Notes sur la démonstration des solutions d'une équation du second degré

Introduction

• Objectif : Étudier la propriété des solutions d'une équation du second degré.
• Forme de l'équation : ax² + bx + c = 0.

Discriminant (delta)

• Définition : delta = b² - 4ac.
• Cas possibles selon la valeur de delta :
  • Delta < 0 : Pas de solution réelle.
  • Delta = 0 : Une seule solution : -b / 2a.
  • Delta > 0 : Deux solutions :
    • x₁ = (-b - √delta) / 2a
    • x₂ = (-b + √delta) / 2a.

Modification de l'équation

• Transition de la forme ax² + bx + c = 0 à la forme canonique :
  • f(x) = a(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a.
• Utilisation de delta dans la forme canonique pour simplifier les calculs.

Cas d'étude selon la valeur de delta

1. Delta négatif

• Un nombre au carré (x + b/2a)² est toujours positif.
• Delta négatif implique que le membre de droite (delta/4a²) est négatif.
• Conclusion : Impossible d'avoir un nombre positif égal à un nombre négatif, donc pas de solutions.

2. Delta égal à 0

• L'équation devient (x + b/2a)² = 0.
• Résolution : x + b/2a = 0 ⟹ x = -b / 2a.
• Conclusion : Une unique solution.

3. Delta positif

• Considération de l'équation : (x + b/2a)² = delta / 4a².
• Deux solutions possibles :
  • x + b/2a = √(delta) / (2a)
  • x + b/2a = -√(delta) / (2a).
• Simplification des solutions en isolant x :
  • Solutions finales :
    • x₁ = (-b - √delta) / 2a
    • x₂ = (-b + √delta) / 2a.

Conclusion

• La démonstration montre que selon la valeur du discriminant, on obtient 0, 1 ou 2 solutions pour une équation du second degré.