care amiche e cari amici Bentornati sul canale ho deciso di realizzare una playlist di goniometria e trigonometria al momento sul canale ci sono già diversi video su questi argomenti ma voglio trattarli in modo organico in modo che chi li veda possa acquisire delle conoscenze il più possibile complete e coerenti su questo argomento Se sei interessato a questo argomento e a molti altri di matematica e fisica se non l'hai ancora fatto Ti consiglio di iscriverti al canale e accendere la campan Ella per non perderti le novità siccome in goniometria in trigonometria molto spesso si utilizzano i radianti per gli angoli piani anziché gradi sessagesimali questo primo video ha lo scopo di spiegare che cosa sono i radianti E qual è la loro utilità Allora anzitutto un po' di terminologia questi che vedete sulla sinistra sono gradi sessagesimali Che vuol dire in base 60 Infatti 1 grado è uguale a 60 primi e 1 Prim uguale a 60 secondi quindi non sono sottomultipli in base 10 ma sono sottomultipli in base 60 Inoltre l'angolo giro È uguale a 360° quindi anch'esso è un multiplo di 60 perché 360 è 6 vol 60 l'unità di misura è questo pallino che è appunto il grado sessagesimale Invece qui abbiamo lo stesso angolo espresso in radianti il cui simbolo è Rad il pallino quindi non va messo Perché i radianti non sono gradi ma sono radianti un angolo di 60° sessagesimali è uguale a un angolo di pi / 3 radianti la prima volta che si a che fare con i radianti viene spontaneo chiedersi Perché fare questa cosa che sembra masochistica abbiamo 60 che è un bel numero intero con tanti divisori e dobbiamo trasformarlo in un numero irrazionale oltretutto espresso sotto forma di frazione quindi renderà anche più lungo fare addizioni e sottrazioni e queste perplessità iniziali spesso permangono per molti anni quindi lo scopo di questo video è fare chiarezza su questa cosa E vedrete che alla fine sarete convinti anche voi che utilizzare i radianti offre tantissimi vantaggi pratici proprio dal punto di vista dei calcoli però prima di iniziare a parlare di radianti vediamo perché sono comodi anche i gradi sessagesimali e la spiegazione È molto semplice perché l'angolo giro che è 360° è un numero che ha molti divisori piccoli Infatti contiene i primi tre numeri primi trea i suoi divisori primi Infatti 360 è = 2 ^ 3 * 3 ^ 2 * 5 Se fate 8 * 9 * 5 ottenete 360 e questo comporta che se dividete l'angolo giro in un certo numero di parti uguali è molto probabile che ciascuna parte sarà esprimibile con un numero intero ad esempio Mezzo angolo giro o per brevità mezzo giro È uguale a 360 / 2 che fa 180° è un numero intero perché qui c'è il due Tra i fattori primi se prendo un terzo di giro divido per 3 c'è anche il 3 e quindi ottengo di nuovo un numero intero 120° Se divido per 4 ottengo 90° e così via se divido per 5 ottengo 72° perché c'è il 5 se divido per 6 ottengo 60° perché c'è sia il 2 sia il 3 Se divido per 7 ottengo un numero con la virgola infatti il 7 non c'è tra i numeri primi però se divido per 8 va bene per 9 va bene ben eccetera quindi è molto comodo utilizzare 360 per l'angolo giro invece il radiante è una unità di misura che pone l'angolo piatto uguale a Pi greco e tutti gli altri angoli saranno in proporzione quindi l'angolo retto che è la metà di un angolo piatto è uguale a pi FR 2 L'angolo di 30° che è 1/6 dell'angolo piatto sarà pi FR 6 eccetera qual è il vantaggio di questa nuova unità di misura per per capirlo dobbiamo anzitutto ricordare Qual è il significato di pi p greco esprime il rapporto tra una lunghezza di una circonferenza e il suo diametro dato che tutte le circonferenze sono simili tra loro questo rapporto sarà sempre costante e lo chiamiamo Pi greco quindi applicando la formula inversa la lunghezza della circonferenza uguale a Pi greco per il diametro se poi ricordiamo che il diametro e due volte il raggio otteniamo la nota formula lunghezza della circonferenza uguale 2 pi * R In conclusione l = 2 pi R non è una formula che viene dimostrata partendo da altre formule ma una banale Conseguenza della definizione di Pi bene detto questo riprendiamo la nostra circonferenza E consideriamo un angolo al centro di 180° e chiamiamo L1 la lunghezza dell'arco che insiste sull'angolo di 180° nota la formula sopra Cioè l = p r se vi chiedessi quanto vale la lunghezza di L1 voi che cosa mi rispondereste Beh il ragionamento è abbastanza semplice dato che L1 è la metà di L perché L'angolo di 180° divide la circonferenza in due parti uguali Allora per calcolare la lunghezza L1 Basta dividere per 2 la formula precedente e quindi L1 è = pi * R E se invece l'angolo fosse di 90° e L2 l'arco associato quanto varrebbe la lunghezza L2 Beh di nuovo 90° eh crea un quarto di circonferenze quindi Basta dividere la lunghezza iniziale per 4 o se preferite dividete L1 * 2 in entrambi i casi si ottiene che la lunghezza di L2 è uguale a pi FR 2 * R possiamo procedere così con qualunque angolo se l'angolo fosse di 60° 60 è la sesta parte di 360 e quindi dividiamo la lunghezza iniziale per 6 Ottenendo 2 pi FR 6 che vale pi FR 3 * R se l'angolo è di 45° possiamo ad esempio dividere per 2 l'arco associato all'angolo di 90° e otteniamo pi FR 4 * R da qui nasce l'idea se L'angolo di 180° lo chiamiamo Pi greco Allora possiamo notare che l 1 è proprio uguale a quest'angolo cioè pi Gre per il raggio r e la stessa cosa vale in tutti gli altri casi se quest'angolo l'abbiamo chiamato Pi greco questo che è la metà di 180° lo chiameremo pi FR 2 e di nuovo L2 è uguale all'angolo per R E se considero un generico angolo al centro Alfa ed esprimo quest'angolo in radianti Allora il corrispondente Arco l primo sarà tale che la sua lunghezza è uguale ad alfa * R ma solo se alfa è espresso in radianti e quindi vedete che i radianti sono una unità di misura estremamente naturale estremamente diretta perché permettono di esprimere un'immediata relazione tra l'Arco e l'angolo mentre 360 è un numero preso a caso semplicemente comodo perché ha tanti divisori primi Ma si poteva anche scegliere 100° per l'angolo giro 1000 Anche questi sono numeri comodi che offrono altri vantaggi invece il radiante permette di collegare in modo immediato l'arco all'angolo quindi riassumendo se io scelgo un'unità di misura che chiamo radiante tale che l'angolo giro È uguale a 2 P greco radianti Allora se l'angolo vale Alfa la lunghezza dell'arco è uguale ad alfa per il raggio inoltre il radiante è anche comodo per calcolare l'area del settore circolare Infatti ricordando che l'area del cerchio è uguale a p greco per il raggio all seconda e ho fatto un video in cui dimostro questa formula in vari modi e p greco è la metà dell'angolo giro allora se avessi un angolo alfa generico e volessi calcolare l'area del settore circolare cioè questa parte che colorato in blu Allora l'area facendo una proporzione con questa formula del cerchio Sarebbe uguale alla metà dell'angolo al centro quindi Alfa FR 2 per il raggio alla seconda con queste due formule sulla destra si possono risolvere molti problemi legati alle lunghezze alle superfici che hanno a che fare con circonferenze cerchi ad esempio ho pubblicato un video in cui mostro Come calcolare il perimetro e l'area di un segmento circolare il segmento circolare è la regione di piano delimitata da una corda e da un arco di circonferenza mentre il settore circolare e tutto lo spicchio concludo con due interessanti osservazioni sui radianti La prima è che se la circonferenza ha raggio 1 Allora la misura dell'Arco è uguale alla misura dell'angolo ovviamente purché l'angolo sia espresso in radianti Infatti dalla formula generica l = Alfa per R se pongo r = 1 Allora L è proprio uguale ad alfa quando il raggio vale 1 si parla di circonferenza goniometrica proprio perché misurando gli archi possiamo misurare direttamente gli angoli quindi goniometrica misura dell'angolo e la seconda osservazione che è importantissima perché ci permette di capire ancora più a fondo perché è importante utilizzare i radianti è che quando l'angolo è piccolo allora tale angolo è quasi uguale al suo seno cioè al seno dell'angolo stesso questo vero purché l'angolo sia espresso in radianti cerchiamo di capire meglio quello che voglio dire con un disegno consideriamo un angolo alfa piccolo abbiamo visto che l'arco associato è uguale a r * Alfa mentre come spiegherò meglio nei prossimi video questa linea rossa è uguale a r per il seno di Alfa se l'angolo è molto piccolo questa linea rossa e questa Linea Verde sono lunghe e quasi uguali quella verde è leggermente più lunga ma di pochissimo e quindi semplificando R possiamo concludere che il seno di alfa è quasi uguale ad alfa chiaramente dire che l'angolo è piccolo è un modo poco rigoroso di esprimersi Infatti l'ho messo tra virgolette perché quanto è piccolo il modo corretto di esprimere questo concetto in matematica è affermare che se l'angolo tende a zero e l'angolo l'ho indicato con una generica X quindi se X tende a 0 Allora il seno di x FR x è UG ad 1 una frazione vale 1 se il numeratore è uguale al denominatore quindi vuol dire che più l'angolo è piccolo più seno di X e X tendono a essere uguali e qual è la conseguenza del fatto che questo limite sia uguale a 1 la conseguenza sta nel fatto che la derivata del seno di x è uguale al coseno di X infatti la derivata è definita come limite del rapporto incrementale con l'incremento che tende a zero Se hai appena iniziato a studiare goniometria probabilmente non sai ancora che cos'è una derivata questo commento è destinato a chi ha già delle conoscenze avanzate però ho fatto un video sulle derivate in cui spiego in modo abbastanza semplice questi concetti Inoltre l'integrale indefinito del coseno di x è uguale al seno di x + C solo se x è in radianti e quindi vedete che nell'analisi matematico in fisica ove si calcolano molto spesso derivate integrali utilizzando i radianti i calcoli risulteranno molto più snelli e quindi quando si inizia a utilizzare la matematica in modo un pochino più avanzato i gradi sessagesimali vengono non abbandonati completamente spero che tu abbia trovato queste riflessioni interessanti Il video è terminato Grazie per avermi seguito e ci vediamo alla prossima ciao