No, se on Ville täällä, terve! Aiheena vektori. Katsotaan mikä se vektori oikein on tällä videolla ja perusjuttuja siitä.
No niin, eli tässä onkin vektori. Vektori on semmoinen objekti, millä on kaksi ominaisuutta. Suunta ja suuruus. Eli suunta, mihin se osoittaa, sitä kuvaa tämä loppupisteeseen osoittava nuolen kärki. Eli tämä on alusta tänne loppuun, nuolen kärjen osoittamaan suuntaan.
Tämä kertoo vektorin suunnan, ja suuruus on tietysti kuinka pitkä se on. No mihin vektoreita käytetään, niin vektorilla on näppärää kuvata jotain vaikka voimaa, tai ajatellaan vaikka tuulta. Tietyn suuntaista tuulta, vaikkapa nyt tämmöistä länsituulta, eli tuulee tuolta lännestä itäänpäin, ja mitä voimakkaampi tuuli, sitä pitempi se. Vektori on ihan pieni tuuli, niin lyhyt vektori ja niin edelleen. Okei, vektorilla ei ole paikkaa, eli mä voin tätä ihan vapaasti liikutella, tätä vektoria, niin se on edelleen ihan sama vektori näin.
Eli vektorilla ei ole paikkaa, mutta heti jos mä venytän sitä tai kutistan tai käännän näin, niin silloin se ei ole enää sama vektori. Ajattelepa taas tuulta. Ihan sama ollaanko... vaikka jossain Lapissa tai Etelä-Suomessa, niin jos meillä on samansuuntainen ja samansuurunen tuuli, niin ihan sama tämmöinen voimavektorihan sitä tuulta kuvaa. Näin.
Eli vektorilla ei ole paikkaa, mutta heti jos käännät tai venytät, kutistat, niin se ei ole sama vektori. Okei, ruvetaan katsomaan vähän käsitteitä vektoreihin, eli miten me yleensä näitä vektoreita nimetään tässä, niin otetaan nyt tuohon meille tuommoinen noin, niin kaksi tapaa. Yleensä käytetään pieniä kirjaimia a, b, c, d, e ja niin edelleen. Ja vektoriin laitetaan tosiaan sinne nimeen päälle tuommoinen viiva, eli a-vektori siinä, noin.
No toinen vaihtoehto on, jos me tiedetään ne vektorin päätepisteet, niin käytetään niitä, että a, b ja viiva päälle. Ja tässä on nyt tällä järjestyksellä hirveä merkitys. Elikkä nämä on nimenomaan alkupiste, loppupiste, eli tämä jälkimmäinen on aina se, minne piirretään sitten se nuolenkärki, a-b. Jos mulla olisi vektori b, a, niin se olisi muuten ihan samanlainen, mutta se nuolenkärki olisikin täällä aassa, vektori b, a.
Eli tällä tavalla. Pikku a-vektori tai a, b-vektori, jos tiedetään päätepisteet. Hyvä.
No, vektorin pituus. Se merkitään tämmöisellä lukujen maailmasta tutulla itseisarvomerkinnällä. Tätä ei lueta vektorin itseisarvo, vaan vektorin pituus.
Näin. Eli vektorin pituus on 6,07. Jos mä tätä a-vektoria vähän tässä muuta, niin huomaatte, että pituuskin muuttuu.
Te ette voi merkitä tietenkään, että a on 6,07. Eihän vektorin nuoli voi olla sama kuin luku. Eli tässä on äärimmäisen tärkeää, että on nämä pylväät tässä ympärillä.
Eli vektorin, sen nuolen pituus, vektorin pituus on tommonen luku. Hyvä. Nolla vektori, mikä ihme se on? Nolla vektori on erikoistapaus, eli se on semmoinen vektori, millä ei ole suuntaa eikä suuruutta. Eli vaikka jos käytetään näitä pisteitä, niin toi B, niin vaikka Bstä Bhen menevä vektori, eli pisteestä itseensä.
No eihän semmoisella vektorilla nuolella ole pituutta eikä suuntaa, eli se on piste. Niin sitä sanotaan nolla vektoriksi, ja merkintä on nolla, ja siihenkin laitetaan kivasti toi hattu päälle. Nolla vektori, eli... Erikoistapaus vektorista, semmoinen millä ei ole suuntaa eikä suuruutta.
No, mikä se olisi vastavektori, niin jos a on tommoinen, niin vastavektori on tietysti ihan yhtä pitkä, mutta vastakkaiseen suuntaan osoittava, eli nyt itse asiassa toi vektori b-stä a-han, noin, a on vastavektori. Merkitään miinus eteen, ihan niin kuin lukujen maailmassa, hei, luvun 7 vastaluku, miinus 7, niin... Vektorin a vastavektori miinus a.
Eli se miinus kääntää sen nuolen kärjen tonne toiseen päähän. Hyvä. Vektori ja vastavektori.
Hyvä. No sit katsotaan minkälainen olisi samansuuntainen vektori kuin toi a. Niin vaikkapa tommonen noin.
Merkintä on tällainen a ja kaksi nuolta ylöspäin ja b. Eli vektorit a ja tuo b tuossa ovat samansuuntaisia. Näin. Eli ne ikään kuin menee samassa linjassa kulkeenaan, ja nuolen kärjet osoittaa samaan suuntaan. Samaan suuntaan, mutta ne ei tarvitse olla yhtä pitkiä.
Silloin ne olisi sama vektori, mutta samansuuntaisia. Tommoinen merkintä. No vastakkaissuuntainen on tietysti, että... Nuolen kärki osoittaa sinne vastakkaiseen suuntaan, eli tietysti meille olisi tässä ollut esimerkkinä jo toi a ja vastavektori, niin ne on tietysti vastakkaissuuntaiset, mutta ei sen tarvitse se vastakkaissuuntaisen olla yhtä pitkä, eli vaikkapa tommonen c-vektori, niin samassa linjassa kulkee kuin toi a, mutta nuoli osoittaa vastakkaiseen suuntaan. Merkintä a, nuoli ylös, nuoli alas c, eli a ja c ovat vastakkaissuuntaisia.
No, yhdensuuntainen vektori, mitä se tarkoittaa, niin se on yläkäsite näille samansuuntaiselle ja vastakkaissuuntaiselle. Merkintä on kaksi viivaa, eli ei nuolta ylös eikä nuolta alas. Eli A ja B, ne oli samansuuntaisia, niin ne on siis yhdensuuntaisiakin. Ja A ja C oli vastakkaissuuntaisia, niin ne on siis yhdensuuntaisia. Eli voit ajatella vaikka näin, että tämä yhdensuuntaisuus on yläkäsite, vähän kuin ihminen.
Ja ihmiset voi olla sitten... Jos ajatellaan nyt tällaista perinteisesti, niin miehiä ja naisia. Eli ihmiset jakautuu kahteen perinteisesti ajateltuna.
Miehet ja naiset. Nyt ne yhdensuuntaiset vektorit jakautuu samansuuntaisiin tai vastakkaissuuntaisiin. Eli yhdensuuntaiset tuulet voi olla samansuuntaisia tuulia tai vastatuulia keskenään.
Hyvä. No, erisuuntainen vektori. Älä sotke sitä vastakkaissuuntaiseen. vaan erisuuntainen on sitten, että se tosissaan on erisuunta, eli ne ei kulje samassa linjassa, niin vaikkapa tämmöinen D, niin kaksi viivaa ja sitten genoviiva siihen, että ne eivät ole yhdensuuntaisia, eli ne on erisuuntaiset vektorit, nuo A ja D nyt esimerkiksi tässä näin.
Hyvä, tässä oli monta käsitettä, nyt käyppä nämä vielä ajatuksella läpi, ei ole vaikeaa nää, miten nimetään vektoripituuteen, muistat nämä pylväät tohon, kun puhut vektorin pituudesta, niin ehdottomasti ne pylväät siihen vektorin ympärille. Älä unohda noita hattuja ikinä vektorista. Nolla-vektori oli erikoistapaus vastavektori.
Yläkäsite yhdensuuntaiset jakautu samansuuntaisia vastakkaissuuntaisia. Merkinnät näin. Ja sitten erisuuntaisia on, kun eivät ole yhdensuuntaisia. Okei.
No niin, ja sitten vektorien välinen kulma on seuraava käsite. Eli mulla on tässä nyt kaksi vektoria, A ja B. Niitähän saa liikutella vapaasti, niillähän ei ole paikkaa.
Tässä näin muistat, että vektorilla ei ole paikkaa, kunhan et vaan käännä niitä. Mikä on noitten välinen kulma? No vektoreiden välinen kulma tarkoittaa sitä, kun ne laitetaan alkamaan samasta pisteestä.
Eli ei peräkkäin, vaan ne alkaa samasta pisteestä. Okei, no silloinhan syntyy kaksi kulmaa. Tämä kulma ja sitten täällä tämä toiselle puolelle näin. niin on sovittu, että vektoreiden välinen kulma on aina nollan ja 180 asteen välissä.
Noin. Eli se on aina tämä pienempi kulma näin. Noitten vektoreiden välinen kulma on 53,8 astetta. Näin.
Siinä se on. P-tä voisi liikutella minne vaan. Eli ne vektorit ei muutu mihinkään, ne voidaan siirtää alkamaan samasta pisteestä.
No erikoistapauksia on tietysti sitten ne, että jos ne on... Samansuuntaisia ne vektorit, mietippä paljonko silloin on niitten välinen kulma, aivan samansuuntaisia, niin nolla astettahan on silloin niitten välinen kulma. Ja jos ne on vastakkaissuuntaisia, niin silloin ollaan siinä toisessa R-tapauksessa, että ne on se niitten välinen kulma 180 astetta. En nyt saa ihan niitä tässä menemään vastakkaisuuntaiseksi, mutta aika lähelle noin. Mutta aina se pienempi kulma tässä, mikä syntyy, kun ne alkaa samasta pisteestä.
Hyvä, se on vektoreiden välinen kulma C. No vielä pikku esimerkki tästä kulmahommasta, eli pitäisi tuommoisessa kuviossa määrittää sen kuvion avulla vektoreiden A ja B välinen kulma. Tuossa on näköjään kolme vektoria, kaksi niistä on nimetty, noin A ja B, ja ne muodostaa näköjään tasasivuisen kolmion. Kaikki kulmat on 60 astetta näin, niin se on tasasivuinen kolmio näköjään.
Okei. Mikä on vektoreiden a-ja b-välinen kulma? Ahaa, ei kai hätäisimmät siellä vaan ajatellut, että se on tuo 60 astetta. Vektoreiden välinen kulma on se kulma, kun ne alkaa samasta pisteestä. Nyt tähän pisteeseen loppuu b-vektori ja siitä alkaa a-vektori, eli 60 astetta ei ole vektoreiden a-ja b-välinen kulma.
Aivan, pitää olla tarkkana. Eli, no mikä se kulma sitten on, niin vektorillahan ei ole paikkaa. Eli mä voin vapaasti siirtää vektoria, niin mä voin ottaa vaikka toisen vektorin b, tommosen noin, b-vektorin tosta, ja siirrän sen alkamaan samasta pisteestä, mistä a-vektori alkoi. Noin.
Eli nyt ne alkaa tuosta pisteestä, A-vektori ja B-vektori. Ja niiden välinen kulmahan on silloin 120 astetta, koska jos toi on 60 astetta, niin 180 minus 60, niin tohon jää 120 astetta. Eli A-ja B-välinen kulma olikin 120 astetta. Hyvä!
Hei, paljon perusjuttuja vektoreista tällä videolla ja kulmajuttuja ja muuta, niin nytten tiukasti laskujen kimppu ja ilolla uuteen juttuun, eli vektoreihin. Vauhti!