Deze video gaat over machten met negatieve exponenten. In deze video ga ik je laten zien wat de rekenregels voor machten zijn. En daarna gaan we die rekenregels toepassen bij een aantal voorbeelden. Maar eerst, wat zijn precies de rekenregels voor machten?
Ik heb ze allemaal hier aan de rechterkant even opgeschreven. Er zijn in totaal vijf regels die je moet weten. De eerste vier heb je in de onderbouw wel eens gezien.
En nummer vijf, die is echt nieuw. We gaan ze even... één voor één met elkaar doornemen.
We beginnen even bij nummer 1. Bij 1 staat het volgende. A tot de macht P keer A tot de macht Q is A tot de macht P plus Q. Dus als je twee dingen met machten met elkaar vermenigvuldigt, dan mag je ook zeggen, ik maak daar één ding van, maar dan moet ik de machten optellen.
Bij regel nummer 2 staat iets wat heel erg lijkt op nummer 1. Het is namelijk steeds het omgekeerde. We hebben namelijk staan... Als je doet a tot de macht p gedeeld door a tot de macht q, dan kun je ook zeggen, ik maak daarvan a tot de macht p min q.
Regel 1 en regel 2 zijn bijna hetzelfde. Wat je moet zien is dat je regel 2 krijgt door bij regel 1 steeds het omgekeerde te doen. Kijk maar, het omgekeerde van keer is gedeeld door en het omgekeerde van plus is min. Dus als je regel nummer 1 weet...
dan weet je eigenlijk ook meteen nummer 2, want je doet gewoon bij alles het omgekeerde en dan krijg je regel 2. Gaan we nu naar regel 3. Bij nummer 3 staat a tot de macht p tussen haakjes en daarbuiten tot de macht q geeft a tot de macht p keer q. Dus als jij een macht hebt, maar buiten de haakjes heb je weer een macht, dan mag je de machten met elkaar vermenigvuldigen. Nummer 4 lijkt daar een beetje op, maar die is net even anders. Want daar hebben we tussen haakjes een keersom.
Daar buiten staat een macht. En als je dat dan wil uitwerken, dan kun je zeggen... ik doe het eerste stukje van de keersom tot de macht.
En het tweede stukje van de keersom tot de macht. Dus op die manier kun je eigenlijk de macht van een keersom uitwerken. En dan gaan we nu naar de laatste, nummer 5. Die is nieuw en die gaan we ook het vaakst gebruiken. Daar staat het volgende. 1 gedeeld door a tot de macht p. is hetzelfde als a tot de macht min p.
Dus als jij een breuk hebt en onderin de breuk staat iets met een macht, dan kun je dat uit de breuk halen. Maar wat gebeurt er dan? Dan wordt de macht negatief.
Want je ziet, het was een p en die p wordt min p. Het kan natuurlijk ook andersom. Als jij iets hebt met een negatieve macht en je zet hem onderin de breuk, dan wordt de macht juist positief.
Dus hierbij kun je eigenlijk werken met negatieve... machten. Dat zijn de vijf rekenregels voor machten en die gaan we nu toepassen bij vier voorbeelden.
De eerste twee zie je hier staan en de opdracht is steeds schrijf als macht van A. Ik wil eerst even bespreken wat die opdracht betekent. Als je het moet schrijven als een macht van A, dan moet je ervan maken A tot de macht iets.
We moeten dus bij het eerste voorbeeld deze twee dingen zo gaan omschrijven dat we bijvoorbeeld uitkomen op A tot de macht 12 of zoiets. We gaan dus even hier naar kijken en hier staat a tot de macht 2 keer 1 gedeeld door a tot de macht 8. En belangrijk is dat je dan goed kijkt welke regel je hier kunt gebruiken. Nou hier zie je een breuk staan en we hadden net geleerd dat als je een breuk hebt, dan kun je ook zeggen ik haal die onderkant eruit en dat wordt dan negatief.
Dat kunnen we hier ook doen. Dus we kunnen die a tot de macht 8 eruit halen, maar dan moet je niet vergeten om van die macht... iets negatiefs te maken.
En dat wordt dan a tot de macht min 8. Dus dan krijg je dit. Die a tot de macht 2 blijft staan. En die ander wordt a tot de macht min 8. Nu is het dus gelukt om van de breuk af te komen.
En dan houden we een keersom over. En dan hadden we net besproken bij regel nummer 1 dat als je een keersom hebt, dan mag je ook zeggen ik ga de machten optellen. Dat kunnen we hier heel mooi doen. Dus dan doen we dit keer elkaar. Dan doe je dus 2 plus min 8. Nou, plus min wordt min. 2 min 8 is min 6. Dus dan krijgen we als antwoord, dit is gelijk aan, a tot de macht min 6. Nu is het dus gelukt om het te schrijven als een macht van a en hebben we het antwoord gevonden.
Dus ga met behulp van de laatste rekenregel dit omschrijven naar a tot de macht min 8. Dan kun je regel 1 gebruiken. Keer betekent... plus als je de machten optelt wordt het min 6 en dan heb je het antwoord gevonden Gaan we naar het tweede voorbeeld, vraag B.
Daar staat tussen haakjes één gedeeld door A in het kwadraat, gedeeld door A. Bij deze opdracht is het handig als je even aan de bovenkant begint. En dan gaan we eigenlijk een beetje hetzelfde doen als bij de eerste opdracht.
Want ook nu hebben we hier weer een breuk. En we hadden net besproken, als je een breuk hebt, dan kun je die onderkant eruit halen en de macht wordt dan negatief. Dat kan hier ook. We halen deze eruit. De macht wordt negatief, dus dat wordt dan a tot de macht min 2. Dan krijg je dus dit.
Aan de bovenkant hebben we a tot de macht min 2 en aan de onderkant staat gewoon a. Nu hebben we hier een gewone a staan en dan moet je wel bedenken dat als daar niks bij staat, dat de macht eigenlijk 1 is. Hier staat aan de onderkant dus a tot de macht 1. En nu hebben we gedeeld door met machten.
En volgens regel nummer 2 mag je dan zeggen ik doe min. We gaan dus de machten van elkaar aftrekken. Nou min 2 min 1 is min 3. Dus dan krijgen we, dit is a tot de macht min 3. En nu hebben we hier ook het antwoord gevonden. Dus deze leek een beetje op a, want je begint met het wegwerken van de breuk met behulp van de laatste regel.
Dan ga je gedeeld door doen, dan doe je min en dan krijg je dus... A tot de macht min 3. Oké, het volgende voorbeeld. Vraag C. Nu hebben we 1 gedeeld door A tot de macht P keer A tot de macht 3 tot de macht 2. Ook dit moeten we gaan schrijven als een macht van A. En dan gaan we eerst weer even kijken naar de breuk.
We hebben nu al een paar keer gezien dat je bij zo'n breuk gebruik kunt maken van regel 5. Dat gaan we nu dus weer doen. Dus we gaan dit eruit halen en dan wordt de macht negatief. Je krijgt dan dit.
Die wordt gelijk aan a tot de macht min p. En dan gaan we ook meteen kijken naar die ander. Want daar kunnen we ook iets doen.
Want daar hebben we een macht tot de macht. En dat zien we ook terug bij de rekenregels. Want dat is regel 3. Wat moet je dan doen?
Nou, dan moet je de machten vermenigvuldigen. Dus hier doen we 3 keer 2. Dat wordt 6. Dus dat wordt dan keer a tot de macht 6. Nu hebben we dit. We hebben nu keer met machten.
Dan gebruiken we regel 1. Je mag ze dan bij elkaar optellen. Dus je telt de machten op. Nou, dat kan hier natuurlijk niet echt. Maar je kunt er wel van maken.
Min p plus 6. Dan hebben we het antwoord. Dat wordt dus a tot de macht min p plus 6. En nu hebben we het geschreven als een macht van a. Je ziet hier dus weer een beetje dezelfde stappen.
Dus eerst de breuk wegwerken. Dit werk je ook uit met een van de regels. Keer is plus. En dan heb je al het antwoord gevonden.
Dan gaan we naar vraag D. En dat is het laatste voorbeeld bij deze opdracht. Bij vraag D heb je tussen haakjes 1 gedeeld door a tot de macht 5. Gedeeld door a tot de macht min m. Als je dit als macht van a wil schrijven, dan begin je weer bij die breuk. Het is inmiddels geen verrassing meer.
We gaan gewoon regel 5 toepassen. Dus je haalt deze eruit en dan wordt dat... a tot de macht min 5. Dan krijg je dus dit. Is a tot de macht min 5 gedeeld door a tot de macht min n.
Nu hebben we gedeeld door en dan moet je wel even goed opletten. Want we weten bij gedeeld door doen we min. Maar hier staat al min n.
Dus dan krijg je het volgende. Je doet min 5 min min n. Min min wordt plus. Dus het antwoord wordt hier.
Dit is gelijk aan a tot de macht min 5 plus n. Heel vaak zeggen mensen hier a tot de macht min 5 min n. Maar hier staat al een minnetje. Het is min min n.
Min min wordt plus. En dan vind je dus dit antwoord. Deze was niet heel lastig, maar je moet even goed kijken naar dat einde. Dus ga eerst dit gewoon omschrijven.
Dat hebben we al een paar keer gedaan. Dan ga je dus delen. Dan moet je ze van elkaar afhalen, maar hier staat al een min.
Min min wordt plus en dan krijg je dus dit als antwoord. Oké, nu gaan we kijken naar een heel ander soort opgave. En die opgave heb ik hier even opgeschreven en daar staat schrijf zonder negatieve exponenten.
We beginnen even bij de eerste, bij a daar staat 8a tot de macht min 5, b tot de macht 3. We moeten dit gaan schrijven zonder negatieve exponenten. En dan moet je natuurlijk eerst even weten wat dat precies betekent. Als je het zonder negatieve exponent moet schrijven, dan betekent dat schrijf het zonder negatieve macht.
Want exponent betekent hetzelfde als macht, dus we moeten hier de negatieve macht gaan weghalen. De negatieve macht is hier die min 5. Die min 5 die boven de a staat, die moet dus weg. En als we dat hebben gedaan, dan hebben we het antwoord gevonden. Hoe kun je dat doen? Nou, we gaan natuurlijk weer gebruik maken van de rekenregels voor machten.
En het gaat hier over een negatieve exponent en dan gebruik je eigenlijk altijd regel 5. Regel 5 hebben we net ook een paar keer gebruikt. Toen deden we hem steeds van links naar rechts, maar nu gaan we hem doen van rechts naar links. Dat betekent dus dat als je een negatieve macht hebt, dan kun je die ook onderin een breuk zetten en dan wordt de macht positief. En want je gaat van min p naar p, dus dat minnetje is weg. Dat gaan we hier ook doen.
Zo moet je even goed kijken. Die 8 en die b tot de derde, daar is niks mee aan de hand. Die gaan we gewoon meteen even opschrijven.
Dus dan krijg je is 8b tot de derde. En dan heb je die a tot de macht min 5. Die moeten we gaan omschrijven. En volgens regel 5 komt die dan onderin de breuk.
Wat doe je dan? Nou, je zet hier gewoon een streep onder. Dus zo. En dan ga je vervolgens die a tot de macht 5 daaronder zetten.
Dus dan wordt het dit. 8b tot de derde gedeeld door a tot de macht 5. Je ziet nu dat ik deze naar onder heb gebracht. Net als in de rekenregel. Dan wordt de macht dus positief. Dan heb ik aan de opdracht voldaan.
En nu is dit het antwoord. Je moet dus goed kijken naar met welk stukje je wat moet doen. Je moet alleen maar de a tot de macht min 5 aanpakken.
Dus die gaat in zijn eentje naar onder. Die andere twee stukken zijn goed. Die komen samen bovenin en dan is dit dus het antwoord. Dit was een vrij eenvoudige vraag.
We gaan het nu nog even bij twee andere vragen doen en die zijn een stukje lastiger. En dan gaan we even door naar B. Bij B staat 2 vijfde, a tot de macht min 2, b. Hier hebben we weer dezelfde opdracht als bij a, dus we moeten de negatieve exponent, dat is die min 2, wegwerken.
Hoe doe je dat? Nou, we gaan weer hetzelfde doen. Dus we gaan weer gebruik maken van regel nummer 5 en we gaan hem dus weer onderin de breuk zetten.
Maar dan moet je even goed kijken, want we hebben alleen maar die a tot de macht min 2. Die moet onderin de breuk, maar je hebt hier al een breuk, want je hebt al twee vijfde. Wat gebeurt er dan? Nou, je krijgt dan dit.
Je zegt dan is. Dan ga je die a tot de macht min 2 bij de 5 neerzetten en volgens de regel wordt de macht dan positief. Dus dan krijg je onderin de breuk 5a².
Je zegt dan is. Daaronder krijg je 5a². Zo.
Dus deze is als het ware hierbij gegaan. En de 2 en de b, die zijn helemaal goed zo. Die zet je samen hierbovenin.
Dus daar komt dan 2b te staan. En aan de onderkant heb je 5a². Nu is het gelukt. We hebben ons doel bereikt. De negatieve exponent is weg.
En dus is dit het antwoord op de vraag. Dus als je al in het begin een breuk hebt, dan komt dus die negatieve macht gewoon daarbij te staan. Hij wordt dan positief, dan wordt hij dus zo.
De b en de 2 zet je samen bovenaan, want die zijn al oké. En dan is dit dus het antwoord. Oké, we gaan nu naar het laatste voorbeeld.
En het laatste voorbeeld is het moeilijkst. Dus dan kun je voor jezelf ook meteen even kijken of je het echt goed hebt begrepen. De opdracht is dan steeds hetzelfde.
We moeten het nog steeds schrijven zonder negatieve exponent, maar nu hebben we dit. Tussen haakjes, drie vierde, a tot de derde, b tot de macht min 2, en dan daarbuiten tot de macht min 2. Als je dit wil uitwerken, dan is het handig om te beginnen met het uitwerken van de haakjes. Want als je de haakjes hebt uitgewerkt, dan wordt het al meteen een stuk overzichtelijker.
We gaan dus de haakjes wegwerken. Dan moet je even goed kijken welke regel daarbij hoort. Dat is in dit geval regel nummer 4. Want je hebt iets tussen haakjes wat een keersom is. Dat hebben we hier ook hè. Dit is één grote keersom.
En daarbuiten heb je de macht. En dan mag je alle stukjes van de keersom tot die macht doen. Dat gaan we hier dus ook doen. Dus we gaan alle drie de stukken van de keersom tot de macht min 2 doen. En dat moet je gewoon even opschrijven, want dat geeft een beetje overzicht.
Dus dan krijg je dit. Eerst hebben we tussen haakjes 3 vierde tot de macht min 2. A tot de derde tot de macht min 2. En tenslotte B tot de macht min 2. Ook tot de macht min 2. Zet ze allemaal apart even tussen haakjes en schrijf ze achter elkaar op. En dan gaan we nu kijken wat we hiermee kunnen doen.
Nou dan beginnen we even met 3 vierde tot de macht min 2. Je mag 3 vierde tot de macht min 2 gewoon uitrekenen met de rekenmachine. Als je dat doet dan kom je uit op 16 negende. Dus dan kun je meteen zeggen dit is gelijk aan 16 negende. Nu gaan we kijken naar die andere. Nou we hebben hier a tot de macht 3. tot de macht min 2 en daar hebben we een rekenregel voor want dat is gewoon rekenregel nummer 3 dan ga je dus de p en de q keer elkaar doen dus in ons geval is dat dan 3 keer min 2 3 keer min 2 wordt min 6 dus dan krijg je hier achter a tot de macht min 6 gaan we naar de laatste bij de b hebben eigenlijk hetzelfde als wat hier staat dus dan doen we weer keer min 2 keer min 2 wordt 4 Dat wordt dus b tot de macht 4 en die komt dus hierachter.
Nu hebben we dus dit. En dan zie je dat dat al een stuk overzichtelijker is. Want nu is het eigenlijk gewoon een van de vorige opgaven die we hebben besproken. Je hoeft nu namelijk alleen nog maar de a tot de macht min 6 weg te werken. En hoe doe je dat?
Nou dan doe je weer regel nummer 5. Hij komt onderin een breuk. Maar denk er aan die breuk die hebben we al. Dus die a tot de macht min 6 komt naast de 9. Dan krijg je dus dit is aan de onderkant 9a tot de macht 6. En vergeet niet om de 16 en de b, die gewoon helemaal in orde zijn, samen bovenaan te zetten. Die 16 en die b komen daar.
Dan krijg je dus 16b tot de 4e aan de bovenkant. En nu hebben we het antwoord gevonden. Dit laatste voorbeeld was echt een stuk lastiger. Maar als je dit goed begrijpt, heb je dit onderwerp eigenlijk wel door. Je ziet dus dat we...
eerst de haakjes gaan uitwerken. Dus we doen alles tot de macht min 2. Dan ga je dit uitrekenen met de rekenmachine. Dat wordt 16 negende.
En die andere twee die doe je met behulp van de rekenregels. Dat heb ik hier neergezet. Daarna ga je deze weer naar onder verplaatsen.
De dingen die oké zijn komen bovenaan en dan heb je het antwoord gevonden. Zo kun je dus werken met machten met een negatieve exponent. Wil je nou meer video's zien over dit hoofdstuk? Klik dan even hier. En ben je blij met mijn video's?
Abonneer dan op mijn kanaal. Het is helemaal gratis, maar je krijgt wel meteen een melding als ik een nieuwe video publiceer. En doe je dit jaar eindexamen? Doe dan mee aan mijn online examentraining.
Meer informatie daarover vind je op mijn website. Of klik gewoon even hier, want dan kun je er meteen mee aan de slag. En dan zie ik je heel graag volgende keer weer bij een nieuwe video van Malt with Menno.