Bonjour, dans cette vidéo tu vas apprendre à étudier les variations de la fonction cube. Alors avant de parler de la fonction cube, on peut parler de quelque chose que l'on connaît bien, c'est la fonction carré. La fonction carré qui a un nombre renvoie son carré, c'est à dire le nombre multiplié.
par lui-même. Eh bien la fonction cube, évidemment, elle va renvoyer son cube, c'est-à-dire le nombre multiplié par lui-même, multiplié par lui-même, on le multiplie trois fois de suite. Par exemple, si tu prends 5, eh bien le cube de 5, ça sera...
5 multiplié par 5, multiplié par 5. 5 fois 5, 25 fois 5, 125. Par la fonction cube, l'image de 5 est 125. Alors, voyons d'autres exemples. Déjà, notons la forme générale de la fonction cube. C'est donc la fonction qui a x associé x au cube.
Si je prends par exemple 0, eh bien, la fonction cube me renvoie 0 au cube, c'est-à-dire 0 multiplié par 0, de toute façon, ça fait 0. Si je multiplie encore une fois par 0, Je n'irai pas beaucoup plus loin. Pour 1, par contre, pour 1, eh bien, l'image de 1, c'est 1 au cube, c'est-à-dire 1 fois 1 fois 1, qui donne 1. Pour 2, alors, pour 2, l'image de 2, eh bien, c'est 2 au cube, autrement dit, 2 fois 2, 4, fois 2, 8. Pour 3. 3 au cube, c'est-à-dire 3 fois 3, 9, fois 3, 27. On voit que ça monte vite. Regardons ce qui se passe dans les négatifs. On avait 3, on va prendre moins 3. Alors, moins 3, ça me renvoie donc moins 3 au cube. Là, il y a un signe.
Occupons-nous déjà du signe. Qu'en est-il pour moins, multiplié par moins, multiplié par moins, puisque j'aurai donc moins 3 fois moins 3 fois moins 3. Eh bien, on sait qu'un... produit de trois facteurs négatifs et négatifs.
Pour la partie numérée, on l'a fait juste au-dessus. 3 x 3 x 3, 27. Résultat, moins 27. Pour moins 2, il en est de même, c'est-à-dire moins 2 au cube. J'ai donc moins 2 x moins 2 x moins 2, trois facteurs négatifs.
Pour le nombre, 2 x 2 x 2, 8. Résultat, moins 8. Et on va finir par moins 1. L'image de moins 1. c'est moins 1 au cube, c'est-à-dire moins 1 fois moins 1 fois moins 1, autrement dit, moins 1. Observons ces résultats et essayons de conjecturer les variations de notre fonction cube. Alors regardons déjà sur les valeurs positives. Quand x grandit, 0, 1, 2, 3, on constate qu'il en est de même pour le cube.
0, 1, 8, 27, ça grandit même de plus en plus vite. Eh bien oui, pour des valeurs positives. positive la fonction cube et croissante est-ce qu'il en est de même sur les valeurs négatives bien là on a encore des valeurs négatives qui grandissent moins 3 moins 2 moins 1 qu'est-ce qui se passe pour les cubes bien moins 27 tout en bas moins 8 on remonte un peu moins 1 on remonte et bien pour des valeurs négatives 2x croissante la fonction cube est également croissante conclusion la fonction cube et croissante sur les négatifs croissante sur les positifs, elle est donc croissante sur tous les réels qui est son ensemble de définition.
On peut dresser son tableau de variation. Alors, pour les x, la ligne des x, on a dit que la fonction est définie sur r, donc de moins l'infini à plus l'infini, et donc la fonction cube est croissante sur l'ensemble des réels. Très bien, alors tout ça c'est intéressant mais pas très parlant. On va quand même représenter cette fonction cube pour voir à quoi elle ressemble. On retrouve effectivement le fait qu'elle est croissante sur son ensemble des définitions, donc sur R.
Et on constate ici qu'on aurait comme deux branches de paraboles symétriques, mais ce n'est pas une parabole, symétriques par rapport au centre du repère, donc par rapport à l'origine du repère. Et ceci, on peut le constater déjà sur les valeurs qu'on a... calculé tout à l'heure.
3 moins 3 me renvoie 27 moins 27. 2 et moins 2 me renvoient 8 et moins 8. 1 et moins 1 me renvoient 1 et moins 1. Effectivement, j'ai une certaine symétrie sur l'ensemble des valeurs que j'ai calculées précédemment que je retrouve dans sa représentation. La fonction cube a pour centre de symétrie l'origine du repère. On voit également certaines valeurs qu'on a calculées ici. Par exemple, que l'image de 1 est 1, ou encore que l'image de moins 2 est moins 8. Voilà, cette séquence est terminée.