Ruutvõrrandi lahendamine

Ruutvõrrandi üldkuju

• Võrrand: (Ax^2 + Bx + C = 0)
• (A \neq 0)
• Kasutatakse lahendusvalemit: [ x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} ]
• Diskriminant ((D = B^2 - 4AC)) määrab lahendite arvu:
  • (D > 0) – kaks erinevat lahendit
  • (D = 0) – kaks võrdset lahendit
  • (D < 0) – lahendid puuduvad_

Näide 1: Esimese astme ruutvõrrand

• Võrrand: (6x^2 - 7x - 3 = 0)
• Koefitsiendid: (A = 6, B = -7, C = -3)
• Diskriminandi arvutamine: [ D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) ] [ D = 49 + 72 ] [ D = 121 ]
• Lahendid: [ x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{121}}{12} ] [ x_1 = \frac{7 + 11}{12} = 1.5 ] [ x_2 = \frac{7 - 11}{12} = -\frac{1}{3} ]
• Lahendite kontrollimine (keerulisem protsessiga):_

Näide 2: Teise astme ruutvõrrand

• Võrrand: (3x^2 + 10x - 25 = 0)
• Koefitsiendid: (A = 3, B = 10, C = -25)
• Diskriminandi arvutamine: [ D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-25) ] [ D = 100 + 300 ] [ D = 400 ]
• Lahendid: [ x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{400}}{6} ] [ x_1 = \frac{-10 + 20}{6} = \frac{5}{3} ] [ x_2 = \frac{-10 - 20}{6} = -5 ]
• Lahendite kontroll, kirjalik protsess eksami puhul oluline._

Näide 3: Kolme teguriga korrutis

• Võrrand: ((x + 3)(2x - \frac{1}{2}) = 0)
• Lahendid:
  • (x_1 = -3)
  • (x_2 = \frac{1}{4})
• Kontrollimist lihtsam teha.

Näide 4: Keerulisem ruutvõrrand

• Võrrand: (x^2 - 10x + 3x^2 - 20 = 0)
• Lihtsustamine: [ 3x^2 + 6x - 10 = 0 ]
• Jaga pooli 2-ga: [ \frac{3x^2 + 6x - 10}{2} = 0 ]
• Diskriminant ja lahenditev valem.

Viimane näide: Lahendite puudumine

• Võrrand: ((x - 2)^2 + (x + 2)^2 = 0)
• Rakendame: vahe ja summa ruudu valemeid
• Lahendamine toob välja: [ 8x^2 - 4 = 0 ] [ x^2 = -\frac{1}{2} ]
• Negatiivne väärtus ei anna reaalarvudest lahendeid.