Appunti sull'Integrale Indefinito

Cos'è un Integrale Indefinito?

• L'integrale indefinito è l'insieme di tutte le primitive di una funzione.
• Si può trovare una funzione, chiamata primitiva, la cui derivata restituisce la funzione di partenza.

Primitiva di una Funzione

• La funzione ( f ) si dice primitiva di ( f' ) se ( f' = f ).
• Esempio: ( x^2 ) è primitiva di ( 2x ).
• Anche ( x^2 + 2 ) è primitiva di ( 2x ) (le primitive differiscono per una costante).
• Le primitive sono infinite e formano una "famiglia".

Definizione di Integrale Indefinito

• Notazione: ( \int f(x) , dx = F(x) + C )
  • ( \int ): simbolo di integrazione.
  • ( f(x) ): funzione integranda.
  • ( dx ): differenziale, indica la variabile di integrazione.
  • ( F(x) + C ): integrale indefinito, dove ( C ) è la costante arbitraria.
• Importanza di aggiungere ( C ) al risultato finale per indicare tutte le primitive.

Proprietà dell'Integrale Indefinito

1. Integrale della Somma/Differenza:
   • ( \int (f(x) \pm g(x)) , dx = \int f(x) , dx \pm \int g(x) , dx )
2. Integrale del Prodotto di una Costante:
   • ( \int k f(x) , dx = k \int f(x) , dx )
3. Operatore Lineare:
   • Le due proprietà possono essere riassunte dicendo che l'integrale è un operatore lineare.

Esempi di Applicazione delle Proprietà

• Esempio di portare fuori una costante:
  • ( \int 3 , cos(x) , dx = 3 \int cos(x) , dx )
• Scomposizione di un polinomio in integrali dei singoli termini.

Errori Comuni da Evitare

• Non si può scrivere: ( \int (f(x) , g(x)) , dx = \int f(x) , dx \cdot \int g(x) , dx )
• Lo stesso vale per ( \int (\frac{f(x)}{g(x)}) , dx ).

Integrazione come Inverso della Derivazione

• Alcuni esempi di formule per l'integrazione:
  • ( \int 1 , dx = x + C )
  • ( \int e^x , dx = e^x + C )
  • ( \int cos(x) , dx = sin(x) + C )
  • ( \int sin(x) , dx = -cos(x) + C )

Considerazioni Finali

• Non tutte le funzioni sono elementari; per le funzioni composte, si possono utilizzare tecniche specifiche.
• È consigliato consultare risorse aggiuntive per approfondire le tecniche di integrazione.

Buono studio!