1 dann hatte ich glaube ich -7 oder ja -7 mal die Ableitung Noch mal kurz checken Ja -7 mal die Ableitung Die Ableitung müssen wir eine Klammer setzen 2a1 x + A2 und dann noch äh + 12 mal die Funktion und die Funktion ist und ist ein bisschen länger A1 X² + A2X + A3 und dann muss rauskommen gleich was habe ich gesagt was muss rauskommen -3x² So jetzt Oh je jetzt müssen wir nur noch ein bisschen sortieren Ich fange mal an mit den x² links 12a1 x² 12a1 x² Dann habe ich quasi diesen Ausdruck hier berücksichtigt So jetzt gibt's noch XE Wie viel XE gibt es es gibt -14a1 -1a1 x und da hinten gibt es 12a berücksichtigt ich habe hier die Xe berücksichtigt Ich habe hier die Xe berücksichtigt und jetzt gibt's zum Schluss noch alles ohne X Alles ohne X gibt 2a1 -7a und + 12a3 = -3x² Oh wie wie löst man denn jetzt sowas also haben wir ja drei Dinge die wir ausrechnen müssen und x² und x und wem kommt sowas bekannt vor wie löst man so ein Problem standardproblem der Mate 1A wie nennt man das standardproblem Ja es ist nicht ist nicht Polynomdivision Nein der Begriff lautet anders Was machen wir wir vergleichen doch hier was links und rechts Das ist der Koeffizientenvergleich Jawohl Koeffizientenvergleich das ist der Schlüssel Schreck extra noch mal dazu Koeienten Vergleich Ja wir vergleichen wir fangen erstmal an mit den x² Es ist besser wenn man mit den höchsten Potenzen anfängt X² 12 A1 auf der linken Seite müssen -3 ergeben Das sagt der Vergleich von den x²en Vergleich von den x-werten sagt -14a1 -14a1 + 12a = Oh ja was muss da rauskommen steht rechts gar kein X H ja null Ja kein X heißt 0 Und dann vergleichen wir noch die sozusagen x hoch 0 Ja also die 1 absolut glieder Links steht 2 A1 - 7a2 + 12a3 gibt auch null weil es gibt auch kein Absolutglied Und wir sehen das ist super einfach zu lösen dieses LGS Ja eigentlich könnte das ein kompliziertes LGS sein ist aber super einfach zu lösen weil es gestaffelt ist Wir fangen oben an A1 ist 1/4 nee -1 Wenn A1 - 1/ ist dann folgt aus der Gleichung dass 12a das gleiche ist wie 14a1 - 14 Ja 14a1 auf der rechten Seite sind -14/4 sind -7/ A2 ist= -724 Stück Ja gekürzt mit zwei So und jetzt letzte Zeile Letzte Zeile bedeutet 2a1 = 7a 7a2 sind - 49 24 -1a3 Ah nee nee nee nee halt stopp Ich möchte ja die Ich möchte ja die A3 ausreichnen Also 12 A3 = -2a1 -2a1 Das ist schon mal da fangen wir anders an Also 12a3 - 2a1 Es gibt also 2/4 das gibt ein halb Dann 7 x a2 das gibt also -49 24 Das gibt insgesamt 24 und zwar Hauptnänder ist 24 das gibt dann 12 -49 also -37 24 stellen Und jetzt haben wir unser Ergebnis Partikuläre Lösung besteht aus a1x² also -1/x² a2x - 724 x + a3 A3 sind -37 24 Oh je oh je oj Hoffentlich haben wir uns nicht verrechnet Ja Äh bei A3 müssen wir noch durch 12 teilen Ähm 24 Was ist 24 x 12 super 288 Also so das ist ja wie 288 Okay da gibt's nur einen ultimativen Check Wir müssen das noch mal kurz Chat GPT fragen ob wir es richtig gemacht haben Also Sie haben vorher noch eine Frage Ja Fragen beim sozusagen auf das EO 3X gekommen sind Also ihre R von X ab und es war ja diesmal x qu und genau ihre Frage ich wiederhol noch mal bezieht sich auf diese Ähnlichkeit Ja also Ähnlichkeit hier haben wir gesagt ähnlichkeit R von X war bei dem Beispiel ich zeig's gerade noch mal an R von x war bei dem Beispiel 2e hoch 3x und dann haben wir gesagt okay dann kommt a mal e hoch 3x raus Also sozusagen e hoch 3x wird nicht verbogen aber der Faktor 2 wird verbogen und tatsächlich haben wir rausgekriegt ja aus 2 wird -bogene Faktor Ja soweit so gut Jetzt bei diesem Beispiel wie war's bei diesem Beispiel ja -3x² Ja so Okay so jetzt hier hier haben wir kein E verwendet Hier haben wir kein E verwendet sondern wir haben gesagt was hier reingeht ist ein Polynom vom Grad 2 Irgendein Polynom Das war die Idee und was rauskommt ist wieder ein Polynom vom Grad 2 Wir müssen nur diese Zahlen geschickt ausrechnen Das war die Idee Also Idee e hoch 3x rein e hoch 3x raus Polynom vom Grad 2 rein Polynom vom Grad 2 raus Wir werden das später noch systematischer aufschreiben Okay so jetzt aber Chat GBT Komm lass uns mal das lösen Was war unsere DGL y2 -7 + 12 - 3x² Okay ich versuch's mal Ich versuch's mal So wo sind meine Lesezeichen meine Favoriten äh oh das sehe ich gerade Habe ich gar nicht drin Scheint noch gar nicht aktualisiert meine Lesezeichen Also ich mache mal Chat GPT Stelle irgendeine Frage Also löse die DGL Doppelpunkt Y 2 -7y Strich + 12y Sie müssen gucken ob ich alles richtig ma gleich Äh ist das haben wir schon wieder so ein Problem hier löse die DGL y2- + 12y = Und was war die Störfunktion - 3x² Wo finde ich das Quadrat - 3 x² Alles richtig gemacht okay dann schauen wir mal was Chat GPT dazu sagt Okay let's go Ich gehe gleich noch mal mit Ihnen durch um es größer zu machen und dann gucken wir mal was wie das bei Chat GPT abläuft So können Sie es in der Größe lesen etwa oder ich also um die DGL zu lösen da steht sie noch mal wiederholt hat's richtig gesehen Erlöst die charakteristische Gleichung Ja genau gleiche Methode wie wir Er findet die Eigenwerte 4 und 3 wie wir Damit haben wir die homogene Lösung c1 hoch 4x + C2 e hoch 3x Wunderbar Jetzt betrachten wir die inhomogene Gleichung da der rechte Term ein Polynom zweiten Grades ist weiß er auch Ja also -3x² schlagen wir als spezielle Lösung ein Polynom zweiten Grades vor Er nennt es jetzt nicht A1 A2 A3 er nennt es A und B und C Und dann nun berechnen wir die ersten beiden Ableitungen setzen wir in die inhomogene TGL ein Und nun sammeln wir nach den Potenzen vergleichen wir die Koeffizienten und zum Schluss kriegen wir raus das sieht doch alles sehr vertraut aus -x² - 724 x - 378 Schild Puh Glück gehabt Ja also zumindest ist chat GBT auf dem gleichen Weg wie ich und die Gesamtlösung zähle zusammen Yh + yp Ganz wichtig was Sie hier jetzt noch mal gesehen haben Also wir machen nicht hier spezielle Eslinger Mathematik oder sowas was hier steht Sie können das jetzt die DGL in Chinesisch lösen lassen in Englisch in Französisch was auch immer Weltweit funktioniert es alles nach dem gleichen Prinzip Ja also ja wenn ich jetzt hier oben äh noch mal eingebe ich glaube man kann das noch mal nacheditieren hier also nicht also kopieren einsetzen Jetzt machen wir das mal anders Please solve Ja mein leider ist mein Chinesisch sehr schlecht aber Englisch geht Pleas und dann gucken wir mal was jetzt kommt Und jetzt kriegen sie alles wunderschön in Englisch Ja Let's solve the second order linear nonhomogeneous differential equation and characteristic equation homogeneous equation blablablabla Alles gleich Alles gleich Okay also das möchte ich Ihnen wirklich mitgeben dass Sie auch die Bedeutung sehen von dieser Mathematik Was wir hier einmal lernen das gilt erstens überall auf der Welt Ja da gibt's kein das Klima kann man nicht leugnen Die die ich sag mal nee DGS kann man nicht leugnen die sind wie sie sind Überall auf der Welt gleich Äh das gilt heute Das war vor 50 Jahren richtig und das wird auch in den nächsten 1000 Jahren richtig sein Da ändert sich nichts dran Das immer so Und das ist das was mich so was ich so liebe an der Mathematik Ja sie ist äh sie ist wie sie ist Sie war schon immer so und unsere Herausforderung ist nur immer mehr davon zu entdecken und sie dann natürlich auch produktiv einzusetzen Schauen Sie die letzten Dinge die man über KI alles was man herausgefunden hat das ist nichts anderes als Mathematik pur Und deshalb finde ich so wichtig Ihnen ein bisschen Mathematik mitzugeben Ja sie wissen nie wo sie noch landen würden in ihrem Leben mit was sich beschäftigen Und ich treff es immer wieder in den Unternehmen an wenn man als Matheprof kommt ist mir immer völlig willkommen weil das sind immer Leute die immer fragen oh das wollte ich schon immer mal wissen Ich habe Mathe nie verstanden im Studium aber kannst du mir jetzt noch mal sagen wie geht es noch mal mit dem Stable Diffusion das ist ja wahnsinnig cool was da äh funktioniert Das s ich e schon ganz einfach Man löst die parelle Differentialgleichung und aus dem Chaos und dann nimmt mir irgendein stabiles Lösungserverfahren das ist Euler oder Heun oder irgendsowas und dann so funktioniert es halt Ja okay Und deshalb möchte ich versuchen Ihnen ein bisschen was mitzugeben in Mathematik Gut also jetzt zurück zurück zum zu unserer Geschichte Was müssen wir berücksichtigen also für uns das ist jetzt noch mal wichtig die Eigenwerte können natürlich unterschiedliche Spezialfälle haben Bisher war alles super einfach einfache reelle Eigenwerte Wir müssen jetzt noch Spezialfälle angucken B doppelte Eigenwerte C komplexe Eigenwerte D kann ich gleich durchstreichen Mehrfache komplexe Eigenwerte ist schon zu kompliziert Das machen wir hier nicht Das machen wir nur in der Prüfung Ah nee das natürlich Okay Nein das machen wir auch nicht Eine Mädchenfrage noch bevor wir in die Pause gehen Oh oh okay Da ich habe noch ganz übersehen im im Chat gab's Fragen und ich bin gar nicht drauf ein eingegangen Da war die Frage noch ist A2 nicht plus Kam aber sofort die Antwort Ähm die Antwort kam sofort A2 ist dann ein/HB und dann kam Ja sorry war ja 7inhb Okay also scheint sich geklärt zu haben die Frage im Chat oder ist noch da okay Ja ist klar Also vielen Dank hat sich geklärt Äh dann für mich jetzt die entscheidende Frage wenn eine Gleichung mit Lambda lambda blablabla ja die charakteristische Gleichung wenn die einen doppelten komplexen Eigenwert haben soll welche Ordnung muss diese Gleichung mindestens haben das ist jetzt die absolute Spezialistenfrage Also noch mal ja wir hatten bisher so eine charakteristische Gleichung also so blablabla lambda quadrat blablabla lambda blablabla 0 Wenn ich einen doppelten komplexen Eigenwert haben möchte welche Gleichung braucht welch Grad braucht die Gleichung Mindestensz machen wir es mal einfacher Wenn ein doppelter wenn sowas rauskommt wie lambda 1 2 = 7 ja also wenn 7 doppelte Nullstelle ist welchen Grad brauchen wir dann Mindestens 2 Okay Und jetzt stellen wir uns vor Lambda 3 + oder -4j und dann noch doppelt Was brauchen wir dann für ein Grad wer traut sich zu wer möchte spekulieren man kann hier nur gewinnen nichts falsch machen Grad ganz genau das ist die Antwort Man braucht irgendwas 4° und eine DG 11te Ordnung ist schon sowieso zu kompliziert Ist schon sowieso zu kompliziert Okay also wir lassen wir lassen die mehrfachen komplexen Eigenwerte weg Das ist sehr speziell So jetzt haben wir uns aber redlich erstmal eine Pause verdient oder bin ich richtig in der Zeit ja okay 11:15 Uhr Viertelstunde Pause 11:30 Uhr geht's weiter Ja ich stoppe kurz die ein Zeichen So Aufzeichnung läuft Aufzeichnung läuft dann kann's weitergehen Ja schließen wir heute das Thema Differentialgleichungen ab Was haben wir ich glaube das hatte ich doch Habe ich das nicht zweimal jetzt schon fälle bei Eigenwerten Oh sorry das hatten wir schon Das ist doppelt hier drin Was wir erledigt haben was wir erledigt haben sind die einfachen reellen Eigenwerte Ja die einfachen reellen Eigenwerte sind ganz sind der einfachste Fall Wir rechnen ein Lambda aus und für jedes Lambda ist e hoch lambda x eine Fundamentallösung Okay wir brauchen jetzt noch eine Lösung für doppelte reelle Eigenwerte oder ganz allgemein mehrfache Die können doppelt dreifach vierfach vorkommen Bei uns ist doppelt der wichtige Fall und für doppelte gibt's auch eine sehr einfache Lösung um damit umzugehen Man hat also e hoch lambda x und noch mal e hoch lambda x Das wäre natürlich zweimal die gleiche Funktion Da würde Fronski nicht funktionieren ja mit e hoch lambda x und noch mal e hoch lambda x zweimal die gleiche Funktion Determinante wäre ganz sicher null weil man hät zweimal die gleiche Zeile und dann ist die Determinante null und Wronski wird nicht funktionieren und deshalb die Lösung x mal e hoch lambda x ist die zweite Lösung oder x² x hoch 3 und so weiter Machen wir mal ein Beispiel Beispiel y2 minus blablabla y + 9 y = Jetzt machen wir mal noch mal eine neue Störfunktion Ähm 2 Sinus 3x Ja Sinus hatten wir noch nicht als Störfunktion Wir hatten bisher eine E-Funktion wir hatten Polynom Jetzt machen wir mal ein Sinus Und wer hat schon durch den Trick durchschaut punkt Punkt Punkt Was muss ich für Punkt Punkt Punkt einsetzen damit es einen doppelten Eigenwert gibt wer durchschaut schon das Prinzip wer kann quasi vorausschauen wer kann soweit vorausschalen und mir sagen statt Punkt Punkt Punkt welche Zahl muss ich hier einsetzen damit ich nachher in der charakteristischen Gleichung lambda quadrat - pun lambda + 9 = 0 dass ich danach nachher lambda 1 2 = und dann kommt nur eine Zahl raus Ja eine einzige Zahl und nicht zwei verschiedene Ja sechs Jawohl Sechs ist der Hauptgewinn Wir schauen einfach mal nach ob sie recht haben Lambda² - 6 Lambda + 9 = 0 Lambda 1 2 -b ist also + 6 +- w√urzel aus 36 b² - 4 x 9 ist 36 Und das ist das Kriterium die diskriminante nicht die Determinante sondern jetzt die Diskriminante Also das was unter der Wurzel steht muss null sein Und dann haben wir eine einzige Lösung 3 ist also eine doppelte Lösung Doppelte Lösung Also das wir sind im ersten Teil homogene Lösung Unsere homogene Lösung sieht dann so aus yh von x = erste Konstante mal e hoch 3x Ja so wie bisher auch weil es aber doppelt ist zweite Konstante multipliziert mit so einem zusätzlichen x mal e hoch 3x Ja das ist dieses dieser zusätzliche Wert hier und das ist die homogene Lösung Also total einfach Wir könnten noch mal Ronski rechnen und so haben wir aber gesagt komm lass wir jetzt sein in Zukunft wir glauben einfach dass es stimmt Ja könnte man aber nachrechnen dass es stimmt Zweitens partikuläre Lösung Also unsere Störfunktion ist unsere Störfunktion R von x besteht aus 2* Sin 3x Wie sieht dann die partikuläre Lösung aus was ist ähnlich zu 2 sin 3x wer möchte ein Versuch wagen ja A mal sinus 3x A sinus 3x ist ähnlich Jetzt kommt aber der Knüller an der Geschichte A* Sin 3x reicht nicht denn das Sinus kann modifiziert werden und es könnte noch ein Cosinus dazu kommen also b* cosinus 3x Ja das werden wir später noch mal ausführlicher sehen in der Störansatztabelle Wichtig ist dass wir das nicht übersehen Sinus und Cosinus bekommt man nie einzeln sondern immer im Paket Das bedeutet so eine lineare Differentialgleichung kann im Prinzip so eine leichte Phasenverschiebung bewirken Nicht ein reiner ein reiner Sinus geht rein aber so eine Kombination aus Sinus und Cosinus kommt raus Das ist letztendlich ein phasenverschobener Sinus oder Cosinus Jetzt war da oben aber eine Frage hat sich hat sich geklärt So jetzt probieren wir mal ob das auch stimmt ob wir so eine Lösung finden Also yP yp von x gibt 3a sin 3x - 3 b Halt quatsch Ableitung vom Sinus Ableitung vom Sinus ist natürlich der Cosinus Ableitung vom Sinus ist Cosinus und Ableitung von Cosinus ist - sin 3b sin 3x und noch mal ableiten y2 von x = -9a sin 3x und - 9b cosinus 3x So und in die DGL einsetzen Da oben haben wir ja noch die DGL y2 Wird alles sehr sehr sehr länglich YP partikuläre Lösung 2 ist -9a sin 3x -9a sin 3x - [Musik] 9b cosinus 3x -6 mal klammer auf erste Ableitung yp P str Ableitung ist 3a cosinus 3x - 3b sinus 3x und jetzt noch 9 mal die Funktion neun mal Klammer auf die Funktion selber ist a sin 3x x + b cosinus 3x und dann muss rauskommen was muss rauskommen 2 sin 3x und jetzt machen wir wieder Koeffizientenvergleich Dieses Mal nicht für ein Polynom sondern wir haben wieder wir haben jetzt quasi Äpfel und Birnen Die Sinuswerte sind die Äpfel Also überall wo Sinus steht markiere ich grün Sinuswerte und die Cosinuswerte markiere ich gelb Ah rechte Seite nicht vergessen da stehen nur Sinuswerte das ist grün Und jetzt kommt der Vergleich Also jetzt vergleiche ich Sin 3x auf der linken Seite Sin 3x Was steht da ich habe -9a sin 3x dann + 3* 6 gibt 18 + 18b sin 3x Also Sinus 3x das ist mein meine grünen Ausdrücke das sind die Sinusausdrücke + 9a 9a sin 3x = rechte Seite 2 Oh das ja super gut 9a- 9a + gibt 18b B= haben wir sofort Super gut Jetzt kommt der Vergleich mit cosinus 3x Das sind die Birnen Das ist das gelbe So cosinus 3x Was steht auf der linken Seite -9b plus 18 Oh oh oh oh Habe ich vorhin da was äh nee Äh Cosinus Cosinus - 18a Ja oben waren es + 18b -1a beim Cosinus und dann noch mal 9b + 9b Rechte Seite gibt's nichts gelbes also 0 Also ist a = 0 9b - 9b also a = 0 Das heißt tatsächlich Sinus geht rein und Cosinus kommt raus Also unsere partikuläre Lösung lautet yp von x = 19 cosinus 3x cosinus 3x und unser Ergebnis dritter Schritt die Lösung lautet y von x C1 E ho 3X + C2 magisches X e hoch 3X plus partikuläre Lösung 19 cosinus 3x Okay das ist die Lösung Ja sollte mal eigentlich wieder Chat GPT fragen aber ich hoffe jetzt mal sind so viele Leute da dass ich dass ich nicht so viele Fehler gemacht habe Ja überspringen wir das mal Aber Chat GB kann es sicher auch sehr einfach lösen Okay das heißt zweiter Fall doppelte doppelte Nullstellen haben wir durch dieses rote X repariert Ja das ist also kein Problem Das war sozusagen der Schlüssel hier Dieses dieses rote X hat unser Problem gelöst Das war der Schlüssel für doppelte Jetzt brauchen wir nur noch den entsprechenden Schlüssel für Komplexe Und bei Komplexen lautet es so wenn wir ein komplexes Paar haben ja sie wissen das aus der aus der Mathe Oh das war Mathe 1B ist das nicht Mathe 1a die komplexen Zahlen Mathe 1b Da wissen Sie die komplexen Nullstellen eines reellen Polynoms sind immer nur paarweise zu bekommen A + JB Ja wenn also 2 + 3i eine Nullstelle ist dann ist auch 2 - 3i eine Nullstelle falls das Polynom rein reell ist Frage im Chat ist äh eine Frage Ja ist klar 11:45 Uhr nicht -18a Äh hm habe ich was verkehrt gemacht sie meinen da ich noch mal kurz nachfragen wo meinen Sie mit hier -1a ja da macht man ja -6 x 3 Ja genau Ich habe aber -18 hingeschrieben oder passt dann oh ja Oh ja Also gut es passt Okay Doch prima dass sie mitgerechnet haben Also auch wenn es jetzt wenn ich tatsächlich mal keinen Fehler gemacht habe es passt hier -1a Okay so Jetzt machen wir noch ein Beispiel für die komplexen Ja nächstes Beispiel Machen wir ein schönes Beispiel für Komplex stellen [Musik] Y2 + 4y + [Musik] 20y So jetzt hatten wir schon wunderschöne Jetzt hatten wir schon wunderschöne Störfunktionen Ah noch mal eine Frage Warum werden für manche komplexe Eigenwerte J anstatt I verwendet oh okay Im Buch schreibe ich immer I Das ist die mathematische die mathematische Schreibweise für die komplexe Einheit In der Technik wird aber sehr oft J verwendet Der Grund ist weil man in der Technik I für die Stromstärke ja verwendet um das nicht zu verwechseln Und Elektrotechnik wird eigentlich immer komplex gerechnet und deshalb verwendet in der Technik J Im Buch verwende ich i Hat es die Frage geklärt mit mit I und J jup Okay Also Störfunktion was hatten wir schon für eine Störfunktion wir hatten schon eine Störfunktion eine E-Funktion Wir hatten Sinus jetzt wir hatten Polynom Äh was machen wir denn jetzt mal äh was machen wir denn jetzt jetzt machen wir mal ein Gewicht Jetzt machen wir mal was ganz tolles Jetzt machen wir mal so ein gemischtwaren Laden 2x + 7 e hoch -2x Ja jetzt machen wir mal eine Mischung Polynom und E Funktion So lambda² + 4 lambda + 20 = 0 lambda 1 2 Das lasse ich Sie selber ausrechnen Das kriegen Sie hin Rechnen Sie das mal selber aus Lambda 1 2 Ja kurz eine Minute Zeit So ich krieg raus -2 + oder -4j Ja die Wurzel aus -64 Wurzel aus -64 gibt 8 plus oder - 8J ge 2 gibt plus oder - 4j So was sind dann unsere Fundamentallösungen unsere homogene Lösung yh von x besteht Jetzt müssen wir unterscheiden wir haben einen Realteil und wir haben einen Imaginärteil Und das Lösungsprinzip lautet: stecke den stecke den Realteil in die E-Funktion ja in die E-Funktion und den imaginärteil in Cosinus und Sinus Okay C1 E hoch -2x cosinus 4x + c2 e hoch-2x sin- 4x noch mal farblich markieren E hoch -2x cosinus 4x sinus 4x Was sagt man in der Technik in der Technik sagt man die Imaginärteile schwingen also Imaginärteile schwingen Ja weil die landen letztendlich in Sinus und Cosinus Wenn ich also Lösungen haben will die irgendwie Schwingungen sind Sinus und Cosinus dann brauche ich einen komplexen Eigenwert und der Imaginärteil davon erzeugt Schwingung Und auf der anderen Seite diese E-Funktionen die E-Funktionen dämpfen also die Realteile dämpfen Realteile dämpfen Die Maschinenbauer die wissen es ganz genau Ja wenn man so eine Waschmaschine baut damit diese Waschmaschine auch bei hohen Umdrehungen nicht durchs Badezimmer hüpft ja wissen die ganz genau wie man der Eigenwerte Realteil sein muss dass man eine möglichst gute Dämpfung hat dass also die Schwingungen schnell wieder abklingen wenn das mal anfängt zu schleudern ja bei der Waschmaschine oder beim beim Auto natürlich Ja und Großteil der Komfort im Auto besteht darin dass das Auto möglichst wenig Schwingungen hat Ist natürlich jetzt alles viel einfacher geworden Ja so ein schwerer so ein schwerer Verbrennungsmotor der erzeugt natürlich viel mehr Schwingungen wie so ein Elektromotor der vielleicht auf die Räder sogar verteilt ist jetzt Also das Problem heute nichtmer so gravieren Okay nächster Teil haben wir gesagt das überspringen wir Ja das schiebe ich einfach mal da hoch Schieb's dahin Habe aber gesagt mehrfache komplexe Diesen Fall überspringen wir also bei uns nicht auch nicht in der Prüfung Ja Oh ich habe gerade gesehen ich bin ja noch gar nicht fertig Oje oje oj Ich hab ich habe ja noch die partikuläre Lösung vergessen Die müssen wir das muss ich noch mal runterschieben hier Das machen wir später Ja wir müssen ja noch die wir müssen ja noch die partikuläre Lösung ausrechnen Ja das war ja erst der erste Schritt Erstens homogene Lösung Zweitens partikuläre Lösung und da kommt jetzt eine zentrale Idee Die Idee lautet Superposition und zwar zerlegen wir die Störfunktion Die Störfunktion zerlegen wir in zwei Störfunktionen Wir nennen das die Störfunktion R1 Polynom entsprechend haben wir zwei partikuläre Lösungen Wir machen zwei getrennte partikuläre Lösungen y P1 und YP2 So was passiert mit 2x das haben wir schon gelernt oder was passiert mit 2x was ist ähnlich zu 2x welche Kategorie erwarten wir als partikuläre Lösung ja AXT richtig + b nehmen wir b weil wir c schon und was also ja Prinzip ist nicht x geht rein x geht raus sondern Prinzip ist Polynom von Grad 1 geht rein Polynom von Grad 1 kommt raus Was erwarten wir für e hoch -2x wie sieht das wohl aus was erwarten wir für 7e e hoch -2x ja A war anders Wir haben die E-Funktion bleibt unverändert erhalten Es ist also nicht e hoch Ax aber das A davor Und das A davor das nennen wir jetzt D weil wir das A da oben schon haben Ja das nennen wir jetzt D Und C C haben wir oben schon C1 und C2 mache ich lieber jetzt nicht kein C ich mache ein D lieber Und konnte ich sie überzeugen okay also jetzt die Idee lautet: Berechne YP1 und YP2 getrennt Also berechne YP1 und YP2 getrennt Das heißt wir setzen erstmal y1 die Ableitungen Was ist die Ableitung das ist a und die zweite Ableitung von y P1 war 0 und stand hier abgeleitet gibt null eingesetzt in die DGL Unsere DGL lautet wie war sie noch mal yp2 strich also 0 und dann nee hat er mal plus oder + 4* Y Was ist y str ist a + 20 war das glaube ich ist das richtig mal yp und das ist ax + b und dann soll rauskommen die erste Störfunktion also 2x nur 2x Und dann machen wir wieder Koeffizientenvergleich Wir vergleichen die xe Links haben wir 20a x 20ax und rechts haben wir 2x Also ist a ein Zehntel und ohne X Koeffizientenvergleich haben wir links 4a + 20b und da muss 0 rauskommen Also sind 20b sind -4a sind -40 -40 Das heißt B ist= -400 - 200 St - 150 -1 St Und damit haben wir die partikuläre Lösung yp1 von x ausgerechnet und die lautet ax also 1 x - 150 So jetzt kommt y2 Das ist genau das gleiche YP2 die erste Ableitung So jetzt was war yP2 yp2 war d hoch -2x also -2d E hoch -2x und noch mal ableiten yp2 2 gibt 4 D e hoch -2x in die DGL eingesetzt gibt wieder zweite Ableitung ist 4d e hoch -2x + 4 mal die Ableitung die erste Ableitung erste Ableitung ist -2 e E hoch- - 2x und dann noch 20 mal die Funktion und die Funktion war bei uns d hoch -2x und dann kommt raus der Teil von der Störfunktion und der Teil ist 7e ech -2x Und das gilt jetzt alles Das ist immer y2 P2 die zweite partikuläre Lösung So jetzt kommt der Vergleich Was haben wir der Vergleich lautet 4D zweiten Ableitung [Musik] -d von der ersten Ableitung + 20D = 7 also 16d = 7 also ist d gleich stimmt es auch 7/ 16 Jawohl 7/16 Und die zweite partikuläre Lösung lautet YP2 von X = 7 [Musik] 16 e hoch -2x Das haben wir jetzt ausgerechnet Und unser Ergebnis wir schreiben alles zusammen Dritter Schritt Ergebnis Dritter Schritt lautet also y von X Die allgemeine Lösung besteht aus homogener Lösung Oh was war noch mal die Homene e hoch -2x cosinus 4x c1 e hoch -2x cosinus 4x + c2 e hoch -2x sinus 4x und dann noch die partikuläre Lösung 1 Die partikuläre Lösung P1 ist ein X - 1 und dann noch die partikuläre Lösung P2 und die ist + 7/ 16 e hoch -2x Huch Okay dieses Prinzip das schreibe ich jetzt gerade noch mal auf Ich schiebe das noch mal weiter nach unten da was ich da vorhin schon vorbereitet habe was wir nicht machen Und wo habe ich super Position hier das habe ich hier schon gemacht Das Superpositionsprinzip lautet wenn die Störfunktion durch Addition oder Subtraktion einzelner Störfunktionen Ja einzelne Störfunktion R1 R2 R3 +- Und jetzt kommt das wirklich Interessante und so weiter und sofort Das können sogar unendlich viele Funktionen sein Ah das kennen wir gerade noch gar nicht Unendlich viele Funktionen Das war wir uns später in diesem Semester beschäftigen Potenzreihen Fuerreihen Wir addieren unendlich viele Funktionen zu einer neuen Funktion und selbst dann funktioniert Superposition Man kann jedes einzeln abarbeiten Jedes einzeln abarbeiten und das gibt dann sehr einfache kleine Probleme zu lösen Das ist Superposition also getrennt Einzelne Störfunktionen getrennt Das ist der Schlüssel So Und jetzt auch noch mal den vierten Fall jetzt jetzt endlich das ist das was wir nicht machen wollen Auf vierte Fall haben wir gesagt der der ist uns doch so bei uns nicht also komplexe machen wir nicht Und jetzt hier noch mal eine Zusammenfassung Also wir lösen die charakteristische Gleichung Das noch mal die Zusammenfassung Charakteristische Gleichung hier mit dem Lambda = 0 Daraus bestimmen wir Eigenwerte Lambda I und Eigenfunktionen yi Dabei gibt's aber Spezialfälle Achtung Spezialfälle also mehrfache oder komplexe Eigenwerte Und zum Schluss zählen wir immer alles zusammen C1* Y1 Und das sollte ich eigentlich dazu schreiben C1 C2 und Cn sind reelle Zahlen Das ist nicht schön dass ich das dann nicht dazuschreibe Sollte eigentlich im Buch außer stehen Okay so Jetzt haben wir den Eindruck jetzt haben wir alles im Griff Ja es kann ja eigentlich nichts mehr passieren Äh okay Jetzt ma ich aber trotzdem noch mal ein Beispiel was wieder schief geht Wir müssen noch eins verstehen Noch ein Beispiel Ich ma ein total einfaches Beispiel und zwar ich mache ein A-Teil und ein B-Teil y2 -5y + 6y = 2 e hoch 4x Eigentlich müssten Sie jetzt in der Lage sein das super einfach zu lösen Ich gebe Ihnen einfach mal was würde ich sagen äh wie viel Zeit kann ich spendieren heute ja so ein bisschen kann ich spendieren 5 Minuten Zeit 5 Minuten Zeit Lösen Sie mal alles Ja eigenwerte homogene Lösung partikuläre Lösung Das müsste jetzt eigentlich wie im Schnürchen müsste das klappen Ja also los geht's 5 Minuten Zeit Hey ich bin wieder da Okay die Aufzeichnung Oh jetzt habe ich gar nicht auf die Uhr geschaut Dann die 5 Minuten angefangen haben Schlimmer Fehler aber ich sehe sie rechnen noch Das ist schon ein gutes Zeichen wenn sie im Rechnen sind Oh ich glaube ich habe ein Volltreffer gelandet So schön geht es auf Ja stimmt es Es geht so wunderschön auf Ich habe jetzt mal meine Schnellösung hingeschrieben Ohne alle Zwischenschritte Ja ohne alle Zwischenschritte Fragen wir noch mal äh Chat GPT ob das auch stimmt Also einmal e hoch 4x und gucken wir mal So hier kommt alles So auf der homogeneous equation 3 und 2 ist richtig Partikuläre Lösung a mal e hoch 4x äh eingesetzt A = 1 allgemeine Lösung Alles richtig Okay alles da alles richtig funktioniert Also kann ich denn das so schön rauskopieren hier kopieren einsetzen Oh Oh Nee das sieht nicht gut Das sieht nicht gut aus Das machen wir rückgängig Okay Kontrolle mit Chat GPT Alles alles prima Zweites Beispiel Y2 - 5Y + 6y = 2 e hoch 2x Ja also sehen Sie mal das einzige was ich jetzt leicht verändert habe e hoch 4x e hoch 2x homogene Lösung ist die gleiche Ja braucht können wir abschreiben Also homogene Lösung wie oben Partikuläre Lösung yp von x = a mal e hoch 2x Ja Ableitung YP 2a hoch 2x und die zweite Ableitung yp2 gibt 4 hier y2 = 4e hoch 2x X in die DGL einsetzen Zweite [Musik] Ableitung 4a e hoch 2x -5 mal die erste Ableitung 5 mal die erste Ableitung ist 2a e hoch 2x So dann sechs mal die Funktion 6 x yp yp war ae mal gleich Störfunktion 2 e hoch 2x Oh was ist denn jetzt passiert was ist denn jetzt passiert 4a - 10a gibt -6a + 6a Da steht 0 = 2e hoch 2x Und da gibt's keine Lösung Ja also keine Lösung Uh sieht schon jemand was hier spezielles passiert ist Warum hat's vorhin so wunderbar funktioniert und warum funktioniert's jetzt nicht was ist ein E hoch 2x anders als ein E hoch äh Was hatten wir oben e hoch 4x Sie haben eine Idee Teile Genau E hoch 2x das ist unser Problem e hoch 2x ist bereits in der homogenen Lösung enthalten Ja also wenn ich die homogene Lösung hernehme und ich setze jetzt für C1 C1 ein und für C2 die 0 ae hoch 3x dann sehe ich ah nee unsere Störfunktion war 2e hoch 2x Entschuldigung 2e hoch 2x Ich muss also für C1 nicht 1 einsetzen sondern 2 Wenn ich hier also eine 2 einsetze für C1 dann kommt 2 e hoch 2x raus Also unsere Störfunktion ist bereits in der homogenen Lösung enthalten und das nennen wir Resonanz Also das wird als Resonanz bezeichnet wenn bei einer linearen Differentialgleichung mit Konstantenkoeffizienten spricht man von Resonanzfalls die Störfunktion in der allgemeinen Lösung enthalten ist Also das ist der Schlüssel Störfunktion in der allgemeinen Lösung der homogenen Differentialgleichung enthalten Das ist bei uns passiert So jetzt wissen wir aber erst was passiert ist warum es nicht funktioniert Ja das war der Grund warum es nicht funktioniert weil wir wissen ja wir brauchen mehr wie die homogene Lösung Ja wir brauchen irgendwas was mehr ist wie die homogene Lösung und mit dem Ansatz haben wir wieder nur eine homogene Lösung gefunden und äh deshalb hat's nicht funktioniert Und die Lösung lautet jetzt ähm Resonanzansatz Wir können das Problem lösen indem wir einfach mit x multipliziert mit x multiplizieren multipliziert man den Störansatz mit x Okay also zurück zu unserem Beispiel Das schauen wir uns an Beispiel ich schreib es gerade noch mal ab wie unser Beispiel war Unser Beispiel war y2 - 5 y2 -5 y + 6y = Störfunktion war 2 e hoch 2x und wir haben Resonanz ja Vergleiche oben Das haben wir gerade oben ausgerechnet dass da Resonanz da ist Und dann machen wir neuen Ansatz Y P von X ist a mal e hoch 2x und wir multiplizieren das mit einem X Das hat uns vorhin schon mal ja geholfen für die zweite Fundamentallösung Also einfach mal x und das hilft uns wieder um eine partikuläre Lösung zu finden Schauen wir mal wie es funktioniert Wir brauchen weder die Ableitung yp von X Oh jetzt Oh je Oh nee jetzt mus Produktregel haben wir uns aber was eingepruckt Ja Produktregel Ableitung von x gibt 1* a* e hoch 2x + x abschreiben a mal e hoch 2x ableiten also mal 2a e hoch 2x So und jetzt brauchen wir auch noch die zweite Ableitung Also Resonanz macht die Rechnung jetzt nicht einfacher Im Gegenteil also a* e hoch 2x die Ableitung gibt 2 A* E hoch 2x und wieder Produktregel Also die Ableitung von x gibt wieder einmal 2a e hoch 2x und dann das x abschreiben und hinten ableiten Da kommt noch mal ein Faktor 2 gibt also 4 m nee 4 a e hoch 2x Okay die zwei können wir noch zusammenfassen 2ae hoch 2x + 2ae hoch 2 x gibt 4a e hoch 2x So und dann setzen wir alles in die DGL ein Wir starten mit der zweiten Ableitung Die zweite Ableitung ist 4 e hoch 2x + 4x a mal e hoch 2x plus nee -5 mal die Funktion fünf mal die Funktion Die erste Ableitung nicht die Funktion Die erste Ableitung Die erste Ableitung ist a mal e hoch 2x + 2x a mal e hoch 2x So Und jetzt noch die Funktion selber Die Funktion selber + 6* x* a hoch e hoch 2x Das ist die Funktion selber yp und dann soll rauskommen 2e hoch 2x Okay also jetzt fassen wir zusammen Was können wir auf jeden Fall wir können e rauskürzen ex hoch 2x e hoch 2x e hoch 2x e hoch 2x e hoch 2x Das können wir schon mal rauskürzen So dann sortieren wir was hat x und was hat kein X also links steht 4a Vielleicht dur ich lieber farblich noch mal markieren Also das hat kein X das hat ein X das hat kein X das hat ein X und das hat ein X Also 4a - 5a das sind die gelben Ja die haben kein X Die anderen die haben alle ein X Also hier ein X ein X Die anderen sind also + 4 ax -10 ax + 6ax Und sehen Sie die grünen das ist das was wir vorhin schon mal da oben hatten Die grünen kürzen sich komplett raus die geben wieder null Ja der grüne Anteil der kürzt sich komplett raus Das ist auch gut so denn rechts steht ja nur noch eine zwei Also muss a 4a - 5a gibt -a a muss -2 sein A = -2 Jetzt passt's Und die partikuläre Lösung lautet yp = -2 das magische x mal e hoch 2x Jetzt haben wir es ausgerechnet bitte e hoch äh e hoch -2x Ah nee es war e hoch plus war immer e hoch + 2x E hoch + 2x Okay also jetzt haben wir gesehen wie es es mit der Resonanz funktioniert Was müssen wir also in Zukunft beachten wir machen immer einen Resonanztest Bevor man eine partikuläre Lösung einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten berechnet muss man unbedingt überprüfen ob Resonanz vorliegt Also Resonanz Eine lineare Differentialgleichung mit Konstantenkoeffizient kann man auf Resonanz überprüfen indem man der Störfunktion einen Eigenwert zuordnet und diesen Eigenwert mit den Eigenwerten der homogenen Differentialgleichung vergleicht ist der zugeordnete Eigenwert der Störfunktion auch ein Eigenwert der homogen Differentialgleichung Solid Resonanz vor Also man kann Eigenwerte vergleichen Ja gehen wir noch mal zurück Eigenwerte vergleichen hier Eigenwerte Hier haben wir die Eigenwerte Lambda 1 2 sind hier gibt's eine Übereinstimmung Dieser Eigenwert stimmt mit e hoch 2x überein und deshalb haben wir Resonanz Ja die zwei Wir hätten auch Resonanz bei e hoch 3x Wir haben bei e hoch 2x und bei e hoch 3x Resonanz aber nicht bei e hoch 4x Ja e hoch 4x war problemlos keine Resonanz Also hier 4 vergleiche mit 2 und 3 keine Resonanz Da geht nichts schief Keine Resonanz Frage wo füge ich da das X hinzu muss ich das bei allen einzeln also einmal befen ja wo man das x schon hinzugefügt hat ja zwei Stellenr okay den komplexen die Frage ist was mache ich wenn ich komplexe Eigenwerte habe wo füge ich dann das Resonanz X hinzu beim Cosinus und beim Sinus bei beiden Ja man multipliziert alles mit Und was mache ich wenn ich einen mehrfachen Eigenwert habe da habe ich ja sowieso schon äh ja ein X und dann kommt um alles eine Klammer rum und noch mal ein X vor alles auf Ja um alles herum noch mal ein X das ist die Frage Vielleicht machen wir noch so ein spezielles Beispiel Ich möchte aber jetzt noch mal meine Störansatztabelle meine Störansatztabelle jetzt einfach noch mal im Kompletten hier reinbringen Also die komplette Störansatztabelle die wir alle schon mit Beispielen angeschaut haben Also erstes Beispiel Polynom vom Grad N wird Polynom vom Grad N Ja das hatten wir schon Polynom zu Polynom Funktion Bei der E-Funktion bleibt das gleich Nur der Faktor ändert sich A und a Ja also der Rest bleibt gleich nur der Vorfaktor ändert sich bei der Schwingung Bei der Schwingung Cosinus und Sinus gibt's immer nur als Paar Cosinus Omega X sinus Omega X wird unverändert übertragen Nur der Vorfaktor A1 und A2 die können sich ändern A1 und A2 die können sich ändern Und wenn ich das jetzt noch kombiniere dann bleibt die Efunktion erhalten Der Cosinus bleibt erhalten der Sinus bleibt erhalten Efunktion bleibt erhalten Cosinus bleibt erhalten Sinus bleibt erhalten Nur die Koeffizienten Hier stehen irgendwelche Zahlen A1 und A2 und hier gibt's neue Zahlen groß A1 und groß A2 Also die grünen Werte sind die Werte die sich verändern und die roten Werte bleiben alle gleich Also hier noch mal die grünen Werte alle diese Zahlen können sich verändern Aber die Exponenten also x hoch n x hoch n bleibt gleich Polynom bleibt Polynom aber die Zahlen können sich verändern Also ein bisschen Zeit haben wir noch optimal Dann können wir noch mal das mit den Eigenwerten genauer anschauen Also wie sieht es aus mit den Eigenwerten wenn ich eine Exponentialfunktion habe hier eine Exponentialfunktion a* e hoch kx dann gehört da dazu der Eigenwert k Ja also k ist der Eigenwert und der steht in der E-Funktion Wenn ich Cosinus und Sinus habe mit einer bestimmten Kreisfrequenz Omega dann sind meine Eigenwerte plus oder - Omega i Reine Schwingung rein komplex Also das ist der Fall rein imaginär Rein imaginär kein Realteil Wenn ich eine Mischung habe wenn ich eine Mischung habe aus real und Imaginärteil dann bleibt die Frequenz im Cosinus un und im Sinus unverändert und den Realteil erkenne ich in der E-Funktion Also Realteil Efunktion imaginärteil landet bei Sinus und Cosinus So welcher Eigenwert gehört jetzt zu den Polynomen das habe ich übersprungen am Anfang Und die Polynome haben was ganz spezielles Das muss man sich einfach merken Polynome gehören zum Eigenwert null Also das was ganz spezielles das muss man sich einfach merken Polynome [Musik] gehören gehören zum Eigenwert 0 Ja wie wie ist das bei dem Polynom wie kann man das verstehen so ein Polynom könnte man sich auch so aufschreiben Dieses Polynom hier kann man auch so aufschreiben A0 mal e hoch 0x + a1x e hoch 0x Ja man sieht also wie das entsteht warum das ausgerechnet Eigenwert 0 ist weil e hoch 0x kann ich da quasi reintrixen Ja wir haben ja gesagt alle Lösungen sind e-Funktionen also auch e hoch 0x ist eine e Funktion und die ist aber sieht man nachher nichtmer ja das ist einfach nur ein Polynom das sieht man nicht So hier noch ein paar Beispiele Vielleicht können wir das noch mal zusammen anschauen Hier ist so alles zusammengefasst Ah ich lasse ihn ein bisschen Zeit zum Abschreiben und dann schauen wir die Beispiele an Okay also jetzt hier noch mal so eine Sammlung Die Beispiele sind jetzt hier alle aus dem Buch und eine ganze eine ganze Seite mit Beispielen Ist es so groß genug dass sie das lesen können ja geht es noch einigermaßen Die Online haben immer den Vorteil die können immer reinzoomen So aber ich zoom vielleicht auch mal auch mal rein Das ist vielleicht besser Ja ich mache das ich mache das doch ein bisschen größer noch mal Es geht ja noch alles auf eine Seite drauf So jetzt haben wir doch passiert Nein wo bin ich wo bin ich ah alles da Gott sei Dank So bisschen größer gemacht Gehen wir mal die Beispiele durch Ja links steht immer DGL dann stehen als zweites die charakteristische Gleichung Vielleicht noch mal farblich markieren Also das die zweite Linie ist immer die charakteristische Gleichung Charakteristische Gleichung charakteristische Gleichung charakteristische Gleichung charakteristische Gleichung charakteristische Gleichung charakteristische Gleichung Ja Das wissen Sie wie man das wie das funktioniert Das geht sehr einfach kann man direkt ablesen Dritte Zeile sind die Eigenwerte Die wurden da immer schon ausgerechnet Eigenwerte Eigenwerte Eigenwerte Eigenwerte Eigenwerte Eigenwert doppelter Eigenwert komplexer Eigenwert Und jetzt die Frage wann gibt es Resonanz wenn ich die Störfunktion e hoch -2x habe dann sehe ich jawohl das passt Hier gibt es also Resonanz weil -2 ein Eigenwert ist Bei e hoch 2x keine Resonanz Ja weil 2 ist nicht -2 das ist nicht gleich Und bei e hoch -2x cosinus x auch keine Resonanz Der Eigenwert hier also hier hätten wir die Eigenwerte -2 + oder - j Ja Realteil -2 imaginärteil 1 also keine Resonanz Nächstes Beispiel hier cosinus 3x Resonanz Sinus 3x Resonanz e hoch 3x cosinus 3x keine Resonanz weil der Eigenwert wäre hier 3 plus oder - 3J keine Resonanz Nächstes Beispiel Eigenwerte 3 und 4 Resonanz für die 3 Resonanz für die 4 e hoch -3x Keine Resonanz Ja Eigenwert ist +3 und nicht -3 Eigenwerte 1 und 2 einzige Resonanz bei e hoch x sonst keine Resonanz Eigenwerte 0 und -3 Resonanz für -3 Eigenwert 0 Resonanz für ein Polynom Ja Eigenwert 0 Resonanz Oh Eigenwert 0 Resonanz für Polynom Resonanz bei Polynom Jetzt kommen wir noch mal Die Frage hatten Sie vorhin was wird denn jetzt multipliziert mit x alles wird multipliziert Ja die ganze Klammer wird mit x multipliziert wegen Resonanz Doppelter Eigenwert -1 Doppelte Resonanz Doppelte Resonanz Doppelter Eigenwert Ja doppelter Eigenwert Doppelte Resonanz Doppelter Eigenwert doppelte Resonanz Bei e hoch + x keine Resonanz bei x und Polynom keine Resonanz Polynome haben nur Resonanz beim Eigenwert 0 Letztes Beispiel Eigenwert 2 +- 4i Resonanz genau in der ersten Zeile beim bei der Störfunktion e hoch 2x cosinus 4x Resonanz aber bei e hoch 2x alleine keine Resonanz weil der Eigenwert ist hier 2 aber unser Lambda 1 2 ist 2 +- 4i sin 4x auch keine Resonanz weil die E-Funktion fehlt Hier wäre der Eigenwert nur 4i Okay jetzt haben wir viele Beispiele gemacht Jetzt bleibt nur noch ein eine Kleinigkeit die möchte ich zum Schluss die letzten 10 Minuten noch mit Ihnen besprechen und zwar das Eulerverfahren würde ich gerne noch mit Ihnen besprechen weil das macht man später im Labor ausführlich Das ist unser letzter Laborversuch und das ist das Kapitel 1461 Das ist das Polygonzugverfahren von Euler Das mache ich jetzt mal nur ganz kurz Ich werde das im Labor ausführlicher machen ausführlicher im Labor So machen wir mal ein Beispiel Was ist eigentlich unsere Problemstellung unser Beispiel x² y + e hoch x sinus y = cosinus x Und ich starte mit y von 1 = 2 Wir nennen diese 1 hier das ist unser x0 also unser Stadtwert für x Und das 2 ist unser y0 das ist der Stadtwert für y Und das Problem das wir hier haben was ist eigentlich das Problem die DGL ist nicht linear Wir wissen also nicht wie wir sowas lösen sollen Nichtlinear Woran liegt's denn was macht denn das was macht denn das so nichtlinear was ist das Problem weshalb ist es nichtlinear welcher welcher Ausdruck macht unsere Schwierigkeit ja Der Koeffizient von y der Koeffizient vom y str sp spielt überhaupt keine Rolle Das ist das das hier würden wir als das hier würden wir als A1 von X bezeichnen wenn es linear wäre Was macht uns wirklich Schwierigkeiten das Sinus von der gesuchten Funktion Das macht uns wirklich Schwierigkeiten Das da das macht uns Schwierigkeiten das erzeugt nicht linear und deshalb versuchen wir numerische Nährungswerte zu berechnen Also berechne numerische Nährungswerte Wichtig sind hier es sind nur Nährungswerte keine exakten Werte nur Nährungswerte Ich zeige Ihnen dem Beispiel wie das geht Wir müssen es in die richtige Form bringen also erst erstens in die richtige Form bringen in richtige Form bringen Und die richtige Form das sieht man hier Wir müssen nach der ersten Ableitung auflösen Bei unserem Beispiel lautet es y² y = cosinus x - e hoch x sinus y und dann noch durch x² teilen Also y = cosinus x - e hoch x sinus y geteilt durch x² Und dann sagt uns diese Iterationsvorschrift wie man die neuen Werte berechnet Also wir berechnen x für k = 0 Wir starten mit k = 0 Dann rechnen wir Schlange heißt es ist ein Nährungswert und kein exakter Wert X1 Schlange = X0 Schlange + H mal so und dann diese Funktion und unsere Funktion lautet Cosinus von x0 - e hoch x0 Sin y0 0 geteilt durch x0² Jetzt müssen wir noch eine Schrittweite festlegen Was habe ich hier für eine Schrittweite festgelegt gar keine Ich versuche mal Ja was machen wir mal vielleicht Schrittweite festlegen Also man braucht immer so eine irgendwie einen kleinen Wert Ja 0,1 oder 0,01 wäre noch besser Machen wir mal 0,1 und Zahlenwerte einsetzen und dann kriegen wir x1 Schlange = X0 So X0 ist lange Wo starten wir wir haben gesagt x0 ist 1 plus Schrittweite 0,1 hoch cosinus von 1 x0 ist 1 - e hoch 1 mal Sinus von 2 geil durch x0 zum Quadrat Uh jetzt äh bräuchte irgendwie ein Taschenrechner um das auszurechnen Also das ergibt gleich ungefähr schreibe ich mal hin Punkt Punkt Punkt Cabor Das machen wir mit Python C Labor Ja jetzt würde man das mit Python machen und da würde man natürlich sehr kleine Schrittweite wählen H = 0,01 und dann würden wir nicht ein Schritt machen dann machen wir 1000 Schritte und dann haben wir die Lösung sehr sehr gut angenährt Okay also wünsche ihn viel Spaß Software Technik sehen wir uns am 2 gleich wieder und die ISB morgen früh um 8 und morgen früh 9:30 Uhr probbetestat veröffentlicht Ja da können Sie dann probieren Also bis nächste Woche