Che cos'è un integrale indefinito? Per rispondere a questa domanda partiamo dal chiederci se, data una funzione, è possibile trovarne una che, derivata, ci dia come risultato la funzione di partenza. È una cosa possibile e vedremo tra poco un esempio.
Intanto introduciamo il concetto di primitiva di una funzione, dove il nome primitiva richiama il fatto che stiamo considerando un ente matematico che ha un qualche grado di parentela con la funzione che stiamo analizzando. Una funzione f'di x si dice primitiva di f'di x se la derivata di f'è uguale ad f di x. Ad esempio, x alla seconda è primitiva di 2x, perché derivando x alla seconda otteniamo proprio 2x.
Ma, pensandoci attentamente, si potrebbe dire... Si ottiene 2x derivando anche x alla seconda più 2, dato che, come sappiamo, la derivata di una costante è uguale a 0. E si potrebbe fare lo stesso discorso per una qualunque costante. Per come abbiamo definito il concetto di primitiva, anche x alla seconda più 2 è una primitiva di 2x.
E più in generale x alla seconda più o meno qualunque costante. Quindi, in fin dei conti, presa una funzione. Quante sono le sue primitive?
Sono infinite e differiscono tra di loro soltanto per una costante. L'insieme di queste primitive si definisce anche famiglia. Siamo pronti per definire il concetto di integrale indefinito.
Questo altro non è che l'insieme di tutte le primitive di una data funzione viene indicato con questa notazione. Tutto ciò si legge l'integrale di f di x in dx è uguale a f grande di x più c. Il simbolo iniziale, che è a tutti gli effetti una s molto allungata, è il simbolo dell'operazione di integrazione. f di x si definisce funzione integranda ed è la funzione della quale si deve calcolare la famiglia di primitive.
di x è il differenziale e x è la variabile di integrazione. f grande di x più c, invece, è proprio l'integrale indefinito, cioè l'insieme di tutte le primitive di f piccola di x. Attenzione a c, chiamata costante arbitraria.
Rappresenta un qualunque numero ed è ciò che permette di generalizzare il concetto di primitiva. Quando si risolve un integrale indefinito dobbiamo sempre ricordarci di aggiungerla al risultato finale. Non farlo è un errore perché, come abbiamo visto poco fa, le primitive di una funzione sono infinite e c ce lo ricorda. Se c è uguale a 0 si ottiene quella che si chiama primitiva fondamentale. Quindi l'operazione di integrazione è, a tutti gli effetti, l'inverso dell'operazione di derivazione.
Ma possiamo trovare l'integrale indefinito di qualunque funzione? In generale sì, sempre che si riesca a calcolarlo, ma in alcuni casi farlo è impossibile. almeno dal punto di vista algebrico.
Quando possiamo farlo, ci possiamo servire delle proprietà dell'integrale indefinito per rendere il calcolo più semplice. Sono due e vedremo che potranno essere poi sintetizzate in una sola proprietà, che le include entrambe. La prima ci dice che l'integrale della somma o della differenza di due funzioni è uguale alla somma o differenza degli integrali delle due funzioni.
Quindi, l'integrale di f di x più o meno g di x è uguale all'integrale di f di x più o meno l'integrale di g di x. La seconda proprietà ci dice che l'integrale del prodotto di una costante e una funzione è uguale al prodotto della costante per l'integrale della funzione. Quindi l'integrale di k per f di x è uguale a k per l'integrale di f di x.
Questa proprietà è molto importante perché ci permette di portare fuori dal segno di integrale le costanti moltiplicative. Come accennato prima, possiamo sintetizzare queste due proprietà e dire che l'integrale è un operatore lineare. Vediamo qualche esempio di come applicare le proprietà per semplificare il procedimento di calcolo di un integrale indefinito.
In questo esempio possiamo portare fuori la costante 3 e lasciare all'interno dell'integrale il coseno. In quest'altro esempio, per integrare questo polinomio, possiamo scomporlo negli integrali di ognuno dei suoi termini, portando fuori le costanti dove necessario. Sembrerebbe tutto molto semplice, ma attenzione, perché si nascondono delle insidie e degli errori molto gravi che dobbiamo stare attenti a non commettere, per non compromettere un compito e tornare a casa con un 4. Prendiamo ad esempio l'integrale del prodotto di due funzioni. Verrebbe da dire, beh, questo è uguale al prodotto degli integrali delle due funzioni. Assolutamente no.
Magari fosse così facile. In realtà calcolare un integrale di questo tipo non è banale ed esistono delle tecniche per farlo e, spoiler, a volte neanche ci si riesce. Quindi, in un esempio come questo, attenzione a non scrivere l'integrale in questo modo.
Sarebbe un errore molto grave. Lo stesso discorso vale per l'integrale del quoziente di due funzioni, che non è uguale al quoziente degli integrali delle due funzioni. Anche per questo tipo di integrale esistono delle tecniche particolari e la sua risoluzione a volte è molto laboriosa. Prendiamo questo esempio.
Attenzione a non scrivere questo, perché sarebbe una cosa oscena. e il vuoto del compito o dell'interrogazione tenderebbe molto velocemente a zero. Se facciamo attenzione a queste trappole abbiamo già un grosso vantaggio. Abbiamo detto prima che l'integrazione è l'operazione inversa della derivazione e allora vediamo come ricavare alcune formule elementari proprio partendo dalle regole di derivazione.
Ci basterà leggerle al contrario. Per esempio, sappiamo che la derivata di x, la funzione identità, è uguale a 1. Allora l'integrale di 1 in dx sarà uguale a x più c. Ricordiamoci sempre di aggiungere la costante c. Di solito l'1 non si scrive e si scrive soltanto l'integrale di dx. Un altro esempio riguarda la funzione esponenziale e elevato x con e il numero di nepero.
La sua derivata è e elevato x. Allora il suo integrale sarà e elevato x più c. Questa funzione è molto particolare perché il suo integrale e la sua derivata hanno come risultato la funzione stessa.
Vediamo anche un esempio con una funzione goniometrica. La derivata del seno è coseno, allora l'integrale del coseno sarà seno di x più c. Attenzione invece all'integrale del seno di x.
Ci verrebbe da dire che questo è uguale a coseno di x più c, ma sarebbe sbagliato. Infatti... ricordando le regole di derivazione, la derivata del coseno non è seno, ma è meno seno.
Allora l'integrale del seno sarà meno coseno di x più c. Allo stesso modo possiamo trovare altre formule e qui riporto quelle che si ricavano da altre regole di derivazione delle funzioni elementari. Non sempre però abbiamo a che fare con funzioni elementari.
e il più delle volte dovremo calcolare integrali di funzioni composte. E allora vi consiglio questo video, nel quale spiego come ricavare le formule e come usarle nella pratica. Buon proseguimento e buono studio!