Appunti sulla Trasformata di Fourier e Analisi del Segnale

Introduzione all'Analisi del Segnale

• Strumenti per l'analisi dei segnali dinamici.
• Focus sulla trasformata di Fourier e la sua applicazione in ambito meccanico.
• Importanza della rappresentazione in frequenza.

Trasformata di Fourier

• Ogni segnale periodico può essere scomposto in sinusoidi.
• Trasformata di Fourier: divisione di un segnale continuo in numeri complessi.
  • Parte reali e immaginarie rappresentano le sinusoidi.
• Convenzioni:
  • Funzione nel dominio del tempo: ( f(t) ); dominio delle frequenze: ( F(\omega) ).
  • Parametri: ( t ) nel tempo e ( \omega ) nelle frequenze.
• Trasformata inversa per tornare dal dominio delle frequenze al dominio del tempo.

Proprietà della Trasformata di Fourier

• Proprietà utile: se ( f(t) ) è un segnale reale, allora ( F(-\omega) = \overline{F(\omega)} ).
  • Metà delle informazioni sufficiente per rappresentare l'intero spettro.

Funzioni Comuni e Rappresentazioni

• Sinusoide: trasformata è un impulso alla frequenza della sinusoide.
• Impulso: diventa una sinusoide nella parte immaginaria e un coseno nella parte reale.
• Funzione sinc: trasformata della finestra rettangolare.

Convoluzione e Linearità

• La convoluzione aiuta a identificare periodicità simili.
• Proprietà di linearità: se ( h(t) = af(t) + bg(t) ), allora ( H(\omega) = aF(\omega) + bG(\omega) ).

Leakage

• Si verifica quando un segnale sinusoidale viene osservato per un tempo limitato.
• Multiplicare per una finestra rettangolare introduce distorsioni nello spettro frequenziale.
• Possibili soluzioni: ampliare la finestra o utilizzare finestre morbide.

Trasformata di Fourier Discreta (DFT) e FFT

• La DFT è utilizzata per segnali campionati.
• FFT (Fast Fourier Transform) è una versione ottimizzata della DFT per calcoli più rapidi.

Analisi Spettrale

• Peak Picking: identificazione di picchi nello spettro per trovare frequenze rilevanti.
• Power Spectral Density (PSD): rappresenta la potenza all'interno di un intervallo di frequenza.
  • Utile per monitorare processi stocastici.

Funzione di Risposta in Frequenza (FRF)

• Relazione causale tra stimolo e risposta.
• Calcolata attraverso la cross-correlazione e l'autocorrelazione.

Analisi Tempi-Frequenza

• Waterfall analysis: permette di osservare cambiamenti nel tempo e nelle frequenze.
• Fondamentale per diagnosticare variazioni nel comportamento dinamico di un sistema.

Esercitazione Pratica

• Simulazione di registrazione per analizzare vari segnali.
• Possibilità di cambiare parametri come frequenza di campionamento, tempo d'osservazione, finestre e numero di finestre per il calcolo della media.

Conclusioni

• Importanza della scelta della finestra e del metodo di analisi per migliorare la qualità dei risultati ottenuti dall'analisi spettrale.