Dans cette vidéo, nous allons effectuer et étudier une démonstration de la propriété donnant les solutions d'une équation du second degré. Alors, cette propriété, la voici, c'est une propriété fondamentale en mathématiques puisque dans la résolution de problèmes, on est très souvent amené à résoudre une équation du second degré. Alors, elle nous dit que si on a à résoudre une équation du type ax² plus bx plus c égale à 0, eh bien, on va commencer par poser delta égale b² moins 4ac. Oui.
Et les solutions de mon équation, si elles existent, dépendent de delta. Si delta est négatif, il n'y aura pas de solution, pas de solution réelle. Si delta est égal à 0, il y a une seule solution qui est moins b sur 2a. Et si delta est strictement positif, alors l'équation aura deux solutions qui sont moins b moins racine de delta sur 2a, moins b plus racine de delta sur 2a. Alors le principe de la démonstration va consister à modifier l'écriture de mon équation k.
Écrite comme ça, je ne sais pas résoudre cette équation. Je ne sais pas résoudre de façon générale une équation du second degré. Par contre, je sais résoudre une équation du second degré. Enfin, un type d'équation du second degré. Celui-ci.
x² égale A. Et là, je connais les solutions de cette équation. Il y en a deux qui sont x égale racine de A, x égale moins racine de A.
Donc, le truc va consister... et c'est ça le principe de la démonstration, de modifier l'écriture de départ, ax² plus bx plus c égale à 0, en une écriture de ce type-là. Et cette écriture, on peut déjà la donner, même si pour l'instant on ne l'a pas expliqué, mais on va y venir. C'est x plus b sur 2a, le tout au carré, égale delta, notre delta, sur 4a².
Si j'arrive à exprimer l'équation de départ sous cette forme-là, je pourrais appliquer la propriété que je connais depuis longtemps. On va voir. comment.
Alors commençons déjà par modifier cette écriture et pour ça on va passer par la forme canonique. Lorsqu'on a étudié la forme canonique d'une fonction du second degré, on avait vu que n'importe quelle fonction qui s'écrit sous la forme ax² plus bx plus c, un trinôme, une fonction du second degré, peut s'écrire sous la forme f de x égale à a facteur de x plus b sur 2a au carré moins b au carré moins 4ac, tiens tiens, notre delta, sur k. 4a. Alors cette expression là, bon on va la balancer comme ça en quelque sorte, je vais rapidement l'expliquer mais sans rentrer dans les détails puisqu'on peut considérer ceci comme une propriété qui va nous servir de base pour la démonstration qu'on veut faire dans cette vidéo.
Alors d'où ça vient ? Eh bien ça vient de ceci. Voilà une autre façon d'écrire la forme canonique f de x égale à a facteur de x moins alpha au carré plus bêta avec alpha qui vaut moins b sur 2. a alors ceci il faut le connaître le moins b sur 2 à correspond à la valeur de l'extrême homme de notre fonction du second degré donc soit le maximum il est en moins b sur 2 à soit le minimum il est en moins b sur 2 à ça c'est une valeur qu'il faut connaître et bêta égale moins b² moins 4ac sur 4a.
Alors celui-ci est un peu plus compliqué à retenir, mais ce qu'il faut se rappeler, c'est que f de α égale à β. β, c'est l'image de α par la fonction f, tout simplement parce que β correspond à l'extrémum, à la valeur de l'extrémum. Du coup, si on veut retrouver β, il suffit de partir de f de x égale à x².
carré plus bx plus c, et de remplacer x par alpha. On retrouvera notre bêta. Mais je répète ceci, on peut l'admettre et on peut tout simplement partir de cette propriété-là qui nous donne directement la forme canonique sans justifier plus. Eh bien du coup, si on a cette forme canonique qui nous est donnée, appliquons-la et utilisons dans cette démonstration. L'équation ax² plus bx plus c égale à 0 sera donc équivalente à a facteur de x plus...
b sur a le tout au carré moins b au carré moins 4ac sur 4a égal à 0. Ce qu'on va faire c'est qu'on va tout de suite utiliser la notation delta d'abord parce que on comprend bien qu'on va en avoir besoin pour effectuer notre démonstration et aussi parce que parce que ça va un petit peu alléger les calculs, qui on le voit déjà, sont assez lourds. Donc je remplace b au carré moins 4ac par delta, j'obtiens une nouvelle équation, que je commence à résoudre en envoyant de l'autre côté de l'égalité mon moins delta sur 4a, j'obtiens ainsi une nouvelle équation qui est... A facteur de x plus b sur 2a au carré égale delta sur 4a.
J'en ai presque fini dans cette première étape. Il me reste juste à diviser par a de part et d'autre. En divisant par a, qu'arrive-t-il ? Sur le membre de gauche, il n'y a plus de a.
Sur le membre de droite, je vais passer d'un dénominateur égal à 4a, un dénominateur égal à 4a carré, puisque j'ai divisé par a. Et pourquoi je peux diviser par a ? Eh bien parce que a est non nulle, tout simplement, parce que si jamais a est nulle, eh bien ax² plus bx plus c, ça devient simplement bx plus c, ce n'est donc plus une équation du second degré, et donc il n'y a pas besoin de tout ça pour effectuer la démonstration, on sait résoudre des équations du premier degré. Donc on considère ici qu'il s'agit bien d'une équation du second degré, a est forcément non nulle. Voilà, et maintenant qu'on a cette équation, on va pouvoir discuter...
directement des solutions, c'est-à-dire démontrer notre propriété, suivant les valeurs de Δ. C'est Δ qui va guider le nombre de solutions, comme nous l'indique le théorème. Alors, j'ai recopié mon équation, que voici, donc c'est la même ici. On va commencer par traiter le cas où Δ est négatif, et on va rappeler d'abord une petite règle.
Une règle qu'il faut bien connaître, comprendre, qui est facile à comprendre, c'est qu'un nombre au carré est toujours positif. On comprend bien, c'est la règle des signes qui nous le dit. Si le nombre est négatif, moins par moins, ça fait plus, donc le carré est positif. Si le nombre est positif, plus par plus, ça fait plus, donc le carré est bien positif. Donc dans tous les cas, un carré est positif.
Or, ici à gauche, j'ai donc un nombre positif vu qu'il est au carré. Qu'arrive-t-il si delta est négatif ? Si delta est négatif, je divise delta par 4a².
a² qui est également un carré, donc positif. 4 qui est positif. Ce qui veut dire que je vais diviser ici un nombre négatif par un nombre positif. Autrement dit, tout le membre de droite sera négatif.
J'ai donc à gauche quelque chose de positif et à droite quelque chose de négatif. Mais attention de strictement négatif même, car a est non nul, bien sûr, il est au dénominateur, et delta est strictement négatif. Ce qui veut dire qu'au mieux, on aurait pu avoir 0 de part et d'autre, mais même ça, ce n'est pas autorisé.
J'ai donc là un nombre positif. positif qui est égal à un nombre négatif. On est bien d'accord que ceci est impossible. Comme c'est impossible, on peut en conclure que notre équation n'a pas de solution dans ce cas-là. Si le discriminant est négatif, l'équation n'a pas de solution.
C'est bien le premier cas traité dans la propriété. Deuxième cas, qu'arrive-t-il si delta égale 0 ? Alors si delta égale à 0, dans ce cas-là, ceci est égal à 0. On peut l'écrire.
Mais 0 divisé par 4a², ça fait 0. Donc finalement, tout le membre de droite est nul. Autrement dit, x plus b sur 2a² est égal à 0, ce qui veut dire que la même chose sans le carré est égal à 0. Bon, eh bien ça, ça ne pose pas de problème. C'est une équation du premier degré, x égale moins b sur 2a. Tiens, notre moins b sur 2a, qu'on retrouve ici donc dans notre propriété et qui nous dit, si jamais delta est égal à 0, Dans ce cas-là, l'équation a une unique solution, moins b sur 2a. Dernier cas, le cas où delta est strictement positif.
On le voit dans ce cas-là, on aura à démontrer que notre équation nous amène à deux solutions. On pourrait se demander comment ça se fait que notre équation va nous donner deux solutions. Tout simplement parce qu'on va enfin utiliser la propriété dont je parle depuis le début, à savoir x² égale A à deux solutions, racine de A moins racine de A. Où est donc cette équation dans cette expression ? Eh bien, elle est là.
On va considérer que ceci, c'est notre inconnu. x plus b sur 2a, un grand x en quelque sorte, au carré, égal à un grand a, a qui est un nombre, delta sur 4a carré, c'est bien un nombre, ça ne varie pas, il n'y a pas ici de x, puisque delta dépend des paramètres a, b et c de notre équation, et en dessous j'ai 4a carré. Eh bien là, j'aurai deux solutions qui seront Racine de delta sur 4a² moins racine de delta sur 4a². On peut donc écrire que x plus b sur 2a égale racine de delta sur 4a² ou x plus b sur 2a égale moins racine de delta sur 4a². Mais delta sur 4a², on ne va pas le garder de cette façon-là, on va modifier son écriture.
Déjà, on va appliquer une propriété qui nous dit que la racine d'un quotient, est égal au quotient des racines, ce qui donne ici Racine carrée de delta sur racine carrée de 4a². Alors on a bien le droit ici d'écrire racine carrée de delta, tout simplement parce que delta est strictement positif. Chose qu'on ne pouvait pas faire avant, en particulier dans le cas où delta était strictement négatif, et donc on ne pouvait pas encore appliquer cette propriété.
On aurait pu l'appliquer dans le deuxième cas, dans le cas où delta égale 0, et refaire ce qu'on est en train de faire là. Mais on voit que la démonstration était très simple et très rapide dans le cas où delta égale à 0. Poursuivons. Alors on va appliquer une nouvelle propriété sur les racines qui nous dit que la racine d'un produit est égale au produit des racines, soit racine de 4a² égale racine de 4 fois racine de a².
Alors racine de 4, pose pas de problème, ça, ça fait 2. Reste racine de a². Alors on a l'habitude de dire que la racine de l'a² s'élimine. C'est-à-dire que racine de a carré est égale à a.
Oui, attention, ceci est vrai lorsque a est positif. Ici, il n'est pas dit que a est positif. Mais on va voir qu'en fin de compte, ça n'a pas d'importance que a soit positif ou négatif, car au niveau des racines, il y a symétrie.
Faisons le cas où a est positif. Dans ce cas-là, racine de a carré est égale à a, et dans ce cas-là, au dénominateur, j'aurai 2a. Ce qui signifie que j'aurai x plus b sur 2a égale Racine de delta sur 2a ou x plus b sur 2a égale moins racine de delta sur 2a.
Si jamais a est négatif, dans ce cas-là, racine de a carré sera égale à moins a. Alors si c'est égal à moins a, cela voudra dire que ici, j'aurai un petit signe moins que je vais mettre ici. Et du coup, si j'ai un moins devant mon quotient, qu'arrive-t-il à mes deux équations ?
Eh bien, elles sont juste inversées. Ce sont les deux mêmes, mais la première devient la deuxième et la deuxième devient la première. Autrement dit, au niveau des solutions de mon équation, ça ne changera rien.
Que a soit positif et qu'il n'y ait pas de moins, ou que a soit négatif et qu'il y ait un moins, je retrouve exactement les deux mêmes solutions. On peut poursuivre, parce qu'on rappelle que ce n'est pas x plus b sur 2a qu'il faut trouver, mais que c'est x tout court. Eh bien là, ça ne pose pas vraiment de problème.
On va commencer. à renvoyer le b sur 2a de l'autre côté de l'équation. Du coup, on aura du moins b sur 2a. En mettant tout au même dénominateur, on voit ce qui est en train d'arriver, c'est-à-dire les deux solutions attendues qui sont moins b moins racine de delta sur 2a, moins b plus racine de delta sur 2a.
Les deux solutions de notre équation, c'est le dernier cas traité, cqfd. Et donc, cette séquence est terminée. Musique