Indépendance des événements

Définition intuitive

• Deux événements A et B sont indépendants si l'occurrence de l'un n'influe pas sur l'autre.
• Exemple : lancer deux dés, le résultat de l'un n'affecte pas l'autre.

Expression mathématique

• Utilisation des probabilités conditionnelles :
  • $P(B|A) = P(B)$ si A et B sont indépendants.
  • Cela signifie que savoir que A s'est produit n'affecte pas la probabilité de B.

Formule de l'indépendance

• $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = P(B)$
• En croisant : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
• Cette dernière formule est toujours valable, même si $P(A) = 0$.

Différentes formes d'indépendance

• Trois façons de démontrer l'indépendance :
  1. $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
  2. $P(B|A) = P(B)$ (si $P(A) \neq 0$)
  3. $P(A|B) = P(A)$ (si $P(B) \neq 0$)

Méthodes de démonstration

1. Définition : Calculer $P(A \cap B)$, $P(A)$, $P(B)$ et vérifier si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
2. Propriété conditionnelle : Calculer $P(B|A)$ et $P(B)$, voir si $P(B|A) = P(B)$.
3. Propriété inverse : Calculer $P(A|B)$ et $P(A)$, voir si $P(A|B) = P(A)$.

Exercice d'application

• Question 1 : A (nombre impair), B (multiple de 5) entre 1 et 20.

  • Calculer les probabilités : $P(A)$, $P(B)$, $P(A \cap B)$.
  • Trouver que $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, donc A et B sont indépendants.

• Question 2 : Même exercice, mais avec 21 ajouté.

  • Calculs : $P(A)$, $P(B)$, $P(A \cap B)$.
  • Trouver que $P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$, donc A et B ne sont pas indépendants.

Incompatibilité vs Indépendance

• Incompatibles : A et B ne peuvent pas se produire simultanément (intersection vide).
• Indépendants : L'un n'influe pas sur l'autre.
• Ne pas confondre les deux concepts.

Récapitulatif

• Intuition : indépendance = absence d'influence.
• Trois méthodes pour démontrer l'indépendance.
• Pas d'équivalence entre incompatibilité et indépendance.