Differenziabilità e Derivate Parziali

Bene, riprendiamo dal punto dove eravamo arrivati che era la definizione di differenziale, quindi F Quindi riprendiamo dalla definizione di differenza. E'il teorema che rappresenta l'analogo del teorema grigio di prima. E'questa cosa qua. Supponiamo, ipotesi, supponiamo che f da Rn in R, o io sto sempre facendo il caso in cui in partenza c'è tutto Rn, se c'è solo un sotto insieme funziona uguale, appunto x con 0 stiamo insieme sotto insieme, e sotto insieme siamo decimati. Supponiamo che f sia differenziabile sia differenziabile in x con 0. Allora valgono i seguenti fatti. Valgono i seguenti fatti. Allora, fatto 1, f è continua in x con 0. è continua in x1, 0 come succedeva in una variabile se era differenziabile era continua 2 esistono le derivate parziali esistono le derivate parziali derivata parziale di f in x con 0 e chi saranno mai le derivate parziali? come funzionava la teoria di una variabile? supponiamo che esista il differenziale allora esiste la derivata e la derivata chi era? quel numero alfa che compariva qui davanti si x con 0 ah, era, certo grazie Quindi in una variabile chi era la derivata? La derivata era questo numero. Adesso le derivate parziali sono n e chi saranno mai? Saranno le n componenti del vettore alfa. Quindi il vettore alfa chi è? Quello che prima ho chiamato il gradiente. Esistono le derivate parziali di f in x con 0 e sono le componenti, sono le componenti del vettore alfa del vettore alfa che quindi è il gradiente che quindi è il gradiente il gradiente di f in x con 0 quindi esistono le derivate parziali 3 Esistono le derivate direzionali. Esistono tutte le derivate direzionali. Esistono tutte le derivate direzionali, derivate direzionali, di f in x con 0. e sono date dalla seguente formula e sono date dalla seguente formula la derivata parziale di f rispetto alla direzione v nel punto x con 0 questa è alfa scalare v. Quindi il prodotto scalare tra il vettore alfa e il vettore v. Sono due vettori di n variabili, quindi ha senso fare il prodotto scalare. Quindi questo teorema cosa ci dice? ci dice che se è differenziabile, allora è continua, esistono le derivate parziali ed esistono le derivate direzionali. Non solo esistono le derivate direzionali, ma c'è una formula che permette di calcolarle. Questo è il teorema. In una variabile, il teorema era lo senso lo se. Era un se solo se nel senso se è differenziabile, se soltanto se è derivabile, cioè vale la cosa con lo piccolo se solo se vale la cosa con il rapporto incrementale. Qui ci sono una freccia, se vale quella con il differenziale allora vale quella con le derivate parziali con i rapporti incrementali. Perché c'è il grosso Afton. Non vale il viceversa, cioè è possibile che, cioè può accadere che in x con 0 esistano tutte le derivate parziali, esistano tutte le derivate parziali, pure nulle, che vengono tutte uguali a 0, che vengono tutte uguali a zero, addirittura, e la funzione non si è nemmeno continua. E la funzione non è neppure continua. neppure continua in x con 0. Cioè può succedere una situazione tanto perversa, quindi chiaramente non è differenziabile, perché se fosse differenziabile sarebbe continua. Esistono tutte le derivate direzionali, ma non c'è nemmeno la continuità. questo è l'esempio non vale viceversa cioè può accadere questo qual è l'esempio in cui succede questo? l'esempio in cui succede ovviamente è una funzione un po'perversa però la vediamo tanto per capire cosa può succedere, è una funzione f di xy fatta così, f di xy definita in questa maniera, ovviamente definita a tratti, è diciamo un'apparente stretta di quella che abbiamo visto ieri, cosa abbiamo visto ieri, x quadro y diviso x quadro x alla quarta più y quadro, questa è quella che abbiamo visto ieri. che abbiamo visto ieri, era uno di quelli di cui abbiamo fatto i limiti ieri. E adesso la facciamo al quadrato questa funzione. Questa qui al quadrato, se xy, quando è che è definita questa espressione? Se xy è diversa da 0, 0, perché nell'origine diventa uno 0 su 0, non ci piace, e la definiamo 0 se xy è uguale a 0, 0. Adesso facciamo la verifica, lo facciamo come esercizio, verifichiamo che nel punto 0,0, nel punto, quindi quello che una volta si chiamava x con 0, y con 0, adesso è il punto 0,0, esistono tutte le derivate parziali, Tutte le derivate direzionali, scusate, le derivate direzionali, e sono nulle, ma f non è nemmeno continua. Ma f non è nemmeno continua. Allora, verificare che non è continua è facile dopo che abbiamo fatto la lezione di ieri. Come si farà a verificare che non è continua? Bisognerà muoversi lungo le parabole, no? Per pareggiare questa storia che c'è x alla quarta e y al quadro, per pareggiare questi esponenti viene da mettere tt quadro. Quindi, non è continua. Verifichiamo che non è continua. Basta muoversi. Basta muoversi lungo le parabole. Ad esempio, t t quadro. Se ci muoviamo lungo t t quadro, cosa facciamo? Se ci muoviamo lungo il limite per t che tende a 0 di f di t t quadro, cosa devo fare? Devo usare questa espressione con t t quadro. diventa t alla quarta diviso 2t alla quarta, tutto al quadrato, e quindi questo è un quarto, questo limite fa un quarto, ed è diverso da f. quindi 0,0 quindi non è continua perché lungo questa parabola vale un quarto e nell'origine invece vale 0 quindi non è continua adesso verifichiamo che esistono le derivate indirezionali verifichiamo quindi magari facciamo un disegno per spiegare qui c'è x qui c'è y, qui c'è la parabola tt quadro Diciamo, nell'origine qui vale 0, f vale 0. Negli altri punti della parabola, qui vale un quarto. Quindi non è continua nell'origine. Adesso verifichiamo che esistono le derivate direzionali. Calcolo le derivate direzionali. Calcolo le derivate direzionali. Come calcolo le derivate direzionali? Fisso la direzione v, fisso v di componenti boh, indichiamole con alfa e beta come abbiamo fatto prima e calcolo come si fa a calcolare una derivata direzionale usando la definizione. Calcolo il limite per t che tende a 0, il limite per t che tende a 0 di f, cosa dovevo fare? x con 0 più t, t alfa, y0 più t beta, diviso t, quindi cosa devo fare? Il limite per t che tende a 0, quanto diventa x con 0 più t alfa? Adesso x con 0 è appunto 0, quindi è f di t alfa, t beta, no, cosa ho dimenticato? Devo fare rapporti incrementali, quindi devo fare incremento, quindi meno f di x con 0 e y con 0, cioè l'ho dimenticato per modo di dire, perché quanto fa f di x con 0 e y con 0? Fa f di 0, 0, ma nell'origine non funziona la mossa 0, quindi meno 0. meno 0 diviso t e vabbè, fatemi il conto limite per t che tende a 0 mettiamo l'1 su t davanti a tutto quanto fa f di t alfa t t beta fa t quadro alfa quadro per t beta, quindi c'è il quadrato, poi fa t quadro alfa quadro per t beta diviso x alla quarta, quindi t alla quarta alfa alla quarta, t alla quarta alfa alla quarta più questo qui al quadrato, quindi più t quadro beta quadro. al quadrato fatemi le semplificazioni, sopra c'è cosa posso semplificare un t quadro questo diventa il limite per t che tende a 0 1 su t posso semplificare Per verificare un t quadro mi rimane t alfa quadro beta diviso t quadro alfa alla quarta più beta al quadrato, tutto al quadrato. insomma avete capito, questo limite viene 0, perché viene 0? perché qui c'è un t quadro, qui c'è un t, rimane una t che moltiplica alfa quadro beta diviso t quadro alfa alla quarta più beta quadro al quadrato e questo limite viene 0 quindi per ogni direzione quindi per ogni direzione Il limite viene zero. Il limite viene zero. Quindi tutte le derivate direzionali esistono. E'chiaro questo fatto, che ho semplificato t quadro percorso. Poi questo quadrato mi fa diventare t quadro questo. Con la t rimanuti. e rimane una t e questi sono numeri quindi per ogni direzione il limite viene 0 esistono tutte le derivate direzionali ma non è continua cos'è che rende che permette a questi fenomeni di succedere Il fatto che le derivate direzionali vuol dire muoversi lungo rette, e muoversi lungo rette non basta, perché questa qui ti frega lungo le parabole. Cioè fare le derivate lungo le rette è come fare i limiti lungo le rette, alla fine fare i limiti lungo le rette, l'abbiamo detto ieri, non serve a niente. I limiti vanno fatti globalmente in due variabili, il differenziale perché non lo freghi, il differenziale non lo freghi perché c'è un limite. Gra quindi H e K puoi incrementare, puoi muoverti contemporaneamente nelle due direzioni e allora non la freghi, invece la derivata direzionale in una direzione sola la freghi questa è l'idea che ci sta sotto allora di questo teorema non... vi dimostro quasi niente, di questo teorema non vi dimostro quasi niente, se non che mi piacerebbe dimostrarvi questa parte qua, la formula per le derivate direzionali, perché hanno solo perché. Quindi adesso vi dimostro la formula per le derivate direzionali, perché sono due righe e le interessa. Dimostrazione, diciamo formula per derivate direzionali. Formula per le derivate direzionali. Formula per le derivate direzionali. Quindi supponiamo che F sia differenziale. Supponiamo che F sia differenziale. f differenzabile vuol dire che f di x con 0 più h è uguale a f di x con 0 più alfa scalare h più o piccolo di norma di h, per h che tende a 0. Adesso prendo una direzione v. Prendo una direzione v. Allora, la derivata direzionale che cos'è? La derivata parziale di f rispetto alla direzione v nel punto x con 0, y con 0, questa per definizione che cos'è? Il limite per t che tende a 0 di f di x con 0, no, fatemelo scrivere in generale se no ci muoviamo, quindi x con 0 è un vettore. f di x con 0 più, abbiamo detto, tv, meno f di x con 0 diviso t. Questa è la definizione di derivata direzionale. Mi sposto di t nella direzione v. Adesso cosa faccio? Uso questa sopra, uso questa sopra dove al posto di h ho tv. Quindi uso la formula di sopra. Uso la formula per il differenziale per il differenziale con h uguale tv e dettatemi cosa diventa limite per t che tende a 0 Sotto c'è un minnoco T, sopra cosa c'ho? f di x con 0, più, questo cosa diventa? alfa scalare Tv, più o piccolo di norma di Tv, meno f di x con 0 diviso T. Cosa succede? Questo e questo se ne vanno. Adesso quanto fa alfa scalare tv? t è un numero, t è un numero, non scalare. Alfa e v sono vettori, il t se ne va fuori, no? Questo diventa t volte alfa scalare v. Giusto? Quindi questo è il limite per t che tende a 0, sotto c'è t, sopra c'è t per alfa scalare v, più o piccolo... Che cos'è lo piccolo di tv? Cioè, no, che cos'è la norma di tv? La norma di 10 volte un vettore è 10 per la norma del vettore. Quindi questo qui è o piccolo di t e così. allora adesso la t si semplifica e viene esattamente quello che voglio che venga quindi questo è il limite per t che tende a 0 qui sostanzialmente se ne va la t sul primo pezzo diventa alfa scalare v più o piccolo di tv diviso t Adesso questi trucchetti qui, ad analisi 1, saranno stati il panno quotidiano, di far diventare le cose così, perché adesso questo cosa tende? O piccolo di mostro diviso mostro, questo tende a 0, l'orma di V è un numero, questo è fisso, quindi alla fine questo numero è alfa scalare V. Quindi questo qui dimostra che se c'è il differenziale, allora ci sono tutte le derivate direzionali e sono date dalla formula alfa scalare. Ho una piccola osservazione, cosa hanno a che fare le derivate parziali con le derivate direzionali? Questo non l'ho mai detto, ma è sostanzialmente ovvio dalla prima lezione. Le derivate parziali sono derivate direzionali, pur di aver preso come direzione uno dei vettori della base canonica. Questo non ve l'ho detto la prima ora, ve lo dico ora, così ci permette di fare un piccolo passo. Osservazione. Le derivate parziali sono particolari derivate direzionali, particolari derivate direzionali corrispondenti a V uguale K, cioè vettori della base canonica. Vettori della base. canoniche. E'chiaro questo? E quindi alla fine che cosa ho dimostrato? Ho dimostrato che esistono le derivate direzionali, ma in particolare ho dimostrato anche che esistono le derivate parziali, no? Perché basta che prendo come v i vettori della base canonica. E allora le derivate parziali che cosa sono? Sono il prodotto scalare tra alfa e il vettore della base canonica. Ma cosa diventa il prodotto scalare tra un vettore e un vettore della base canonica? diventa la componente corrispondente del vettore nulla. Quindi allo stesso modo, la dimostrazione di sopra mostra quindi anche l'esistenza delle derivate parziali. delle derivate parziali derivate parziali ed il fatto che sono date dalla formula ed il fatto che Diciamola così, la derivata parziale di f rispetto alla variabile xk nel punto x con 0, questa è alfa scalare, il k-esimo vettore della base canonica, e questo prodotto scalare quanto diventa? Diventa alfa k, cioè la k-esima componente di alfa. Grazie Quindi sostanzialmente quello che vi ho fatto è dimostrarvi sia l'enunciato 3 sia l'enunciato 2, l'1 è quasi banale, il 2 è che esistono le derivate parziali e sono date e sono le componenti del vettore alfa. È un caso particolare del 3, perché le derivate parziali sono prodotte o scavare con il vettore della base canonica. E tra alfa e il cappesimo vettore della base canonica rimane la cappesima componente di alfa. E va bene. Quindi ricapitiamo. Ricapitolando, no, ricapitolando, c'è l'angosciosa domanda. Come dimostro che una funzione è differenziabile in un punto x con 0? Questa sarà la domanda angosciosa. Una volta che so. Vi faccio ancora una piccola osservazione perché è geometrica, poi risponderò alla domanda angosciosa. Una volta che so che f è differenziabile in x con 0, posso quindi scrivere posso quindi scrivere f di x con 0 più h, io uso sempre la notazione per tornare perché è più comodo, uguale a f di x con 0 più, cosa avrei scritto? alfa scalare h, ma alfa abbiamo detto è? alfa chi è? vi tolgo che ha come componenti derivate parziali che si chiama? gradiente, gradiente di f di x con 0 per h più o piccolo di h per h che tende a 0. Questo incomincia a somigliare a quella dell'analisi 1, f di x con 0 più h uguale a f di x con 0 più f primo di x con 0 per h più piccolo di h che vedete all'inizio di... di Taylor, è un inizio di Taylor che poi tra due settimane verrà completato, però al posto della derivata, chi c'è al posto della derivata? Il gradiente, quindi analisi 2 è come analisi 1, solo che quello che una volta si chiamava derivata, adesso il vero oggetto è il gradiente, il gradiente ha il ruolo che una volta c'erano le derivate, inoltre le derivate parziali, e da qui faremo l'osservazione geometrica, le derivate parziali Le derivate direzionali sono date dalla formula derivata parziale di f secondo la direzione v nel punto x con 0 uguale come lo possiamo scrivere adesso. gradiente, prodotto scalare, H. Questa è la formula per le derivate, questa è la formula che dà le derivate direzionali, questa è la cosa pragmatica, la formula che dà le derivate direzionali una volta che so che F è differenziabile, domanda alla quale non sappiamo ancora rispondere. Ma una volta che so che F è differenziabile, vale questa formula qua sotto. Adesso torniamo a lezioni di algebra lineare. Facciamo una piccola osservazione e poi torniamo ad algebra lineare. Facciamo una piccola osservazione. Quando faccio le derivate direzionali posso supporre che la direzione v abbia norma 1? In fondo descrive tutte le rette uscenti da un punto? Pensare alle direzioni di norma 1? Sì, perché vuol dire semplicemente che sto percorrendo le rette con velocità 1. Quindi una piccola osservazione è questa. Nel definire le derivate direzionali, Ma io scrivo stupidaggine e voi non mi dite niente. Cosa ho scritto che non va? Correggete questa forma. Gradiente? Scalar cosa? Non so, non ho senso. Qui c'è V, qui c'è H. Nel definire le derivate direzionali posso limitarmi alle direzioni v con norma di v uguale a 1, questa è una norma, mi raccomando, non è un valore assoluto, perché tanto descrive tutte le rette? Così si descrivono tutte le rette. Descrivono comunque tutte le rette. Comunque tutte le rette. Cioè, se io invece di usare v uso 2v, quanto mi verrà la derivata direzionale? Guardate questa formula. Se invece di v uso 2v, la derivata direzionale mi verrà il doppio. Quindi semplicemente cambiare di un fattore moltiplicativo vuol dire moltiplicare la derivata direzionale. Quindi posso limitarmi a tutte le rette di norma 1. Adesso, fatto questo discorso, torniamo alla prima settimana di algebra lineare. Che cos'era il prodotto scalare geometricamente? Dati due vettori, che cosa rappresentava il prodotto scalare? Il prodotto scalare tra i due vettori è il prodotto delle norme per il coseno dell'angolo compreso. Allora, adesso mi domando... Per quale direzione la derivata direzionale è massima? Per quale direzione la derivata direzionale è minima? Quindi la domanda che ora ci poniamo è questa. Domanda. In quale direzione la derivata direzionale... direzionale... E'Max o Min. Torniamo al nostro discorso. Non lo so, forse alla pausa qualcuno è venuto a farmi una domanda e mi è venuto l'esempio della torta. Pensiamo alla funzione, anziché a una montagna, pensiamola come una torta. E'una torta un po'storta, c'è il piano base sul quale abbiamo appoggiato la torta, e poi questa torta. La torta qui, no, la superficie descrive la superficie alta della torta, ci siamo a livello di immagine. Che cosa vuol dire fare le derivate direzionali? Vuol dire che stiamo prendendo un punto e stiamo dando una fettata alla torta con un piano. con un piano paranelo al piano base della torta, stiamo dando una coltellata che traccia sul piano di base una certa retta. Giusto? Una volta che abbiamo affettato la torta così, buttiamone via mezza e guardiamo la torta di lato. Guardiamo la torta in là, esce la crema, esce tutto quello che c'è dentro, e rimasta avete la traccia di una funzione. Che rappresenta la faccia tagliata della torta. In fondo c'è un segmento che è la base della torta. sopra c'è una curva, la derivata direzionale è la derivata di quella curva, cioè vi è chiara come oggetto geometrico. Cambiare la direzione cosa vuol dire? Vuol dire dare una coltellata in un altro senso, purché passi per il punto base che stiamo considerando. Adesso mi chiedo, come bisogna tagliare la torta in maniera che la derivata direzionale sia massima o minima? Va bene, è valore la risposta, basta usare la formula per il prodotto scavato. basta usare l'algebra lineare. Cosa diceva l'algebra lineare? Diceva che df su dv del punto x con 0, questo è la norma del gradiente. per la norma di v per il coseno dell'angolo compreso. Adesso la norma di v quanto è? Abbiamo detto che la norma di v, possiamo far finta che sia 1, perché le direzioni sono descritte dai vettori di norma. 1, questo è 1, questo non lo so quanto è, ma non ci posso fare niente, perché non dipende da v, questo qui è un vettore, la cui norma non dipende da v, non dipende da v. Questo, che cos'è questo teta? E l'angolo? tra chi e chi? tra il gradiente e v tra gradiente di f e v quindi se voglio che la derivata direzionale sia massima cosa mi conviene fare? Devo fare in maniera che il coseno sia 1, quindi prendo θ uguale a 0, quindi taglio nella direzione del gradiente. Quindi se voglio derivata direzionale massima, se voglio derivata direzionale massima, Direzionale max, prendo cosθ uguale a 1, cioè θ uguale a 0, cioè mi muovo nella direzione del gradiente. Mi muovo nella direzione del gradiente. Direzione del gradiente. Se voglio derivata direzionale minima, derivata direzionale min, cosa faccio? No, cosθ uguale a meno 1. Prendo cosθ. uguale a meno 1, cioè teta uguale a boh se per pi greco è 180, cioè mi muovo nella direzione opposta. cioè li muovo nella direzione opposta Sì, ma qualcuno mi dice, ma la retta in fondo è la stessa, è vero, ma la sto guardando da un'altra parte, è come se sto tagliando lungo questa retta e poi in un caso butto via la metà di torta da una parte e in un caso butto via la metà di torta dall'altra, cioè in un caso vedo salire e nell'altro caso vedo scendere. Cioè, poche storie, andate in montagna, siete in un punto, se andate in una direzione salite, se andate nella direzione opposta scendete. salire al massimo cosa dovete fare? Andare lungo il gradiente. Se volete scendere al massimo cosa dovete fare? Direzione opposta, 180 con il gradiente. Se teta è uguale a 90, più o meno 90, cosa succede? Tendenzialmente non ci si sta muovendo, quindi tendenzialmente siamo su una linea di livello. Se teta, quando? Quando θ è uguale a più o meno la derivata direzionale è nulla. Cioè, tendenzialmente non ci si sta muovendo di quota. Tutto questo per dire che cosa? Qual è il significato geometrico del gradiente? Significato geometrico del gradiente. Significato geometrico del gradiente. Allora, il gradiente... Il gradiente dove lo rappresentate? Pensate alla funzione di due variabili, questa montagnetta. Il gradiente dove lo rappresentate? è un vettore di due variabili quindi si rappresenta nel piano base e cosa rappresenta geometricamente? adesso lo sappiamo la direzione nella quale spostarsi se vogliamo salire con derivata direzionale quindi più in fretta possibile quindi il gradiente rappresenta la direzione nella quale muoversi il gradiente rappresenta, chiamiamola così, la direzione di massima pendenza la direzione di massima pendenza massima pendenza della funzione cioè la direzione in cui muoversi cioè la Direzione in cui muoversi per salire in fretta possibile. Ad analisi 1 cosa rappresentava la derivata? Cosa diceva? Se la funzione sale, scende, sale tanto, scende tanto. In due variabili, questo non ha senso, questo concetto. Perché cosa vuol dire che una montagna sale, scende, cosa fa? Dipende dalla direzione... nella quale decidi di andare, giusto? Il gradiente ti dice la direzione nella quale stai salendo di più. Cioè pensate di essere in montagna, il gradiente è il vettore che punta nella direzione di massima salita. Contro il gradiente, cioè a teta uguale a 180 rispetto al gradiente, è la direzione di massima discesa. Da dove arriva il nome gradiente? latino, gradior, cosa vuol dire? Saldo, nomina sunt consequentia rerum, il nome stesso dice cosa fa il gradiente, il gradiente dice la direzione di massima salita della funzione. E va bene, penultima cosa, torniamo ad analisi 1. Questo era F, quando c'era F discon 0 più H uguale F discon 0 più F primo discon 0. per h più piccolo di h questo ovviamente si poteva anche scrivere così se uno questo lo chiamava x questa cosa diventava? diventava f di x uguale f di x con 0 più f primo di x con 0 per h, quel punto che cos'è? Per x meno x con 0 più o piccolo di x meno x con 0. E cosa rappresentava ad analisi 1 questo? Questa qui è l'equazione, questa qui è un'espressione, col nostro linguaggio diremmo che è un'espressione affine, rappresentava la retta tangente al grafico nel punto corrispondente x con 0. Quindi questa è la retta tangente al grafico nel punto corrispondente x. Beh, in che punto? Nel punto x con 0 e f di x con 0, questo è un punto del grafico, no? E'il punto del grafico e questa qui è la retta tangente. Cosa succederà ad analisi 2? Quello che viene fuori, che cos'è? Analisi 2 Adesso fatemela scrivere in due variabili esplicitamente, poi vale la stessa cosa ovviamente in n variabili, fatemela scrivere così, questo è f di x con 0 e y con 0 più cosa? Prima abbiamo scritto alfa H più beta K, adesso alfa e beta sappiamo chi sono, le due derivate parziali. Quindi più fx nel punto x con 0, y con 0 per h, più fy nel punto x con 0, y con 0 per k, più o piccolo di quello che sapete. Adesso questo lo chiamiamo x, questo lo chiamiamo y e cosa diventa? Diventa fxy. uguale f di x con 0 e y con 0 più numero fx nel punto x con 0 e y con 0, io vi alterno un po'le notazioni per indicare le derivate parziali. qui non c'è h ma c'è x-x0, più f di y, x0, y0, per y-y0, più o piccolo di quel che è, che adesso diventa complicato. Questa qui cosa rappresenta? e questo è il piano tangente al grafico nel punto questo è il piano tangente al grafico O, piano tangente nel caso in cui siamo in due variabili, il giorno in cui saremo in dieci variabili, sarà un sottospazio a fine dimensione 10 che rappresenterà l'iper piano tangente al grafico. Piano tangente al grafico di F nel punto... in che punto? Nel punto... x con 0, y con 0, f di x con 0, y con 0. Facciamo un altro piccolo parallelo con analisi 1. Quando è che ad analisi 1 diventava la retta tangente, diventava parallela a terra? Ad analisi 1, retta tangente parallela a terra, se e soltanto se, f'di x con 0 uguale a 0. Adesso, piano tangente parallelo a terra, se e soltanto se le due derivate parziali sono nulle, cioè detto in una parola sola, se e soltanto se il gradiente è nulle. Quindi quello che una volta era derivata nulla, adesso diventa gradiente nullo, basta sostituire la parola derivata con la parola gradiente e da analisi 1 passiamo ad analisi 2. Il significato geometrico è lo stesso dell'analisi 1. Il significato geometrico è lo stesso, vi faccio lo stesso disegno che si fa ad analisi 1, perché farlo ad analisi 2 diventa un po'complicato. Qual è il disegno che si fa ad analisi 1? Si fa la funzione così. Poi si fa qui il punto x con 0, si fa qui, qui c'è f di x con 0, poi qui c'è x con 0 più h, qui c'è f di x con 0 più h. E qui c'è la retta tangente. Un po'schifo. Questa è la retta tangente. E cosa si dice sostanzialmente? Che questa formula qui come si legge? Che F nel punto spostato, questo è A, B, C e D. Allora, il tratto AD sarebbe questo, sarebbe F nel punto spostato, AD, e la somma di tre pezzi, il primo pezzo CD, questo qui andate a vedere nell'elezione di analisi 1 se non l'avete mai visto, questo qui è il pezzo F0. Questo qui è il pezzo F'0 per H e questo qui è il pezzo O'H. L'inchem F nel punto spostato, F nel punto spostato, spostato, questo segmento qui a D, è la somma di tre cose, F nel punto originario, più il termine lineare che ha come coefficiente la derivata, e adesso è un po'più complicato, è un termine che è un piccolo, quando H tende a 0 cosa succede? Il termine costante rimane sempre lo stesso, adesso fate tendere questo qui qua, cosa succede dei tre pezzi? Il pezzo C D rimane sempre lo stesso, il pezzo B C... tende a 0 linearmente, cioè se è di mezzo h si dimezza quel pezzo. Il pezzo sopra è schiacciato tra la retta tangente e va a 0 come piccolo, vuol dire che va a 0 con velocità maggiore. Questo disegno dovreste averlo visto da un esigono, se no andatevi a vedere la corrispondente del serbiano. Qui è la stessa cosa, però immaginatevelo con un piano. Però l'idea è sostanzialmente la stessa. Va bene.

Supponiamo, ipotesi, supponiamo che f da Rn in R, o io sto sempre facendo il caso in cui in partenza c'è tutto Rn, se c'è solo un sotto insieme funziona uguale, appunto x con 0 stiamo insieme sotto insieme, e sotto insieme siamo decimati. Supponiamo che f sia differenziabile sia differenziabile in x con 0. Allora valgono i seguenti fatti. Valgono i seguenti fatti.

Allora, fatto 1, f è continua in x con 0. è continua in x1, 0 come succedeva in una variabile se era differenziabile era continua 2 esistono le derivate parziali esistono le derivate parziali derivata parziale di f in x con 0 e chi saranno mai le derivate parziali? come funzionava la teoria di una variabile? supponiamo che esista il differenziale allora esiste la derivata e la derivata chi era? quel numero alfa che compariva qui davanti si x con 0 ah, era, certo grazie Quindi in una variabile chi era la derivata? La derivata era questo numero.

Adesso le derivate parziali sono n e chi saranno mai? Saranno le n componenti del vettore alfa. Quindi il vettore alfa chi è? Quello che prima ho chiamato il gradiente.

Esistono le derivate parziali di f in x con 0 e sono le componenti, sono le componenti del vettore alfa del vettore alfa che quindi è il gradiente che quindi è il gradiente il gradiente di f in x con 0 quindi esistono le derivate parziali 3 Esistono le derivate direzionali. Esistono tutte le derivate direzionali. Esistono tutte le derivate direzionali, derivate direzionali, di f in x con 0. e sono date dalla seguente formula e sono date dalla seguente formula la derivata parziale di f rispetto alla direzione v nel punto x con 0 questa è alfa scalare v. Quindi il prodotto scalare tra il vettore alfa e il vettore v. Sono due vettori di n variabili, quindi ha senso fare il prodotto scalare. Quindi questo teorema cosa ci dice? ci dice che se è differenziabile, allora è continua, esistono le derivate parziali ed esistono le derivate direzionali.

Non solo esistono le derivate direzionali, ma c'è una formula che permette di calcolarle. Questo è il teorema. In una variabile, il teorema era lo senso lo se.

Era un se solo se nel senso se è differenziabile, se soltanto se è derivabile, cioè vale la cosa con lo piccolo se solo se vale la cosa con il rapporto incrementale. Qui ci sono una freccia, se vale quella con il differenziale allora vale quella con le derivate parziali con i rapporti incrementali. Perché c'è il grosso Afton.

Non vale il viceversa, cioè è possibile che, cioè può accadere che in x con 0 esistano tutte le derivate parziali, esistano tutte le derivate parziali, pure nulle, che vengono tutte uguali a 0, che vengono tutte uguali a zero, addirittura, e la funzione non si è nemmeno continua. E la funzione non è neppure continua. neppure continua in x con 0. Cioè può succedere una situazione tanto perversa, quindi chiaramente non è differenziabile, perché se fosse differenziabile sarebbe continua. Esistono tutte le derivate direzionali, ma non c'è nemmeno la continuità.

questo è l'esempio non vale viceversa cioè può accadere questo qual è l'esempio in cui succede questo? l'esempio in cui succede ovviamente è una funzione un po'perversa però la vediamo tanto per capire cosa può succedere, è una funzione f di xy fatta così, f di xy definita in questa maniera, ovviamente definita a tratti, è diciamo un'apparente stretta di quella che abbiamo visto ieri, cosa abbiamo visto ieri, x quadro y diviso x quadro x alla quarta più y quadro, questa è quella che abbiamo visto ieri. che abbiamo visto ieri, era uno di quelli di cui abbiamo fatto i limiti ieri.

E adesso la facciamo al quadrato questa funzione. Questa qui al quadrato, se xy, quando è che è definita questa espressione? Se xy è diversa da 0, 0, perché nell'origine diventa uno 0 su 0, non ci piace, e la definiamo 0 se xy è uguale a 0, 0. Adesso facciamo la verifica, lo facciamo come esercizio, verifichiamo che nel punto 0,0, nel punto, quindi quello che una volta si chiamava x con 0, y con 0, adesso è il punto 0,0, esistono tutte le derivate parziali, Tutte le derivate direzionali, scusate, le derivate direzionali, e sono nulle, ma f non è nemmeno continua.

Ma f non è nemmeno continua. Allora, verificare che non è continua è facile dopo che abbiamo fatto la lezione di ieri. Come si farà a verificare che non è continua? Bisognerà muoversi lungo le parabole, no?

Per pareggiare questa storia che c'è x alla quarta e y al quadro, per pareggiare questi esponenti viene da mettere tt quadro. Quindi, non è continua. Verifichiamo che non è continua.

Basta muoversi. Basta muoversi lungo le parabole. Ad esempio, t t quadro. Se ci muoviamo lungo t t quadro, cosa facciamo? Se ci muoviamo lungo il limite per t che tende a 0 di f di t t quadro, cosa devo fare?

Devo usare questa espressione con t t quadro. diventa t alla quarta diviso 2t alla quarta, tutto al quadrato, e quindi questo è un quarto, questo limite fa un quarto, ed è diverso da f. quindi 0,0 quindi non è continua perché lungo questa parabola vale un quarto e nell'origine invece vale 0 quindi non è continua adesso verifichiamo che esistono le derivate indirezionali verifichiamo quindi magari facciamo un disegno per spiegare qui c'è x qui c'è y, qui c'è la parabola tt quadro Diciamo, nell'origine qui vale 0, f vale 0. Negli altri punti della parabola, qui vale un quarto. Quindi non è continua nell'origine.

Adesso verifichiamo che esistono le derivate direzionali. Calcolo le derivate direzionali. Calcolo le derivate direzionali. Come calcolo le derivate direzionali?

Fisso la direzione v, fisso v di componenti boh, indichiamole con alfa e beta come abbiamo fatto prima e calcolo come si fa a calcolare una derivata direzionale usando la definizione. Calcolo il limite per t che tende a 0, il limite per t che tende a 0 di f, cosa dovevo fare? x con 0 più t, t alfa, y0 più t beta, diviso t, quindi cosa devo fare? Il limite per t che tende a 0, quanto diventa x con 0 più t alfa?

Adesso x con 0 è appunto 0, quindi è f di t alfa, t beta, no, cosa ho dimenticato? Devo fare rapporti incrementali, quindi devo fare incremento, quindi meno f di x con 0 e y con 0, cioè l'ho dimenticato per modo di dire, perché quanto fa f di x con 0 e y con 0? Fa f di 0, 0, ma nell'origine non funziona la mossa 0, quindi meno 0. meno 0 diviso t e vabbè, fatemi il conto limite per t che tende a 0 mettiamo l'1 su t davanti a tutto quanto fa f di t alfa t t beta fa t quadro alfa quadro per t beta, quindi c'è il quadrato, poi fa t quadro alfa quadro per t beta diviso x alla quarta, quindi t alla quarta alfa alla quarta, t alla quarta alfa alla quarta più questo qui al quadrato, quindi più t quadro beta quadro.

al quadrato fatemi le semplificazioni, sopra c'è cosa posso semplificare un t quadro questo diventa il limite per t che tende a 0 1 su t posso semplificare Per verificare un t quadro mi rimane t alfa quadro beta diviso t quadro alfa alla quarta più beta al quadrato, tutto al quadrato. insomma avete capito, questo limite viene 0, perché viene 0? perché qui c'è un t quadro, qui c'è un t, rimane una t che moltiplica alfa quadro beta diviso t quadro alfa alla quarta più beta quadro al quadrato e questo limite viene 0 quindi per ogni direzione quindi per ogni direzione Il limite viene zero.

Il limite viene zero. Quindi tutte le derivate direzionali esistono. E'chiaro questo fatto, che ho semplificato t quadro percorso. Poi questo quadrato mi fa diventare t quadro questo. Con la t rimanuti.

e rimane una t e questi sono numeri quindi per ogni direzione il limite viene 0 esistono tutte le derivate direzionali ma non è continua cos'è che rende che permette a questi fenomeni di succedere Il fatto che le derivate direzionali vuol dire muoversi lungo rette, e muoversi lungo rette non basta, perché questa qui ti frega lungo le parabole. Cioè fare le derivate lungo le rette è come fare i limiti lungo le rette, alla fine fare i limiti lungo le rette, l'abbiamo detto ieri, non serve a niente. I limiti vanno fatti globalmente in due variabili, il differenziale perché non lo freghi, il differenziale non lo freghi perché c'è un limite.

Gra quindi H e K puoi incrementare, puoi muoverti contemporaneamente nelle due direzioni e allora non la freghi, invece la derivata direzionale in una direzione sola la freghi questa è l'idea che ci sta sotto allora di questo teorema non... vi dimostro quasi niente, di questo teorema non vi dimostro quasi niente, se non che mi piacerebbe dimostrarvi questa parte qua, la formula per le derivate direzionali, perché hanno solo perché. Quindi adesso vi dimostro la formula per le derivate direzionali, perché sono due righe e le interessa.

Dimostrazione, diciamo formula per derivate direzionali. Formula per le derivate direzionali. Formula per le derivate direzionali.

Quindi supponiamo che F sia differenziale. Supponiamo che F sia differenziale. f differenzabile vuol dire che f di x con 0 più h è uguale a f di x con 0 più alfa scalare h più o piccolo di norma di h, per h che tende a 0. Adesso prendo una direzione v. Prendo una direzione v. Allora, la derivata direzionale che cos'è?

La derivata parziale di f rispetto alla direzione v nel punto x con 0, y con 0, questa per definizione che cos'è? Il limite per t che tende a 0 di f di x con 0, no, fatemelo scrivere in generale se no ci muoviamo, quindi x con 0 è un vettore. f di x con 0 più, abbiamo detto, tv, meno f di x con 0 diviso t.

Questa è la definizione di derivata direzionale. Mi sposto di t nella direzione v. Adesso cosa faccio? Uso questa sopra, uso questa sopra dove al posto di h ho tv. Quindi uso la formula di sopra. Uso la formula per il differenziale per il differenziale con h uguale tv e dettatemi cosa diventa limite per t che tende a 0 Sotto c'è un minnoco T, sopra cosa c'ho?

f di x con 0, più, questo cosa diventa? alfa scalare Tv, più o piccolo di norma di Tv, meno f di x con 0 diviso T. Cosa succede?

Questo e questo se ne vanno. Adesso quanto fa alfa scalare tv? t è un numero, t è un numero, non scalare.

Alfa e v sono vettori, il t se ne va fuori, no? Questo diventa t volte alfa scalare v. Giusto? Quindi questo è il limite per t che tende a 0, sotto c'è t, sopra c'è t per alfa scalare v, più o piccolo...

Che cos'è lo piccolo di tv? Cioè, no, che cos'è la norma di tv? La norma di 10 volte un vettore è 10 per la norma del vettore.

Quindi questo qui è o piccolo di t e così. allora adesso la t si semplifica e viene esattamente quello che voglio che venga quindi questo è il limite per t che tende a 0 qui sostanzialmente se ne va la t sul primo pezzo diventa alfa scalare v più o piccolo di tv diviso t Adesso questi trucchetti qui, ad analisi 1, saranno stati il panno quotidiano, di far diventare le cose così, perché adesso questo cosa tende? O piccolo di mostro diviso mostro, questo tende a 0, l'orma di V è un numero, questo è fisso, quindi alla fine questo numero è alfa scalare V. Quindi questo qui dimostra che se c'è il differenziale, allora ci sono tutte le derivate direzionali e sono date dalla formula alfa scalare.

Ho una piccola osservazione, cosa hanno a che fare le derivate parziali con le derivate direzionali? Questo non l'ho mai detto, ma è sostanzialmente ovvio dalla prima lezione. Le derivate parziali sono derivate direzionali, pur di aver preso come direzione uno dei vettori della base canonica.

Questo non ve l'ho detto la prima ora, ve lo dico ora, così ci permette di fare un piccolo passo. Osservazione. Le derivate parziali sono particolari derivate direzionali, particolari derivate direzionali corrispondenti a V uguale K, cioè vettori della base canonica.

Vettori della base. canoniche. E'chiaro questo? E quindi alla fine che cosa ho dimostrato? Ho dimostrato che esistono le derivate direzionali, ma in particolare ho dimostrato anche che esistono le derivate parziali, no?

Perché basta che prendo come v i vettori della base canonica. E allora le derivate parziali che cosa sono? Sono il prodotto scalare tra alfa e il vettore della base canonica. Ma cosa diventa il prodotto scalare tra un vettore e un vettore della base canonica? diventa la componente corrispondente del vettore nulla.

Quindi allo stesso modo, la dimostrazione di sopra mostra quindi anche l'esistenza delle derivate parziali. delle derivate parziali derivate parziali ed il fatto che sono date dalla formula ed il fatto che Diciamola così, la derivata parziale di f rispetto alla variabile xk nel punto x con 0, questa è alfa scalare, il k-esimo vettore della base canonica, e questo prodotto scalare quanto diventa? Diventa alfa k, cioè la k-esima componente di alfa. Grazie Quindi sostanzialmente quello che vi ho fatto è dimostrarvi sia l'enunciato 3 sia l'enunciato 2, l'1 è quasi banale, il 2 è che esistono le derivate parziali e sono date e sono le componenti del vettore alfa.

È un caso particolare del 3, perché le derivate parziali sono prodotte o scavare con il vettore della base canonica. E tra alfa e il cappesimo vettore della base canonica rimane la cappesima componente di alfa. E va bene.

Quindi ricapitiamo. Ricapitolando, no, ricapitolando, c'è l'angosciosa domanda. Come dimostro che una funzione è differenziabile in un punto x con 0? Questa sarà la domanda angosciosa.

Una volta che so. Vi faccio ancora una piccola osservazione perché è geometrica, poi risponderò alla domanda angosciosa. Una volta che so che f è differenziabile in x con 0, posso quindi scrivere posso quindi scrivere f di x con 0 più h, io uso sempre la notazione per tornare perché è più comodo, uguale a f di x con 0 più, cosa avrei scritto? alfa scalare h, ma alfa abbiamo detto è? alfa chi è?

vi tolgo che ha come componenti derivate parziali che si chiama? gradiente, gradiente di f di x con 0 per h più o piccolo di h per h che tende a 0. Questo incomincia a somigliare a quella dell'analisi 1, f di x con 0 più h uguale a f di x con 0 più f primo di x con 0 per h più piccolo di h che vedete all'inizio di... di Taylor, è un inizio di Taylor che poi tra due settimane verrà completato, però al posto della derivata, chi c'è al posto della derivata? Il gradiente, quindi analisi 2 è come analisi 1, solo che quello che una volta si chiamava derivata, adesso il vero oggetto è il gradiente, il gradiente ha il ruolo che una volta c'erano le derivate, inoltre le derivate parziali, e da qui faremo l'osservazione geometrica, le derivate parziali Le derivate direzionali sono date dalla formula derivata parziale di f secondo la direzione v nel punto x con 0 uguale come lo possiamo scrivere adesso.

gradiente, prodotto scalare, H. Questa è la formula per le derivate, questa è la formula che dà le derivate direzionali, questa è la cosa pragmatica, la formula che dà le derivate direzionali una volta che so che F è differenziabile, domanda alla quale non sappiamo ancora rispondere. Ma una volta che so che F è differenziabile, vale questa formula qua sotto.

Adesso torniamo a lezioni di algebra lineare. Facciamo una piccola osservazione e poi torniamo ad algebra lineare. Facciamo una piccola osservazione.

Quando faccio le derivate direzionali posso supporre che la direzione v abbia norma 1? In fondo descrive tutte le rette uscenti da un punto? Pensare alle direzioni di norma 1?

Sì, perché vuol dire semplicemente che sto percorrendo le rette con velocità 1. Quindi una piccola osservazione è questa. Nel definire le derivate direzionali, Ma io scrivo stupidaggine e voi non mi dite niente. Cosa ho scritto che non va?

Correggete questa forma. Gradiente? Scalar cosa?

Non so, non ho senso. Qui c'è V, qui c'è H. Nel definire le derivate direzionali posso limitarmi alle direzioni v con norma di v uguale a 1, questa è una norma, mi raccomando, non è un valore assoluto, perché tanto descrive tutte le rette?

Così si descrivono tutte le rette. Descrivono comunque tutte le rette. Comunque tutte le rette. Cioè, se io invece di usare v uso 2v, quanto mi verrà la derivata direzionale? Guardate questa formula.

Se invece di v uso 2v, la derivata direzionale mi verrà il doppio. Quindi semplicemente cambiare di un fattore moltiplicativo vuol dire moltiplicare la derivata direzionale. Quindi posso limitarmi a tutte le rette di norma 1. Adesso, fatto questo discorso, torniamo alla prima settimana di algebra lineare. Che cos'era il prodotto scalare geometricamente?

Dati due vettori, che cosa rappresentava il prodotto scalare? Il prodotto scalare tra i due vettori è il prodotto delle norme per il coseno dell'angolo compreso. Allora, adesso mi domando... Per quale direzione la derivata direzionale è massima?

Per quale direzione la derivata direzionale è minima? Quindi la domanda che ora ci poniamo è questa. Domanda. In quale direzione la derivata direzionale...

direzionale... E'Max o Min. Torniamo al nostro discorso.

Non lo so, forse alla pausa qualcuno è venuto a farmi una domanda e mi è venuto l'esempio della torta. Pensiamo alla funzione, anziché a una montagna, pensiamola come una torta. E'una torta un po'storta, c'è il piano base sul quale abbiamo appoggiato la torta, e poi questa torta.

La torta qui, no, la superficie descrive la superficie alta della torta, ci siamo a livello di immagine. Che cosa vuol dire fare le derivate direzionali? Vuol dire che stiamo prendendo un punto e stiamo dando una fettata alla torta con un piano.

con un piano paranelo al piano base della torta, stiamo dando una coltellata che traccia sul piano di base una certa retta. Giusto? Una volta che abbiamo affettato la torta così, buttiamone via mezza e guardiamo la torta di lato.

Guardiamo la torta in là, esce la crema, esce tutto quello che c'è dentro, e rimasta avete la traccia di una funzione. Che rappresenta la faccia tagliata della torta. In fondo c'è un segmento che è la base della torta.

sopra c'è una curva, la derivata direzionale è la derivata di quella curva, cioè vi è chiara come oggetto geometrico. Cambiare la direzione cosa vuol dire? Vuol dire dare una coltellata in un altro senso, purché passi per il punto base che stiamo considerando. Adesso mi chiedo, come bisogna tagliare la torta in maniera che la derivata direzionale sia massima o minima? Va bene, è valore la risposta, basta usare la formula per il prodotto scavato.

basta usare l'algebra lineare. Cosa diceva l'algebra lineare? Diceva che df su dv del punto x con 0, questo è la norma del gradiente.

per la norma di v per il coseno dell'angolo compreso. Adesso la norma di v quanto è? Abbiamo detto che la norma di v, possiamo far finta che sia 1, perché le direzioni sono descritte dai vettori di norma. 1, questo è 1, questo non lo so quanto è, ma non ci posso fare niente, perché non dipende da v, questo qui è un vettore, la cui norma non dipende da v, non dipende da v. Questo, che cos'è questo teta?

E l'angolo? tra chi e chi? tra il gradiente e v tra gradiente di f e v quindi se voglio che la derivata direzionale sia massima cosa mi conviene fare? Devo fare in maniera che il coseno sia 1, quindi prendo θ uguale a 0, quindi taglio nella direzione del gradiente. Quindi se voglio derivata direzionale massima, se voglio derivata direzionale massima, Direzionale max, prendo cosθ uguale a 1, cioè θ uguale a 0, cioè mi muovo nella direzione del gradiente.

Mi muovo nella direzione del gradiente. Direzione del gradiente. Se voglio derivata direzionale minima, derivata direzionale min, cosa faccio?

No, cosθ uguale a meno 1. Prendo cosθ. uguale a meno 1, cioè teta uguale a boh se per pi greco è 180, cioè mi muovo nella direzione opposta. cioè li muovo nella direzione opposta Sì, ma qualcuno mi dice, ma la retta in fondo è la stessa, è vero, ma la sto guardando da un'altra parte, è come se sto tagliando lungo questa retta e poi in un caso butto via la metà di torta da una parte e in un caso butto via la metà di torta dall'altra, cioè in un caso vedo salire e nell'altro caso vedo scendere.

Cioè, poche storie, andate in montagna, siete in un punto, se andate in una direzione salite, se andate nella direzione opposta scendete. salire al massimo cosa dovete fare? Andare lungo il gradiente. Se volete scendere al massimo cosa dovete fare?

Direzione opposta, 180 con il gradiente. Se teta è uguale a 90, più o meno 90, cosa succede? Tendenzialmente non ci si sta muovendo, quindi tendenzialmente siamo su una linea di livello.

Se teta, quando? Quando θ è uguale a più o meno la derivata direzionale è nulla. Cioè, tendenzialmente non ci si sta muovendo di quota.

Tutto questo per dire che cosa? Qual è il significato geometrico del gradiente? Significato geometrico del gradiente.

Significato geometrico del gradiente. Allora, il gradiente... Il gradiente dove lo rappresentate? Pensate alla funzione di due variabili, questa montagnetta.

Il gradiente dove lo rappresentate? è un vettore di due variabili quindi si rappresenta nel piano base e cosa rappresenta geometricamente? adesso lo sappiamo la direzione nella quale spostarsi se vogliamo salire con derivata direzionale quindi più in fretta possibile quindi il gradiente rappresenta la direzione nella quale muoversi il gradiente rappresenta, chiamiamola così, la direzione di massima pendenza la direzione di massima pendenza massima pendenza della funzione cioè la direzione in cui muoversi cioè la Direzione in cui muoversi per salire in fretta possibile. Ad analisi 1 cosa rappresentava la derivata?

Cosa diceva? Se la funzione sale, scende, sale tanto, scende tanto. In due variabili, questo non ha senso, questo concetto. Perché cosa vuol dire che una montagna sale, scende, cosa fa?

Dipende dalla direzione... nella quale decidi di andare, giusto? Il gradiente ti dice la direzione nella quale stai salendo di più.

Cioè pensate di essere in montagna, il gradiente è il vettore che punta nella direzione di massima salita. Contro il gradiente, cioè a teta uguale a 180 rispetto al gradiente, è la direzione di massima discesa. Da dove arriva il nome gradiente? latino, gradior, cosa vuol dire? Saldo, nomina sunt consequentia rerum, il nome stesso dice cosa fa il gradiente, il gradiente dice la direzione di massima salita della funzione.

E va bene, penultima cosa, torniamo ad analisi 1. Questo era F, quando c'era F discon 0 più H uguale F discon 0 più F primo discon 0. per h più piccolo di h questo ovviamente si poteva anche scrivere così se uno questo lo chiamava x questa cosa diventava? diventava f di x uguale f di x con 0 più f primo di x con 0 per h, quel punto che cos'è? Per x meno x con 0 più o piccolo di x meno x con 0. E cosa rappresentava ad analisi 1 questo?

Questa qui è l'equazione, questa qui è un'espressione, col nostro linguaggio diremmo che è un'espressione affine, rappresentava la retta tangente al grafico nel punto corrispondente x con 0. Quindi questa è la retta tangente al grafico nel punto corrispondente x. Beh, in che punto? Nel punto x con 0 e f di x con 0, questo è un punto del grafico, no? E'il punto del grafico e questa qui è la retta tangente. Cosa succederà ad analisi 2?

Quello che viene fuori, che cos'è? Analisi 2 Adesso fatemela scrivere in due variabili esplicitamente, poi vale la stessa cosa ovviamente in n variabili, fatemela scrivere così, questo è f di x con 0 e y con 0 più cosa? Prima abbiamo scritto alfa H più beta K, adesso alfa e beta sappiamo chi sono, le due derivate parziali. Quindi più fx nel punto x con 0, y con 0 per h, più fy nel punto x con 0, y con 0 per k, più o piccolo di quello che sapete.

Adesso questo lo chiamiamo x, questo lo chiamiamo y e cosa diventa? Diventa fxy. uguale f di x con 0 e y con 0 più numero fx nel punto x con 0 e y con 0, io vi alterno un po'le notazioni per indicare le derivate parziali.

qui non c'è h ma c'è x-x0, più f di y, x0, y0, per y-y0, più o piccolo di quel che è, che adesso diventa complicato. Questa qui cosa rappresenta? e questo è il piano tangente al grafico nel punto questo è il piano tangente al grafico O, piano tangente nel caso in cui siamo in due variabili, il giorno in cui saremo in dieci variabili, sarà un sottospazio a fine dimensione 10 che rappresenterà l'iper piano tangente al grafico.

Piano tangente al grafico di F nel punto... in che punto? Nel punto... x con 0, y con 0, f di x con 0, y con 0. Facciamo un altro piccolo parallelo con analisi 1. Quando è che ad analisi 1 diventava la retta tangente, diventava parallela a terra?

Ad analisi 1, retta tangente parallela a terra, se e soltanto se, f'di x con 0 uguale a 0. Adesso, piano tangente parallelo a terra, se e soltanto se le due derivate parziali sono nulle, cioè detto in una parola sola, se e soltanto se il gradiente è nulle. Quindi quello che una volta era derivata nulla, adesso diventa gradiente nullo, basta sostituire la parola derivata con la parola gradiente e da analisi 1 passiamo ad analisi 2. Il significato geometrico è lo stesso dell'analisi 1. Il significato geometrico è lo stesso, vi faccio lo stesso disegno che si fa ad analisi 1, perché farlo ad analisi 2 diventa un po'complicato. Qual è il disegno che si fa ad analisi 1?

Si fa la funzione così. Poi si fa qui il punto x con 0, si fa qui, qui c'è f di x con 0, poi qui c'è x con 0 più h, qui c'è f di x con 0 più h. E qui c'è la retta tangente. Un po'schifo.

Questa è la retta tangente. E cosa si dice sostanzialmente? Che questa formula qui come si legge? Che F nel punto spostato, questo è A, B, C e D.

Allora, il tratto AD sarebbe questo, sarebbe F nel punto spostato, AD, e la somma di tre pezzi, il primo pezzo CD, questo qui andate a vedere nell'elezione di analisi 1 se non l'avete mai visto, questo qui è il pezzo F0. Questo qui è il pezzo F'0 per H e questo qui è il pezzo O'H. L'inchem F nel punto spostato, F nel punto spostato, spostato, questo segmento qui a D, è la somma di tre cose, F nel punto originario, più il termine lineare che ha come coefficiente la derivata, e adesso è un po'più complicato, è un termine che è un piccolo, quando H tende a 0 cosa succede? Il termine costante rimane sempre lo stesso, adesso fate tendere questo qui qua, cosa succede dei tre pezzi? Il pezzo C D rimane sempre lo stesso, il pezzo B C...

tende a 0 linearmente, cioè se è di mezzo h si dimezza quel pezzo. Il pezzo sopra è schiacciato tra la retta tangente e va a 0 come piccolo, vuol dire che va a 0 con velocità maggiore. Questo disegno dovreste averlo visto da un esigono, se no andatevi a vedere la corrispondente del serbiano. Qui è la stessa cosa, però immaginatevelo con un piano. Però l'idea è sostanzialmente la stessa.

Va bene.

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