Appunti sulla Differenziabilità e Derivate Parziali

Definizione di Differenziale

• Funzione ( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} )
• Se ( f ) è differenziabile in ( x_0 ), allora:
  1. Continuità: ( f ) è continua in ( x_0 )
  2. Derivate Parziali: Esistono le derivate parziali di ( f ) in ( x_0 ) e sono le componenti del vettore ( \alpha ) (gradiente)
  3. Derivate Direzionali: Esistono tutte le derivate direzionali e sono date dalla formula:
     • Derivata parziale di ( f ) rispetto a ( v ) in ( x_0 ): ( \alpha \cdot v ) (prodotto scalare)

Teorema sulla Differenziabilità

• Se ( f ) è differenziabile, allora è continua, esistono le derivate parziali e le derivate direzionali.
• Non vale il viceversa: possono esistere derivate parziali (anche nulle) senza che ( f ) sia continua.

Esempio di Funzione Perversa

• Funzione:\n [ f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}, \text{ se } (x, y) \neq (0, 0) \text{ e } f(0, 0) = 0 ]
• Verifica:
  • Derivate Direzionali: Esistono e sono tutte nulle in ( (0,0) )
  • Continuità: Non è continua in ( (0,0) )

Calcolo delle Derivate Direzionali

• Limite per ( t \to 0 ):\n [ \frac{f(x_0 + t\alpha, y_0 + t\beta) - f(x_0, y_0)}{t} ]
• Derivata direzionale in ogni direzione ( v ) è zero in questo esempio.

Formula per le Derivate Direzionali

• Se ( f ) è differenziali:\n [ D_v f(x_0) = \alpha \cdot v ]
• Dove ( \alpha ) è il gradiente di ( f ) in ( x_0 ).

Relazione tra Derivate Parziali e Direzionali

• Le derivate parziali sono derivate direzionali per direzioni che corrispondono ai vettori della base canonica.
• Derivata parziale di ( f ) rispetto a ( x_k ) nel punto ( x_0 ): ( D_{e_k} f(x_0) = \alpha_k )._

Domanda Angosciosa: Come dimostrare differenziabilità?

• Se ( f ) è differenziabile, si può scrivere la formula di Taylor: [ f(x_0 + h) = f(x_0) + \alpha \cdot h + o(|h|) ]
• Analisi 2: la derivata diventa il gradiente e si usa per il piano tangente nel caso di due variabili.

Significato Geometrico del Gradiente

• Il gradiente indica la direzione di massima pendenza della funzione.
• Direzione Massima: ( \theta = 0 ) (nella direzione del gradiente).
• Direzione Minima: ( \theta = \pi ) (contro il gradiente).
• Angolo di 90°: nessun movimento in quota (derivata direzionale nulla).

Conclusioni

• La differenziabilità in più variabili estende i concetti di analisi 1.
• La geometria del gradiente è cruciale per comprendere come variano le funzioni in più variabili.