Wzory redukcyjne w trygonometrii

Wprowadzenie

• Wzory redukcyjne pozwalają obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów nieobecnych w standardowych tablicach, np. 120° czy 315°.
• Podejście pokazane w wykładzie unika używania gotowych wzorów.

Układ współrzędnych

• Oś pozioma: 0°, 180°
• Oś pionowa: 90°, 270°
• Pełne koło: 360°
• Ćwiartki: pierwsza, druga, trzecia, czwarta

Wierszyk trygonometryczny

• W pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie (sin, cos, tg, ctg).
• W drugiej ćwiartce tylko sinus jest dodatni.
• W trzeciej tangens i cotangens są dodatnie.
• W czwartej cosinus jest dodatni.

Przykłady praktyczne

Sinus 120°

• Rozpisanie: 120° = 90° + 30°
• Funkcja przejściowa: sinus przechodzi w cosinus
• Znak: Sinus dodatni (druga ćwiartka), cosinus 30° = (\frac{\sqrt{3}}{2})

Alternatywny zapis

• 120° = 180° - 60°
• Sinus pozostaje sinusem
• Znak: Sinus dodatni (druga ćwiartka), wynik: (\frac{\sqrt{3}}{2})

Cosinus 315°

• Rozpisanie: 315° = 270° + 45°
• Funkcja przejściowa: cosinus przechodzi w sinus
• Znak: Cosinus dodatni (czwarta ćwiartka), wynik: (\frac{\sqrt{2}}{2})

Alternatywny zapis

• 315° = 360° - 45°
• Cosinus pozostaje cosinusem
• Znak: Cosinus dodatni (czwarta ćwiartka), wynik: (\frac{\sqrt{2}}{2})

Cotangens 150°

• Rozpisanie: 150° = 90° + 60°
• Funkcja przejściowa: tangens przechodzi w cotangens
• Znak: Minus (druga ćwiartka, tylko sinus dodatni)
• Wynik: (-\frac{\sqrt{3}}{3})

Alternatywny zapis

• 150° = 180° - 30°
• Tangens pozostaje tangensem
• Znak: Minus (druga ćwiartka), wynik: (-\frac{\sqrt{3}}{3})

Cotangens 330°

• Rozpisanie: 330° = 360° - 30°
• Funkcja przejściowa: cotangens pozostaje cotangensem
• Znak: Minus (czwarta ćwiartka, tylko cosinus dodatni)
• Wynik: (-\sqrt{3})

Alternatywny zapis

• 330° = 270° + 60°
• Cotangens przechodzi w tangens
• Znak: Minus (czwarta ćwiartka), wynik: (-\sqrt{3})

Podsumowanie

• Wzory redukcyjne ułatwiają obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dla trudnych kątów.
• Istnieją różne sposoby przedstawiania kątów, co pozwala na wykorzystanie właściwości ćwiartek układu współrzędnych.