Vektori

Vektorin määritelmä

• Vektori on objekti, jolla on kaksi ominaisuutta:
  • Suunta: Kuvaa, mihin suuntaan vektori osoittaa.
  • Suuruus: Kuvaa vektorin pituuden.

Käyttötarkoitukset

• Vektoreita käytetään kuvaamaan asioita, kuten:
  • Voimaa
  • Tuulta (esim. länsituuli)

Vektorin liikkuvuus

• Vektorilla ei ole tarkkaa paikkaa:
  • Voidaan liikutella ilman, että vektori muuttuu.
  • Vektori muuttuu, jos:
    • Venytetään
    • Kutistetaan
    • Käännetään

Vektorien nimeäminen

• Vektorit nimetään:
  • Pienillä kirjaimilla (esim. a, b, c)
  • Suurilla kirjaimilla ja viivalla päällä (esim. ( \vec{a} ) tai ( \vec{a} \vec{b} ))
• Järjestyksellä on merkitystä:
  • ( \vec{a} ) ja ( \vec{b} ) tarkoittaa, että nuolen kärki osoittaa ( b ):hen.

Vektorin pituus

• Vektorin pituus merkitään itseisarvomerkinnällä (ei lueta itseisarvona).
• Vektorin pituus voi muuttua liikuttamalla nuolta.

Erikoistapaukset

• Nolla vektori:

  • Vektori, jolla ei ole suuntaa eikä suuruutta.
  • Merkitään nollaksi (
  • ( \vec{0} )), ja se on sama kuin piste.

• Vastavektori:

  • Vektori, joka on yhtä pitkä mutta osoittaa vastakkaiseen suuntaan.
  • Merkitään miinusmerkillä (esim. ( -\vec{a} )).

Samansuuntaiset ja vastakkaissuuntaiset vektorit

• Samansuuntaiset:

  • Vektorit, jotka kulkevat samassa linjassa.
  • Merkitään kahta nuolta ylöspäin (esim. ( \vec{a} \uparrow \vec{b} )).

• Vastakkaissuuntaiset:

  • Vektorit, jotka osoittavat vastakkaisiin suuntiin.
  • Merkitään nuolia eri suuntiin (esim. ( \vec{a} \downarrow \vec{c} )).

• Yhdensuuntaiset:

  • Yhdensuuntaiset vektorit voivat olla samansuuntaisia tai vastakkaissuuntaisia.
  • Merkitään kahdella viivalla (esim. ( \vec{A} \parallel \vec{B} )).

• Erisuuntaiset:

  • Vektorit, jotka eivät kulje samassa linjassa. Merkitään (esim. ( \vec{A} \neq \vec{D} )).

Vektoreiden välinen kulma

• Vektoreiden välinen kulma mitataan, kun ne alkavat samasta pisteestä.
• Kulma on nollan ja 180 asteen välissä.
• Esimerkiksi:
  • Samansuuntaiset vektorit: 0 astetta
  • Vastakkaissuuntaiset vektorit: 180 astetta.

Esimerkki kulmasta

• Esimerkki tasasivuisesta kolmioista:
  • A ja B -vektorit muodostavat tasasivuisen kolmion, jossa kaikki kulmat ovat 60 astetta.
  • Vektoreiden A ja B välinen kulma on 120 astetta (180 - 60).

Yhteenveto

• Vektorit ovat keskeisiä fysiikassa ja matematiikassa.
• Ymmärtäminen vektorin ominaisuuksista ja käsitteistä on tärkeää jatko-opinnoissa.