Hallo ihr Lieben, heute habe ich euch eine ganz klassische Textaufgabe zum Thema Parabeln mitgebracht, die wir einfach mal Schritt für Schritt gemeinsam durchgehen. Die Flugbahn eines Golfballs kann durch folgende Funktionsgleichung beschrieben werden. Hier bekommen wir die Funktion gegeben. Dabei gibt x die Entfernung des Golfballs vom Abschlag auf dem Boden in Metern an und y die Höhe des Golfballs in Metern. Bevor wir jetzt zu Teil A, B und C kommen, lasst uns vielleicht erst mal dieses Szenario skizzieren, dass wir ein bisschen besser verstehen, worum es hier geht.
Wir bekommen ja eine Funktion gegeben, eine Parabel. Das erkennen wir an dem x hoch 2. Und wenn wir die mal in ein Koordinatensystem einzeichnen, x-Achse, y-Achse, dann wie sieht es aus hier vorne im Koordinatenursprung? Wo ist da unser Golfball?
Weil das soll ja die Flugbahn des Golfballs skizzieren. Wir wissen aus der Realität, der Golfball sollte auf dem Boden starten. Also y gibt ja die Höhe des Golfballs an. Aber das können wir auch überprüfen an unserer Funktionsgleichung.
Da können wir einfach mal 0 einsetzen für das x. Wenn wir das machen, für x hier 0 eingesetzt, wird der Teil hier vorne zu 0. Plus, wenn wir hier 0 einsetzen, wird der Teil zu 0. Dann wird das ganze Ding zu 0. Also wenn x 0 ist... ist auch y0 und dann wissen wir, okay, die Realität gibt uns recht, der Golfball wird hier im Koordinatenursprung starten. Und dann sehen wir an der Gleichung, dass hier bei dem x² Teil, da steht ein Minus vorne dran.
Dann wissen wir, die Parabel ist nach unten geöffnet, also so wie wir es uns eben vorstellen, wird dieser Golfball hier langfliegen und irgendwann nochmal auf dem Boden ankommen. Das ist das Szenario, worum es hier geht. Und y, wie gesagt, gibt die Höhe unseres Golfs.
Golfballs an und X gibt an, wie weit unser Golfball vom Abschlag entfernt ist. Also hier vorne schlagen wir ab und je nachdem, wo wir uns dann hier auf der X-Achse befinden, wissen wir, okay, so weit sind wir vom Abschlagpunkt entfernt. Also macht euch die Aufgaben erstmal ein bisschen klar, bevor ihr überhaupt weiterlest, wie das Szenario hier aufgebaut ist. Und dann gehen wir mal zu Teil A. Der Golfball fliegt über einen 8 Meter hohen Baum. der 10 Meter vom Abschlag entfernt steht.
In welcher Höhe fliegt der Golfball über die Baumkrone? Okay, da kommen jetzt nochmal neue Informationen hinzu über einen Baum. Der Baum selbst soll 8 Meter hoch sein und er steht 10 Meter vom Abschlag entfernt. Entfernung vom Abschlag, das war auf der x-Achse gemessen.
Also wenn wir hier mal unsere 0 eintragen, dann, wir wissen nicht genau, wo es ist, aber... Machen wir hier in unserer Skizze einfach mal hier hin, dass das 10 Meter entfernt ist von unserem Abschlag. Und da steht dann eben dieser Baum, den wir einfach mal so einzeichnen.
Der Baum hat ja eine Höhe von 8 Metern, also können wir hier schon mal sagen, okay, hier endet der Baum bei 8 Metern. Und jetzt ist die Frage, in welcher Höhe fliegt dann unser Golfball über die Baumkrone? Also unser Golfball fliegt ja hier lang und jetzt zu diesem Moment hier bei 10 Metern. fliegt unser Golfball hier oben in dieser Höhe, die wir noch nicht kennen.
Die sollen wir herausfinden. Dazu müssen wir dann eigentlich einfach nur unseren x-Wert von 10, also x gleich 10 ist ja das, was uns hier interessiert, in unsere Funktionsgleichung einsetzen. Und dann kriegen wir den zugehörigen y-Wert. Und dann wissen wir, in welcher Höhe er da unterwegs ist.
Also für x einfach, für jedes x, das ihr findet, 10 einsetzen. Und y. ausrechnen.
Dann haben wir minus 0,02 mal, da sind x, da setzen wir 10 ein, quadrieren das. Alles andere, was nicht x heißt, schreibt ihr einfach so ab, aber sobald ihr auf ein x stoßt, dann setzt ihr 10 ein. Das könnt ihr dann alles in den Taschenrechner eintippen und kommt dann auf ein Ergebnis von 20 Metern. Also wenn x 10 ist, ist mein y 20, also hier oben. befinde ich mich in einer Höhe von 20 Metern.
Jetzt ist die Frage, was nenne ich denn jetzt als Antwortsatz? Denn die Frage ist ja, in welcher Höhe fliegt der Golfball über die Baumkrone? Ich glaube, worauf die hier hinaus wollten, ist der Abstand von der Baumkrone zu meinem Golfball in dem Moment.
Und die sind ja einem Abstand von 8 bis zu 20 von 12 Metern. Ich glaube aber auch, dass die Fragestellung ein bisschen zweideutig formuliert ist oder nicht ganz so eindeutig. Deswegen würde ich einfach beides reinschreiben.
Ich würde die 20 reinschreiben und die 12. Also ich würde schreiben, der Golfball befindet sich in einer Höhe von 20 Metern und damit ist er 12 Meter von der Baumkrone entfernt. Dann habt ihr beide Zahlen drin und dann kann der Korrektur dann abhaken und einfach gucken, was er hören wollte. Also ihr könnt ja gerne mal in die Kommentare schreiben, wie ihr die Aufgabenstellung versteht, ob ihr mit 20 geantwortet hättet oder mit 12. Oder ob ihr, genauso wie ich, einfach beides reingeschrieben hättet und dann auf der sicheren Seite wärt.
Dann kommen wir zu Teil B. Wie weit fliegt der Golfball? Okay, also wir starten wieder hier vorne. Unser Ball fliegt, fliegt, fliegt, fliegt bis hier hinten hin.
Da kommt er dann wieder auf den Boden an. Und die Weite, also die Entfernung von unserem Abschlag, ist eben diese Strecke hier. Wie kann ich diesen Punkt hier hinten denn berechnen?
Das ist ja bei so einer Funktion, die die x-Achse hier schneidet, ist das einfach meine Nullstelle. Also ich muss jetzt einfach die Nullstellen von meiner Funktion finden. Eine Nullstelle kenne ich hier vorne schon, die Null, aber die zweite Nullstelle kenne ich noch nicht. Deswegen, Nullstellen findet man ja immer so, dass man sich seine Funktion hernimmt, egal wie sie aussieht.
Man schreibt sie erstmal auf und setzt sie gleich Null. Dann kriegt man eine Gleichung. die man dann lösen kann.
Und das machen wir hier jetzt mal auf der nächsten Seite. So, wir haben eine quadratische Gleichung mit x hoch 2 gleich 0. Hier ist noch ein Teil mit x. Wir können das jetzt mit der pq-Formel oder abc-Formel lösen. Auch wenn wir auf der linken Seite jetzt nur zwei Teile haben.
Normalerweise hat man ja hier noch zum Beispiel plus 4, also noch so eine Zahl, die dazu addiert wird. Aber die muss nicht immer da sein, also es macht gar nichts. Das können wir... ruhig mit der pq-Formel oder abc-Formel lösen.
abc-Formel könntet ihr direkt loslegen, pq-Formel müssen wir die Zahl hier vor unserem x² erst noch loswerden, also durch diese Zahl da vorne teilen, nicht vergessen. Dann verschwindet die Zahl und unser x² steht alleine und auch hier müssen wir durch die Zahl teilen, also 2,2 geteilt durch das ergibt minus 110 und das x noch hinten dran und rechts 0 geteilt durch das bleibt bei 0. Okay, dann mal rein in die pq-Formel. Was ist denn jetzt hier mein p, was ist mein q? p ist ja immer die Zahl, die bei dem x steht, das ist in unserem Fall die minus 110, immer schön mit Vorzeichen. Und q ist die Zahl, die da dann alleine steht, da ist aber keine.
Ja, dann ist mein q einfach gleich 0. Also hier steht sozusagen so ein plus 0, was nicht sichtbar ist. Deswegen, es macht gar nichts. Die Formel funktioniert auch mit q gleich 0. Die Formel funktioniert auch, wenn p gleich 0 wäre, also wenn gar kein x drin vorkommen sollte, falls das bei euch der Fall sein sollte. Dann schreiben wir die pq-Formel aber erstmal auf, bevor wir da alles einsetzen. Sie lautet ja minus p halbe plus minus Wurzel aus und dann kann man das Ding einfach runterrattern und dann alles einsetzen.
Was ist mein p? p ist minus 110, schön auf das Vorzeichen aufpassen, das wird halbiert. Dann, was haben wir unter der Wurzel? Für das p auch wieder minus 110 rein, halbieren, das ganze Ding quadrieren.
Und dann haben wir hier halt einfach nur minus 0. Macht ja nichts, kann man ja so stehen lassen. Dann könnt ihr gerne einfach alles ausrechnen mit dem Taschenrechner oder wie ihr es auch immer macht hier vorne. Kann man noch 110 durch 2, das sind 55, da kann man es auch im Kopf. Ist wahrscheinlich schneller als mit dem Taschenrechner.
Und wenn man das hier ausrechnet, auch die Wurzel zieht, kommt man auch wieder auf 55. Das heißt, wir haben eine erste Lösung. 55 plus 55 sind 110. Und eine zweite Lösung. 55 minus 55 sind 0. Die 0, die haben wir sowieso erwartet.
Die wussten wir ja schon, haben wir gesagt, hier vorne. Die eine Nullstelle kennen wir. Die ist bei 0. Aber die zweite haben wir jetzt noch. gefunden bei 110. Und was war die Frage nochmal?
Wie weit fliegt der Golfball? Okay, von unserem Startpunkt sind es 110 Meter, die unser Golfball dann auf dem Boden sozusagen zurücklegt. Okay, dann kommen wir zur letzten Aufgabe. Nach wie vielen Metern vom Abschlag aus auf dem Boden erreicht der Ball das erste Mal eine Höhe von 48 Metern. Okay, die Frage sollte man, glaube ich, nochmal lesen.
Also, die Frage ist, nach wie vielen Metern vom Abschlag aus, also das ist das, was auf der x-Achse gesucht ist, also wir wissen nicht wo, ich zeichne es jetzt einfach mal hier ein, nach wie vielen Metern auf dem Boden gesehen, erreicht der Ball das erste Mal eine Höhe von 48 Metern. Also unser Ball soll sich dann in einer Höhe von 48 Metern... befinden. Diesmal ist die Aufgabenstellung andersrum. Wir bekommen die Höhe gegeben und sollen jetzt herausfinden, Nach wie vielen Metern, also den x-Wert sollen wir jetzt herausfinden, nach wie vielen Metern das zum ersten Mal passiert.
Was soll das eigentlich das erste Mal? Die Höhe von 48 Metern, er steigt ja weiter an und dann fällt er wieder runter und dann würde er auch hier hinten nochmal zum zweiten Mal eine Höhe von 48 Metern erreichen. Also wir werden zwei Lösungen erhalten, aber wir interessieren uns für die...
erste Lösung, wann es zum ersten Mal passiert, nach wie vielen Metern. Wie kriegen wir das jetzt hin? Naja, wir bekommen ja die Höhe gegeben, also den y-Wert bekommen wir gegeben und suchen den x-Wert, den zugehörigen.
Dann können wir diesmal eben für y, die 48, einsetzen und x rausfinden. Also wir schnappen uns unsere Gleichung, unsere Funktion. x lassen wir so verstehen und wollen diesmal wissen, wann wird denn unser y 48?
Und diese Gleichung müssen wir jetzt lösen. Die habe ich nochmal hier hingeschrieben. Es ist schon wieder eine quadratische Gleichung. Hier ist x drin. Hier ist schon wieder keine Zahl, aber die steht ja noch auf der anderen Seite.
Da steht ja noch gar nicht gleich 0, so wie man es gewohnt ist. Wir müssen die erstmal so umstellen, dass alles auf der linken Seite steht. Also minus.
48 rechnen. Das heißt, alles andere wird so abgeschrieben, aber die minus 48 kommen dann auf der linken Seite noch dazu und rechts steht dann erst die gewünschte 0, die dann perfekt für die PQ-Formel oder ABC-Formel ist, allerdings erst dann, wenn hier die Zahl schon wieder weg ist. Also schön daran denken, dass wir die Gleichung nochmal teilen müssen. Und zwar jeden Teil hier vorne.
Den haben wir schon geteilt, wissen wir, sind minus 110. Und auch die minus 48 muss hier durchgeteilt werden. Wenn ihr das macht, kommt ihr auf 2400. Die 0, dadurch geteilt, bleibt bei 0. Und dann wieder rein in die pq-Formel. Diesmal schreibe ich sie nicht auf, diesmal haben wir sie hoffentlich im Kopf. Minus, was ist meine p? Die Zahl vor dem x, also minus 110 halbe.
Dann kommt die Wurzel. Da kommt mein p. wieder rein, die minus 110, wird halbiert und dann quadriert und dann wird abgezogen unser Q, das diesmal vorhanden ist mit 2400. Dann können wir alles ausrechnen. Hier kommt schon wieder 55 vor, also es wiederholt sich alles ein bisschen. Wenn ihr das unter der Wurzel ausrechnet und dann auch die Wurzel zieht, kommt ihr auf 25. Dann haben wir ein erstes x.
55 plus 25 sind 80 und ein zweites x, 55 minus 25 sind 30. Wir haben ja gesagt, wir erwarten 2, also ist gar nichts Schlimmes. Der erste Wert liegt dann bei 30 Metern und dann ist es nach 80 Metern nochmal so, dass der Ball auf einer Höhe von 48 unterwegs ist. Von daher ist aber für uns die 80 nicht interessant für die Fragestellung, weil hier... das Ganze um das erste Mal gehen sollte. Also nach 30 Metern vom Abschlag entfernt erreicht der Ball zum ersten Mal eine Höhe von 48 Metern.
Dann hoffe ich, dass es euch geholfen hat. Falls ihr Fragen habt, schreibt sie gerne in die Kommentare. Ansonsten habt noch einen schönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video.
Macht's gut!