فوريه سيرز متسلسلة فوريه فوريه ده عبارة عن علم فرنساوي زي اللابلاس كده له حاجات كتيرة ولو اسهمات كتيرة في شغل الرياضة بالنسبة لنا احنا هنا في الكورسات بتاعتنا هناخده في حاجتين اتنين سنة دي ان شاء الله مع بعض هناخده فوريير سيريز والسنة الجاية ان شاء الله والترمي الجاي هناخد فوريير ترانسفورم زي الادلاس كده بس بطريقة مختلفة شوي الفوريير سيريز ده عبارة عن ايه ببساطة كده جديدة الفكرة بمنطقة بساطة انه هو هو يستطيع أن يعبر عن أي فنكشن بريوديك أي دلة تكرارية يحاول أن يوصلها إلى صورة مجموعة لا نهائية من أبسط الدوال البريوديك التي نعرفها وهي الصين والكوزين نقول ثاني نحن نعرف أن أول دوال بريوديك نعرفه في حياتنا كانت تريغنومتريك فنكشن الصين والكوزين وبقيت أخواتها التان والكوتان والكلام ونحن نعرف أن بقيت الدوال التان والكوتان والسك والكوسك كلهم أصلا مشتقين من مين؟ يعني أنت لما حبيت تجيب التان قلت أنها الصين على كوزاين لما جيب السيك قلنا أنها واحد على كوزاين جيب الكوسيك هي واحد على الصين وهكذا يبقى ده معناه أن الأصل اللي موجود عندنا هم الصين والكوزاين فالفكرة دلوقتي أن الperiodic functions أو السيجنالز اللي تتكرر كل شوية عندي إشارة معينة داخلة على أي سيستم وبتتكرر خلال فترة معينة ممكن تكون الإشارة دي بتتكرر لكنها مش على صورة الصين والكوزاين الفكرة أن أسهل الدولة اللي بنشتريها ونتعامل معاها واللي السيستم بيعرف يقراها إنها تكون ساين وكوزاين فأول حاجة حضرتك بتعملها علشان تقدر تعمل أناليسز للإشارة اللي موجودة معاك إنك أنت تحولها إلى أبسط صورة ممكنة بمعنى إن حضرتك دلوقتي لو بتتكلم على الحاجات الإلكترونيكس مثلاً بالنسبة لنا أنت بتبقى شايف على الكمبيوتر طالع قدام عينيك الجرافيك عامل إزاي الصورة عاملة إزاي الأوديو عامل إزاي الفيديو عامل إزاي لكن الكمبيوتر بالنسبة لنا ما بفهمش الكلام ده إلا دولة بالنسبة له Logical 1 و 0 هل أنا عندي Voltage داخل أو لا فنفس الكلام بالضبط أنا لو عندي Signal و عايز أتعامل معها ما بقدرش أتعامل معها على طبيعتها لابد أحولها الأول عشان أقدر أعمل لها Analysis أو ما يطلق عليه Signal Analysis أو Sampling لازم أحولها الأول إلى أبسط صورة ممكنة من الدولة اللي يقدر الـ System بتاعي يفهمها اللي هم Sino-Cosine فجيه بقى Foliar Series بقى إزاي يقدر يحول أي Periodic Function أي كان طبيعتها إلى مجموعة لا نهائية من الساين والكوزاين وعلشان نقدر نعرف الكلام ده لازم الأول نعرف حكتين رئيسياتين قبل ما نتكلم عليها أولاً نفتكر مع بعض يعني إيه بريوديك فانكشنز اتنين نبدأ نعرف إيه الأنواع اللي ممكن تقابلنا خلال بريوديك فانكشنز ثلاثة إيه بقى هي القوانين اللي من خلال معرفتي بالبريوديك فانكشنز إزاي أحولها إلى صورة الساين والكوزاين تعالوا نبدأ نفتكر مع بعض كده يعني إيه بريوديك functions أو الدولة التكرارية. ببساطة هي دولة بتكرر نفسها كل فترة زمنية معينة بنسميها وبتاخد رمز بالنسبة لنا اسمه. يبقى هي عبارة عن بتتكرر بنفس الصورة بتاعتها بالزبط نفس الشكل. كل فترة زمنية مقدارها كل اتنين كل اربعة كل تمانية كل باي كل سليمة كل اربعة باي على حسب الفترة اللي هي بتكرر نفسها فيها.
وبيبقى الشكل الرياضي بتاعها بنقول كده F of T زي T capital بيساوي F of T معناها ان الفانكشن بعد زمن مقداره T capital اللي هو الperiod بتساوي نفسها يعني بتبدأ تقارب نفسها مرة تانية الـ examples اللي موجودة عندنا بعض الأشكال بالنسبة لي الperiodic functions اهي عندي فانكشن زي دي اللي مرسومة بالاسود زي دي عبارة عن مثلا بدلة المقياس خلال فترة معينة اسمها T وليكن مثلا ممتدة من الـ ناقص 2 لغاية 2 يبقى البريل بتاعتها مقدارها 4 هتلاقي نفس الرسمة دي بالضبط بتتكرر في الجزء الموجب وبتتكرر في الجزء السالب في نفس الفترة الزمنية عندي دي 4 يبقى هلاقي نفس الرسمة كل 4 يبقى من 2 لغاية 6 من 6 لغاية 10 من 10 لغاية 14 وهكذا في الجزء السالب فالشكل اللي قدامي ده بيطلق عليه ايه؟ بريودت فانكشن على الرغم انه هو مش صين ومش كزين ومش تان ومش تيكو ومش كلام ده لكنها بتمشي بنفس نفس الفكرة شكل رئيسي وبيتكرر معايا كل نفس فترة زمنية مقدارها T تاني الفانكشن اللي موجودة قدامي دي عبارة عن الدلة القطية اللي هي اسمها T موجودة مثلا من أول ناقص باي لغاية باي يبقى البريود اللي موجودة فيه الدلة الرئيسية اسمها 2 باي هتلاقي نفس الرسمة اللي موجودة معك بتتكرر بنفس الصورة كل اتنين باي. يبقى الرسمة الجديدة من باي لغاية تلاتة باي. اللي بعدها من تلاتة باي تقفل لغاية خمسة باي.
والناحية التانية من ناقص باي لغاية هنا سالب تلاتة باي وهكزا عشان على الامتداد بتاع الدومين بتاعك من ناقص ما لا نهاية لغاية ما لا نهاية كمان واحد صورة زي دي دي عبارة عن دلة عبارة عن signal أو function ليها تعريفين اتنين الرسمة الرئيسية بتاعتها عبارة عن دلة خطية قط مستقيم مثلا من اول الصف لغاية اربعة ومن اول اربعة لغاية ثمانية هو عبارة عن خط سابت الشكل الرئيسي اللي بيتكرر معاك خط هو الشكل ده. رسمته الاولى عبارة عن خط مستقيم مايل من صفر الاربعة والتاني خط مستقيم افقي من اربعة لتمانية. يبقى الشكل الرئيسي بتاعك هو ده.
وبيبدأ يتكرر في نفس الفترة الزمنية بالزبط. ازا كان ده بيبدأ من صفر لتمانية يبقى ستجد الرسمة التي تبدا من 8 و تقفل عند 16 والرسمة التي تبدا من 0 إلى 8 تقفل عند ناقص 8 وتكمل كمانية بقى ناقص 16 ناقص 24 ناقص 32 وكذا هلأ؟ يبقى نقدر نتفق دلوقت ان الperiodic function دي هي عبارة عن اي signal او اي function ليها domain رئيسي وبتبدأ تكرر نفسها خلال فترة اسمها period او T الشكل الرياضي بتاعها F of T زائد T capital بيساوي F of T لما اجي اقول لحضرتك مثلا ان انا عندي function F of T زائد 2 by بتساوي F of T تفهم من كده ايه ان الفانكشن اللي انا هبدأ اقولها لك بعد شوية هي فانكشن بريوديك والتو باي اللي هنا او الاتنين باي اللي هنا تمثل بالنسبة لك ايه? البريد. يعني معناها ارسم فانكشن خلال فترة اسمها اتنين باي انا هدهالك. وامسك نفس الرسمة اللي معك.
كررها على اليمين وكررها تاني على الشمال. لو انا جيت قلت لك انا عندي اف اوف تي زائد اربعة بتساوي اف اوف تي. يبقى ده معناها ان الاف اوف تي السجنال اللي انا هقول لك التعريف اللي جاي بتاعها هي عبارة عن و هتكرر نفسها كل فترة بقدرها كم؟ بقدرها 4 خلاص؟ ده معنى الـ Functions الـ Periodic اللي احنا هنبدأ نتعامل معايا طيب ما هي الأنواع التي نستطيع التعامل معها مع البرويوديك فانكشن؟ هي نفس الأنواع الطبيعية التي نستطيع التعامل معها مع أي فانكشن حتى لو لم تكن بريوديك الأنواع الرئيسية التي لدينا هي طيبات بريوديك فانكشن وانت بتتعامل معاها في عندنا ثلاث أنواع مفيش غيره النوع الأولاني ان الفانكشن بتاعتك تكون ايفن فانكشن دل زوجية النوع الثاني انها تكون اود فانكشن دل فردية النوع الثالث والأخير انها تكون لا زوجية ولا فردية نايفر ايفن نور قدر دلة زوجية دلة فردية الدلة دي لا زوجية ولا فردية نركز معايا بعد ذا حضرتك أيام لما تعاملت مع الفانكشنز أيام ما كنت في الإعدادية والثانوية كنت بتقدر تتعرف على الفانكشن الزوجية والفردية واللا زوجية واللا فردية باختبار جبري بسيط جداً اللي هو حضرتك كنت بتعمل تقوم بعملية استبدال لكل X في الفانكشن التي تحصل عليها وتضع مكانها ناقص X و ترى إذا كانت الفانكشن التي تحصل عليها عندما تقوم بإزالة كل X فيها أنا لا أحب الصوت الدوشة التي ستحدث لكي تحصل على الكويس بمنطقة بسيطة أستطيع أن ألغيها لو حضرتك جيت استبدلت كل X وحطيت مكانها ناقص X وشفت الفانكشن الجديدة لو طلعت معك نفس الفانكشن الأصلية بدون أي تغيير وبدون أي زيادات كنت بتقول ساعتها أن الـ F بتاعتك تعتبر دلّة؟ زوجي؟ و لو جيت شلت الـ X اللي معاك و حطيت ناقص X و طلعت معاك نفس الـ Function بس فيه إشارة زيادة يبقى ده معناه أنها كانت ده لا فردية و لو طلع النتج اللي معاك ولا كده ولا كده يبقى ساعتها كنت بقول الـ Function لا زوجية ولا فردية مش كده؟ كمساية لو أنت عندك Function F بتساوي X² لما كنت بتشيل كل X و حطت مكانة ناقص X الفانكشن ديك هتدي لك زوجية ولا فردية زوجية لو أنا معايا f of x بتساوي tan x لما كنت بشيل كل x وحط مكانها ناقص x فكان بيديني سليب التان يبقى الدلة بتاعتك دلل ايه؟ فردية لو أنا عندي f of x بتساوي e plus x شيل كل x وحط مكانها ناقص هيطلع لك e plus ناقص x ولا هي نفس الفانكشن ولا فيه اشارة بره مضروبة يبقى الدلة لقدامك دي لا زوجية ولا فردي الكلام ده وانت بتتعامل فيه مع الدولة العادية اللي هي الدومين بتاعها معروف وما بتتكررش لكن لو احنا بنتكلم على بريوديك فانكشن الاختبار ده ما ينفعش معايا اما الان هتعامل مع الدولة الزوجية و الفردية ازاي من خلال الجراف بتاعها من خلال الرسم ازاي نقدر نعرف ان الفانكشن بتاعتي هتكون زوجية ان هيبقى في عندك سيمتري في عندك تماثل ما بين محور الواي هتلاقي اليمين زي الشمال يعني هلاقي كده عندي فانكشن مرسومة بالصورة دي كده وبتكرر نفسها يمين وشمال بالوضع ده فهتلاحظ دلوقتي ان محور الواي بالنسبة لنا عامل بالضبط زي المراية المنطقة اللي موجودة معانا على اليمين زي المنطقة اللي موجودة معانا على الشمال منطقة هي موجودة عندي على اليمين زي المنطقة اللي موجودة عندي على الشمال يبقى طالما لقيت سيمتريك about y-axis فيه عندك تماثل حوالين محور الـ y يبقى ساعتها بقول الفانكشن بتاعت ايه زوجية يبقى دي بتكون متمثلة حول محور الـ y تمام؟ طيب بتعرف بقى إنها دلة فردية إزاي؟ إذا كانت الفانكشن بتاعتك المرة دي متمثلة حوالين الأوريجين حوالين نقطة الأصل الجزء اللي موجود عندك في اليمين متمثل الناحية التانية حوالين نقطة الأصل إزاي؟ مثلاً عندي فانكشن كده الصورة الموجودة معك دلوقتي للفانكشن اللي بتتكرر هتلاحظ ان الجزء اللي على اليمين عبارة عن مستطيل موجود كده في الجزء الموج. الناحية التانية في واحد زيه بالزبط لكن فين?
فانت دلوقتي هتلاقي فيه حوالين مين؟ حوالين الأرجل. طب كمل هتلاقي المنطقة اللي موجودة معاك هنا عبارة عن مربع أو مستطيل كده موجود في التحت في الجزء السالب النحية دي موجود في الجزء الموجة. يبقى أنت عندك المرة دي الفانكشن بتاعتك فيه فيها تماثل برضو لكن التماثل ده حوالي نقطة الأصل أو الأورجن يبقى أنت لو لقيت الفانكشن بالصورة دي متماثلة حوالي نقطة الأصل يبقى ساعتها بقول أن الفانكشن بتاعتك تعتبر فانكشن إيه؟ فردي طب الأخيرة بقى بنفس المنطق إذا أنا عرفت أن الفانكشن even بتحصل من التماثل حوالي محول الـY والتماثل odd بيحصل من التماثل حوالي الأورجن يبقى الدلل لا زوجية ولا فردي هذا حصل إمتى؟ إذا ما كانش في تماثل خالص ولا في تماثل ولا تماثل حوالي محور الواي ولا تماثل حوالي الـ Origin مثل هذا الفانكشن اللي قدامك دي برضو يطلق عليها انها بريوديك لان في عندك وحدة معينة بتتكرر على طول الدومين الموجة بوسالت لكن هل دلوقتي نقدر نقول ان الجزء اللي على يمين محور الواي زي اللي على الشمال بالضبط على طول؟ لا يبقى ما فيش تماثل حوالين الـY يبقى الدلل دي مش زوجية هل أنا شايف الجزء اللي على يمين الـY في الموجب في واحد زيه النحية التانية في السلب؟ لا يبقى هنا المراضي ما فيش تماثل حوالين محور الـY ولا تماثل حوالين الـO يبقى اللي قدامك دلل ايه؟ لا زوجية ولا فردية. ماشي كده?
يبقى الخلاصة الوضوحة ان انت وانت بتتعامل مع في منها تلات انواع زوجي فردي لا زوجية ولا فردية. ما بحددش النوع بتاع الا من خلال الرسم. ومش بس الرسمة ده لازم الرسمة وكررها لازم أرسم الرسمة وكررها كمان ولما تتكرر أبص على الفانكشن نفسها بعد الرسمة أنا شايف مع التماثل عامل إزاي حوالين الـ Y تبقى Even حوالين الـ Origin تبقى All مفيش كده ولا كده يبقى فانكشن بتاعتي لا زوجية ولا فردية كمثال بسيط لو أنا قلت لك إن أنا عندي عشان تفهم فكرة انك انت لازم تكرر لو انا قلتلك ان انا عندي f بتساوي ت تربيع اسمها ايه؟ ت تربيع و قلتلك ان الفانكشن دي هي عبارة عن فانكشن الدومين بتاعها بيبدأ من فترة 0 لغاية باي شششش الفانكشن اسمه T2 وموجودة من أول الزيرو لغاية البي وقلتلك إن F of T زائد بي تساوي F of T دي من غير الشرط ده دي عبارة عن فانكشن عادية وهرسمها بس خلال الدومين من صفر البي وهقطع الباقي لما قلك إن F of T زائد بي بيساوي F of T معنى كده إن الفانكشن اللي فوق أصبحت فانكشن بريوديك وهرسمها بس خلال الدومين من صفر البي و تكرر نفسها كل فترة مقدارها بار لو حضرتك اعتمدت على معلوماتك الأديمة من نوع الفانكشن كنت هتقول ان تي سكوير دي دل نوعها زوجية مش كده؟ لا فالـ D periodic لا يحكم على الفانكشن زوجية أو فردية إلا عندما ترسم وتكرر لنرسم الفترة الرئيسية لفانكشن سنرسم كذا أريد أن أرسم الدلة التربعية لأنني أعلم أن T2 يجب أن ترسم كذا تربيت تربيت أريد جزء منها خلال الدومين من كم لكم أريد هذا المكان وقم بالتعبير هذه الرسمة الرئيسية خلال الدومين الذي مقداره بال هنا يقول لي أنها تكرر نفسها هذه هي محلتها تكرر نفسها بنفس الصورة كل فترة مقدارها باي يعني مطلوب من حضرتك تمسك الرسمة اللي قدامك دي وتعمل لها كوبيت بيست يمين وشمال بنفس الصورة بالضبط خلال الفترة اللي مقدارها باي فتيجي تعمل ايه؟ تيجي تعمل ايه؟ من نهاية كل فترة من اليمين والشمال وتاخد الرسمة بزبط بمعنى الرسمة اللي معايا عبارة عن كيرفة بدي من تحته طلع فوق. من نهاية البريد الاولانية هنرسم نفس الكيرف. اهو.
لغاية كم؟ اثنين باب نكرر تاني هاخد نفس الرسمة وحطها هنا هنبدأ من تحت ونكررها لغاية ثلاثة باب ولما نكرر الناحية التانية هاخد نفس الرسمة ووديها الناحيات من النهاية هبدأ من فوق كده لغاية ماقص باب هاخد الرسمة دي وكررها تاني تاني ناقص اثنين باي يبقى انا اخدت الوحدة الرئيسية اللي معايا اللي هي خلال الباي اعتبره كسندوق كده خد السندوق ده واتقرره على اليمين واحدة يمين يمين يمين يمين وكمان مرة فين؟ في الشمال طب الـDNA في سايه؟ هو من 0 باي أنا مش حاسة غير من 0 باي عند الـBuy هي الـDomain بتاعها من صفر الـBuy الـFunction بتاعها باي تربية ماشي؟ ايه اللي باي على ايه؟ فين باي على اتنين؟ دي باي هيك؟ دي باي هيك؟ دي باي هيك؟ دي الباي، هاخد الرسمة وكررها يمين واشمال دي الباي، هاخد الرسمة وكررها يمين واشمال نفس الرسمة تاخدها يمين وتاخدها اشمال نفس الرسمة تاخدها يمين وتاخدها اشمال نفس الرسمة تاخدها يمين وتاخدها اشمال بص بقى على الرسمة دلوقتي بعد ما رسمتها وكررتها بص بقى على الرسمة دلوقتي بعد ما رسمتها وكررتها بص بقى على الرسمة دلوقتي بعد ما رسمتها وكررتها بص بقى على الرسمة دلوقتي بعد ما رسمتها وكررتها الصورة للوقت حضرتك شايف تماثل حوالي المحور الواي؟ اليمين زي الشمال؟ لا طب انت شايف تماثل حوالي الارجن؟ برضو لا يبقى على الرغم من ان التعريف الرئيسي للفانشا كانت دالة زوجية لكن لأنك بتتعامل معها دلوقتي كفانكشن بريونيك حضرتك بتبص عليها توتل لما ارسمها وقررها يمين وشمال فاصبحت دلوقتي ولا فيها تماثل حوالي المحور الواي ولا فيها تماثل حوالي الارجن يبقى الفانكشن اللي موجودة معاك دي تعتبر لا زوجية ولا فردية يبقى دي لا زوجية ولا فردية neither even نور طب واحدة كمان لو انا ايلك F of T الصوت.. الصوت لو سمحت الصوت لو سمحت بيقولني كده.. بتبالك لو سمحت عندي f هي عبارة عن function لها تعريفين 2 بتساوي 2t ناقص الbi في الفترة من صفر الbi وبتساوي 3bi ناقص 2t في الفترة من بي لغاية اتنين باي لو انا سكت على كده وقلت هاي دي الفانكشن يبقى دي عبارة عن فانكشن مرسومة بس خلال الفترة من صفر الاتنين باي ومش عايز الباقي لكن هاجي ازودلك واقولك كده يبقى ده معناه ايه دلوقتي؟ ان التعريف اللي فوق مع الجزء اللي تحت بيقول ان الفانكشن اللي قدامك دي اصبحت بريوديك فانكشن والبريوديك فانكشن دي فترة التكرار بتاعتها او البرود بتاعتها مقدارها كام؟ هي الفترة اللي بتكرر نفسها فيها اللي هي كام؟ اتنين باي. يبقى انت هترسم الرسم الرئيسية وتاخدها كل اتنين باي.
من اول اتنين باي اربعة باي ستة باي تمانية باي. وكذا حسب التعريف اللي موجود معايا طب الفانكشن اللي موجودة معايا هتبقى زوجية ولا فردية ولا لا زوجية ولا فردية برضو أكرر تاني لو حضرتك اعتمدت على معلوماتك القديمة هتلاحظ أن الفانكشن اللي اسمها 2x-π بلاش t 2x-π زوجية ولا فردية لا زوجية ولا فردية الـx هي اللي فردية لكن 2x-π لا زوجية ولا فردية هذا إذا اعتمدت على التعريف الرئيسي ولكن إذا عملت عليها كأنها فنكشن بريوديك فالموضوع سيختلف تماماً دعونا نرى هذه رسمتنا بالمحاولة T F دعونا نرسم فنكشنك مقسومة نصف الجزء الأولاني مرسوم من صفر الـ هذه الفنكشن التي التعريف ده عبارة عن دلة نوعها ايه؟ للمرة الأخيرة أنا مش عايز صوت اللي جاي علشان الكوز يتفضل يطلع برة ويجي لي الساعة 9.30 أنا مبحبش صوت أصدق الشغل آخر تحذير فانكشن اسمها 2t-π الفانكشن دي نوع ايه؟ مئة انواع الدولة ده اللي سابتة ولا ده اللي خطية ولا ده اللي تربيعية ولا ده اللي نوع ايه؟ ده اللي خطية والخط المستقيم علشان حضرتك ترسمه محتاج روح بطتين اتنين مجرد عملية تعويض عند البداية والنهاية لما نحط الـt بصفر هنا يبقى الفانكشن دي مقدارها سالب بي اهي عند المقطة تي بتسوي باي بالتعويض يبقى اتنين باي رأس البي بتسوي باي يبقى ده معناه ان المقطة التانية بتاعت الخط هي باي وباي اهي يبقى الرسمة الاولى بتاعت الخط المستقيم اهو ده الخط المستقيم الأولين اللي موجود في الفترة من صفر لغاية البا اللي بعد الفانكشن التانية اسمها 3 باي ناقص 2 تي دي برضو عبارة عن دل نوعها ايه دل خطي موجودة خلال الفترة من باي لتنين باي يبقى كل اللي انا محتاجه طاوتين اتنين نقطتين اجيب بيهم الرسم لما حط تي با باي يبقى 3 باي ناقص 2 باي تديني باي يبقى هي نفس النقطة دي مفيش فيها عدو اتصال هنا لما جي حط تي بتسوي 2 باي يبقى 3 باي ناقص 4 باي فهيديني سالب الباي يبقى النقطة التانية بتاعة الخط إحدى سياتها كام؟ باي وسالب 2 باي آسف 2 باي وسالب 2 باي هنمشي 2 باي وننزل سالب باي أهي يبقى الرسمة بتاعتنا أهي يبقى الخط المستقيم الاولاني كانت النقط بتاعته لما احنا حسبناها كانت نقطة صفر وسالب باي والنقطة التانية هي نقطة باي وباي الخط المستقيم التاني لما جينا حطينا النقط بتاعته كانت عبارة عن باي وباي والنقطة الثانية اتنين باي وسالب الباي حطينا النقطتين بتاع كل خط ووصلنا رسمنا الخط الأولاني ورسمنا الخط الثاني الصورة الموجودة قدامك دي دلوقتي هل تقدر تقول عليها انها دل زوجة أو فردية؟ ما أقدرش أحكم عليه بس أوعى تنسى إن الفانكشن اللي موجودة معاك دي عبارة عن فانكشن إيه؟ بريوديك يبقى أوعى تحكم على نوعها زوجي ولا فردي ولا لا زوجية ولا فردية إلا لما ترسم وتكرر خد الرسمة اللي موجودة معاك دي اللي هي زي الثمانية كده ويرسم نفس الرسمة من صفر لغاية اثنين باي خلال فترة زيها يمين وشمال يبقى هاخد الثمانية دي وهرسم من اول اتنين باي لغاية اربعة باي اهو وعايز ارسم نفس الرسمة بالضبط هتلاقي الرسمة كده خذ نفس الحرف الثامنة المعجدة أو الفيل المقلوبة وديها لنحية ثانية يبقى هرسم خلال نفس الفترة اللي هي 2 باي بس هبدأ من صفر وارجع ورا يعني الغاية سالب 2 باي ونرسم نفس الرسمة بالضبط يبقى الرسمة بتاعتنا هتبقى كده هذه الرسمة الرئيسية اللي هي مرسومة بالأزرق الريبتيشن بتاعها أو التكرار بتاعها على الأقل لواحدة يمين وواحدة شمال ده التكرار على اليمين خلال الفترة من 2 باي ل 4 باي التكرار على الشمال خلال الفترة من ناقص 2 باي لغاية الزيرو عندما تنظر الى الفانكشن بنظرة اجمالية على بعضها هي والتكرار بتاعها الفانكشن هل حضرتك سمتري من اي نوع تماثل حوالين الواي او تماثل حوالين الارجين تعالوا ننظر الى هذا ستجد من حوالين الواي بالضبط يمين وشمال ستجد على اليمين مسلس بالسالب تحت ويوجد واحد مثله في الناحية الثانية ستجد هنا من بعدها ستجد مسلس كبير موجود فوق ومسلس كبير موجود فوق يجد أن محور الواي عامل مراية لو طبقت على محور الواي هتجد الرسمة اليمين تنطبق على الشمال يجد الشكل الذي قدامك فيه فيه سيمتريك ولا لا وبالتالي بما أن التماسل ده حوالين المحور الواي يبقى الفانكشن اللي قدامك دي فانكشن نوع ايه ايه يبقى على الرغم من ان المعلومات الرئيسية للتعريف الطبيعي للفانكشن اللي فوق بيقول انها ولا زوجية ولا فردية لكن انت لما رسمت الاتنين مع بعض وكررتي مين وش مال طلعت في الاخر زوجية الفانكشن دي على الرغم من أن التعريف الطبيعي بتاعها بيقول إنها زوجية لكن لما رسمت جزء الدومين اللي أنا عايزه وكررته يمين وإشمال طلعت لا زوجية ولا فردية الخلاص حضرتك لما بتتعامل مع بريوديك فانكشن لا أستطيع أن أحدد نوعها من مجرد المعلومات من تقريرها يجب أن أرسم وكرر يمين وشمال على الأقل مرة يمين ومرة شمال وعندما نرسم ننظر بس إجمالياً هل أرى سيمتريك حوالي الـY؟ هل أرى سيمتريك حوالي الـOrgin؟ أم أنه لا يوجد سيمتريك حوالي هذا أو هذا؟ ومنها أعرف نوعي Even أو Odd أو Another Even Nor Odd ماشي؟ كل هذا الكلام ماذا يحتاجون لأي شيء؟ ستعرفون حالاً شكرا تكرارية بدلالة مجموعة لانهائية من الصين والكوزين القانون بتاع الفوريال سيريز بدون إثبات عبارة عن الـ F of T دي الجيفن بريوديك فانكشن دي الدلال بريوديك اللي أنا هديها لك لما تحب تعبر عنها بدلالة الصين والكوزين بتبقى كالآتي عبارة عن A0 على 2 زائد سجمة عداد معايا بيعد من أول N بيساوي 1 إلى مالا نهاية AN cos زائد سجمة بنفس العداد BN sin إيه الرموز اللي موجودة معايا دي؟ تعالوا نفهمها مع بعض واحدة واحدة أولاً F of T دي الـ F of T دي عبارة عن Given Periodic Function دي الدلة التكرارية اللي أنا هديها لك ممكن تبقى كده ممكن تبقى كده ممكن تبقى كده ممكن تبقى اي حاجة من اللي تكلمنا عليها من شوية يبقى الـ F of T دي هتبقى Given Function أنا عايزك تعوض عنها بدلالة Sine و Cosine دي اول حاجة نعرفها اثنين M اللي موجودة معايا هنا الـ M ده عبارة عن Counter عداد بيبدأ يعد اعداد صحيحة مجبرة من واحد لغاية ما لنهاية لما تحط الـ N بوصة يبقى دي اسمها كوزين بايتي على L الـN بـ2 كوزين 2 بايتي على L 3 بايتي على L 4 بايتي على L ده المجموع بتاعهم من أول واحد لغاية ما لا نهاية يبقى الـN عبارة عن عداد بيبدأ العد من واحد لغاية ما لا نهاية 3 الـN اللي موجودة هنا وهنا دي عبارة عن نص الفلت بمعنى أن لو الـ إذا كانت الـ period التي تتعامل معها بـ 4 يكون L بـ 2 إذا كانت الـ period التي تتعامل معها بـ 2 باي يكون L بـ 2 إذا كانت الـ period التي تتعامل معها بـ 8 يكون L بـ 4 إذا قلت الثاني الـ if given الـ L نص الـ period التي تعمل عليها 2 باي أو باي أو ربع باي كما تقول الـ n هو counter عدد يعد من 1 إلى ما لا نهاية هل انتهى؟ طيب بيقولك بقى كل المطلوب في الموضوع ده انك هتلاقي ال F of T Given ال L حضرتك بتبقى موجودة عندك ال Period فانت بتقدر تستنتج منها ال N الكوزين والسين ده ولا عادية وال N عبارة عن عداد انت عارف القيم بتاعتك كل مشكلتك ايه دلوقتي انك انت تقدر تجيب مجموعة السوابت دي انا عايز بس احسب ال A Note ب كام ال A N ب كام ال B N ب كام مجرد ما حضرتك قدرت تجيب الـ ANode و الـ AM و الـ PM عوض بكل واحدة في مكانها يبقى كده حضرتك قدرت تجيب الـ Fourier Series Representation للـ Periodic Function نقول تاني يبقى المسألة دي معطياتها ايه؟ الـ Periodic Function F of T وهكون ميديلك الـ Period اللي انت بتشتغل معاه المطلوب انك انت تحط الـ F of T على صورة الطرف ده كل الاجزاء معاك معلومة الـ تكتب الكوزاين والساين كما هم الـN دائماً يعد من 1 إلى ما لا نهاية الـL وهذا نص البريد وتكون جيفن كل مشكلتك دائماً وأبداً اعرف الـA-N بكم اعرف الـAN بكم اعرف الـPN بكم يبقى هو هذا الفوريير سيريس بتاعك فايداته ايه؟ سنعرفه عندما نشغله بعد كده ان شاء الله مع بعض على الكمبيوتر سأريكم الكلام ده جرافيك على الكمبيوتر ان شاء الله ملحوظة بس كده بالنسبة لكم انتوا عشان كهربا لو الـF of T دي تمثل بالنسبة لكم إذا كانت تتكلم عن إشارة كهربائية معك سواء كانت تتكلم عن جهد يتكرر أو عن طيار يتكرر أو عن مجلات مجلات يتكرر يقول لك أن الـ A نود على 2 وهو السابت من غير Sine و Cousine يمثل ما يطلق عليه الـ DC Shift حضرتك عارف أن أي دل أو طيار أو جهد يتعامل معه نوعين هم DC و AC لو أنت تتكلم عن طيار اسمه ساين يبدا ايه? عبارة عن اي سي.
لو بتتكلم على طيار بيساوي عشرة امبير يبدا اسمه? طب لو انت بتتكلم على طيار اسمه عشرة زائد ساين. يبقى الطيار اللي موجود معك ده فيه جزئين اتنين. فيه جزء مقداره عشرة وجزء كمان فأول جزء الـ AC-DC اللي معاك هو السوابط اللي من غير السايل والكوزايل خلاص؟ كل مشكلتك بقى السوابط دي تيجي ازاي؟ السوابط هتيجيك العادة كل السوابط التلاتة الـ ANODE الـ AN الـ PM هيتم حسابهم باستخدام حبيبنا التكامل لكن إن شاء الله التكملات سهلة كيف ستتعامل؟ الثلاث قوانين طبيعية مثلها 1 على L حيث من L معي؟ نصف L تكامل على الفترة بالكامل من ناقص L لغاية L تكامل من ناقص L للL تكامل من ناقص L للN بمعنى هو مش أنا دلوقتي بقول أن ال-L معايا نصف يبقى اقدر اقول للبريد مقدارها قد ايه بالنسبة للال؟ اتنين. فانا باخد المجال بتاع التكامل من لاقص ال لغاية ال الفرق ده كام؟ اللي هو يمثل بالنسبة لي البريد.
نقول كمان. يبقى يبقى انت التكامل بتاعك السابت اللي برا 1 على L 1 على L 1 على L حدود التكامل اللي معاك بنافد الحدود بتاعت فترة واحدة بس من الفانكشن بتاعك بمعنى الفانكشن دي متعرفة من سالب 2 لتنين يبقى انا احط حدود التكامل من ناقص 2 لغاية 2 الفانكشن دي متعرفة في الصورة الرئيسية من كم لكم من سالب البي لغاية البي يبقى هكتب الحدود من ناقص بي لبار طب بالنسبة للفانكشن دي التعرف تعريف الرئيسي بتاعها من كم لكم يبقى ساعتها حضرتك هتغير الحدود بدل ما بقول من ناقص ال ال ال هقول من بداية لنهاية الفترة يبقى بشكل عام كل التكاملات دي الصورة العامة بتاعتها بداية الفترة وهنا نهاية الفترة بتاعة تعريف لو الفانشل متعرفة في الجزء السالب والجزء الموجب هي دي الحدود في الجزء السالب والجزء الموجب هي دي الحدود. لو كلها موجودة في الموجب او كلها في السالب بتحط الحدود بتاعتها.
حسب بدي من كم ومنتها عندي كم. يبقى جميع الحدود بلا سسنة حسب البداية وحسب النهاية. افرض انا بدي لك فانكشن التعريف بتاعها بدأ من اول اربعة او من اتنين لغاية ستة. يبقى الحدود اللي معك هعمل التكامل من اتنين لغاية ستة.
اديتك التعريف بتاعتك من ناقص تلاتة باي لناقص باي. سوف تجعل الحدود تبدأ من ناقص 3 باي لغاية ناقص باي والذي سيحدث هنا سيحدث هنا سيحدث هنا متفقين؟ يبقى حدود التكامل العرض بتاعها أو مسافتها مقدار فترة كاملة حسب البند اللي معاك بتبدأ من كام وتنتهي عندي كام حسب البداية وحسب النهاية كمان بقى؟ هكمل مين؟ F of T F of T F of T لغاية دلوقتي الثلاث تكاملات تبكال زي بعض السابت اللي برا حدود التكامل الفانكشن اللي انت بتكملها طب ما كده يبقى التكاملات كلها سيبقى هقولك فيه اختلاف واحد هكامل مين جنب الـ F of T علشان ما ننساش بالنسبة للـ A node على حسب التعريف بتاعنا هي الـ A node جنبها حد؟ لا يبقى حضرتك هتكامل الـ F of T بس بالنسبة للـ AN هنا، جنبها من؟ ستكتب F cosine وتحسب الـ integration الـ PN على حسب الـ function الموجودة معك في التعريف الـ PN جنبها من؟ ستقول F في صين ماشي كده؟ تاني يبقى كل التكاملات نفس السابق نفس الحدود نفس الـ F لو عايز تجيب الـ Anode هكمل الـ F بس عايز أجيب الـ AM هكمل الـ F مضروبة في الكوزاية عايز أجيب الـ PM هكمل الـ F مضروبة في الكوزاية في ايه? في السايل. التكامل اللي فوق هيتحسر عادة. التكامل ده اف والكزاي المضروبين يبقى حضرتك هتعمله.
التكامل ده هتعمله برضو. كده اصبح مطلوب من حضرتك. كم تكامل?
تلاتة. كتير. مش كده? طيب.
تعالوا نفتكر بقى معلومة صغيرة. اخدناها في اعدادي لما كنا بنشتغل على التكامل المحدود التكامل المحدود التكامل المحدود تفكر معي أنك عندما تقوم بالتكامل من ناقص A إلى A إلى عدد عدد تحتاج هذا التكامل حسابات؟ لا، هذا التكامل كان بكام مش كده؟ لما انت بتكامل دلة فردية من ناقص رقم لموجب نفس الرقم التكامل ده بيساوي صفر ولو انت بتكامل من ناقص ايه لايه؟ لدلة ايفن التكامل ده كنت ممكن تبسطه ازاي؟ اخد التكامل في الجزء الموجب واضربه في ايه؟ في اتنين فاكرين الموضوع ده؟ لو انت عندك تكامل لدلة فردية نتج التكامل بسوء صفر طالما الحدود زي بعض والفرق إشارة ولو أنت بتكامل دل زوجية يبقى هتلاقي التكامل بتاعك ده هاخد النص الموجب بس من صفر للجزء الموجب وامضارب في اثنين هنا بقى يبدأ فايدة النوع بتاع الفانكشن تعالوا كمان نفتكر من أيام ما كنا في ابتدائي أنا لو معايا دلة فردية في دلة زوجية المحصرة ولو أنا معايا فردية في فردية ولو معايا زوجية في زوجية الخلاصة إذا كانوا لتنين من نفس النوع لتنين فردي أو لتنين زوجي الفانشن النهائية تعتبر و لو كانوا واحدة كده و واحدة كده يبقى الـ Function النهيئة ايه بقى مدى الفيضة اللي في الموضوع؟ تعال نشوف بقى ماذا انت دلوقتي حسب القاعدة اللي معاك F of T اللي موجودة معايا لها 3 انواع مش هيخرج عني يقم الـ F of T فردية يأمّا F of T زوجيّة يأمّا F of T لا زوجية ولا فردية مش كده؟ مش هم دول التلت أنواع اللي اتكلمنا عليهم؟ يبقى الـ F اللي موجودة معك قد تكون فردية قد تكون زوجية قد تكون لا فردية ولا زوجية ايه مدى الاستفادة اللي هتحصل عندي؟ تعالوا نشوف كده مع بعض لو أنا كنت مديلك F حضرتك رسمتها كررتها طلعت جميلة زي دي أو زي دي متمسة حوالين الـ Origin يعني الفانكشن بتاعتك فردية هتفرق في إيه؟ بص كده معاي على التكاملات لو F بتاعتك فردية يبقى التكامل الأولاني حضرتك بتكامل دلة فردية من ناقص L لل-L يبقى التكامل من غير حسابات حل يبقى مباشرة A نو بصف كمان الـ F بتاعتك فردية والـ C بطبيعتها زوجية فردية في زوجية يبقى المحصلة اللي معاك يبقى التكامل بتاعك يبقى كمان الـ A N بصفة بينما التكامل ده بقى مش هيقدر يبقى هو كلام بصفة الـ F فردية والـ C فردية يبقى المحصلة يبقى ده معناها إن إحنا هنحسب فقط B N و وهنا بقى تظهر الفايدة العظيمة لفكرة أن حضرتك عارف نوع الفانكشن مجرد أنك عرفت أن الفانكشن فردية بخبطة ألم واحدة رحت قيل الـ A node و الـ AN بكام وهتحسب بس مين؟ وهنا سؤال بقى لوجيك ليه؟ هل مجرد أن الرياضة بتقول أن التكامل للدلة الفردية بصف؟ أقول لك هالحاجة تاني بص كده لما هيحصل معاك أن فانكشن فردية. ماشي كده?
وقلت ان الان بصف. والان بصف. يبقى انت دلوقتي هتعبر عن الفانكشن الفردية بدلالة اللي هي تعتبر دلة فردية.
ما ينفعش اعبر عنها بدلالة كودة الكوزين الدلة الزوجية ولا بدلالة السابت اللي ايضا يعتبر دلة زوجية. طب لو انا معي زوجية هيحصل معي ايه? وده هنفهمها اكتر.
لو زوجية. ركز كده. ف زوجية هل التكامل ده بصف؟ لا ف زوجية هل تتغير؟ لا ف ف زوجية والسين فردية المحصلة يبقى ساعتها هيحصل معايا ان البي ان هو اللي بكام ونحسب الـ A-N و الـ A-N أقول لك تاني ليه؟ لو حصل دلوقتي أن الدلة زوجية فالرياضة بتقول لك أن الـ B-N بصف تعال نفهم الكلام ده هن لو الـ B-N بصف أصبحت السمشة بتاع الصين مش موجود يبقى انت بتعبر عن الدلل ايفن اللي معاك بدلالة السابت والكزاير اللي هم في الاصل فعلا دول زوجين الاخيرة بقى اذا كانت الفانكشن اللي معاك معك لا زوجية ولا فردية تفتكر أي تكامل من دول ممكن يبقى بصفر بشكل تلقائي لا يبقى ساعدتك حضرتك في الحالة دي مضطر نحسب التلت سويا للأسف ما عنديش أي طريقة أقدر أخمن بيها قيم السوابت بمجرد النظر لازم أضطر أحسم الـ A0 لوحده و الـ AN لوحده و كذلك الـ BN طبعاً أنت في سرك دلوقتي تتمنى أن أنا أجيب لك فردية طبعاً مثال صغير كده نختم بيه F of T بتساوي T في الفترة من ناقص باي لغاية البار معايا دلة خطية موجودة خلال الفترة من ناقص باي لغاية البار الكمالة بتاعتها بيوتر يقولك ان F of t زائد 2 باي بتسوي F of t معنى الحتة دي ايه؟ ان انت شغال مع periodic function والperiodic بتاعتها مقدارها 2 باي المطلوب Find Fourier Series Expansion أنا عايز أجيب المفكوك بتاع الفوريير سيز خلاص؟ بصوا بقى الموضوع هيتلخص ازاي اللي هقوله ده دلوقتي هو اللي هيكمل بيه الشبطة ما بيش فكرة تانية ايه الموضوع كله؟ الاستفس اللي معاك واحد ارسم الفانكشن الأصلية اللي معاك اثنين امسك الفانكشن اللي معاك وكررها على الأقل مرة يمين ومرة شمال مرة شمال ثلاثة، اعرف نوع الـ function even أو odd or another even or odd على حسب السيمتري الموجود معايا بعد ما تعرف النوع ابدأ اشوف بقى على حسب التمول اللي معاك ده هل هضطر احسب الثلاث ثوابت؟ ولا هحسب ثابتين اتنين بس؟ ولا هحسب واحد بس؟ يبقى الاستفسر اللي معايا اربعة ارسم، كرر، حدد النوع بعدين ابدأ احسب قيم السويد تعالوا نشوف كلام ده الخطوة رقم واحد ارسم الفانكشن الرئيسي معايا دلة خطين في الفترة من كم لكم من سالة باي لباي من ناقص باي لباي يبقى خط مستقيم عايز ارسمه يبقى انا عايز بكم نقطة اتنين وليكن عند نقطة الله باي بالتعويض يبقى اسمها سالب باي. النقطة هي احداثياتها سالب باي وسالب باي. عند تعالوا كده نقسمها بسرا ادي كده باي اتنين باي تلاتة باي اربعة باي.
دي انت تأسيبها بتاعتك. النقطة الاولى هي ناقص باي و باي اهي النقطة التانية عند تي بتسوي باي بالتعويض يبقى دي عبارة عن احداثياتها كم و كم باي و باي اهي نوصل ما بينهم الرسمة ايه دي الرسمة الرئيسية ناخد الفانكشن دي ونبدأ نعمل لها تكرار يمين وشمال ايه هم أخذوا الخط المستقيم ده زي ما هو ومكرروا بس بداية من مين؟ من الباب وناخذوا النحية الثانية بداية من النائص باب لو أنت أخذت الرسمة دي وكررتها النحية دي أنا عايز أرسمها خلال فترة مقدارها كم؟ اتنين باب يبقى هتترسم كده ده التكرار بتاع واحدة كمان شمال هاخد الخط وارسمه الناحية التانية يبقى هبدأ من ناقص باي اهو وهنزل كده وتخلص عندي سالب 3 باي يبقى انا كده عملت خطوتين رسمت وكررت يمين وشمال خدت الرسمة بالظبط حطتها يمين وكمان مرة حطتها شمال الرسمة دلوقتي بعد بعد ما عملت لها تكرار حضرتك دلوقتي شايف تماثل من أي نوع؟ آه، أنا شايف دلوقتي أن أنا عندي هنا مسلس على اليمين فوق وعندي واحد زيه بس تحت يبقى أنت دلوقتي شايف سيمتري حوالين محور الـY ولا حوالين الـOrgin ولا ما فيش سيمتري خالص وبالتالي الفانكشن اللي معاك دي تعتبر إيه؟ يبقى انت كده عملت ثلاث خطوات مرة واحدة في الرسم رسمت، قررت، حددت إيه؟ النوع وبناءً على معرفتك بالنوع إن الـ F اللي معاك طلعت فرديّة يبقى ده معناها؟ مباشرة أن الـ A نوت بصفر و كمان الـ A N بـ A بصفر الصوت لو سمحت يبقى مجرد ما عملت كده عرفت أن الـ A نوت بصفر و الـ A N بصفر بصف كل اللي بقى إلي بس أحسب التكامل بتاع مين؟ البي إن التكامل بتاع بي إن خد بقى لابرة معايا لو سمح هي إن معاك بكامة البريد ب2 باي على 2 يعني اللي بتساوي باي يبقى ده معناها دلوقتي خد بالك معايا لو سمحت البي ان على حسب التعريف بتاعك هتبقى ايه واحد على ال واحد على ب تمام بعد كده التكامل من ناقص باي إلى با ف ف تي اللي هي تي مضروبة فيه ساين ان باي تي على ان حيث ان اللي معاك بتساوي با يبقى ان باي تي على باي تبقى اسمها ساين كام تاني انا عملت ايه رحت جاي على القانون اللي معايا وعوضتها عن كل ان باي يبقى واحد على باي من ناقص باي لباي عوضت عن الاف بالتعريف بتاعها صين وكمان عوضت عن الان خد بالك بقى من مرحوزة اخيرة انت دلوقتي عرفت ان الاف بتاعتك تعتبر دلة فردية والصين في طبيعتها دلة يبقى المحصلة اللي معك اصبحت دلة زوجية يبقى التكامل ده ازاي بيتم تبسيطه? حضرتك امضار بالتكامل ده في اتنين وتخلي التكامل ده في الجزء الموجب يعني من اول الصفر لغاية لان كل دي دل فردية ودل فردية يبقى المحصلة اصبحت معاك زوجية كل المطلوب بس منك انك تغلع التكامل ده وتعوض بالحدود يبقى هي دي قيمة مين البيئة وده اللي احنا ان شاء الله هنكملوا مع بعض بعد المتر