Alors dans cette vidéo, on va expliquer ce que ça signifie que de dire que deux événements sont indépendants. Et ensuite, on expliquera concrètement comment dans les exercices démontrer que deux événements sont indépendants ou ne sont pas indépendants. Voilà ce qu'on va faire dans cette vidéo. Alors si je vous dis que deux événements A et B sont indépendants, qu'est-ce que ça veut dire intuitivement ? Dire qu'ils sont indépendants, ça veut dire intuitivement que l'un ne va pas influer sur l'autre.
C'est ce que j'ai écrit ici. Par exemple, si on lance deux dés et qu'on obtient par exemple quatre avec le premier dés, le fait d'obtenir quatre avec le premier dés ne va pas influencer le résultat du deuxième dés. Donc dire que deux événements sont indépendants, ça signifie, mais de manière intuitive, que l'un ne va pas influer sur le second.
Maintenant, on va expliquer cette approche intuitive, on va essayer de l'écrire mathématiquement. Alors, pour cela, on va utiliser les probabilités conditionnelles. Si on calcule la probabilité de B sachant A, et qu'on suppose que A et B sont indépendants, c'est-à-dire que A n'influe pas sur B. Eh bien, si A n'influe pas sur B, la priorité de B sachant A, le sachant que, n'a aucun intérêt. Si A n'influe pas sur B, donc cette priorité, B sachant A, si j'insiste A et B sont indépendants, c'est-à-dire si A n'influe pas sur B, eh bien cette priorité est égale à la priorité de B, puisque si A et B sont indépendants, A n'influe pas.
Le fait de savoir quelque chose sur A, ça n'influe pas sur la priorité de B. Donc la probabilité de B sachant A est égale à la probabilité de B. Et donc la première façon de dire que A et B sont indépendants, c'est de dire que la probabilité de B sachant A est égale à la probabilité de B.
Pourquoi je le répète ? Parce que si les événements sont indépendants, A n'influe pas sur B, et donc cette probabilité ne dépend pas de A. Et donc elle est égale à B de B.
Alors comment on peut écrire ? P de B sachant A autrement ? Il y a une formule, c'est que la priorité de B sachant A, c'est égale à la, on l'a vu dans la précédente vidéo, c'est égale à la priorité de l'intersection, c'est-à-dire la priorité de A inter B sur la priorité de A.
Donc dire que ça, c'est égal à ça, comme ceci, c'est égal à cela, ça revient à dire que ça, c'est égal à P de B. Et si ici, on fait le produit en croix, dire ceci, c'est la même chose que dire que ceci, c'est-à-dire la probabilité de l'intersection, c'est égal à ça fois ça. C'est ce que j'ai écrit ici. Donc dire que deux événements sont indépendants, il y a déjà deux façons de le dire, soit ceci, soit cela.
Alors il y a quand même une petite subtilité, une petite différence entre ceci et cela, c'est que quand on a une probabilité conditionnelle, un sachant A, il faut que, comme on a un P de A au dénominateur, il faut que ce P de A soit différent de 0. Alors qu'ici, cette formule, elle marche tout le temps, même si P de A vaut 0. C'est pour ça que ceci... on va prendre ceci comme définition de A et B sont indépendants, et cela, qui est exactement la même chose à ceci près que P de A doit être différent de 0, et bien ceci, ce sera une propriété. Et donc on peut écrire comme définition que dire que A et B sont indépendants, c'est équivalent à dire que la priorité de l'intersection de A et B, c'est égal à P de A fois P de B.
Et si ce n'est pas égal, ça voudra dire qu'ils ne sont pas indépendants. Mais une autre façon de dire ceci, c'est de dire que P de B, c'est ce qu'on a écrit ici, P de B sachant A, égale... P de B. Donc dire ça ou dire ça, c'est la même chose et ça veut dire qu'ils sont indépendants.
La seule différence entre ça et ça, c'est que cette formule est toujours valable, alors que là, il faut que P de A soit différent de 0 pour pouvoir appliquer cette deuxième formule. Alors, ici, j'ai pris la probabilité de B sachant A. Mais je pourrais me poser la question, qu'est-ce qui se passe si je prends la probabilité de A sachant B, c'est-à-dire l'inverse ? Alors, dire que A et B sont indépendants, c'est-à-dire que B n'influe pas sur A. Ça veut donc dire que cette probabilité, elle ne dépend pas de B, B n'influe pas sur A.
Et donc, dire qu'ils sont indépendants, c'est dire que cette probabilité, c'est égale à la probabilité de A. Alors si je continue et que je fais le même raisonnement qu'ici, la priorité de A sachant B c'est égal à quoi ? C'est égal à la priorité de l'intersection, c'est-à-dire P de A inter B sur P de B égale à P de A. Et si on fait le produit en croix ici, on obtient à nouveau que la priorité de l'intersection c'est égal à P de A fois P de B.
Donc finalement, il y a encore une nouvelle façon de dire que deux événements sont indépendants. Soit on dit comme ici que P de B sachant A est égal à P de B, soit on dit que P de A sachant B est égal à P de A. Mais là encore, pour pouvoir appliquer cette probabilité conditionnelle, comme on a un P de B au dénominateur, et bien cette probabilité P de B, elle doit être différente de 0. Et donc j'écris la troisième façon de traduire que deux événements A et B sont indépendants, c'est de dire que la probabilité de A sachant B est égale à la probabilité de A.
puisque B n'influe pas sur A. Mais pour appliquer cette formule, on suppose que P de B doit être différent de 0. Donc finalement, il y a trois façons de dire que deux événements sont indépendants, soit avec l'intersection, soit avec cette probabilité conditionnelle, soit avec cette probabilité conditionnelle. Donc réalisez bien qu'il y a trois façons de dire que deux événements sont indépendants. Et du coup, il y aura donc trois méthodes pour démontrer que des événements sont indépendants. Et donc la première méthode pour savoir si deux événements sont indépendants, c'est celle qui correspond à la définition.
On va calculer P de A inter B, on va calculer P de A et P de B, c'est ce que j'ai écrit ici. On calcule P de A inter B, P de A et P de B, on calcule ces trois blocs et on regarde si ça fois ça est égal à ceci. On regarde si P de A inter B est égal à P de A fois P de B. S'ils sont égaux, alors ça veut dire que les événements sont indépendants.
Et s'ils ne sont pas égaux, ça veut dire qu'ils ne sont pas indépendants. On peut dire qu'ils sont donc dépendants. La deuxième méthode correspond à cette propriété.
Là, on calcule P de B sachant A et P de B. C'est ce que j'ai marqué ici. On calcule P de B sachant A et P de B. Et si ces deux probabilités sont égales, là encore, les événements sont indépendants. Et si ces deux probabilités ne sont pas égales, ça veut dire que les événements ne sont pas indépendants, c'est-à-dire qu'ils sont dépendants.
Et la dernière méthode, c'est celle qui correspond à ceci. On calcule P de A sachant B et P de A. Et on regarde si ces deux probabilités... sont égales et si P est égale à P et bien ça veut dire que les événements A et B sont indépendants et sinon ils sont dépendants.
Donc voilà les trois techniques pour savoir si deux événements sont indépendants. Et bien pour voir si vous avez bien compris ceci je vous propose tout de suite un petit exercice d'application. Alors maintenant appuyez sur pause, cherchez bien cet exercice puis seulement après avoir bien cherché regardez la correction. Alors, corrigeons la première question. On nous demande si les événements A et B, c'est-à-dire A c'est obtenir un nombre impair et B obtenir un multiple de 5, on nous demande si ces événements sont indépendants.
Eh bien, on va tout simplement essayer déjà d'appliquer la première méthode. La première méthode, il va falloir calculer P de A, P de B et P de A inter B. Alors, quand on a un exercice de probabilité, la première chose à faire, c'est de regarder quel est l'univers, c'est-à-dire l'ensemble de tous les résultats possibles.
Alors, l'univers souvent note ω et qu'elles sont... Donc tous les résultats possibles, ici c'est tous les nombres de 1 à 20, c'est ce que j'ai commencé par écrire sur ma copie. Ensuite, comme on s'intéresse à A et B, on dit ce qu'il y a dans A.
A, c'est le fait d'obtenir un nombre impair, donc dans A il y a 1, 3, 5, 7, c'est-à-dire tous les nombres impairs qui sont dans l'univers. Et B, c'est quoi ? C'est obtenir un multiple de 5. Donc c'est tous les multiples de 5 qui sont dans l'univers. Donc le premier multiple, ce sera 5, ensuite 10, 15 et 20. Ensuite, je rappelle qu'il va falloir calculer P de A inter B. Donc on va s'intéresser à A inter B.
A inter B, c'est quoi ? C'est les éléments qui sont dans A et dans B, c'est-à-dire ceux qui sont impairs et qui sont à multiple de 5. Les impairs qui sont à multiple de 5, là il y a les multiples de 5, il faut qu'ils soient impairs. Donc il y a 5, 10 ce n'est pas impair, et il y a 15. Donc voilà, 5 et 15, ce sont les seuls éléments communs à A et à B. Et donc A inter B est réduit à uniquement 5 et 15. Et maintenant je vais calculer les probabilités de A, de B et de A inter B.
Alors comment on fait pour trouver la probabilité de A ? D'abord on va compter le nombre d'éléments qu'il y a dans A. Tous les nombres impairs de 1 à 19, il y en a la moitié de tous les nombres qu'il y a entre 1 et 20. Entre 1 et 20, il y a 20 nombres. Donc des nombres impairs, il y en a la moitié, donc ici il y a 10 nombres. Donc il y a 10 nombres dans A.
Et donc s'il y a 10 nombres dans A, 10 nombres impairs, et que... au total il y a 20 nombres, la probabilité de tirer un nombre impair c'est 10 divisé par 20. On utilise donc une formule qui est que la probabilité de A, c'est le nombre d'éléments de A, qui est ici, c'est-à-dire 10 éléments, divisé par le nombre d'éléments de l'univers, c'est-à-dire 20. C'est-à-dire nombre de cas favorables divisé par nombre de cas possibles. Mais cette formule, elle ne s'applique que quand on est dans le cas d'une situation d'équiprobabilité. Ça veut dire quand chaque carton a la même probabilité de sortir, ce qui est le cas ici.
Et donc avant d'appliquer cette formule, il faut marquer sur votre copie qu'on est dans le cas d'une situation d'équip probabilité. Et donc P de A, c'est le nombre d'éléments de A, c'est-à-dire 10, divisé par le nombre d'éléments de l'univers, c'est-à-dire 20, c'est-à-dire 1 demi. De même pour la probabilité de B, ici il y a 4 éléments, divisé par le nombre d'éléments de l'univers, ça fait 20. Donc 4 sur 20, on simplifie, ça fait 1 cinquième. Et de même, la probabilité de A inter B, il y a deux éléments, deux éléments divisés par le nombre d'éléments de ω, c'est-à-dire 2 sur 20, c'est-à-dire 1 dixième.
Et maintenant, je continue ma méthode. J'ai calculé P de A inter B, j'ai calculé P de A et P de B, et je regarde si ça fois ça, c'est égal à P de A inter B. Alors P de A fois P de B, P de A, c'est-à-dire 1 demi fois P de B, 1 cinquième, ça fait 1 dixième. Et 1 dixième, c'est exactement P de A inter B. Donc comme...
Comme P2A fois P2B, comme P2A fois P2B, c'est égal à P2A inter B, on en déduit donc que les événements A et B sont indépendants. Alors maintenant, on nous demande si les événements A et B sont incompatibles ou pas. Alors déjà, il faut savoir ce que ça veut dire que incompatible.
Et surtout, ne pas mélanger incompatible et indépendant. Alors j'ai rappelé la définition de incompatible ici. Deux événements sont incompatibles. Intuitivement, ça veut dire qu'ils ne peuvent pas se produire en même temps.
c'est-à-dire lorsque leur intersection est vide, c'est-à-dire lorsqu'ils n'ont aucun élément commun. Par exemple, obtenir un nombre paire et obtenir un nombre impair. Il n'y a aucun élément commun entre les deux.
Et donc, avoir un nombre paire et avoir un nombre impair, c'est incompatible, parce que l'intersection entre paire et impair est vide. Donc, quand l'intersection entre A et B est vide, ça veut dire que les événements A et B sont incompatibles. Et justement, ici, l'intersection entre A et B, elle n'est pas vide.
Puisque ici, il y a 5 et 15. Et donc, comme elle n'est pas vide, ça veut dire que les événements A et B ne sont pas incompatibles. Ils sont donc compatibles. Et ça se comprend bien. A et B peuvent se réaliser en même temps. On peut très bien obtenir en même temps un nombre impair et un multiple de 5. 15, par exemple, c'est bien un multiple de 5 et un nombre impair.
Donc, on peut réaliser A et B peuvent se réaliser en même temps, soit avec 5, soit avec 15. Donc, les événements A et B ne sont pas incompatibles. parce que leur intersection n'est pas vide. Et donc j'écris, comme l'intersection de A et B n'est pas vide, et bien donc, ça veut dire que A et B peuvent se réaliser en même temps. Donc ils ne sont pas incompatibles, ils sont donc compatibles. Alors, corrigeons la deuxième question.
C'est exactement la même question, mais cette fois-ci, on rajoute un 21e carton sur lequel il y a rajouté 21. Alors qu'est-ce qui va changer ? Déjà, l'univers, au lieu de s'arrêter à 20, il va jusqu'à 21. Dans A, on a tous les nombres impairs. Donc on avait 19, ça s'est arrêté à 19, 20 il n'est pas impair, mais on rajoute 21. Quant à B, qu'est-ce qui va changer ? Comme c'est les multiples de 5, ça ne change rien pour B.
Et quant à A inter B, ce sont les éléments qui sont communs à A, à A et à B, donc c'est les nombres qui sont à la fois multiples de 5 et qui sont impairs. Les multiples de 5, les voilà, et les impairs, il n'y en a toujours que 2 qui sont 5 et 15. Donc pour A inter B, ça ne change rien non plus. Alors maintenant, on va calculer la probabilité de A.
Eh bien ici... Il y a un élément de plus, il y a 21 en plus que tout à l'heure. Donc comme tout à l'heure il y en avait 10, maintenant il y en a 11. Donc la probabilité de A c'est 11, mais pas sur 20, 11 sur 21, parce que dans Omega il y a 21 éléments. P de B, dans B il y a toujours 4 éléments, donc P de B c'est 4 sur 21. Et la probabilité de A inter B c'est toujours 2, mais cette fois-ci sur 21. Et maintenant, comme tout à l'heure, pour savoir si A et B sont indépendants, on calcule P de A fois P de B et on regarde si ça nous donne P de A inter B.
Eh bien... P2A fois P2B, ça fait 11 sur 21 fois 4 sur 21. Si vous faites le produit, ça ne vous donnera pas P2A inter B, ça ne vous donnera pas 2 sur 21. Donc comme P2A fois P2B n'est pas égal maintenant dans cette question à P2A inter B, eh bien ça veut dire que les événements A et B, cette fois-ci, ne sont pas indépendants. Alors faites bien attention parce que la seule différence entre la question 1 et la question 2, ce sont les mêmes événements, mais la seule chose qui a varié, c'est qu'on a rajouté un carton supplémentaire.
Le fait de rajouter un carton, dans la première question, les deux événements étaient indépendants. Et le fait d'avoir rajouté un carton dans la deuxième question, cette fois-ci, les événements n'étaient pas indépendants. Donc c'est assez subtil de savoir si deux événements sont ou pas dépendants ou indépendants. Donc à chaque fois, il faut faire le calcul pour s'assurer que les événements sont indépendants ou dépendants.
Et souvent, l'intuition est trompeuse. Dernière chose. Même dans la deuxième question, comme l'intersection de A et B n'est pas vide puisqu'il y a toujours 5 et 15, A et B peuvent se réaliser en même temps et donc ils ne sont pas incompatibles. Ils sont encore compatibles même dans la deuxième question. Par contre, ils ne sont cette fois-ci pas indépendants.
Alors si vous avez eu du mal à faire cet exercice, il est extrêmement important que vous le refassiez seul, mais cette fois-ci sans regarder la correction pour être sûr de le maîtriser parfaitement. Alors, qu'est-ce que vous devez retenir de cette vidéo ? Eh bien, vous devez retenir que d'abord, intuitivement, dire que deux événements sont indépendants, ça veut dire que l'un n'influe pas sur l'autre. Ça veut donc dire mathématiquement que la priorité de B sachant A, c'est égal à P de B.
Et on peut inverser, ça veut dire, ça se dit exactement de la même façon, au lieu de dire que la priorité de B sachant A est égale à P de B, ça peut se dire P de A sachant B égale P de A. Et enfin, ça peut se dire avec l'intersection P de A inter B égale P de A fois P de B. Donc si ça est réalisé...
ou ça est réalisé ou ça est réalisé, si une de ces trois conditions est réalisée, ça veut dire que les événements sont indépendants. Voilà ce qu'il faut retenir. Et donc concrètement dans les exercices, pour démontrer que deux événements sont indépendants, soit vous utilisez la première technique, vous calculez P2A, P2B, vous faites le produit et vous regardez si c'est égal à P2 inter B, soit vous calculez P2B sachant A et vous regardez si c'est égal à P2B, soit enfin vous calculez P2A sachant B et vous regardez si c'est égal à P2A. Dans le cas d'égalité, ça veut dire qu'ils sont indépendants.
Dans le cas où ce n'est pas égal, ça veut dire qu'ils ne sont pas indépendants. Dernière chose qu'il faut retenir, c'est que incompatible, ce n'est pas la même chose qu'indépendant. Incompatible, ça veut dire que les deux événements n'ont aucun élément commun. Alors que indépendant, c'est est-ce que l'un influe ou pas sur l'autre. Donc ne confondez pas incompatible et indépendant.
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