Ciao a tutti formidabili e bentornati sul mio canale didattico Diego Ti Spiego nella sezione della matematica. In questo video continueremo a vedere il piano cartesiano, in particolare studieremo la distanza tra due punti e il punto medio. Per affrontare le lezioni ti dovrai ricordare soltanto il teorema di Pitagora, che vedremo così brevemente perché ci servirà per trovare la forma della distanza tra due punti.
Se non l'hai ancora fatto iscriviti al suo benedetto canale oppure seguimi su Instagram e mi trovi come Diego Ti Spiego tutto attaccato. Vogliamo che capisci qualcosa, va? Cominciamo con questa nuova lezione, ragazzi, ancora sul piano cartesiano.
In questa lezione vedremo come calcolare la distanza tra due punti, di cui conosciamo le coordinate x e y, e come calcolare il punto medio tra questi due punti. Nello scorso video abbiamo visto come possiamo piazzare i punti sul piano cartesiano. Io ho dato questa coppia di punti a e b, 1, 5 e 1, 1, quindi andiamo a metterli sul piano.
E vediamo come calcolare la distanza. Allora, il punto a è 1, 5, quindi 1 sulle x. e 5 sulle y, quindi ecco piazzato qua il punto A.
Il punto B avrà la stessa x e y uguale a 1, quindi è piazzato qui. Ora vedete, questi due punti sono messi su una verticale e io voglio calcolare la distanza D che c'è fra questi due punti. In questo caso vi faccio notare che questi due punti hanno la stessa x, cioè lo stesso valore della scissa. Ora, un metodo che potreste utilizzare, ovviamente, ragazzi, è andare a contare i quadretti, no? Quindi da 1 a 5, vedete che ci sono 4 spazi, quindi la distanza tra quei due è 4. Ovviamente, però, noi non possiamo contare sempre sul fatto che le coordinate siano dei numeri interi, ma potrei avere delle frazioni o delle radici.
Quindi assolutamente non posso utilizzare il disegno sempre per andare a calcolare la distanza. Come posso fare, allora, per andare a calcolare la distanza tra due punti A e B quando questi due punti hanno la stessa x, cioè la stessa scissa. E vedete, mi basta fare una cosa. Mi basta calcolare la y del punto A e andare a toglierci la y del punto B.
Quindi che cosa devo fare? Devo fare semplicemente la differenza fra yA e yB. Ora non è detto che A sia sopra e B sia sotto, ma potrei avere il caso in cui B sta sopra e A sta sotto. Quindi quando vado a fare y a meno y b ottengo un numero negativo, però è una distanza e io so che le distanze non possono essere negative, quindi come posso ovviare a questa cosa?
Semplicemente metto il modulo, quindi se la quantità dentro mi viene per esempio 6, allora rimane 6, se mi viene meno 6 è comunque 6 perché è una distanza. Nel caso che abbiamo preso in esame, quindi quanto sarà la nostra distanza di A da B? Devo semplicemente prendere la y del punto A che è 5 e togliere la y del punto B.
punto B, che è 1. 5 meno 1 fa 4, non è un valore negativo, anche se fosse scriverei comunque 4, perché è modulo. Ora ragazzi, non è importante se la formula fate yA meno yB o yB meno yA, è la stessa identica cosa. Supponiamo adesso di voler calcolare la distanza tra altri due punti, il punto B che è quello di prima e il punto C, 4, 1. Quindi il punto C si troverà qui, perché devo fare 4 sulle X e 1 sulle Y. E ora vedete la distanza è questa. Cosa succede in questo caso?
Che questi due punti hanno la stessa y, quindi la distanza sarà semplicemente un segmento orizzontale che unisce il punto B al punto C. Ora ragazzi, per lo stesso ragionamento di prima, se prima la distanza di A da B si faceva come differenza delle y, ora la distanza di B da C si farà come differenza delle x. Attenzione, vedete che in questo caso io devo fare x di b meno x di c, sempre con il modulo perché quella distanza deve essere ovviamente positiva.
Come mi viene in questo caso la distanza di b da c? E vedete, mi viene x di b che vale 1 meno x di c che vale 4. In questo caso quindi ho modulo di meno 3. Il modulo di meno 3 però mi dice che devo togliere il meno e prendere la quantità positiva perché è una distanza. Supponiamo infine di voler calcolare la distanza di A da C.
Quindi vedete adesso voglio calcolare questa distanza qui. Ora quei due punti non sono né posizionati su un orizzontale né posizionati su una verticale. Come posso fare a calcolare quella distanza?
Beh guardate che cosa ho disegnato io alla fine. Ho disegnato un triangolo rettangolo. E quale famoso teorema che avete visto alle medie possiamo applicare per il triangolo rettangolo? Possiamo applicare il teorema di Pitagora. Che cosa ci dice il teorema di Pitagora?
Ci dice che il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Quindi posso fare AC al quadrato uguale a B al quadrato più BC al quadrato. Se tolgo il quadrato su AC posso scrivere che AC è uguale alla radice di BC al quadrato più AB al quadrato.
E io ho scritto una bellissima formula sia per BC che per AB. Quindi che cosa mi viene fuori? Che AC è uguale alla radice di che cosa?
Di BC, che sarebbe xB meno xC al quadrato, più AB che sarebbe yA meno yB al quadrato. Ora ragazzi, vedete, lì ci sono le coordinate, però non ci sono le coordinate di A e C. Mi basta semplicemente osservare che in realtà la coordinata x del punto B è uguale alla coordinata x del punto A e che la coordinata y del punto B è uguale alla coordinata y del punto C.
Quale sarà quindi la distanza tra i nostri due punti AC? sarà radice di x di a meno x di c al quadrato, ma potete fare anche x di c meno x di a al quadrato, y di a meno y di c al quadrato. Se fate x di c meno x di a, poi dovete fare y di c meno y di a.
Ho tolto il modulo perché quando elevo al quadrato il modulo lo posso non considerare. Come viene quindi nel nostro caso? x a meno x c sarebbe 1 meno 4 al quadrato più y a, che è 5 meno 1 al quadrato. Cosa otteniamo quindi? Meno 3 al quadrato che fa 9 più 4 al quadrato che fa 16, 9 più 16 25, radice di 25. Il risultato è un bellissimo 5, quindi questa distanza qua fa proprio 5. E questa ragazzi non è nient'altro che la formula generale per andare a calcolare la distanza fra due punti.
La posso applicare quando i due punti sono sull'orizzontale e sulla verticale? certamente perché se hanno la stessa x si toglierà questo e otterrò quindi la radice quadrata di y a meno yc al quadrato che se ne va, mi dà quindi y a meno yc. Se invece hanno la stessa y, quindi si trovano sull'orizzontale, questo numero se ne andrà, perché se hanno la stessa y, y a meno yc sarà 0. Quindi in buona sostanza non c'è bisogno di ricordare necessariamente questa e questa, se voglio utilizzare quella formula lì, la posso utilizzare sempre.
Applichiamo questa formula che abbiamo ricavato alla distanza tra questi due punti a 3,5 e 1 e b 0,5. Se volessi andare a piazzarli sul piano, 3,5 è 1,5, quindi il punto a si trova qui, esattamente, il punto p è 0,5, quindi si trova qui, sull'asse delle y. Voglio quindi trovare questa distanza, cioè la misura di quel segmento ab.
Cosa devo fare, quindi? Devo scrivere che ab è uguale alla radice di che cosa? Di xdb. che è 0, meno x di a, che è 3 mezzi, il tutto al quadrato, più y di b, che è meno un mezzo, meno y di a, che è 1, il tutto al quadrato.
Quindi ottengo che cosa? Meno 3 mezzi al quadrato, che fa 9 quarti, meno un mezzo meno 1, che fa meno 3 mezzi di nuovo, al quadrato fa 9 quarti Mi raccomando, non mi scrivete che fa 3 mezzi più 3 mezzi, eh, lì non potete separare la radice perché in mezzo c'è questo fantastico più. Lì dovete fare la somma, il minimo comune multiplo è 4, 9 più 9, 18 radice.
Se volete dividete per 2, quindi ottenete 9 mezzi. Il mio risultato è radice di 9 mezzi, che se avete visto i radicali fa 3 fratto radice di 2, ovvero... 3 radice di 2 su 2 se vado a razionalizzare, altrimenti rimane radice di 9 mezzi, eh, nessun problema.
Per finire, ragazzi, vediamo un'altra formuletta importante e molto facile che è la formula per calcolare il punto medio. Che cos'è il punto medio? È il punto che sta a metà tra due punti. Quindi se io unisco due punti, per esempio, di coordinate meno 1, 2 e b di coordinate 4, 5, voglio trovare il punto che si trova esattamente a metà del segmento AB.
Mi raccomando ragazzi, il punto medio è un punto, quindi io non sto calcolando una lunghezza, sto calcolando delle coordinate. Quindi devo trovare una x per il punto medio e una y per il punto medio. Se andassi a piazzare questi due punti sul piano cartesiano otterrei questo segmento qui. Quindi vedete, sostanzialmente voglio trovare questo punto qua M che sta a metà.
Ora non mi posso fidare del disegno per trovare le coordinate, vedete, diciamo che sono più o meno lì. Adesso però le troviamo con precisione. Come si calcolano le coordinate del punto medio? Ebbè, come si calcola la media di qualsiasi materia che voi studiate? Facciamo finta quindi che questo è il voto di matematica, meno 1, e questo è il voto di fisica per quanto riguarda il primo quadrimestre.
E questo è il voto di matematica e questo è il voto di fisica per quanto riguarda il secondo quadrimestre. Facciamo che voglio fare la media di tutti i voti. Quindi cosa devo fare?
Non posso mica mischiare matematica con fisica. Quindi farò xa più xb fratto 2 per calcolare la media di matematica. e yA più yB fratto 2 per calcolare la media di fisica.
Quindi vedete che cosa ottengo nel mio caso. Ottengo meno 1 più 4 fratto 2, cioè ottengo 3 mezzi, quindi avete una bellissima media di 1,5 in matematica, mentre in fisica avete 2 più 5 fratto 2, cioè avete 7 mezzi, ovvero 3,5. Ve la cavate meglio. Quindi vedete, se vado a piazzare questo punto sul piano cartesiano, un mezzo è qua, sette mezzi è qua, e guardate l'ho beccato proprio giusto giusto. Quindi queste due qua sono le formule per calcolare le coordinate del punto medio.
Supponiamo però adesso che vi dia un esercizio differente, cioè vi dia il punto A e il punto medio, e voglio trovare il punto B. Quindi qual è il concetto? Io vi do il punto A, vi do anche il punto medio. voglio trovare sostanzialmente il punto B che sta dall'altra parte rispetto al punto medio.
Cosa dovrò fare quindi? Dovrò prendere queste formule qua e fare la formula inversa, perché da lì io conosco la x del punto medio e la y del punto medio, voglio andare a calcolare la x del punto B e la y del punto B. Quali sono le formule inverse quindi?
La x del punto B sarà due volte la x del punto medio meno la x del punto A, Mentre la y del punto B sarà 2 volte la y del punto medio meno la y del punto A. Cosa ottengo quindi nel mio caso? 2 volte la x del punto medio che è meno 4, quindi 2 per meno 4 è meno 8, meno la x del punto A che è 5. Quindi ottengo meno 8 meno 5 meno 13. Per quanto riguarda invece la y del punto B, ottengo 2 volte la y del punto medio che è 3, meno la y del punto A, che è 2, quindi ottengo 6 meno 2, 4. E questa formula inversa, ragazzi, tenetele a mente perché vi può servire in qualche esercizio. Con questa lezione abbiamo concluso, ragazzi.
Nel prossimo video faremo o degli esercizi applicativi su questa cosa o cominceremo a fare la retta. Non ho ancora deciso, comunque vedremo con calma poi. Grazie per avermi seguito anche oggi e alla prossima.
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Grazie e alla prossima lezione da Diego ti spiego.