[Rires] [Musique] bonjour dans cette vidéo je te propose de revoir tout le cours sur le chapitre géométrie dans un repère l'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre plus précisément on fera d'abord un petit rappel sur ce conseil déjà sur ce chapitre puis on parlera de vecteurs normals et on finira par l'équation du cercle pour préparer un contrôle ou même un examen il te faudra également t’entraîner sur des exercices je te conseille donc de cliquer sur le lien qui te mènera vers d'autres vidéos proposant de nombreux exercices sur le thème de la géométrie dans un repère en tout cas pour le cours c'est parti alors déjà ce qu'il faut dire c'est que on aura très peu de contenus dans ce chapitre c'est un cours très réduit même en ajoutant les rappels donc ce qui était essentiel et je le répète encore c'est de faire des exercices dans ce chapitre de bien connaître les méthodes ça il faut quasi les apprendre ces méthodes connaître la technique par exemple pour montrer que deux droites sont parallèles pour déterminer une équation de droite lorsqu'on connaît un point de la droite et un vecteur directeur etc alors comme annoncer quelques rappels rapidement des gens se souvient qu'on a moyen d'exprimer une équation de droite de deux manières soit sous sa forme cartésienne AX + by + C = 0 donc à la place de ABC tu as des nombres des nombres réels soit sous sa forme réduite y = MX + P donc pareil M&P ce sont des nombres sauf que cette année on va pas tellement utiliser l'équation réduite on va plutôt travailler avec les équations cartésiennes tu vas comprendre pourquoi dans la suite du cours c'est lié au vecteur normal qui est assez pratique lorsqu'on a une équation cartésienne lorsqu'on a une équation cartésienne en tout cas on a vu l'année dernière qui était possible de récupérer un vecteur directeur tout simplement je prends les coefficients a et b et un vecteur directeur de ma droite a pour coordonné - B A on a aussi vu ce qui s'appelle le critère de colinéarité c'est à dire lorsqu'on a les coordonnées de deux vecteurs il est possible de vérifier que ces deux vecteurs sont colinéaires c'est-à-dire ces deux vecteurs sont dans la même direction et bien il suffit de faire avec les coordonnées données X et Y prime moins y X' ça doit être égal à 0 tout simplement une relation de proportionnalité entre les coordonnées c'est un produit en croix qui est caché ensuite si on a approuvé que deux droites sont parallèles bon là en général on passe par les vecteurs directeurs il suffira de prouver justement que les deux vecteurs directeurs sont colinéaires et on pourra passer éventuellement donc par le critère de colinéarité on a vu également deux petites formules l'une qui nous donnait la distance entre deux points et l'autre qui nous donnait les coordonnées du milieu d'un segment alors bon ben voilà je les rappelle simplement ici je vais pas les lire tu les vois donc ces deux formules je précise juste une chose quand on parle de distance AB on peut parler également de normes du vecteur AB c'est quasi un synonyme mathématique cela va juste dépendre du contexte dans lequel on est on peut passer au vecteur normal à une droite alors pour parler de vecteurs normal à une droite on va s'appuyer sur ce qu'on connaît déjà c'est à dire un vecteur directeur à une droite je l'ai dit tout à l'heure donc U est un vecteur directeur à la droite D cela signifie que u on le voit ici et D sont dans la même direction qu'est-ce que c'est qu'un vecteur normal et bien c'est un vecteur qui n'est pas dans le même direction mais mieux que ça il est orthogonal à n'importe quel vecteur directeur de d donc bah voilà par exemple ici j'ai construit un vecteur normal ces deux vecteurs ici sont orthogonaux alors habituellement on note un vecteur normal n avec une flèche bien sûr on aurait envie de dire également que N et d forme un angle droit c'est assez vrai mais en général on passe par le vecteur directeur donc ici vecteur directeur à la droite d ici vecteur normal à la droite D la définition et la suivante on appelle vecteur normal à la droite D connecteurs bon non nul orthogonal un vecteur directeur 2D et ceci est très intéressant on va le voir tout de suite car au niveau algébrique et bien on va ça va grandement nous simplifier les calculs pourquoi et bien parce que autant pour le vecteur directeur c'est un peu casse-pied toujours à récupérer les coordonnées - B a que pour les vecteur normal c'est extrêmement simple j'ai un vecteur normal de coordonnées A B et bien dans ce cas là une équation cartésienne de la droite dont le vecteur normal et ce vecteur n de coordonnées AB et AX + by + C = 0 exactement dans le même ordre c'est extrêmement pratique et on le voit cette propriété connaît une réciproque ça marche dans les deux sens si j'ai une équation de droite du type AX + by plus c'est égal à zéro et bien je vais directement récupérer A et B pour fabriquer un vecteur normal pour fabriquer les coordonnées d'un vecteur normal par exemple j'ai la droite d'équation 2x - 4Y + 1 = 0 et bien sans trop réfléchir je récupère un vecteur normal à cette droite celui de coordonnées 2 - 4 alors que pour le vecteur directeur c'est un peu plus compliqué on va l'appeler U c'est donc de la forme - B a donc - B l'opposé de - 4 et 2 voilà donc les coordonnées du vecteur d'un vecteur directeur à ma droite D ces deux vecteurs doivent être orthogonaux ce qui signifie que leur produit scalaire doit être nul bien vérifions le je fais N scalaire u = a 2 x 4 + - 4 x 2 bon pas besoin de réfléchir trop longtemps pour voir que tout ceci fait zéro le vecteur n est bien orthogonal au vecteur u c'est normal celui-ci est normal celui-ci est directeur et alors qu'est-ce qu'il faudra savoir faire dans ce chapitre j'ai mis les vidéos en lien là-haut il va falloir déterminer une équation de droite connaissant un point et un vecteur normal alors ça ressemble un peu à ce qu'on faisait l'année dernière ou on connaissait un point et un vecteur directeur sauf que là tu l'as compris maintenant pour le vecteur normal c'est plus facile donc tu écriras déjà le début de ton équation cartésienne avec AX + by donc A B seront connues plus c il faudra le déterminer et pour déterminer c'est la méthode exactement la même que celle de l'année dernière bien vu que tu auras les coordonnées d'un point tu vas simplement substituer substituer les coordonnées de ce point dans l'équation et tu trouveras le dernier coefficient C tout est expliqué dans la vidéo il faudra aussi déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite donc je rappelle j'ai une droite un point et je projette orthogonalement donc je construis ici une perpendiculaire à ma droite et là je trouve un point là il faudrait déterminer les coordonnées de ce point là alors là l'exercice est un peu plus compliqué ça mène à la fin à résoudre un système si tu ne sais pas le faire je t'invite à t’entraîner le lien était également ici à droite avec les autres vidéos on peut parler maintenant d'équation de cercle bien pour le cercle ça va aller très vite également il y a quasi pas de contenu juste une propriété qu'on va voir tout de suite pour le reste ce sont des techniques donc des méthodes à connaître et à s'entraîner si on te dit donc que tu as un cercle dont tu connais le centre a et ses coordonnées x et y le rayon se sert c'est petit air et bien dans ce cas là tu peux écrire une équation de ce cercle elle est sous la forme x - au carré plus y - au carré égale r au carré donc ça signifie quoi ça signifie que tous les points de coordonnées X Y du cercle vérifie cette équation concrètement un exemple on se donne donc un cercle deux centres a qui a pour coordonné trois - 1 et de rayons donc est régal à 5 et bien dans ce cas là une équation de ce cercle est x - Xa donc x - 3 au carré + y - 1 donc plus un au carré égal à 5 au carré égal à 25 voilà et je le répète cela signifie que tous les points de coordonnées xy qui sont sur le cercle vont vérifier cette équation x - 3² + y + 1² = 25 alors qu'est-ce qu'il faut savoir faire la base donc bien sûr c'est déjà de déterminer une équation de cercle on va comme on vient de le faire ça c'est facile mais parfois le rayon n'est pas donné on te donne un point du cercle donc on te donne les coordonnées du centre du cercle et les coordonnées d'un point du cercle donc il faut calculer cette distance et pour cela on utilise donc la formule qui est que j'ai rappelé tout au début donc qui est connu déjà depuis la classe de seconde AB égal racine de machin chose il faut également déterminer savoir déterminer les caractéristiques d'un cercle lorsqu'on donne son équation alors parfois c'est facile lorsque l'équation est donnée sous cette forme très facile ici de récupérer les coordonnées très facile de récupérer le rayon sauf que par moment l'équation du cercle elle est développée ici parce que là j'ai des identités remarquables donc je pourrais développer réduire ces expressions et parfois les données donc sous forme développées réduite donc on ne voit plus ici les coordonnées de mon centre ni même le rayon il faut donc factoriser à nouveau ça et donc utiliser donc la méthode qui met une expression sous sa forme canonique voilà j'en ai fini je te souhaite plein de courage pour préparer ton contrôle ou ton examen à bientôt cette séquence est terminée