פתרון בגרות מלא שאלון 481 חורף 2024 שאלה מספר אחת לפני שאנחנו מתחילים את השאלה בואו נדבר על כמה דגשים חשובים הדגש הראשון הוא שאנחנו עובדים עם נעלם למשל x אנחנו רוצים להגדיר אותו בתחילת השאלה למשל אם אנחנו קבענו שמהירות ההליכה של איתמר היא x אנחנו רוצים לציין מראש שי זה המהירות הליכה של איתמר מעבר לזה אנחנו קודם כל ננסה להבין מה מתר לפי הסרטות אחר כך נזין את כל המלה לתוך הטבלה מהטבלה אנחנו נוציא איזשהי משוואה שתעזור לנו לגלות את הנעלם שאנחנו מחפשים עכשיו בואו נראה מה הם רוצים מאיתנו הישובים a ו b נמצאים במרחק 12 קילומטרים זה מזה הישוב סי נמצא באמצע הדרך אז כאן יש לנו שש וכאן יש לנו שש איתמר וניר יצאו להליכה בשעה 8 בבוקר איתמר הלך במהירות קבועה מ a ל b אולי אפילו במקביל נכניס כבר לתוך הטבלה של המהירות זמן דרך את הנתונים אז בואו נכניס את זה פנימה יש לנו את זה כאן ובעצם אנחנו נזין את זה במקביל אנחנו כמובן רוצים להבין מה קורה אבל אנחנו לאט לאט נכניס את הנתונים ונעבוד מסודר אז בואו נראה מה קורה פה אז אני רואה שאיתמר וניר יצאו להליכה בשעה 8 בבוקר איתמר הלך במהירות קבוע מא ל b אז סימנו בשרטוט שלנו מ a ל b 8 בבוקר וניר הלך מיישוב a ל b ומיד כשהגיע לישוב b חזר לישוב c אז קודם כל יש לנו את התמר ויש לנו את ניר בואו נגדיר את ניר ורוד אז ניר הגיע ל b וחזר לס כלומר אנחנו מבינים שבעצם ניר עשה יותר מ-12 קילומטר הוא עשה ש אוקיי אז המהירות של ניר בדרך ליישוב b היייתה גדולה בשתי קמש מן המהירות של איתמר אז בואו נגדיר פה נגיד איתמר מהירות x וניר מ a ל b כמובן וניר מ a ל b זה x + 2 והמהירות של ניר בדרך חזרה מן הישוב b עד לישוב c כלומר מ כאן עד לכאן היייתה שווה למהירות של איתמר כלומר אנחנו רואים שניר מב ל c המהירות הייתה x אוקיי אז אנחנו עובדים מסודר אנחנו עובדים ליד אנחנו משבצים את הכל ואם אנחנו נעבוד בצורה מסודרת דברים אמורים להסתדר יחסית בצורה מהירה ופשוטה אוקיי אז המהירות של ניר בדרך חזרה אמרנו הייתה שווה למהירות של איתמר ואז אומרים איתמר הגיע אל הישוב b חצי שעה לפני שהגיע ניר אל הישוב c איתמר הלך רק מא עד b כלומר הוא עשה סך הכל 12 קילומטר אז איתמר עשה את זה ולכן הזמן שהוא הלך היה דרך חלקי מהירות שווה זמן אז יש לנו כאן 12 חלקי x ניר עשה דרך של 12 עד b כלומר ניר הגיע מכאן עד לכאן אבל במהירות גבוהה משתי מהמהירות של איתמר אז זה 12 חלק x + 2 ואז מ b ל c אני מזכיר לכם אתם יודעים אני אפילו אשים לנו כאן את ה שרטוט לידינו שיהיה יותר נוח הוא נמצא כאן אז אנחנו רואים שמ b ל c הוא עשה רק 6ה קילומטר במהירות במהירות של איתמר אז כאן זה 6 חלקי x עכשיו אנחנו בעצם רוצים לבנות איזשהיא משוואה ומשוואה הזאת כרגע תהיה שוויון בין הזמנים הזמנים לא באמת שווים כרגע כי אני יודע שאיתמר הזמן ש את המלך לא שווה לזמן שניר הלך ניר הלך את הזמן הזה עד ל b ואז מ b ל c את הזמן הזה ואיתמר הלך רק את הזמן הזה מ ל b אבל אמרו לנו לצורך ההשוואה כדי שנוכל ליצר משוה איתמר הגיע אל הישוב b חצי שעה לפני שהגיע ניר כלומר הזמן ששה איתמר היה חצי שעה פחות מהזמן שהשה ניר אז אנחנו יכולים לרשום כאן פוס חצי יפה עכשיו יש לנו משוואה של הזמן של איתמר פלוס חצי שעה שזה משווה אותנו לזמן של ניר אני אסביר לכם רגע למה הוספתי כאן את החצי כי אם למשל איתמר לפני החצי נניח הלך ארב שעות בגלל שהוא הלך חצי שעה פחות אז למשל כאן אמור להיות לנו 4 וחצ ואנחנו רוצים להשוות את המשווע אז אנחנו נותנים למסכן נגיד כאן פלוס חצי זה למה הוספתי את החצי לכאן כדי שזה יהיה שווה עכשיו א אני רוצה להקל על עצמי מבחינת המשווה אז תראו מה אני אעשה אתם לא חיייבים לעשות את זה אבל אני כן יכול להעביר את זה לפה כי שימו לב למספר 6 חלקי x ו-12 חלקי x יש את אותו מכנה אז אני יכול לחבר אותם אז אם למשל אני אעשה מינוס 6 חלקי x אז כאן פשוט יהיה לי 6 חלקי x שוב זה לא חובה זה לא כזה קריטי סתם מבחינת הטכניקה ואלגברה להקל על עצמי ועכשיו אני רוצה להכפיל בכל המכנים כדי להיפטר מהמכנה אז אני מכפיל בשתיים אני מכפיל ב x אני מכפיל ב x + 2 וכל אחד אני נותן מה שחסר לו כאן יש לו את הש אז הש מצטמצם ונשאר ה x ו + 2 כאן יש לי את ה-2 ו x + 2 וכאן יש לי את ה2 א עכשיו אנחנו ממשיכים x * x + 2 ובמקרים האלה אנחנו 6 * 2 זה 12 במקרים האלה בעצם מה שאנחנו מקווים זה לקבל בסוף איזשהי תוצאה יפה אוקיי אז יש לי כאן x בריב וו 2x 12x + 24 ש 24x אוקיי בואו נסדר את זה + 14x + 24 ש 24x אני מעביר את ה-24 x אגף x בריבוע - 10x + 24 ש ל0 וקיבלנו מ-6 ו x - 4 -6 מ-4 כמובן יתן לנו 24 והפתרונות יכולים להיות או ש או ארב עכשיו בואו נראה מי מה מתאים לנו מצאו את מהירות ההליכה של איתמר אם נתון כי המהירות שלו קטנה מחמש קמש אז איתמר מן הסתם הא שחיפשנו שזה המהירות של איתמר חייב להיות ארב ולא יכול להיות שש מה שמחזק גם את זה שאנחנו צודקים כי קיבלנו בעצם תשובה שנפסלה אז כאן זה ארב כאן זה אב כאן זה ש נכון הא הוא 4 א אוקיי אז למשל חל 4 זה יהיה ש 12 חלקי אזה שעתיים ושחל 4 זה א ח סתם מיליתי את מילאתי את הנתונים אוקיי בוא נראה מה הם אומרים לנו פה ב מצאו באיזה שעה הגיע ניר לישוב b אוקיי אז אנחנו יודעים כי הוא יצא ב8 בבוקר נכון איתמר וניר יצאו באותו זמן איתמר וניר יצו להליכה בשעה 8 בבוקר כן ואני יודע שניר עשה את כל 12 קילומטר במהירות של שש אז זה חלקי זה משאיר אותנו עם הזמן של שעתיים כלומר מ a ל b יצא לנו שתיים ולכן הוא הגיע ב10 בבוקר אוקיי כאשר היה ניר בדרכו חזרה לישוב c הוא פגש את איתמר מצאו באיזו שעה נפגשו ניר ואיתמר אוקיי אז בואו קודם כל ניר בדרכו היה חזרה ליישוב סיז אני רוצה לייצר איזשהי נקודת פתיחה בואו נראה אנחנו יודעים שבשעה 10 בבוקר א בוא נרשום פה a נרשום פה b עכשיו בשעה 10 בבוקר כאן כבר היה ניר אז בואו נבדוק איפה היה איתמר ב ב10 בבוקר אז אני יודע שהמהירות של איתמר היא ארבע קמש אז בואו נרשום פה איתמר שעתיים כלומר כי הוא הלך שעתי מ8 בבוקר עד 10 בבוקר א אז הוא עשה סך הכל 8ה קילומטרים אז איתמר רמד פה שימו לב הוא עבר את השש כלומר הוא עבר את הנקודה c והוא עשה עוד שתיים אז הוא עשה שמונה מתוך הדרך המלאה שהיא 12 כלומר כרגע המרחק בין אי תמר לניר הוא 4 קילומטר אוקיי אז בואו נראה מה יש לנו כאן אז יש לנו מהירות זמן דרך ו רגע אני יודע שהמהירות של ניר בחזור היא ארבע כי היא יותר איטית בשתי קילומטרים והמהירות של איתמר תמיד 4ר מדרך לא ל b הזמן שהם יצאו הרי שתיהם היו ב-10 בבוקר ושימו לב מה שואלים אותנו שאלו אותנו מצאו באיזה שעה נפגשו ניר ואיתמר עכשיו אני יודע ש שתיהם עמדו בנקודות שאני ציינתי כאן וכאן ב-10 בבוקר כאשר המרחק בינם או 4ב קילומטר אז הם יצאו באותו זמן נפגשו באותו זמן מבחינתי הם הלכו את אותו זמן אז הוא עשה 4x דרך הוא עשה 4x דרך וסך הכל ביחד הם עשו אמרנו 4 קילומטרים אז כל זה שווה ל4 אז הדרך שניר סה ועוד הדרך שאיתמר סה סך הכל שווה ל 4ב 8x שוה ל4 ולכן עברה חצי שעה אז מ-10 בבוקר עברנו חצי שעה מצאו באיזה שעם נפגשו ב10 וח וסיימנו את השאלה הראשונה המשכנו לשאלה מספר שתיים מעגל שמרכזו m משיק לציר ה x בנקודה a אז קודם כל מעגל שמשיק לציר ה x אז בין רדיוס למשיק יש 90 מעלות ה y הוא אפס דרך אגב זה אומר גם שהא כאן יהיה שווה ל x כאן כי הלינו רק עם הוים אז האקסים לא משתנים כי אנחנו עולים במקביל את ציר ה y אוקיי אז אני יודע את זה בינתיים רק מנטון הראשון הנקודה o היא ראשית הצירים המעגל חותך את ציר ה בנק נקודות b ו d כלומר אני יודע שהא הוא אפס ה x הוא פ a זה 80 ו d זה 01 אז כמו שאמרנו מקודם ה x לא משתנה כי שאנחנו עולים רק ה y משתנה ולכן כאן זה ש א ומה הם אומרים לנו מצאו את שורי הנקודה m עכשיו כמובן שזה רדיוס זה רדיוס זה רדיוס אז למשל אם אני רוצה יכול להגדיר את זה כר כי אני יודע שהמרחק מאפס כלומר אני יודע מההיקף למרכז מגל זה רדיוס ואם אנחנו נביע את זה כר אז גם זה r כי עלינו מקומה אפס r קומות למעלה וזה r גם זה r דרך אגב אז עכשיו אני חושב שזה זה הסעיף מוקה של השאלה הזאת זה סעיף טיפה קשה אבל בשביל למצוא את שעורי הנקודה m בעצם אנחנו רוצים לגלות את ה y של m אז מה שאני יכול לעשות יש לי נקודה שמו בץ על ידי r יש לי נקודה ואני יודע שהמרחק ביניהם הוא r אז בואו נעשה distance ה distance בין d למ הוא רדיוס והוא שווה ל בואו נעשה x פ x 8 - 0 בריבוע זה פחות זה ועוד r - 16 בריבוע זה פחות זה y - y נכון על פי הנוסחה x1 - x2 בריוד y1 פ y2 בריב יופי אז אני רוצה להעלות את הכל בריבוע כי אני לא רוצה לעבוד עם שורש אז יש לי רדיוס בריבוע שווה ל 8 פ 0 בריבוע זה 8 בריבוע וכאן אנחנו יכולים לפת לפתוח לפי כפל מקוצר כמובן שאם אתם לא זוכים כפל מקוצר אתם יכולים ככה אבל אפשר אני אפתח לפי כפל מקוצר 256 אוקיי זה וזה מצטמצם אני רוצה להעביר את ה-32 r אגף ונשארתי עם 64 256 אזה יוצא 260 60 320 יופי הרדיוס הוא 10 ופתר גם את זה אז אם אם נסכם רגע מה עשינו פה אז אני רציתי למצוא איזשהיא דרך להביע את הנקודה אז קודם כל גילינו את האי כי אנחנו יודעים ש x שווה ל x אחרי שעשינו את זה אני חיפשתי דרך הרי אנחנו גילינו שהמ ק הזה הוא r ולכן גם המרחק הזה הוא r בגלל ש הרדיוסים במעגל שווים זה לזה ואז אמרתי אני יכול להביע את המרחק באמצעות שתי הנקודות האלה בדיסטנס ולהביע את המרחק בשתי דרכים שונות פעם אחת באמצעות הרדיוס ופעם אחת באמצעות הדנ ואז צד שמאל שווה בהכרח לצד ימין ואז אני משווה אותם פותר משווע ומגיע לרדיוס יפה אז עכשיו אני ודע את הרדיוס ואני יכול כבר לומר שהרדיוס שווה 10 ואני גם מכאן יכול לדעת את משוואת המעגל כי מעבר לזה ששיעור הנקודה m הי 81 אני יכול לומר שמרכז המעגל על פי נוסחת נוסחה של משוואת מעגל בוא אני ארשום לכם פה y - b בריבוע שוה ל r בריבוע אז אם אני יודע שהמרכז הוא 8 10 אז אני ארשום מינו ש מי 10 שווה לרדיוס בריבוע 100 אז מצאנו גם את זה ומצאנו גם את זה ולגבי הנקודה b בואו נסתכל על הנקודה b א באופן עקרוני אני יכול לנחש על פי סימטריה יש דרך להגיע לזה גיאומטריית אבל אנחנו לא נעבוד באמת ככה אנחנו נפתור את זה עוד רגע מסודר אבל אם 16 ל10 ירדנו שש אז גם פה אנחנו נרד שש אני כבר יודע שזה ארבע אבל בואו נניח שאנחנו לא יודעים ובעצם מה שאנחנו רוצים לעשות זה למצוא הרי את הנקודת חיתוך של המעגל עם ציר הא כי ה א כן הוא אז אני פשוט יכול לקחת את משוואת המעגל ולהציב ב x א ואנחנו נרצה לעבוד בצורה שאלברט תהיה לנו פשוטה אז בואו נציב פה קודם כל ב x אפ נשווה ל100 זה יוצא 64 עכשיו כמובן שאפשר לפתוח סוגריים להעביר הכל לאותו הגף אין עם זה שום בעיה אני מאוד אוהב לעבוד ככה כלומר לקחת את ה y מ 10 בריבוע שווה ל100 ח 64 וכמו שאנחנו יכולים לומר x בריבוע שוה 36 ולעשות שורש ולכן זה שווה פלוס מינוס ש את אותה פעולה בדיוק אנחנו יכולים לעשות פה הרי שאנחנו עושים שורש יש לנו פעם אחת פלוס לאחד הצדדים לצד שנבחר ופעם אחת מינוס כמו פה פלוס מינוס ש אז או ש y ש 16 או מ-6 + 10 זה 4 עכשיו אם תשימו לב שתי הים 4 ו-16 זה בדיוק הוים שפה 16 ו4 שאמרנו שנקבל אז מן הסתם 16 שייכת ל d שייך ל d ולכן כאן יש לנו ארבע יופי אז מצאנו את b הנקודה c נמצאת על המעגל כך ש bc הוא קוטר עכשיו שאומרים לנו קוטר באנליטית זאת רמיזה לזה שאנחנו לרוב צריכים לעשות אמצע קטע גם יכול להיות שמציינים קוטר בשיל שיפוע הופכי ונגדי אבל קוטר מאוד חזק באמצע קטע כי המרכז מעגל תמיד נמצא באמצע אז למשל אנחנו יכולים לעשות נוסחה ולומר נגיד אם זה x של c אז x של c+ 0 חלקי 2 כלומר זה ועוד זה חלקי 2 שו ל8 xc חלק 2 ש 8 ו xc ש 16 באותו אופן בדיוק אני יכול לעשות yc ולעשות את אותה פעולה בדיוק אינטואיטיבית אנחנו יכולים לראות סתכלו מאפס לשמנה עלינו שמנה אז כמובן שאנחנו נעלה עוד 8 ל-16 מ4 ל10 עלינו 6 אז אנחנו נעלה עוד 6 ל16 אבל זאת לא דרך מקובלת במבחן ומן הסתם אנחנו צריכים לעבוד על פי נוסחה אז גם כאן למשל אני אעשה yc + 4 כלומר זה פלוס זה סליחה זה פוס 4 חלקי 2 ש 10 yc + 4 ש 20 כי כפלתי פ2 ו yc ש 16 יופי אז הגענו לזה מצוין גילינו את הנקודה c דרך הנקודה c העבירו משיק למעגל אז יש לנו גם שיפוע הופכי ונגדי אז בוא רגע נחשב את השיפוע רגע בוא נשים את זה כבר אולי פה בנפרד בוא נרד לכאן יפה ואני רוצה עכשיו לגלות את השיפוע של bc של הרדיוס אז יש לי כאן בעצם y פח y חלק x פ x זה 12 16 זה שוש רבעים אבל אני רוצה את השיפוע של המשיק אז אם השיפוע כאן הוא שלושה רבעים השיפוע פה יהיה הופכי ונגדי י4 חלק3 אז יש לנו בעצם השיפוע של המשיק הוא מ-4 חלק3 וזה עובר בנקודה 161 אז בואו נעבוד על פי נוסחה y - y שו ל-43 x - x y - 16 ש ל4 3x + 64 חלק3 נעביר את ה-16 אגף שוו -4 חלק 3x + 643 + 16 רק בוא נחשב את זה y ש -4 חלק 3x + 373 אוקיי אז זה 0373 אם למשל הייתי דרך אגב רוצה למצוא את הנקודה טוב האמת שאני עוד לא יודע אם אני רוצה את e אבל בינתיים יש לנו את משוועת המשיק ובואו נתקדם לסעיף הבא שאלה קצת ארוכה יחסית לשאלות אנליטית אז מצאנו את משוואת המשיק והם שואלים אותנו האם הנקודה c היא מרכז ה גל החוסם את המשולש efo אז בואו נסמן לנו מעגל efo זה כאן עכשיו בדרך כלל שהם נותנים לנו מרכז מגל הדרך שלנו למצוא אותו זה בעצם הרי כאן ראשית הצירים מ90 מעלות וזווית היקפית שהיא 90 מעלות היא תמיד נשנת על קוטר מה שאומר לנו שאם היה מעגל שחוסם את המשולש efo אז fe בהכרח קותר אבל הנקודה c בשביל שהיא תהיה מרכז המעגל היא חייבת להיות מרכז הקוטר אז בואו נבדוק האם ונעשה בדיקה לאחד מהם למשל 373 ועוד פס נעשה אמצע קטע חלקי ש האם הוא יוצא 16 האם באמת c היא האמצע הקטע fe לא ולכן הנקודה c היא לא מרכז המעגל החוסם את המשולש שי איפה הוא כי c לא נמצאת באמצע הקוטר היא ממוקמת במקום אחר על הקוטר יכול להיות שהקוטר ג קצת יותר למעלה המרכז מעגל קצת יותר למעלה יפה סיימנו את זאת ועוברים לשאלה הבאה שאלה מספר שלוש הסתברות חנן משחק במשחק ליה למטרה במשחק זה יש שתי תוצאות אפשריות בלבד קליה או הכתה ההסתברות שחנן הקלה בניסיון הראשון היא ארבע חמישיות והסתברות שחנן הקלה בניסיון השני תלויה בתוצאות של הראשון בכל מקרה אנחנו לרוב בשאלות הסתברות אנחנו מתלבטים אם מדובר בטבלה או בעץ או באיזה כדאי לעבוד לפעמים אנחנו יכולים לעבוד בשתי הגישות אבל ברגע שאני רואה שזה התקדמות בזמן אז זה בדיוק מה ש דיאגרמת העץ אמורה לעזור לנו היא מראה לנו התקדמות בזמן אז בואו נגיד שכרגע יש לנו את חנן הוא יורה למטרה פעם אחת אז זה או שהוא קולע נכון או שהוא קולע או שהוא מחתי אז בוא נקרא לזה קליה או הכתה נכון מה הם אמרו לנו כליה או הכתה אוקיי אז כאן יש קליה ואז יש לנו הכתה ואז הם אמרו שהוא יורא עוד פעם למטרה אז עוד פעם קליה הכתה קליה הכתה בוא נראה מה הם אומרים אז ההסתברות שחנה נקל בניסיון הראשון היא ארבע חמישיות ולכן המאורה המשלים הוא חמישיית וההסתברות שחנה נקלה בניסיון השני תלוייה בתוצאה של הניסיון הראשון אם חנן קולע בניסיון הראשון אז זה הסתברות שהוא יקלה שוב בשני זה שלושה רבעים אז כלי השלושה רבעים וכאן רבע ואם חנן מחטיא בניסיון הראשון ההסתברות שהוא קולע בניסיון השני היא שלוש חמישיות א נכון קולע שלוש חמישיות הוא יקלה בניסיון השני שלוש חמישיות כן אז בעצם בנינו את הטבלה ובואו נראה מה הם רוצים מאיתנו אז קודם כל לחנן יש שני ניסיונות כלי ל המטרה כלומר אנחנו מבינים שהעץ שלנו הוא של שתי קומות וב' מה ההסתברות שחנן החתי בניסיון הראשון וקלה בניסיון השני אז החתי בניסיון הראשון וקלה בניסיון השני אז אנחנו פ של הכתה ואז כליה נכון בוא נרשום הכאה ואז כליה זה חמישי כפול 3 חמישיות כלומר 3 חלקי 25 אוקיי אז ההסתברות שחנן הכתיב בניסיון הראשון ואז קלה בניסיון השני זה זה אוקיי 3 חלקי 25 יפה ב א מה ההסתברות שחנן קלה פעם אחת לפחות אז קלה פעם אחת לפחות בעצם זה יכול להיות אחתה ואז קליה כי הוא כלה פעם אחת כלומר זה יכול להיות התרחיש הזה זה יכול להיות קליה ואז הכתה וזה גם יכול להיות קליה וקליה או במילים אח או במילה במילים אחרות נכון בב א זה יכול להיות פשוט אחד פחות ההסתברות של הכתה הכתה כלומר חמישית כפול שני חמישיות שזה 1 - 2 חלקי 25 שזה בעצם 23 חלקי 25 אז זה לגבי זה עכשיו שימו לב כאן אז קודם כל את זה אמרנו יצא לנו 23 מתוך 25 ושימו לב מה מה קורה בבת שת ידוע שחנן קלה פעם אחת לפחות כלומר אנחנו יודעים שמה שגילינו כאן חנן קלה פעם אחת לפחות א זאת האוכלוסייה בעצם שאנחנו בודקים אותה כלומר יש לנו כאן בב שת הסתברות מותנית ידוע שזה מתוך התרחישים האלה בלבד כי אם הוא קלה פעם אחת לפחות אני לא נכון רגע ידוע שחנן קלה פעם אחת לפחות כן אז אין לי הכתה הכתה זה לא כולל את התרחיש הזה זה שלושת התרחישים האלה ואז מהיא ההסתברות שהוא קלה פעם אחת בדיוק עכשיו מתוך שלושת התרחישים האלה שזה בעצם העולם שאנחנו נמצאים בו אז כלה פעם אחת בדיוק זה זה וזה כלומר חמישי כפול 3 חמישיות ועוד 4ב חייות כפול רבע שזה בעצם יוצא בוא נחשב את זה זה יוצא 3ח 25 חמישית חלקי 23 חלקי 25 אוקיי זה יוצא בעצם 8 חלקי 23 גם לדני עכשיו תראו עד עכשיו דיברנו על חנן עכשיו אומרים לנו גם לדני יש שני ניסיונות כלי על המטרה ההסתברות שדני הקלה בכל אחד מן הניסיונות הוא p נתון עכשיו עכשיו בעצם מה שאומרים לנו זה ש אין לנו הבדל בין קליה לכתה קליה הכתה קליה הכתה בכל מקרה ההסתברות שדני הקלה בכל אחד מן הניסיונות הוא פ אז המשלים זה 1 מינוס פפ ו1 מינוס פפ ו1 מינוס פ אוקיי ונתון כי ההסתברות שדני הקלה פעם אחת בדיוק כלומר זה קליה והכתה או הכתה וקליה שווה להסתברות שחנן הקלה פעם אחת בדיוק אז בוא רגע נחשב את ההסתברות שדן היא פעם אחת דני פעם אחת זה p כפ 1 מינוס p ועוד 1 מינוס p כפפ שזה אותו דבר זה עוד פעם פ כפ 1 מינוס p או במילים אחרות זה פעמיים פ 1 מינוס p אז זה לגבי ההסתברות שדני יפגע פעם אחת בדיוק לגבי פעם אחת בדיוק של חנן אז אנחנו לדעתי חישבנו את זה אב אני אחשב את זה עוד פעם זה פשוט אמרנו חמישי כפול 3 חמישיות ועוד ארב חמישיות כפול רבע כלומר זה וזה אז זה היה חמישית זה היה 3ח 25 ועוד חמישי זה יוצא 8 חל 25 אז זה שווה ל8 חלקי 25 כלומר נכון פעם אחת בדיוק שווה להסתברות שחנן הקלה פעם אחת בדיוק כן אוקיי אז בואו נחשב את זה זה 2p מינו 2פ בריבוע ש 8 חל 25 אפ שוה וויר הכל גף וניתן מוד 53 נראה מה קורה a ש 2 p ש מ-2 ו c ש 8 ח 25 אז p פעם אחת שווה 4 חמישיות או שפ שווה חמישיית אוקיי אז קיבלנו יותר מפתרון אחד אה הנה ואומרים מצע את שתי האפשרויות יופי כי אם הם לא היו אומרים מצ את שתי האפשרויות הייתי צריך לחשוב איך אני אולי שולל את אחת מהן יופי אז סיימנו גם את זה שאלה מספר ארבע גיאומטריה משולש abc חסום במעגל הצלע b c היא קותר ושומרים לנו קותר אז אנחנו מבינים שהזווית ההיקפית הנ שנת על קותר היא 90 מעלות אז אני אתן כאן 90 מעלות בואו נסמן גם אותם והנקודה g נמצאת על המשך הצלע ac ואמרו את זה בסיבה מוצדקת כדי שאם כאן יש 90 מע אז גם זה 90 מעות כי מדובר בקו ישר אז הזווית היא זווית שטוחה ו דרך הנקודה c העבירו משיק למעגל דרך הנקודה c העבירו משיק למעגל עכשיו אני מקפיד כלל פעם לקבל נתון לסמן ולסמן גם את מה שנובע ממנו עכשיו קודם כל אנח יודעים שזה קוטר וזה משיק ולכן זווית בין משיק לקוטר היא 90 מעל כמו בגלל שהרי הקוטר מורכב מרדיוס ובין רדיוס למשיק יש 90 מע ונתון ש ac שווה ל ag ac שה ל a יופי אז אנחנו כבר רואים כאן שיש לנו משולש ש זה גובה הוא גם תיכון ולכן זה חוצה זווית כי מדובר במשולש ושוקיים הרי אם במשולש שני ישרי מת קדים אז המשולש הוא שווה שוקיים אז כאן יש לנו משולש שוו שוקיים חוצה זווית גובה תיכון ואנחנו ממשיכים הוכיחו ש bg שוה ל bc משל אתם יודעים מה בואו גם נסמן זוויות בסיס שוות אולי זה יעזור לי בהמשך bg שווה bg שה ל bc כן אז את הראשון הוכחנו ועכשיו הם רוצים שכיח זוויות זווית eca e ca זאת הזווית הזאת כאן שווה לזווית abg a g הזווית הזאת אוקיי אז אני לא רואה בצורה ישירה איך אני מגיע לזה אז בואו נגדיר אלפא זה אלפא זה אלפא כאן יש 90 מעלות ולכן זאת משלימה ל-90 מינוס אלפא כאן יש 90 מעלות אז 90 - 90 מינוס אלפא אז זה שוב אלפא אוקיי אז בוא נשלים גם את שער הזוויות 90 מינוס אלפ 90 מינוס אלפ וגם הוכחנו את זה עד לפה מאוד פשוט ובואו נראה מה עכשיו הם רוצים הם רוצים שנוכח דמיון בין המשולש ac שהוא מורכב מזוויות של 90 אלפ ו90 מינוס אלפא א ל abg abg שגם הוא מורכב מאותם זוויות של 90 90 מינוס אלפ ואלפא אז הוכחנו שהם דומים על פי משפט דמיון זווית זווית אלפא ו90 אוקיי ועכשיו הם אומרים שנתון ש ae כפול ab שזה דרך אגב זה שווה 12.25 אבל שימו לב הדבר הזה הוא בעצם איזשהיא פרופורציה והפרופורציות אוקיי ושאנחנו מקבלים דמיון אנחנו מבינים שאחר כך תבור פרופורציה כי אין משהו אחר שאנחנו יכולים להפיק בעצם מהדמיון הרי ידענו את כל הזוויות אז אנחנו רוצים לקבל איזשהיא פרופורציה כי מן הסתם הצלעות לא שוות אז אז אם כבר טרחנו ועשינו דמיון בואו נרשום את יחס הדמיון ac חלקי ab שווה ל c חלקי bg ושווה ל ae חלקי a אוקיי עכשיו בוא נראה איזה מה אני רוצה פה להשתמש משהו עם ae ועם ab אז בוא נראה כאן יש ae כאן יש ab אוקיי אז בואו ניקח אותם ונעשה כפל בהצלבה c חלק ab ואני עובד דרך אגב ללא חשיבה כאן כי אני פשוט מבין שככה שאלות בנויות אני מבין שאם יש דון אחר כך נצטרך לעשות פרופורציה הרי אם גיאומטריה זה סיפור בהמשכים אני רוצה להפיק משהו מהסעיף הקודם אוקיי אז ac * ag שווה ל ae כפל ab אחרי כפל בהצלבה ותראו איזה קטע זה a ו אז מה זה ac ו בואו נסתכל ac זה חול כאן ו ag זה הכחול הם שווים זה לזה אתם רואים ac הוא בכלל שווה ל a כי אמרנו שזה תיכון האמת שגם נתון פה ac שוה ל a אז בואו נקרא לזה ac * ac שווה ל 12.25 ואם נעשה שורש ל ac בריבוע אז השורש של 12.25 זה 3ח יופי אז ac ש 3ח וכאן 3ח בואו נראה מה הם רצ מה אנחנו עושים מפה אה נתון מצאו אורך הקטע ac אז אורך הקטע ac 3 וח יח יופי מעולה סיימנו בואו נתקדם לשאלה הבאה שאלה מספר חמש טריגו משולש abc הוא משולש שווה צלעות אז יש לנו קודם כל כאן משולש abc אז מעבר לזה שהוא שווה צלעות אז כל הזוויות שלו שוות ואם כל הזוויות שלו שוות אז כל זווית גם שווה 60 עכשיו אני מאוד מאוד מקפיד על השלבים הגיאומטריים מהסיבה הפשוטה שבדרך כלל תלמידים נופלים על הגאומטריה לא ולו דווקא על הטריגון זה 60 זה 120 ואני מגלה את כל מה שאני יכול בעצם ממלא זוויות ואת כל הדברים עכשיו אני אתן פה הערה אני אתן פה הערה יש כאן זוויות היקפיות שווות הזווית ההיקפית הזאת שווה לזווית ההיקפית הזאת אוקיי עכשיו הרבה פעמים בטריגו אנחנו לא אין לנו גיאומטריה מורכבת מדי אבל יש כן משפטים שצריך להכיר למשל זווית בין רדיוס למשי שווה ל-90 מעלות אם מאוירים שני משיקים למעגל הם שווים זה לזה וגם הזוויות היקפיות שוות נשנות על קשתות שוות או על אותו מיתר או על אותה קשת אז הם גם שווים אם תשימו לב הזווית הזאת מסתכלת על זה הזווית הזאת מסתכלת על זה ולכן הם בהכרח שבות אוקיי א אבל אתם יודעים מה בואו בינתיים נשאיר את זה רגע בצד אנחנו יודעים שזה 60 כאלה זוויות היקפיות שבות אבל בואו נניח שאני לא יודע ואני אנסה להשתמש כמה ש שפחות בפחות גיאומטריה לאורך הדרך אוקיי ואומרים לי גם שהמשולש וצלעות הזה חסום במעגל של רדיוסו 17 עכשיו אם אנחנו בטריגו ויש לנו צורה חסומה במעגל אז ברור שאנחנו נרצה להשתמש במשפט הסינוסים שווה לפעמיים הרדיוס אז עוד בלי לראות אפילו מה הם רוצים ממני אני יכול לומר צלע ab חלקי סינוס הזווית שממול שווה ולפעמיים הרדיוס והם כבר אמרו לי שהרדיוס שווה 17 אז יש לי פה פעמיים 17 אנחנו נעשה כפול סינוס 60 ואז אנחנו נגלה ש ab שו 34 כפל סינוס 60 שזה 17 שורש 3 אז זה 17 שורש ואני מדבר איתכם פה על אינסטינקטים כי אין אין שום סיבה אחרת שבטר יחסמו לנו צורה במעגל כי ברור כי אנחנו נצטרך להשתמש במשפט הסינוסים שווה לפעמיים הרדיוס אוקיי אז זה בעצם 17 שורש 3 כזה יש לנו את כל הצלעות א כמתואר בסרטוט יפה ואז הנה תראו מה הם ביקשו מאיתנו מצאו את אורך הצל ה ac עכשיו מה שאני רוצה שתעשו זה כל פעם שאתם תקבלו נתון תחשבו איך אתם יכולים לשחק איתו למשל עכשיו אומרים לנו cd ש 16 ואז אני אומר לעצמי אוקיי מה אני יכול לעשות עם זה אז אני כן מזהה למשל שיש לי כאן צלה יש לי כאן צלע ויש לי זווית ושיש לנו צלע זווית צלע בטריגו אז לרוב אנחנו נרצה לעשות משפט הקוסינוסים אבל לפני שאנחנו עושים את זה בוא נראה מה הם רוצים הם רוצים שנמצא את אורך הקטע ad אז באמת במשולש הזה אני ארצה לעשות משפט הקוסינוסים בואו נעתיק את זה למטה ואנחנו עכשיו רוצים לעבוד במשולש הזה כאן אוקיי אז על פי משפט הקוסינוסים אנחנו נגדיר c בריבוע זה ad בריבוע שווה ל a בריבוע ועוד b בריבוע שזהה 16 בריבוע מינוס 2 * a * b כפול קוסינוס הזווית שביניהם קוסינוס 120 יפה אז בוא נחשב כמה זה ad בריבוע אני פשוט אציב הכל במחשבון 17 * שורש 3 הכל בריבוע ועוד 16 בריב - 2 * 17 * שור 3 * 6 פול קוסינוס 120 ad בריבוע שוה 1594 נעשה שורש ad ש 39.9 26 יופי אז זה ad 39.9 26 בואו גם נרשום את זה כאן 39.9 26 יופי אוקיי אז מצאנו גם את תוך הקטע ad ועכשיו הם רוצים שנמצא את גודל הזווית cad אוקיי אז בשביל הזווית cad אני יש לי כבר את כל הצלעות של המשולש זה זה וזה ויש לי גם את הצלע כאן ויש לי את הזווית כאן אז זה ממש לא בעיה אז אם למשל אנחנו נרצה לגלות את הזווית cad אז אנחנו פשוט נעשה 16 חלקי סינוס הזווית cad שווה ל 39.9 26 חלקי סינוס הזית 120 ונעשה כפל בהצלבה אז 39.9 2 6 כפל סינוס cad שווה ל1 כפ סינוס 120 8 ש 3 בואו נחלק ואז סינוס הזווית cad חלקי 3992 6 יצא לי 0.3 47 שיפ סינוס אר כדי להגיע לזווית והזווית יצאה 20.30 יופי אז כמובן אנחנו רושמים את התשובות שלנו במעלות גם אם אני לא מקפיד יותר מדי אבל היחידות מידה מאוד חשובות כדי שלא תאבדו נקודות אז כאן זה 20.30 וגם אני רוצה באוטומט להשלים ל-180 מעלות 180 פחות הזווית פח 120 הזווית הזאת יהיה שווה 39 -69 אז גם כאן 3969 כאן 20.30 נכון יופי אז גילינו את כל הזווית וגם הסקנו ממנה מסקנות והנקודה f היא נקודת החיתוך של הקטע ad עם המעגל אנחנו ממשיכים בעצם לסעיף ד הנקודה f היא נקודת החיתוך של הקטע ad עם המעגל עכשיו תראו תכלס אם היינו משתמשים בעובדה שאנחנו יודעים שזה 60 וזה 60 אז היה לי מאוד קל להגיע ל bf הייתי עושה צלח חלקי סינוס הזווית שממול שווה לצלע חלקי סינוס הזווית שממול אבל אמרנו שאנחנו לא רוצים להשתמש בגיאומטריה כדי להקשות על עצמנו גם בגלל שאני יודע שהרבה אנשים לא משתמשים במשפטי גאומטריה אבל מה שהייתי יכול לעשות בצורה מאוד מאוד פשוטה זה בואו ניקח את זה רגע עוד פעם ואני אראה לכם מה אני אעשה פה אני האמת שאני לא חייב זווית אולי טיפה אבל קשה לראות את זה עכשיו בשלב הזה מה שאני רוצה לעשות אני אעשה ככה הרי ה המשולש bf הוא גם חסום במעגל אז מה שאני יכול לעשות אני יכול לומר bf חלקי סינוס הזווית שממול הזווית a היא בעצם 60 ווד 2037 כלומר זה שתי הזוויות האלה ביחד אז זה יהיה 80.30 7 שווה לפעמיים הרדיוס 2 * 17 אז אני פשוט אעשה כפול סינוס הזווית וגילינו את bf זה נראה לי הדרך הכי קלה לגלות את bf אז יש לנו כאן 34 * סינוס 8.37 ויצא לי 33.5 אוקיי אז גם כאן 3351 וגם את הזווית הזאת שגילינו שהיא 80.30 אוקיי ואז הם שואלים אותנו אחרי שגילינו את המיתר הזה מה גודל הזווית fbc עכשיו תראו הדרך הכי קלה תכלס להגיע לזה זה לומר אוקיי זאת הזווית שאנחנו רוצים זאת הזווית נכון fbc ואם זאת 20.30 אז גם זאת 2037 כאן ספציפית א אם היינו רוצים להגיע בלי אז אני חושב שהדרך באמת היייתה מאוד מסורבלת הדרך מכאן באמת הייתה מסורבלת להגיע לזה הינו צריכים לעשות הרבה משחק זוויות למשל אולי הייתי יכול לגלות את הזווית הזאת כי עכשיו יש לי את הצלע הזאת חלקי סינוס הזווית הזאת שווה לזה חלקי זה כלומר או גם למשל הייתי יכול לעשות 17 שורש 3 חלקי סינוס הזווית f שווה לפעמיים הרדיוס כלומר ממש לעשות צלע חלקי סינוס הזווית f afc שווה לפעמיים הרדיוס ואז היינו מגלים שזה 60 שוב אני אומר הכל תאורטי כי תכלס אנחנו יודעים שזה 2037 אז אני יודע אוטומטית שהזווית הי 20.30 אבל זאת הו דרך ואז אם כאן היה לנו 60 אז היינו משלימים אותה ל-10 ואז יש לנו את הזווית הזאת את הזווית הזאת ואז היינו עושים 180 פחות ומגיעים אליה שוב זה אני אומר בהנחה שאתם לא יודעים גיאומטריה בכלל ואתם רוצים להתחמק מזה עכשיו דיף תמיד למוד את המשפטים לא תמיד אפשר להתחמק פה הצלחתי הראתי לכם שעבדתי בלי אוקיי אז מצאנו גם את הזווית fbc ועכשיו רוצים שאני אמצא את שטח המשולש fbd fbd זה השטח של המשולש הזה כאן עכשיו בגלל שאנחנו בטריגו א אנחנו מבינים שרוב הסיכויים שמבקשים מאיתנו לחשב שטח על פי צלע כפול צלע כפול סינוס הזווית שביניהם חלקי ש אז אם אני אשרטט את המשולש בנפרד זה bfd אז צל אחת היא 3351 הזווית הזאת 20.3 16+ 17 שורש 3 יוצא לנו 45.4 44 אז השטח הוא בעצם השטח של משולש bfd או fbd הוא 3351 * 45.4 44 כפול סינוס הזווית שביניהם חלקי 2 אז בוא נחשב את זה רגע נכון 33 וסינוס 20 לי יצא fbd א 26.25 יחר וסיימנו גם את השאלה הזאת והמשכנו לשאלה מספר ש הפונקציה fx מוגדרת בתחום x לא ש + מ-3 בשרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת המוגדרת באותו תחום כלומר גם לנגזרת שלנו שזה בעצם השרטוט שיש לנו כאן התחום הגדרה הוא אותו תחום הגדרה והסימפטומים אסימפטוטות x ש 3 ו x ש -3 א גרף פונקציית הנגזרת f תג x חותך את יר x בנקודה 0 ומצוות שור של נקודת הקיצון של הפונקציה וכיבוי תצוגה אוקיי עכשיו מה שאנחנו יודעים זה שבעצם שהנגזרת חיובית נגזרת הרי זה שיפוע אז שהנגזרת חיובית בוא נסמן לנו פה את הטב אז אנחנו יודעים שהנגזרת חיובית הפונקציה עולה והנגזרת שלילית הפונה ורת עכשיו אנלא באמת חייבים לסרטט את זה אנחנו יכולים אבל אנחנו לא חייבים נגיד יש לנו כאן פה מינוס ש הפונקציה לא מוגדרת אחר כך יש לנו אפס שזאת נקודת קיצון ואז יש לנו שלוש ששוב הפונקציה לא מוגדרת כאן היא חיובית אז הפונקציה עולה כאן היא חיובית הפונקציה עולה כאן היא שלילית הפונקציה יורדת וכאן הנגזרת שלילית הפונקציה יורדת אנחנו רואים שיש לנו כאן נקודת מקסימום אנחנו מזהים שכאן הנגזרת שלילית אז הפונקציה תירד ובאזורים שהנגזרת חיובית הפונקציה עולה אז הפונקציה קודם עולה ואז יורדת ולכן פ יש לנו נקודת מקסימום אוקיי אז מצו את שיעור הג של נקודות הקיצון אז x ש 0 קבענו את סוגה מקסימום עלייה ואז ירידה גם לפי הטבלה שאנחנו רואים אוקיי מצוא את תחומי העליה והירידה של הפונקציה fx אז יש לנו כאן טבלה זה מאוד ברור אנחנו רואים ש x גדול מ3 יש לי פה עליה ירידה עליה זה כאשר הנה אני אסמן פה את האיקסים בין אפ למינוס 3 ו קטן ממינו 3 אסדר את זה רק טיפה פה זה האזור בין פ למינוס ש אוקיי אז תחומי עליה זה 1 2 וזהו אז עליה זה כאשר x קטן ממינוס 3 ו בין פ למינו 3 ומבחינת התחומי ירידה אנחנו רואים שאס גדולים מש יורדת וגם שאקסים בין אפ ל3 עכשיו אני כן מתייחס לאסימפטוטה כי צריך להיזהר פה אני לא יכול לומר למשל בטעות שהפונקציה יורדת או עולה בשלוש כי הפונקציה לא קיימת שם ובגלל זה אנחנו גם מכניסים את האסימפטוטות לתחומי עלייה וירידה נתון כי לפונקציה fx יש אסימפטוטה האופקית שמשוואתה = 2 אחד מן הביטויים אחד עד שלו שלפניכם מייצג את הפונקציה fx א כיוו הזה מין הביטויים א עד 3 מייצג את הפונקציה fx נמקו את כביתם אז בואו קודם כל סתם אם כבר יש לנו כל מ נתונים על הפונקציה אז אמרו לנו שיש לנו אסימפטוטה אופקית ב y ש 2 אחול יש לנו כאן ב y ש 2 ויש לנו גם שתי אסימפטוטות אנכיות ב x ש 3 נגיד כאן אוקיי אז זה בינתיים מה שאנחנו יודעים על הפונקציה x ש 3 x ש מינוס 3 האמת שאנחנו גם יודעים את כל התחומי העלייה וירידה שלה אבל בואו נסתכל איך אנחנו שוללים אז קודם כל אנחנו יכולים להסתכל על ביטוי מספר שתיים ואנחנו רואים ש x בריב חלקי x בריבוע זה אסימפטוטה האופקית באחד ואז הזזה אנכית של שתיים למעלה האופקית כאן היא שלוש והיא לא y שו 2 כמו שאמרו כי זה אחד אז הזה אנכית שתיים למעלה נפל ואנחנו יכולים להסתכל על ביטוי מספר אחד ואנחנו רואים שהמכנה תמיד חי x בריב זה מספר שהוא תמיד חיובי ת זה מספר שהוא תמיד חיובי ולכן התחום הגדרה במקרה הזה יהיה כל x כי המכנה לא מתאפס גם אם ננסה להשוות את המחנה לאפס נעביר את התע אגף נכון יש לנו x בריב ו9 ש לפ מינוס ת נעשה שורש ואנחנו רואים שאין פתרון כלומר במקרה הזה התחום הגדרה הוא כל x אין לנו אסימפטוטות נחיות ולכן גם זה נפל ונשארנו עם ביטוי מספר 3 אז זאת הפונקציה fx יופי אז יש לנו את הו מיצו את שורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים בואו נעתיק אותה אז בעצם גם עוד פעם אחת פה חיתוך עם ציר ה y אנחנו פשוט נגיד חיתוך ציר y אז במקרה הזה אנחנו פשוט נציב ב x פ אז 0 חלקי 0-9 + 1 זה יוצא 0 0+ 1 זה 01 קצת מתחת לאסימפטוטה האופקית שלנו y ש 2 וחיתוך עם ציר x אז חיתוך עם ציר x נציב נשווה לאפס נכפיל ב x בריבוע מי9 או תעבירו אגף את עשו כפל בהצלבה זה לא ממש משנה אז יש לי x ו 1 * x ברי מי ש שוב הייתם יכולים לעשות כאן כפל בהצלבה x בריב ו x בריב זה 2x בריבוע מ-9 ש ל0 2x בריב ש 9 אנחנו מחלקים ב2 x בריב שו 4.5 ואז נעשה שורש x ש פוס מינוס שורש 4ח שורש 4ח יתן לנו בערך 2.12 אוקיי אז אנחנו יודעים שיש לנו חיתוך ב-2.1 ובמינוס 2.12 כי שאנחנו עושים שורש אז מן הסתם יש לנו כאן פלוס מינוס אז גילינו פה פלוס מינוס הופפה 2.12 יופי מבחינת תחומי עלייה וירידה אנחנו הנה מצאנו את החיתוך עעם הצרים ואז הם רוצים שנשרט עכשיו שימו לב יש לנו את התחומי עלייה וירידה כבר אנחנו הכנו את הכל כאן הרי יש לנו את הנגזרת נכון רגע לא את זה קופי בוא נשים את זה לידינו אוקיי אז בהתחלה הפונקציה נמצאת בעלייה כלומר לפני האסימפטוטה במינוס ש הפונקציה נמצאת בעליה אז היא תהיה לפני אסימפטוטה הברך כאן גם היא מגיעה סימפטו האופקית לאנכית ושימו לב אנחנו יודעים הרי ש הפונקציה לא חותכת בסר x בחוץ מהנקודות כאן הרי לא מצאנו שם נקודות חיתוך אוקיי אז זה נמצא כאן ואז יש לנו עלייה ואז ירידה לנקודת קיצון כלומר הפונקציה עולה עד הנקודת קיצון ויורדת ואז אחרי האסימפטוטה האופקית בשלוש הפונקציה יורדת אז יש לנו כאן את הפונקציה ו שרטת סקיצה אוקיי חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת על ידי ציר הא ועל ידי x ש 2 אז בואו נראה על ידי גרף פונקציית הנגזרת כלומר השטח נוגע ב נגזרת הוא נוגע בציר הא והוא נוגע בישר x ש 2 אז זה השטח בעצם שאנחנו מחפשים סיימנו את הסרטות ונשארנו רק עם זה אוקיי ועכשיו זה בעצם סעיף חשיבה עכשיו נדבר עליו אז זה בעצם השטח שאנחנו מחפשים והאינטגרלי הוא בעצם מאפס אנחנו מתחילים את השטח מאפס ומסיימים אותו בשתי כאשר הפונקציה העליונה זה ציר ה x פחות הפונקציה התחתונה הנגזרת יפה עכשיו האינטגרל של הנגזרת של מינוס f תג x הוא פשוט מינוס f של x כמו שהגרף של הנגזרת f תג x כלומר האינטגרל של f תג x הוא f של x אז האינטגרל של מינוס f תג x הוא מינו f שלל x ואז אנחנו פשוט מציבים פעם אחת מינו f2 בעצם סתם הצב אין פה חוץ מטיפה חשיבה ולה בבין את הקונספט הבסיסי הזה אינטגרל ממש סבבה f של פס אז בואו נראה כמה פונקציה שווה בפס אם אנחנו נציב בפונקציה אפס אז ה y הוא אד אז כאן זה אחד אז יש לנו מינוס מינוס אז מי f2 ועוד 1 ואם אני אציב בפונקציה ש איפה הפונקציה שלנו כאן בואו נציא בפונקציה שתיים ונראה כמה אנחנו מקבלים אז f של 2 ש ל 4ח 4-9 1 זה בעצם יהיה שווה ל 4 חלק מי 5+ 1 שזה בעצם חמישית מינו 45 וחיי אז מינו f של 2 זה בעצם מינוס חישי בוא נרשום את זה פה מינוס חיי ועוד 1 ולכן 4 חר ארבע חמישיות זה השטח וזאת התשובה ולדעתי סיימנו כן סיימנו גם את השאלה הזאת המשכנו לשאלה מספר שבע חקירת פונקצית שורש מצאו תחום ההגדרה של הפונקציה אז קודם כל אנחנו בסעיף א' פשוט ניקח את השורש אנחנו רוצים שהבנים שלו יהיה גדול או שווה לאפס אז נעביר את ה מינו 2x אגף 2x קטן שווה ל10 נחלק ב 2 x טן שו 5 יופי אז x קטן או שווה לח ואם כבר נתחיל לשרטט את זה בוא נתחיל לשרטט אנחנו יודעים שהפונקציה מתקיימת בכל האיקסים שקטנים או שווים לחמ דרך אגב הייתי ממליץ שאם כבר הגדרנו את התחום הגדרה ומצאנו את הקצה אז הייתי ממליץ להציב את הקצה כדי למצוא את הנקודות קיצון קצה שנזכור אותם ולא נשכח אז אם היינו מציבים בפונקציה את הקצה שלנו ח זה הה יוצא מינוס 2 * 5ו 10 שורש יוצא אפס כל דבר כפול אפ זה פ כאן יש לנו 0 אוקיי אז מצאנו את תחום ההגדרה ומצאו את שאורי נקודות עם החיתוך עם הצירים אז בואו נמשיך לסעיף ב' אוקיי אז חיתוך ציר y זה פשוט נמשיך אחר כך לחיתוך ציר x אז חיתוך ציר y אנחנו פשוט מציבים בהכל אפס אז זה יוצא f של 0 שו 0 כפול משהו זה אפס אז חיתוך עעם ציר y פ יופי חיתוך עם ציר x אנחנו מציבים ב y0 ואז אנחנו נבדוק מתי כל גורם מתאפס אז זה מתאפס בפס ו-י 2x + 10 מתאפס ב ב x ש 5 אוקיי אז מצאנו את כל נקודות החיתוך עם הצירים אז יש לנו 0 יש לנו פפ ומצאנו גם את זה ואנחנו משרטטים במקביל כי אנחנו רוצים תמיד להיות בבקרה מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה וכיוון סוגן והסיבה שהם אומרים לנו כל נקודות הקיצון זה מסיבה פשוטה שלא נשכח בטעות את הנקודת קיצון קצה שהתייחס אליה כבר אז בואו נגזור את הפונקציה על פי נגזרת של מכפלה גזור של הראשון כפול שמור של השני ועוד שמור של הראשון כפול הגזור של השני מינוס ש חלקי פעמיים השורש מה שהייתי עושה כאן הייתי מצמצם את השתיים עם השתיים יש פה כפל x בריבוע זה כמו x בריבוע חלקי 1 אז אם אני עושה כפל אני פשוט יכול להעלות אותו למעלה אני לא חייב אני גם יכול להעביר את המינוס לכאן אם אני רוצה זה לא משנה אם המינוס בא לפני או למעלה ושוב את כל הפעולות האלה שאני עושה של הסידור אתם לא חייבים לעשות אני מסדר אבל אתם יכולים לסדר בדרך שלכם ולהחליט איזו דרך טובה לכם עכשיו אנחנו משווים לאפס אז למשל מהמצב הזה אני יכול פשוט להכפיל בשורש מינו 2x + 10 אל תשכחו ש אני רגע אסכם שנייה את מה שעשיתי גזרתי סידרתי אני שווה לאפס כדי למצוא קיצון ואחרי שאני משווה לאפס אני יכול להכפיל במספרים כדי להיפטר מהמחלה ושוב אני אומר אם האלגברה הזאת לא נוחה לכם אתם תמיד יכולים להעביר אגף לעשות כפל בהצלבה ולעבוד איך שאתם רוצים אוקיי אז כאן אני מכפיל בשורש מי 2x + 10 וכמובן שאני יודע ששורש כפול עצמו זה פשוט ה עצמו בלי השורש וא פה זה יהיה כפול 1 כי כבר יש לו את המכנה פה אז זה פשוט מינו x בריבוע אז - 4x בריב זה כפול זה ו 20x - x ברי ש 0 - 5x בריבו 20x ש ל אני מוציא x גורם משותף האמת שאני יכול להוציא 5x יותר גדול אז זה מי x + 4 אז או ש x שווה לפ נקודת קיצון או ש x ש 4 נקודת קיצון ואז כמובן אנחנו צריכים לעשות תחומי עלייה וירידה ואנחנו נציב בתחומי עלייה וירידה עכשיו דרך אגב אני רוצה להראות לכם משהו לפני התחום העליה וירידה כי יש דברים שאנחנו יכולים לדעת אותם מראש אם אנחנו קצת נסתכל אבל א עוד שניה אז כאן יש לנו חמש כאן יש לנו א תן פה את הקיצון ארבע שמצאנו ואת הקיצון אפס עכשיו אנחנו יודעים ש ש הפונקציה לא מתקיימת אחרי עכשיו רגע בואו נסתכל על משהו לפני שאנחנו עושים את התחומה לירידה כי הכל היה ידוע לנו עוד לפני אני אפילו לא צריך את התחום הלי וידה אני רק אצטרך את זה בשביל להראות דרך אבל אם תשימו לב x בריבוע הוא תמיד חיובי ושורש תמיד חיובי ומספר חיובי כפול מספר חיובי הוא תמיד חיובי מה שאומר שהפונקציה תמיד חיובית והיא אף פעם לא יכולה להיות שלילית מה שאומר שאנחנו היינו יכולים לדעת הרי שבין שתי הנקודות האלה הפונקציה לא תתקדם ככה אז היא חייבת להגיע או ככה או ככה עכשיו אני יודע בוודאות שהיא תמיד חיובית כי הסתכלנו ואחר כך היא תמיד חיובית אז היא לא תמשיך ככה מן הסתם היא תמשיך ככה אז זה כבר דברים שהייתי יכול לדעת אותם לפני אבל לא משנה אנחנו מציבים בטבלה אנחנו נציב נגיד מינוס 1 1 4 וח ונגלה את התחום הליה וירידה את זה אתם כבר יודעים לעשות y תג מינו y תג א מציבים ורואים יופי אוקיי אבל בואו נציב את ה x של הנקודת קיצון פה כי אנחנו בעצם רוצים לגלות את ה y אז אם אני אציב f של 4 כדי לגלות את הקיצון זה 4 בריבוע כפול שורש י2 * 4+ 10 זה 16 שורש 2 ואם נרצה אפילו להגיע למספר אז 16 כפ שורש 2 זה פשוט 22.6 27 א אני לא יודע אך עדיף להציג את זה זה לא כל כך משנה לפעמים אני אוהב להציג את זה כ 16 שורש 2 ולפעמים כמספר אוקיי אבל מצאנו את הנקודות קיצון סידרנו את זה רטנו יופי עכשיו נתונה פונקצייה gx שהיא שווה ל fx פ c c הוא פרמטר חיובי והפונקציות fx ו gx מוגדרות באותו תחום אבל גרף הפונקציה gx משיק לישר y ש 20 מצא את הערך של c אוקיי אז יש לנו איזשהו ישר y ש 20 שהוא טיפה מתחת ל לקודקוד ובעצם מה זה הפונקציה gx הפונקציה gx היא אותה פונקציה בדיוק כמו fx אבל היא הזזה אנכית ובגלל שס חיובי אז זה הזזה אנכית למטה כי זה מינוס c מינו 10 מ-5 מי 3 אבל אנחנו רוצים הפעם שהפונקציה gx תשיק לה ישר y ש 20 שזה זה איזשהי פונקציה קבועה אז בשביל שהיא תשיק אני לא יכול להעלות למעלה את הפונקציה כי אז זה אומר שהס שלילי למשל אם הייתי רוצה לתת הזזה אנכית למעלה אז הייתי מכריח את הסי להיות שלילי כי מינוס מינוס זה פלוס אבל אם למשל אני אזיז את הפונקציה למטה אז זה בסדר ככה יכולה להשי כי אז הס הוא חיובי ובעצם הפונקציה gx תוכל להשיק מכאן אוקיי אז הבנו שאנחנו לא יכולים להעלות את gx לפה כי אנחנו לא יכולים לתת לה הזזה אנכית למעלה בגלל שהס הוא בהכרח חיובי אז אנחנו רק יכולים להוריד אותה למטה ואנחנו רואים שכאן זה 22.6 27 כאן זה 20 אז הס צריך להיות ההפרש ביניהם הוא צריך להיות א 2נ 627 כי אז אנחנו ניתן כאן הזזה אנכית של 2.62 7 ומצאנו את ערך של c וסיימנו את שאלה מספר שבע שאלה מספר שוה בעית קיצון גרפית לפניכם סרטו של גרף הפונקציה fx 25 חלקי 1 מ x + 2 המוגדרת לכל x לא שווה 1 כלומר האסימפטוטה x ש 1 לגבי האופקית המספר הזה המכנה יותר חזק פלוס 2 אז שואף לפס פוס 2 האופקית כאן הא ב y ש 2 אז הבנו אנחנו רואים כאן שבמספר הזה יותר חזק עד המספר שוף לאפס ניתן הזזה הנחית של שתיים בסדר א מציות משוואות האסימפטוטות יופי אז מצאנו את האסימפטוטות אמרנו x ש 1y ש 2 סעיף פשוט מאוד ומנקודה היה נמצאת על גרף הפונקציה ברביה השני שזה בדרך כלל משהו שהוא לא אופייני לשאלות בגרות לרוב אנחנו רואים תמיד את הנקודה לגרף ברביה הראשון ופה זה משהו שהוא קצת שונה אז בנקודה a הנמצאת על גרף הפונקציה בר הו השני כ כמובן שתמיד בבעיות קיצון נגיד אנחנו נגדיר את הנקודה כ t ואת את את ה y נביע לפי הצבא של t בפונקציה כלומר אם ה x הו t הז זה 25 חלקי 1 מינו t פוס 2 אוקיי אז מנקודה היה נמצאת על גרף הפונקציה fx ברבי השני העבירו הנכים לאסימפטוטה של הפונקציה fx א כך שהסימפטומים יוצרים מלבן אז כאן יש נונו בעצם מלבן אוקיי מצו את שעורי הנקודה a שבעבורה הקף המלבן הוא מינימלי אז אנחנו עכשיו רוצים להביע את הקף המלבן עכשיו כאן הא הוא 1 הו דרך אגב לא משתנה כי זה מקביל הרי נכון כי העבירו לנו הנכים זה הנך לאסימפטוטה ולכן הוא מקביל לציר הא וזה הנך גם לאסימפטוטה ולכן הוא מקביל לציר ה y זה 25 חלק 1 מ t + 2 ולכן האורך הזה כאן הרי שאנחנו מחשבים אורך אנחנו לוקחים x ימני פחות x שמאלי זה 1 מינוס t הרי אם ה x פה הוא 1 פה ה x הוא 5 אז המרחק הוא 4ב אנחנו לא נעשה שמאלי פחות ימני כי 1 - 5 יתן לנו אורך שלילי אז אנחנו נעשה ימני פחות שמאלי כדי לקבל אורך חיובי ואם אנחנו נרצה את האורך הזה כאן אז אנחנו ניקח y עליון פחות y תחתון וה y התחתון פה הוא ש כי זה נמצא על הסימטה האופקית הנקודה הזאת הי 1 2 היא נמצאת על הסימטה האופקית y ש 2 אז זה מצטמצם ולכן האורך ה כאן הוא 25 חלקי 1 מינו t יופי ואנחנו רוצים היקף מלבן מינימלי אז אנחנו נבנה פונקציית היקף מלבן אנחנו רואים שיש לנו פעמיים 1 מינוס t ועוד כלומר 1 מ t ווד 1 מ t ועוד פעמיים 25 חלק 1 מינו t אז יש לנו פה פונקצייה די פשוטה רק אני אתקן את זה כאן ל t t אוקיי אז יש לנו בעצם 2 מ 2t ועוד 50 חלקי 1 מ t ואת הביטוי הזה בעצם אנחנו רוצים לגזור להשוות לאפס תחומי עלי הירידה כי בבעיות קיצון מה שאנחנו עושים אנחנו עושים בניית פונקציה מוצאים קיצון על ידי נגזרת והשוואה לאפס ואז תחומי עלייה וירידה אלה השלבים שלנו אז בואו נגזור את הפונקציה הנגזרת של שי זה אפס הנגזרת של מינו 2t זה י2 ועוד בואו נגזור גזור של 50 זה 0 1 מי t גזור כפול שמור פחות שמור כפול הגזור הנגזרת של 1 מי t זה י1 חלקי המחנה בריבוע יופי אז יש לנו f תג t שווה ל מיי2 זה כפול 0 ועוד 50 חק 1 מ t בריבוע 50 בגלל שזה מינו 50 כפ מ-1 אוקיי הגענו לנגזרת ועכשיו אנחנו רוצים בעצם להשוות את הנגזרת לאפס כי אנחנו הרי מחפשים את הנקודות קיצון אז בואו נעביר את השתי אגף 50 חלקי 1 מינו t בריבוע נעשה כפל בהצלבה 2 * 1 מינו t בריבוע שווה 50 אני למשל אם יש לי כאן בריבוע הייתי מעדיף לחלק בשתי זה נראה לי יותר פשוט כי אז יהיה לי 1 מינו t בריבוע שו 25 מפה אתם יכולים לבחור או שנפתח את הסוגריים נעביר הכל לצד אחד נוסחת שורשים טרינ מה שזה לא יהיה או פשוט שנעשה שורש ואז אם אנחנו עושים שורש רק צריך לזכור פעם אחת שזה פלוס 5 ופעם אחת שזה מינוס ח כי שאנחנו מבצעים את השורש בעצמנו אנחנו מוסיפים את הפלוס מינוס אז בואו נעביר את ה-ט לפה נעביר את החמש לפה זה מינוס א משהו שמסתדר לנו סדר עם העובדה שאנחנו יודעים שהא שלנו ממוקמת ברביע השני כלומר שהאם שליליים כלומר שה t שהגדרנו הוא שלילי ואם אנחנו ניקח את זה נעביר את ה t ימינה ונעביר את החמ זה יהיה ש t6 לא יכול להיות כי אז האיקסים הם חיוביים מה שאמרנו שלא אפשרי האיקסים חייבים להיות שליליים אנחנו יודעים שא כאן שלילי כמה יצא לי מינוס א ואני יודע גם שה y חייב להיות חיובי בואו נציב כאן רגע 25 חק 1 מינו מ-4 ועוד 2 זה 5 יוצא 7 אז זאת הנקודה מ-47 אז מצאנו את שיעורי הנקודה a אבל אנחנו כן נצטרך לבדוק אם באמת היא נותנת הקף מלבן מינימלי אז אנחנו נרצה אחרי שגזרנו אנחנו רוצים להציב א האמת שאני יכול לומר x f תג t ו f של t ואני רוצה להציב לפני המינוס א נגיד מינוס 5 ומינו 3 אוקיי אם אנחנו נציב מינוח זה יתן לנו מי2וד 50 חלקי מינו 1 מינו מינו 5 בריבוע יוצא שלילי ובאותו אופן כן זה יוצא שלילי ואז פה טק טק מינימום יופי אז נניח שהצבנו את המינוס 5 ואת המינוס ש בצורה מסודרת יפה אז יש לנו את הנקודה והם אומרים חשבו את שטח המלבן בעבור שורי הנקודה a שמצאתם אז מצאנו את הנקודה a ועכשיו אנחנו רוצים את השטח a את השטח של המלבן שהוא בעצם יתן לנו את השטח המינימלי עכשיו אם אני יודע שהנקודה a ובוא נרשום את זה אולי פה קצת יותר מסודר מינו 47 אז הם רוצים חשבו את השטח כן אז כאן גם ה y7 אבל הא הוא א כאן וכאן ה x הוא מינו א אבל ה y הוא ש כי זה נמצא על האסימפטוטה ה y שו 2 אז המרחק מכאן לכאן הוא חמ כי התקדמנו משבע ל2 והמרחק מכאן לכאן ממינוס א עד 1 הוא גם חמ התקדמנו ממינוס א עד 1 ולכן השטח של המלבן שהוא בעצם אנחנו רואים שגם הצלעות שוות אז זה בעצם התפתח לריבוע 5 * 5 זה 25 שחר וסיימנו את הבגרות