פתרון בגרות מתמטיקה - שאלון 481 חורף 2024

הקדמה

• נעלם: בהגדרת בעיות עם נעלם (למשל מהירות x), יש להגדיר מראש את הנעלם.
• הסרטות וטבלה: נבצע הבנה ראשונית של הבעיה בסרטוטים, ולאחר מכן נזין נתונים לטבלה שתסייע בהגדרת המשוואה.

שאלה 1: בעיית מרחקים

• נתונים:
  • מרחק בין A ל-B: 12 ק"מ, C באמצע הדרך.
  • איתמר ומהירותו קבועה מ-A ל-B (נקרא x).
  • ניר הולך מ-A ל-B במהירות x+2, וחוזר מ-B ל-C במהירות x.
• משוואות:
  • זמן ההליכה של איתמר: ( \frac{12}{x} )
  • זמן ההליכה של ניר: ( \frac{12}{x+2} + \frac{6}{x} )
  • נתון: איתמר סיים חצי שעה לפני ניר בהגעה ל-C.
• פתרון:
  • מציאת מהירות איתמר דרך משוואה: x=4 (מהירות קטנה מ-5).
  • זמנים:
    • איתמר: 2 שעות
    • ניר: 2 שעות מ-A ל-B, פגישה עם איתמר ב-10:30.

שאלה 2: מעגלים

• נתונים:
  • מעגל שמשיק לציר ה-x בנקודה (a=(8,0)).
  • חיתוך עם ציר y ב-(d=(0,16)) ו-(b=(0,4)).
• מסקנות:
  • מרכז המעגל בנקודה ((8,10)).
  • משוואת המעגל: ((x-8)^2 + (y-10)^2 = 100).
  • חיתוך עם הציר y בנקודות ((0,16)) ו-((0,4)).

שאלה 3: הסתברות

• תיאור בעץ הסתברויות:
  • קליה ראשונה: ( \frac{4}{5} )
  • קליה לאחר קליה: ( \frac{3}{4} )
  • קליה לאחר החטאה: ( \frac{3}{5} )
• חישובים:
  • הסתברות להחטאה ראשונה וקליה שנייה: ( \frac{3}{25} )
  • קליה פעם אחת לפחות: ( \frac{23}{25} )
  • קליה פעם אחת בדיוק מתוך הידוע: ( \frac{8}{23} )
• דני:
  • הסתברות קליה בכל ניסיון: p או (1-p).
  • מציאת p: (p = \frac{4}{5}) או (p = \frac{1}{5}).

שאלה 4: גיאומטריה

• נתונים:
  • משולש ABC, BC קוטר.
  • AC שווה ל-AG, זוויות שוות במשולש ישר זווית.
• הוכחות ודמיון:
  • הוכחת זוויות בסיס שוות במשולש שווה שוקיים.
  • דמיון משולשים לפי זוויות.
• חישובי אורכים:
  • AC = 3.5

שאלה 5: טריגונומטריה

• נתונים:
  • משולש שווה צלעות ABC חסום במעגל.
  • רדיוס המעגל: 17.
• חישובים:
  • AC לפי סינוסים: 17√3.
  • AD באמצעות קוסינוסים.
  • זווית CAD: 20.3°
• הסקת מסקנות גיאומטריות:
  • שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים למציאת אורכי צלעות וזוויות.

שאלה 6: פונקציה נגזרת

• תחום הגדרה: ( x \neq \pm 3 )
• אסימפטוטות: x=3, x=-3.
• נקודות קיצון: x=0 (מקסימום).
• תחומי עלייה וירידה: ניתוח לפי נגזרת.
• בחירת פונקציה fx: ביטוי 3.
• חיתוך צירים: מציאת חיתוכים ל-x ול-y.
• שטח מוגבל: חישוב אינטגרל בין גרף הנגזרת ל-x=2.

שאלה 7: חקירת שורש

• תחום הגדרה: ( x \leq 5 )
• חיתוך צירים: x=0, x=5.
• נקודות קיצון: x=0 ו-x=4, ניתוח לפי נגזרת.
• הזזה אנכית ומגע עם y=20: מציאת c לפי ההבדל בערך המקסימום.

שאלה 8: בעיית קיצון גרפית

• אסימפטוטות: x=1, y=2.
• מלבן במינימום: ביטוי היקף, ניתוח לפי נגזרת.
• שטח מלבן: חישוב שטח בעזרת אורכים בנקודה מינימלית.

סיכום

פתרונות כוללים ניתוח בעיות בכלים מתמטיים שונים כמו גיאומטריה, הסתברות, וטריגונומטריה, תוך שימוש באסימפטוטות, נגזרות, ושורשים להשלמת התמונה הכוללת.