Fondamenti della Trasformata di Fourier

Buongiorno, oggi andremo a parlare di strumenti per l'analisi del segnale, in particolare andremo a parlare di analisi di segnali dinamici e di quel particolare sottinsieme di analisi dei segnali dinamici che è basata sulla rappresentazione in frequenza tramite la trasformata di Fourier. Parleremo molto rapidamente della trasformata e delle sue proprietà matematiche, in realtà andremo a vedere più che altro quando viene applicata in ambito meccanico per trovare cosa e soprattutto concluderemo andando a investigare quali conseguenze questo comporti quando si sviluppa un sistema di acquisizione, un sistema di misura basato su PC. Quindi che tipo di strumenti ci sono? quando applicarli e quali sono i vincoli che questi impongono alla progettazione del sistema. Una premessa doverosa, che immagino sia già però nota a tutti, ogni segnale periodico può essere rappresentato da una composizione di sinusoidi a diverse frequenze. Quindi io sono abituato a vedere un segnale a tempo variante nel dominio del tempo, potrei vederlo nel dominio delle frequenze e quindi scomporre il mio segnale in tante sinusoi. L'operatore principe che si occupa di questa trasformazione è la trasformata di Fourier, di cui vediamo un esempio rappresentato nel lucido, che ci consente di dividere un segnale continuo in un set di numeri complessi. Ciascuno di questi numeri complessi rappresenta la singola sinusoide alla singola frequenza che deve essere combinata con tutte le altre per ottenere il segnale nel dominio del tempo. Una nota, quando si parla di frequenze e di trasformazioni dal dominio del tempo al dominio delle frequenze, è tipico indicare con la lettera con la lettera minuscola la funzione nel dominio del tempo, con la lettera maiuscola la funzione nel dominio delle frequenze. E ovviamente il parametro libero è da una parte t, dall'altro omega. Ovviamente così come esiste la funzione di... come esiste la trasformata di Fourier diretta, ne esiste anche un'inversa che riporta da un insieme di sinusoidi a diverse frequenze, ampiezze e fasi, a una funzione nel domino del tempo. Il principio di base della trasformata di Fourier, come si può intuire dall'equazione rappresentata, è quello di andare a prendere un insieme di sinusoidi, sinusoide per sinusoide, moltiplicarla per la funzione nel dominio del tempo. A questo punto se la periodicità è comune avrò un valore molto alto, se la periodicità non è comune avrò un valore molto basso, mediamente nullo, e quindi vado a amplificare in questo modo i componenti che sono alla stessa periodicità, stessa periodicità, quindi stessa frequenza. Per quanto riguarda le convenzioni, bisogna considerare che esistono, purtroppo, diverse convenzioni che si sono sviluppate in diversi settori per la trasformata di Fourier. Evitando di entrare in una diatriba di quale sia meglio, è importante ricordarsi che cambiano di pochissimo, tipicamente, dell'esponente o di un fattore. E'importante andare a ricordarsi che la stessa... applicazione deve essere svolta per la funzione inversa. Raramente noi lavoreremo direttamente con la trasformata di Fourier ma è già bene sapere che ne esistono in realtà più opzioni. Una cosa importante da ricordarsi però che tutte queste convenzioni, tutte le trasformate di Fourier in realtà hanno una proprietà molto utile. Quando noi facciamo la trasformata di Fourier di un segnale reale segnale reale che cosa vuol dire? che questa f di t è un numero reale, non è un numero complesso. Quindi se f di t è un segnale reale, allora ho una proprietà importantissima che mi dice che la trasformata di meno omega è uguale al complesso coniugato della trasformata di omega cambiato di segno. Sembra complessissimo, ma in realtà vuol dire una cosa banale. Vuol dire che metà delle informazioni mi basta per rappresentare l'intero spettro, perché la parte negativa dello spettro, per intenderci quella che va da 0 a meno omega massimo, da 0 a meno infinito, quella parte lì... In realtà io la posso calcolare semplicemente con dei cambi di segno partendo dalla parte invece da 0 a più infinito. Quindi metà del mio spettro è inutile. Di fatto questo è molto importante. avrà anche delle conseguenze, bisogna ricordarsi che deriva proprio da quello. Io ho metà del mio spettro che può essere derivato dagli altri. Partiamo da analisi di funzioni di trasformate di Fourier, di funzioni molto comuni, che è importante conoscere per poi andare a fare tutta una serie di considerazioni più avanti. Allora, abbiamo una sinusoide nel dominio del tempo, la convertiamo nel dominio delle frequenze, abbiamo detto nel dominio delle frequenze noi avremo cosa applicando la trasformata di Fourier? Avremo dei numeri complessi, quindi da un segnale arrivo ad averne due, arrivo ad averne due e di questi due io ora. presento parte reale e parte immaginaria. Allora, io sapevo dalla formula di prima che f di ω complesso coniugato cambiato di segno è uguale a f di meno omega. Ed effettivamente qui lo vedo. Di fatto mi si sta dicendo che una funzione è pari e l'altra è dispari. Quindi io ho la parte reale e la parte immaginaria, l'una è pari e l'altra è dispari. Vi ricordo che il complesso coniugato vuol dire che la parte reale di F complesso coniugato è uguale alla parte reale di F e la parte immaginaria di F complesso coniugato, è uguale a meno la parte immaginaria di F. Quindi in realtà vedete che questo mi sta dicendo solo, guarda che con una serie di cambi di segno puoi calcolare l'altra metà e lo vediamo benissimo qui dove andiamo a vedere come è rappresentata la sinusoide. La sinusoide di fatto è rappresentata con un unico impulso alla frequenza della sinusoide e nullo in tutti gli altri casi. Stessa cosa nella parte negativa cambiata di segno. Quindi una sinusoide diventa un impulso che ha valore laddove ho la frequenza della sinusoide e nullo in tutti gli altri casi. Stiamo parlando sempre di sinusoide pure. Un impulso invece proviamo a fare il contrario. Un impulso come diventa? Un impulso diventa un seno, un sinusoide nella parte immaginaria e un coseno. nella parte reale. Vi ricordo che qua sto rappresentando entrambe le metà dello spettro, anche se sono inutili, quindi il mio asse è questo. Allora, se io vado a vedere invece l'ampiezza, la fase di questo segnale cosa ottengo? Per calcolare l'ampiezza del numero complesso devo sommare al quadrato la parte reale e la parte immaginaria, quindi in realtà quello che io vedo qui è che devo sommare al quadrato un seno e un coseno. Sappiamo tutti che la somma al quadrato di un seno e un coseno da 1, sotto radice continua a dare 1, e quindi un impulso diventa una costante unitaria nel dominio delle frequenze se guardo solo la sua ampiezza. Se guardo la parte reale e la parte immaginaria vedo seno e coseno. Un'altra funzione particolarmente interessante è la funzione sinc. La funzione SYNC è molto importante per le conseguenze che ha nell'analisi del segnale. La funzione SYNC deriva da che cosa? Che è quella che vedete qui a destra. La funzione SYNC... è la trasformata di Fourier della finestra rettangolare. La finestra rettangolare, giusto per non andare a complicarci la vita, non è nient'altro che una funzione che vale 1 se t è compreso tra t0 e t0 più e che vale 0, altrimenti. Molto più banalmente in questo caso l'abbiamo rappresentata come una funzione che vale 1 se t è compreso tra t grande e 0, 0 altrimenti. È una finestra rettangolare. nel senso che vale 1 solo per una piccola finestra di tempo, dopodiché vale 0. A questo punto dobbiamo complicarci un po'la vita e parlare di convoluzione e linearità, caratteristiche comunque delle trasformate di Fourier. Mi serve perché anche queste hanno una loro conseguenza, questo aspetto matematico ha delle conseguenze pratiche sulle trasformate di Fourier, sulla loro applicazione e sui limiti che poi incontreremo. In primo luogo la trasformata è lineare, il che significa che una funzione che nel tempo è combinazione lineare di funzioni, sempre nel tempo, allora nel dominio delle frequenze sarà... combinazione lineare secondo gli stessi parametri delle trasformate delle funzioni elementari. Cosa significa questa cosa piuttosto complicata? In realtà non molto di complicato. Mi dice semplicemente che se una funzione la posso esprimere, se una funzione h di t la posso esprimere come f di t moltiplicata per a più g di t moltiplicata per b, Allora la trasformata di H sarà uguale ad A per la trasformata di F più B per la trasformata di G. Un'altra proprietà della trasformata di Fourier è l'applicazione della convoluzione. Allora intanto una nota sotto, questa è la convoluzione. f convoluzione con g di x è l'integrale di f di y g. x meno y di y. Questa cosa qui complicatissima in realtà che cosa vuol dire? Che ho una funzione f, una funzione g, vado a sfasarli. di un tempo y, li moltiplico tra di loro e faccio l'integrale. Dopodiché li sposto di nuovo, moltiplico tra di loro e faccio l'integrale. Praticamente questa operazione, la convoluzione, mi dà l'integrale del prodotto in funzione dello sfasamento tra le due. Perché questa cosa complicata? In realtà perché la convoluzione, lo sfasamento tra le due, aiuta a identificare gli elementi di nuovo che hanno una medesima periodicità, così come aiuta a identificare i picchi. La cosa importante per la trasformata di Fourier è un'altra. è che la convoluzione nel dominio del tempo diventa il prodotto nel dominio delle frequenze e viceversa la convoluzione nel dominio delle frequenze diventa il prodotto nel dominio del tempo. Dicevamo che la convoluzione ha un'importanza notevole per le conseguenze che ha nell'analisi del segnale, in particolare nel leakage. Proviamo allora a fare la convoluzione, così, giusto come esercizio, di un segnale qualsiasi. E questo segnale lo chiameremo H, con un altro segnale che però non è qualsiasi, ma è un impulso. Questo impulso lo chiameremo G di T. Ora abbiamo detto che una funzione che è la convoluzione, che una funzione che è g convoluzione h è dato dall'integrale di g di t meno, scusate, per h di t meno tau. Ho cambiato un po'le lettere, ma è lo stesso discorso. In the tau. Questo lo devo fare per ogni tau. Quindi ritardo 0, disegniamo qua sotto. Disegniamo qua sotto la funzione. Con il ritardo 0, cosa succede? I due rimangono esattamente come sono, vado a prendere questo valore qui e quindi... me lo segno in 0. Ritardo 1. Allora significa che l'impulso rimane di dov'è, ma devo moltiplicarlo per il valore che aveva h un secondo prima. Ritardo 1. vorrà dire che vado a mettermi a questo punto. Ritardo 2, vado a moltiplicare g che è rimasto fermo per h che è il piccolo i. Quindi io di fatto sto ridisegnando h. in un posto diverso. Posso continuare per picchi e la sto ridisegnando in un posto diverso. Facciamo un esempio ancora più lampante. Dove sarà questo punto? Sarà laddove c'è l'impulso. Quindi io ho spostato questa funzione blu e l'ho centrata laddove c'era l'impulso. L'ho anche specchiata, in questo caso ho cambiato di seguito. Torniamo a vedere cosa questo rappresenti. Nel caso del leakage, noi abbiamo una sinusoide che inizia a meno infinito, finisce a più infinito, però in realtà la stiamo osservando per un tempo limitato. Allora, matematicamente, equivale a prendere questa sinusoide che va da meno infinito a più infinito, che esiste sempre e dura per sempre, e moltiplicarla per una finestra rettangolare. moltiplicarla per una finestra rettangolare che parte all'istante 0 quando noi iniziamo ad osservare il fenomeno e finisce all'istante t grande quando il fenomeno è concluso. Ora, la trasformata della finestra rettangolare è la funzione sinc, la trasformata della sinusoide è un impulso, il prodotto tra le due nel dominio del tempo diventa una convoluzione nel dominio delle frequenze e la convoluzione di un segnale qualsiasi per un impulso non è nient'altro che la sua traslazione laddove c'è l'impulso. Quindi io se guardo qui vedo che qua in questa regione Avevo un impulso, qui avevo un altro impulso, il picco della funzione sinc che normalmente è a 0 è stato traslato laddove c'era l'impulso. Quindi qui vedete non ho più come mi aspettavo dalla teoria un impulso puro alla frequenza della sinusoide perché la sinusoide è stata limitata nel tempo. ho la funzione sync centrata sulla mia funzione. Questo ha anche una conseguenza diretta, significa che quando faccio analisi spettrale l'informazione che c'è alla frequenza che cerco è un pelo smorzata e soprattutto va a sporcare, perde, va a sposare. sporcare le frequenze attorno. Si parla proprio di leaking perché è, o leakage, è perché è proprio una perdita, una sbrodolatura di tutto quello che c'è attorno, proprio per la funzione sink. La funzione sink deriva dalla trasformata della finestra, quindi noi sappiamo anche come manipolarla. Più allarghiamo la finestra... Rettangolare, quindi più a lungo la facciamo durare, più stretta è la funzione sink. e quindi meno sbrodolatura, chiamiamola meno lì che giocheremo. Possiamo scegliere altrimenti, anziché andare a ampliare la durata della finestra, possiamo scegliere di applicare diverse finestre. Nel senso non ce l'ha ordinato il dottore di usare una finestra rettangolare, possiamo andare a usare una finestra più morbida. Quindi moltiplichiamo non per un rettangolo la nostra funzione, ma usiamo un qualcosa di più morbido. Perché usiamo un qualcosa di più morbido? Perché la sua trasformata sarà diversa dalla funzione SYNC, magari avrà meno oscillazioni, meno sporcizia attorno alla frequenza che ci interessa per davvero e quindi la sua convoluzione porterà meno problemi. Ne esistono tantissime di queste finestre, a volte con differenze veramente minimali, perché ogni settore ha sviluppato la sua. Una tipicamente usata nel campo dell'analisi meccanica è la Henning. Hanno tutte le loro caratteristiche, questo al momento non è particolarmente importante, la cosa che dovete ricordarvi fondamentalmente però è che si tratta di moltiplicare il segnale per un qualcosa che non è rettangolare ma che gradualmente cresce fino a 1, poi rimane 1 e poi scende. Questo cosa comporta in termini di analisi del segnale? Ho migliorato il problema del leakage, quindi io l'ho ridotto, ho compensato un po'il problema del leakage. Cosa ho sacrificato? Ho sacrificato tutte le informazioni che stavano all'inizio e alla fine. della mia forma d'onda, perché ovviamente le ho moltiplicate per un valore molto basso e quindi le ho ridotte notevolmente. In realtà noi non useremo praticamente mai la trasformata di Fourier. Perché? Perché non lavoriamo con segnali continui, ma come abbiamo già visto nelle lezioni precedenti, noi lavoriamo con dei segnali che sono campionati, quindi sono finiti e rappresentati da una sequenza di numeri. non da una grandezza continua. Cosa usiamo? Usiamo la trasformata di Fourier discreta, che è la controparte della trasformata di Fourier nel dominio discreto. Vedete, non cambia molto. Rappresentazione simile, stesse proprietà, stesse caratteristiche, visto che la DFT, la... La trasformata di Fourier discreta è particolarmente onerosa, negli anni sono state sviluppate tutta una serie di implementazioni chiamate Fast Fourier Transform, abbreviate come FFT. Sono brutalmente approssimazioni della trasformata di Fourier discreta, ma più rapide da calcolare. Ne esistono tantissime, una volta erano limitate a un numero di campioni. fisso adesso ce ne sono di tutti i tipi e modi, l'importante è ricordarsi che anche qui esistono varie convenzioni, non bisogna pensare di poter usare una convenzione all'andata, quindi dal dominio del tempo al dominio delle frequenze, e una al ritorno nel fare l'inverso. Di vantaggio che cosa abbiamo? Che tipicamente, come vedremo tra non molto, le ampiezze degli spettri hanno un interesse relativo, nel senso che il valore assoluto di una componente spettrale mi interessa fino a un certo punto, è molto più interessante il valore relativo di una componente spettrale rispetto a un'altra componente spettrale, quindi la forma di tutte queste trasformate sarà simile, a volte cambierà magari l'ampiezza. La FFT, questo già anticipo, è diventata così famosa e così diffusa da assumere spesso come senso quello del suo prodotto. Non mi ricordo come si chiama questa forma letterale, questa forma poetica, ma in realtà è una cosa che si usa molto spesso in ambito tecnico. Quando io dico voglio l'FFT del segnale non ti sto dicendo voglio che tu mi calmi, voglio... che tu calcoli un FFT, ma voglio vedere lo spettro del segnale, quindi ha assunto spesso il significato di spettro del segnale, indipendentemente dalla operazione FFT. Altre caratteristiche fondamentali dell'analisi spettrale legate al campionamento. Già conosciamo il problema della liasing, quindi attenzione che si rischia di fraintendere tutti i contributi spettrali che non rispettano il teorema di Nicky Shannon. Quindi in realtà... Se io vado ad osservare un fenomeno che ha dei contributi spettrali al di sopra di metà della frequenza di campionamento, quindi a metà di sopra della frequenza di Nyquist, quello che osservo è un segnale falsato perché questi contributi vengono specchiati nella zona bassa. Quindi questo aliasing deriva dal fatto proprio che abbiamo già visto, cambiano frequenza pur mantenendo la stessa ampiezza e quindi li vediamo sotto un altro aspetto che è completamente falso rispetto a quello che hanno. Altra cosa fondamentale e che ha tutta una serie di implicazioni notevoli per quanto riguarda lo sviluppo dei sistemi d'acquisizione in ambito di analisi spettrale è la risoluzione spettrale. La risoluzione spettrale è il reciproco del tempo d'osservazione totale. Questa è una regola matematica inevitabile, non abbiamo modo di aggirarla, la risoluzione spettrale è il reciproco del tempo d'osservazione. Quindi se io voglio andare ad osservare un fenomeno e voglio essere in grado di discriminare meglio nel tempo, saprò discriminare meno nelle frequenze perché avrò un t più piccolo e un df più grande. Se io voglio andare a discriminare un fenomeno molto bene nel campo delle frequenze dovrò osservarlo molto a lungo, ok? Se osservo molto a lungo riesco a notare differenze molto piccole tra le frequenze, se osservo molto poco riesco a notare solo differenze tra frequenze molto diverse tra di loro. Tutta questa introduzione mi serve perché? Perché tutta una serie di strumenti per l'analisi in frequenza è stata sviluppata partendo da le tecniche di rappresentazione in frequenza che si basano sulla matematica che vi ho appena presentato e su quella che presenteremo tra non molto. Abbiamo visto che dalla trasformata di Fourier deriva la FFT o trasformata di Fourier rapida, che è quella che useremo. Dal teorema della convoluzione abbiamo visto che deriva il leakage, qual è l'origine matematica del leakage e come risolverlo, ampliando la finestra, cambiando la finestra. Vedremo tra non molto autocorrelazione e cross-correlazione e andremo a parlare poi invece con la combinazione di tempo e frequenza della Waterfall Analysis o della Time Frequency Analysis, se vogliamo, e poi parleremo anche dello Spectral Averaging per i processi stocastici. Partiamo dalla matematica. più pesante autocorrelazione e cross correlazione. Qui c'è qualcosa di molto simile a quello che abbiamo visto prima, vedete che cambia solo un segno rispetto alla convoluzione. La cross correlazione tra due segnali è un parametro che mi dice quanto i due segnali sono tra di loro. correlati. È un parametro che però io posso calcolare per ogni valore di k ritardo e quindi andare a, scusate, per ogni valore di t ritardo e quindi poi andare a rappresentarlo nel dominio del tempo. Cosa faccio? Faccio il complesso coniugato di f. Lo moltiplico. Per G, attenzione, G l'ho anticipata di T, quindi è simile alla convoluzione, cambia il segno al complesso coniugato. Tutto questo discorso perché? Beh, perché ipotizzate di avere due sinusoidi. leggermente sfalsate. Se io ho il valore del ritardo che me le fa coincidere il loro prodotto sarà il massimo. Se io ho un valore di ritardo che invece me le sfasa completamente avrò un valore mediamente nullo comunque molto piccolo stesso discorso di prima. Quindi questa è una tecnica per cercare le periodicità nel segnale. Di fatto io moltiplico i due segnali tra di loro sfasandogli un po', rappresento istante per istante, sfasamento per sfasamento questi segnali e ottengo un qualcosa che mi va a sottolineare quei ritardi che rendono i due sistemi molto simili. Quindi quelle periodicità. che hanno in comune. L'autocorrelazione che cos'è? È una cross correlazione del segnale su se stesso. L'autocorrelazione quindi è il segnale moltiplicato per se stesso ritardato. Cosa me ne faccio di un segnale moltiplicato per se stesso ritardato? Stesso esempio di prima della sinusoide. Ho la stessa sinusoide, la sto sfasando. Quando i picchi coincideranno con i picchi avrò i valori massimi, quando non sarà così avrò dei valori mediamente nulli, quindi di fatto sto andando ad eccitare quei periodi che si ripetono all'interno del segnale. Inoltre l'ho messa al quadrato, quindi la amplifico e vado a eccitare tutti i contributi comuni con la medesima periodicità. Quando si usano queste tecniche? Iniziamo dalla più facile, la trasformata rapida di Fourier. Come dicevo prima, lo spettro del segnale, in realtà sarebbe corretto chiamare spettro del segnale il risultato e FFT l'operazione matematica che me lo fa ottenere, però spesso le due cose si sovrappongono. Quando la uso? Beh, la prima cosa, vi prego di correggere i lucidi perché quel pic è scritto sbagliato, pic pic pic di frequenze di importanza, di interesse. Supponiamo ad esempio di avere necessità di identificare una risonanza meccanica, la frequenza di risonanza di un ponte ad esempio, o andare a valutare dei contributi in fatica, quindi andare anche qui a vedere quali sono le frequenze di risonanza ad esempio di un telaio. Le frequenze di risonanza danno un contributo vibrazionale molto più alto alla loro frequenza piuttosto che alle altre frequenze, quindi un... Approccio rapido potrebbe essere quello del peak picking. Peak picking è definito così semplicemente perché vuol dire che l'operatore guarda lo spettro, vede i picchi o si fa aiutare nell'analisi con un operatore automatico, come fa in PIX di Matlab, per cercare i picchi. Una volta trovati i picchi, identifica le frequenze a cui questi si verificano come... il contributo in frequenza più importante. Tipicamente l'FFT è il primo gradino, l'analisi più rapida e più economica per andare a investigare il fenomeno che sto studiando, ad esempio per verificare qual è la frequenza di interesse. Voi finora in tutti gli esercizi siete partiti sempre dall'idea di dire il fenomeno che devo misurare ha un contributo in frequenza Fino a? Eh, io non lo so fino a. Quindi una delle cose più comode tipicamente è quella di acquisire alla frequenza più alta possibile per un breve periodo, fare analisi spettrale, capire dov'è il contributo interessante e poi dopo partire con un'analisi un po'più seria. Altra cosa? Tipicamente gli ingegneri meccanici se ne fanno poco di parte reale e parte immaginaria dell'FFT di un segnale meccanico. quindi la convertiamo in ampiezza e fase. Tranne pochissimi casi la fase è del tutto trascurata. Tranne pochissimi casi la fase è trascurata e ci preoccupiamo soprattutto dell'ampiezza. Un esempio è questo. Noi abbiamo la parte reale e la parte immaginaria, le abbiamo ricombinate otteniamo un'ampiezza e una fase. In cosa consta il peak picking? Il peak picking è esattamente questo. Guarda qua c'è un picco, qua c'è un altro picco, qua c'è un altro picco, qua c'è un altro picco. Questo qui è a 50 Hz, questo è a 20 Hz, questo è proprio a 10 Hz. e questo potrebbe essere o 12 o 15 dovrei ovviamente andare a zoomare un po di più per vederlo queste sono le frequenze che sono di interesse poi questi altri bu è uno spike così a caso stessa cosa per questi Allora, questi sono di sicuro i contributi più importanti, vuol dire che nel segnale che io sto analizzando, 10, 12, 20, 50 Hz, sono frequenze associate a un comportamento che è predominante rispetto agli altri. Per ora posso limitarmi a dire così, poi in media, tipo questo segnale, mi verrebbe da dire è poco interessante dai 100 Hz in su. Certo, questa è solo una prima analisi. Approfondiamo un attimo. Passiamo ad un'analisi un po'più interessante, la Power Spectral Density. La Power Spectral Density rappresenta la potenza effettivamente trasmessa all'interno di uno stretto intervallo di frequenza. Questa cosa qui è piuttosto complicata da capire in realtà perché qui potenza è usato, come spesso si fa in analisi del segnale, in maniera impropria. Non è una potenza in termini meccanici, è una potenza nel senso che il segnale è stato elevato al quadrato. Quindi di fatto quando parlo di power spectral density, voi immaginatevi come primissima approssimazione il segnale nel dominio delle frequenze al quadrato e poi diviso per ciascun intervallino, per ciascuna risoluzione spettrale. Come faccio a calcolarlo? Ma matematicamente questo è la trasformata di Fourier dell'autocorrelazione, quindi la trasformata di Fourier di quell'operazione matematica che mi è citata. che mi amplifica tutti i contributi che sono a periodicità ripetute. È molto comoda questa tecnica, soprattutto per questo fatto di essere al quadrato, per monitorare dei processi stocastici, dei processi che sono stazionari, che hanno più o meno gli stessi contributi sempre, ma che hanno anche tutta una serie di... contributi del tutto aleatori che vogliamo isolare. È un po'più affidabile dell'FFT perché è in grado di evidenziare meglio i contributi delle singole righe spettrali. e ci dice in particolare in che frequenza di intervallo, in che intervallo di frequenza c'è più energia. Questo si usa soprattutto in analisi delle vibrazioni. Quindi mentre prima cercavamo una frequenza singola da analizzare come contributo del problema, la PSD tante volte viene usata anche per esprimere un'attesa di vibrazione. Ad esempio esistono... test industriali su componenti di automotive che si fanno prendendo la PSD di una macchina, di una sospensione ad esempio, registrata in campo, quindi registrata direttamente quando la macchina è su strada e si usa quella PSD per dire guarda io voglio testare il mio sistema, non voglio che tu riproduca esattamente quelle vibrazioni. ma voglio che l'energia frequenza per frequenza sia la stessa. Certo può essere usata anche per identificare meglio e distinguere meglio i picchi con il peak picking rispetto al rumore. E effettivamente qui io vedo tranquillamente questo che è il 10 che c'era prima, questo che è il 12 che c'era prima. il 20, il 50, qua non ho più dubbi, non c'è niente. Cosa ho perso? Qui ho l'ampiezza. La fase è sparita. Perché? Perché la PSD è basata sulla trasformata di Fourier della autocorrelazione Quindi in realtà è il segnale moltiplicato per il suo complesso coniugato. Un segnale per il suo complesso coniugato è orientato ad un segnale al quadrato che non ha fase. C'è un'altra cosa da notare. L'unità di misura del PSD è, in questo caso sto pensando a un segnale elettrico, volta al quadrato su Earth. E'quella che si chiama unità ingegneristica al quadrato. su Earth, perché ognuno di questi pallini in realtà rappresenta il quadrato del segnale diviso la risoluzione spettrale. Vedete che è molto più chiaro questo rispetto a quello di prima. Complichiamoci un altro po'la vita e arriviamo a uno degli strumenti più importanti dell'analisi spettrale, ovvero la Frequency Response Function. Ora, frequency response function, risposta in frequenza, risposta armonica, eccetera, eccetera, anche qui è facile, soprattutto in ambito industriale, in accademico un po'meno, però anche in ambito industriale è molto facile, parlare indistintamente di frequency response function che si parli della funzione che calcola la risposta in frequenza o della risposta in frequenza espressa come funzione. Quindi anche qui strumento e risultato dell'applicazione dello strumento sono spesso intercambiabili. Che cosa mi indica questa risposta in frequenza? Mi indica la relazione causale tra due segnali. Quindi io ho uno stimolo e una risposta, io riesco a capire quali frequenze sono effettivamente collegate tra le due. perché c'è una relazione di qualche tipo, e quali invece non sono collegate tra le due. Se noi usiamo questo strumento ad esempio per fare una calibrazione dinamica, quindi per andare a valutare le caratteristiche dinamiche di un sistema, possiamo ad esempio ipotizzare di fare uno sweep in frequenza, fare una risposta in frequenza tra lo stimolo e la risposta, E questo mi rappresenterà la risposta in frequenza del sistema. Matematicamente da dove arriva questa magia? Matematicamente arriva dalla cross-correlazione diviso l'autocorrelazione. Di nuovo è la trasformata di. Esistono in realtà tre modi di calcolarla. Può essere la. Cross-correlazione tra F e G fratto G può essere l'autocorrelazione di F fratto la cross-correlazione di G oppure può essere una media. Di solito questo si chiama H1, questo si chiama H2, questo si chiama H3. Il succo è sempre quello. Faccio, da una parte uso la cross-correlazione, cioè cerco le periodicità comuni e poi le divido per quelle periodicità che sono presenti nello stimolo. Quindi vado a vedere non solo le periodicità comuni, ma quanto vengono... amplificate o deamplificate. È molto utile questa tecnica nell'identificazione dei sistemi, quindi tutta la parte di controllo, nell'analisi modale, quindi tutta la parte di controllo delle vibrazioni, predizione delle vibrazioni e nella parte di caratterizzazione dinamica, quindi la parte di test di grandezza dinamica, ad esempio una rigidezza dinamica di una gomma eccetera eccetera. Torniamo all'esempio di prima, Frequency Response Function, stesso segnale, vedete che vi sto presentando sempre lo stesso segnale di prima. Cosa c'è di diverso? C'è di diverso che la Frequency Response Function richiede due grandezze, mentre le altre potevano essere mentre altre funzioni potevano essere applicate a singoli segnali, la frequency response function richiede due segnali, un ingresso, un'uscita, un stimolo, una risposta, se volete ipotizzarle così. Andiamo a vedere di nuovo lo stesso fenomeno di prima. È lo stesso segnale, in questo caso la stessa coppia di segnali che è stata misurata in diversi modi. troviamo di nuovo il 10 come prima, il 12 come prima, il 20 mi è quasi sparito, il 50 non c'è da nessuna parte, qua ho anche un 5 che prima non c'era e ho dei picchi notevoli qui che non posso trascurare. Cosa mi dice questa cosa? Ora, laddove ho dei picchi che c'erano anche prima vuol dire che il segnale è presente in entrambi. Facciamo un esempio pratico che aiuta a comprendere. Supponiamo di aver messo un'asta in vibrazione con un accelerometro montato qui, che è la risposta. e di avere questo muro che si sposta su e giù, che è lo stimolo. Abbiamo un'asta che viene citata muovendo su e giù il suo vincolo, lo stimolo, e abbiamo la risposta misurata da un accelerometro, quindi la sua accelerazione. Allora, 10 Hz c'era guardando la PSD della risposta, c'era guardando la FFT della risposta, c'è anche guardando la funzione di trasferimento in frequenza. Cosa vuol dire? Vuol dire che è una frequenza propria dell'asta ed effettivamente se io la eccito a quella frequenza, lei risponde in maniera molto più alta. 50 Hz non c'è più, vuol dire che in realtà era un segnale che io vedevo nella risposta ma che non era affatto presente nello stimolo, quindi vuol dire che non è una periodicità da tenere in considerazione perché deriva da altro che non c'entra niente con l'eccitazione che gli sto dando. 5, la vedo adesso, non la vedevo prima, vuol dire che la risposta di per sé è molto molto piccola, quindi a 5 Hz si sta muovendo molto poco, ma si sta muovendo molto poco perché a 5 Hz c'è uno stimolo ma è molto molto piccolo. Stessa cosa per tutte queste grandezze che sono molto amplificate ma lo stimolo era piccolo. Continuiamo a scendere in altra area del bianconiglio e parliamo della spectral averaging, che non è niente di complicato, anche questo è un banale uovo di colombo, ma bisogna parlarne. In realtà tutte le analisi che abbiamo visto prima, in particolare quella della PSD, possono essere svolte in averaging. Che cosa significa? Significa che sto osservando un fenomeno stocastico, come ad esempio delle vibrazioni in un edificio. ci sono mille fonti di tutte le nature, quindi può essere considerato praticamente come una quantità del tutto stocastica. E allora cosa faccio? Ne approfitto e lo misuro più e più volte, dopodiché vado a fare la media di tutte le mie misure. La media la faccio, la parte reale, media di tutte le parti reali. la parte immaginaria, media di tutte le parti immaginarie, cosa ne risulta? Ne risulta che laddove ci sono delle frequenze che vengono citate solo una volta ogni morte di Papa, diciamo così, per casi esterni, io avrò la media che tende al zero. Laddove invece avrò dei contributi sempre presenti durante tutta la prova, allora avrò dei valori che si ripresentano sistematicamente e che manterranno il loro lavoro. Queste tecniche sono molto comode quando abbiamo un rapporto segnale rumore molto basso, quando ci sono interferenze, ma soprattutto quando abbiamo un ambiente poco controllato. che però possiamo monitorare a lungo, poco controllato, ad esempio un edificio, una strada, una macchina cui non possiamo accedere, che dovrà lavorare per giorni e giorni, eccetera, eccetera. Anche qui facciamo un esempio, sempre con il medesimo segnale di prima, abbiamo i nostri picchi, sto andando a valutare la FFT, cosa faccio? La prima, questa è una finestra di acquisizione, Faccio la veraging e questa sarà la media di n finestre. Quindi da dove arriva la magia? Da nessuna parte come al solito. Arriva dal fatto che abbiamo sacrificato le nostre acquisizioni. Al posto di farne una sola ne abbiamo ripetute n e quindi abbiamo messo assieme le informazioni tante. diverse acquisizioni. È molto più pulito il segnale, anzi addirittura io vedo qua a 70 qualcosa che qui non avrei mai distinto dal rumore di fondo. Completiamo con la più difficile di tutte, in realtà anche questa molto molto... Banale se usata correttamente, se spiegata e capita correttamente, ma di difficile implementazione. Cosa succede se io ho un fenomeno che voglio osservare sia nel domino del tempo che nel domino delle frequenze? Allora qui si parla di analisi tempo-frequenza. Analisi tempo-frequenza, spesso chiamata waterfall analysis perché è il grafico che si usa... principalmente è il grafico waterfall e che può essere usata per investigare un fenomeno che varia nel tempo e nelle frequenze. È basata sulla FFT o sulla PSD tipicamente. E consiste in un procedimento molto molto semplice. Ogni n campioni calcolo uno spettro e me lo metto via. Calcolo un altro spettro e me lo metto via. Calcolo un altro spettro e me lo metto via. Quindi avrò m spettri. Ogni spettro avrà x. righe spettrali e ciascuno avrà la sua impiezza. Quindi in realtà ho lo spettro che non è più una sequenza di valori espessa in funzione della frequenza, ma è una matrice di valori in funzione del tempo e della frequenza. Di solito viene espresso con una mappa basata su una mappa a colori. e è molto comodo per valutare se ci sono cambiamenti nel comportamento dinamico del sistema, ovvero fino a 15 secondi il sistema si comporta così, da 15 secondi in poi per qualche motivo ha cambiato e le sue frequenze proprie sono cambiate. Questo si usa soprattutto in termini di diagnostica, soprattutto basato sulle vibrazioni, perché vi ricordo che le frequenze proprie dipendono da geometria e materiale. E se una struttura cambia geometria o cambia materiale, quando non dovrebbe, di fatto vuol dire che si sta rompendo. È molto costosa se non viene automatizzata perché effettivamente richiede tutta una serie di operazioni. Questo è un esempio. So che sembra sacra sindone, ma in realtà non lo è. Abbiamo su quest'asse la frequenza, su questo è il tempo. Vedete che in realtà si sta parlando di blocchettini di righe spettrali. Questo è un secondo di finestra, ho analizzato, ho fatto lo spettro, poi per ogni frequenza vado a rappresentare con il colore l'ampiezza. Ora ricorderete tutti, si spera, che df è uguale a 1 su t, tempo d'osservazione. Questo è t, quindi la risoluzione spettrale tra due righe uguali, tra due righe prossime di frequenza df è uguale a 1 su t, il che significa che ognuno di questi quadratini, che ognuno di questi quadratini qui, è df per t e quindi la sua area è 1. Questo è un vincolo fondamentale con l'analisi del tempo frequenza, più voglio essere capace di discriminare nel tempo meno lo sarò nelle frequenze e viceversa perché quel rettangolino lì avrà sempre area unitaria. Cosa mi servono questi grafici? Spero che si riesca a intravedere, ma qui io ho delle frequenze che perdurano per tutta la prova. A 50 Hz ad esempio io ho una frequenza che dura per tutta la prova, perché per tutta la prova io ho una frequenza che vedo perché è bianca, altezza alta, ampiezza alta, per ogni frequenza e per ogni finestra che ho calcolato, a 50 Hz ho sempre ottenuto un valore alto. Quindi in realtà questa 50 Hz riga dritta vuol dire che è una frequenza che rimane costante. questa è una frequenza che è presente sempre qua cade qualcosa di interessante invece ho una riga dritta fino a 6 secondi, da 6 secondi a 20 secondi. Ho una rampa, dopodiché ho di nuovo una riga dritta. Questo è chiaramente un contributo in frequenza che ha cambiato posizione, quindi c'è un cambio di frequenza. Se pensiamo a un sistema massa-molla smorzatore, potrebbe essere cambiata la massa, si è alleggerito gradualmente perché ci ha impiegato ben 13 secondi, che ne so una macchina transfer che sta riempiendo delle bottiglie di acqua o le sta svuotando, magari il braccio che svuota la bottiglia d'acqua, ha perso massa, quindi la frequenza è diventata più alta e quindi abbiamo questo fenomeno. Oppure... Un braccio di una gru si è esteso estendendosi si è abbassata la frequenza, rientrando poi nella sua sede ha diminuito il braccio, è aumentata la frequenza e ottengo quel fenomeno. Una sola nota non c'è nel grafico perché non è mai avvenuto, ma se invece io avessi un'intera riga verticale tutta bianca, Cosa rappresenterebbe questa cosa? Rappresenterebbe un impulso. Questa è una cosa che accade spesso. A un solo istante io ho tutte le frequenze citate. Tutte le frequenze citate abbiamo visto vuol dire impulso. Impulso meccanicamente si traduce in urto. L'operatore ha perso la chiave inglese che è caduta per terra vicino all'accelerometro. la macchina ha sbagliato, tipicamente non la macchina ma l'operatore, la corsa è andata a sbattere da qualche parte, è un impulso, è un fenomeno che è citato, è vero, tutte le frequenze ma per un periodo molto limitato di tempo. Questo è una riga verticale, quindi abbiamo visto righe orizzontali, frequenze sempre presenti, righe verticali impulso, tutte le altre che cambiano di frequenza sono effettivamente le variazioni di comportamento dinamico. Con questo abbiamo concluso, possiamo però andare a esaminare un attimo lo stesso fenomeno dal punto di vista invece dell'acquisizione. Facciamo molto rapidamente questo file, come al solito lo trovate sul sito. Simula la registrazione di quello di cui parlavamo prima. Una sbarretta che ha un estremo libero e un estremo fissato, ha un accelerometro A fissato sull'estremo. Libero, un accelerometro B fissato sull'estremo vincolato, che è quello che scorre su e giù, e noi andiamo a analizzare per quanto riguarda le analisi che lavorano su una singola serie di dati, quindi su un singolo segnale, andiamo a analizzare FFT, PSD, Time History A. Per quanto riguarda la FRF andremo ad analizzare A come risposta, B come stimolo. L'ipotesi è che ci siano delle masse che eventualmente si possono spostare lungo questo braccio o delle lunghezze che possono effettivamente variare della trave. Cosa possiamo cambiare noi? La frequenza di campionamento, il tempo d'osservazione, La finestra, vedete qui tutte le finestre che avete a disposizione, sono veramente tante. E il numero di finestre su cui calcolare la media. Dopodiché questo tasto attivo spegne l'abraging. Ovviamente è una simulazione di registrazione. I dati sono falsi, ma vengono rappresentati comunque correttamente. Parto, nel dominio del tempo vedo questo segnale, se vado a vedere l'FFT vedo che il suo spettro è così. Facciamo un primo esempio di averaging, accendo l'averaging e vediamo che pian piano la parte che è non sempre presente ma aleatoria del segnale diminuisce. E è più facile identificare altre picche. Spengo l'Averaging, se io guardo un solo secondo ho tantissimo rumore. Con la PSD questa cosa funziona molto meglio perché appunto rinunciamo alla fase in cambio di un contributo più rilevante dell'ampiezza. Andiamo a vedere Averaging ed ecco che si smorza subito ed è chiaro quali sono le frequenze che contribuiscono e quali no. L'FRF. Qui c'è in realtà sia A che B rispetto a B, proprio per farvi vedere che nel caso del segnale B rispetto a se stesso, ottengo una fase nulla e un fattore di amplificazione unitario, quindi correttamente il segnale è identico a se stesso. Anche con l'FRF posso applicare l'averaging. Ci impiega un po'di più, ma effettivamente anche qui vedete che pian piano si smorzano tutti gli altri contributi. Attenzione, quando fate l'averaging è sempre meglio bloccare la scala in modo da non farsi ingannare dall'autoscala che si riadatta. L'ultimo, ripartendo però da zero, l'analisi waterfall. Ho il tempo, ho la frequenza, ho l'ampiezza e andrò a vedere di fatto i quadratini di cui si parlava prima. Una riga spettrale per un intervallo temporale. Questo è il risultato. Notate che è particolarmente difficile distinguerli, ci serve lavorare un po', però vedete questi sono i quadratini unitari. Qua ho un cambio di frequenza, posso cambiare la scala dell'ampiezza per vedere un po'meglio cosa sta succedendo, anche se è sempre rischioso esagerare. Ecco qua, si vede meglio la rampa. Giusto per farvi vedere che la matematica non mente, se io riparto e imposto come tempo d'osservazione 0.1 secondi, perché magari voglio vedere un po'meglio quella rampa che adesso è un po'squadrettata, cosa succede? Nel dominio del tempo avrò un segnale molto più rapido. Un FFT? Eccoli qua. La risoluzione spettrale fa veramente schifo. Perché? Perché è... 1 su 0.1, 10 Hz, effettivamente tra 60 e 70 ho una sola riga spettrale. Stessa cosa per la PSB, la FRF, ed ecco qui la mia Time Frequency Analysis. Ho chiesto 30 media a 0.1 secondo, quindi sono arrivato a 3 secondi. Potete giocare un po'con questi dati, provare ovviamente a cambiare il tipo di analisi, provate a cambiare la frequenza di campionamento, cambiare il tempo di osservazione, cambiare la finestra, ecco ultima cosa, cambiamo la finestra, ad esempio una ending, torno a un tempo di osservazione di un secondo. Non me ne sono quasi accorto perché la Henning è partita subito, ma effettivamente mi è cambiata la pendenza di queste curve.

Quindi io sono abituato a vedere un segnale a tempo variante nel dominio del tempo, potrei vederlo nel dominio delle frequenze e quindi scomporre il mio segnale in tante sinusoi. L'operatore principe che si occupa di questa trasformazione è la trasformata di Fourier, di cui vediamo un esempio rappresentato nel lucido, che ci consente di dividere un segnale continuo in un set di numeri complessi. Ciascuno di questi numeri complessi rappresenta la singola sinusoide alla singola frequenza che deve essere combinata con tutte le altre per ottenere il segnale nel dominio del tempo. Una nota, quando si parla di frequenze e di trasformazioni dal dominio del tempo al dominio delle frequenze, è tipico indicare con la lettera con la lettera minuscola la funzione nel dominio del tempo, con la lettera maiuscola la funzione nel dominio delle frequenze.

E ovviamente il parametro libero è da una parte t, dall'altro omega. Ovviamente così come esiste la funzione di... come esiste la trasformata di Fourier diretta, ne esiste anche un'inversa che riporta da un insieme di sinusoidi a diverse frequenze, ampiezze e fasi, a una funzione nel domino del tempo. Il principio di base della trasformata di Fourier, come si può intuire dall'equazione rappresentata, è quello di andare a prendere un insieme di sinusoidi, sinusoide per sinusoide, moltiplicarla per la funzione nel dominio del tempo. A questo punto se la periodicità è comune avrò un valore molto alto, se la periodicità non è comune avrò un valore molto basso, mediamente nullo, e quindi vado a amplificare in questo modo i componenti che sono alla stessa periodicità, stessa periodicità, quindi stessa frequenza.

Per quanto riguarda le convenzioni, bisogna considerare che esistono, purtroppo, diverse convenzioni che si sono sviluppate in diversi settori per la trasformata di Fourier. Evitando di entrare in una diatriba di quale sia meglio, è importante ricordarsi che cambiano di pochissimo, tipicamente, dell'esponente o di un fattore. E'importante andare a ricordarsi che la stessa...

applicazione deve essere svolta per la funzione inversa. Raramente noi lavoreremo direttamente con la trasformata di Fourier ma è già bene sapere che ne esistono in realtà più opzioni. Una cosa importante da ricordarsi però che tutte queste convenzioni, tutte le trasformate di Fourier in realtà hanno una proprietà molto utile. Quando noi facciamo la trasformata di Fourier di un segnale reale segnale reale che cosa vuol dire?

che questa f di t è un numero reale, non è un numero complesso. Quindi se f di t è un segnale reale, allora ho una proprietà importantissima che mi dice che la trasformata di meno omega è uguale al complesso coniugato della trasformata di omega cambiato di segno. Sembra complessissimo, ma in realtà vuol dire una cosa banale. Vuol dire che metà delle informazioni mi basta per rappresentare l'intero spettro, perché la parte negativa dello spettro, per intenderci quella che va da 0 a meno omega massimo, da 0 a meno infinito, quella parte lì...

In realtà io la posso calcolare semplicemente con dei cambi di segno partendo dalla parte invece da 0 a più infinito. Quindi metà del mio spettro è inutile. Di fatto questo è molto importante. avrà anche delle conseguenze, bisogna ricordarsi che deriva proprio da quello. Io ho metà del mio spettro che può essere derivato dagli altri.

Partiamo da analisi di funzioni di trasformate di Fourier, di funzioni molto comuni, che è importante conoscere per poi andare a fare tutta una serie di considerazioni più avanti. Allora, abbiamo una sinusoide nel dominio del tempo, la convertiamo nel dominio delle frequenze, abbiamo detto nel dominio delle frequenze noi avremo cosa applicando la trasformata di Fourier? Avremo dei numeri complessi, quindi da un segnale arrivo ad averne due, arrivo ad averne due e di questi due io ora.

presento parte reale e parte immaginaria. Allora, io sapevo dalla formula di prima che f di ω complesso coniugato cambiato di segno è uguale a f di meno omega. Ed effettivamente qui lo vedo. Di fatto mi si sta dicendo che una funzione è pari e l'altra è dispari. Quindi io ho la parte reale e la parte immaginaria, l'una è pari e l'altra è dispari.

Vi ricordo che il complesso coniugato vuol dire che la parte reale di F complesso coniugato è uguale alla parte reale di F e la parte immaginaria di F complesso coniugato, è uguale a meno la parte immaginaria di F. Quindi in realtà vedete che questo mi sta dicendo solo, guarda che con una serie di cambi di segno puoi calcolare l'altra metà e lo vediamo benissimo qui dove andiamo a vedere come è rappresentata la sinusoide. La sinusoide di fatto è rappresentata con un unico impulso alla frequenza della sinusoide e nullo in tutti gli altri casi. Stessa cosa nella parte negativa cambiata di segno. Quindi una sinusoide diventa un impulso che ha valore laddove ho la frequenza della sinusoide e nullo in tutti gli altri casi.

Stiamo parlando sempre di sinusoide pure. Un impulso invece proviamo a fare il contrario. Un impulso come diventa? Un impulso diventa un seno, un sinusoide nella parte immaginaria e un coseno. nella parte reale.

Vi ricordo che qua sto rappresentando entrambe le metà dello spettro, anche se sono inutili, quindi il mio asse è questo. Allora, se io vado a vedere invece l'ampiezza, la fase di questo segnale cosa ottengo? Per calcolare l'ampiezza del numero complesso devo sommare al quadrato la parte reale e la parte immaginaria, quindi in realtà quello che io vedo qui è che devo sommare al quadrato un seno e un coseno.

Sappiamo tutti che la somma al quadrato di un seno e un coseno da 1, sotto radice continua a dare 1, e quindi un impulso diventa una costante unitaria nel dominio delle frequenze se guardo solo la sua ampiezza. Se guardo la parte reale e la parte immaginaria vedo seno e coseno. Un'altra funzione particolarmente interessante è la funzione sinc. La funzione SYNC è molto importante per le conseguenze che ha nell'analisi del segnale.

La funzione SYNC deriva da che cosa? Che è quella che vedete qui a destra. La funzione SYNC...

è la trasformata di Fourier della finestra rettangolare. La finestra rettangolare, giusto per non andare a complicarci la vita, non è nient'altro che una funzione che vale 1 se t è compreso tra t0 e t0 più e che vale 0, altrimenti. Molto più banalmente in questo caso l'abbiamo rappresentata come una funzione che vale 1 se t è compreso tra t grande e 0, 0 altrimenti. È una finestra rettangolare.

nel senso che vale 1 solo per una piccola finestra di tempo, dopodiché vale 0. A questo punto dobbiamo complicarci un po'la vita e parlare di convoluzione e linearità, caratteristiche comunque delle trasformate di Fourier. Mi serve perché anche queste hanno una loro conseguenza, questo aspetto matematico ha delle conseguenze pratiche sulle trasformate di Fourier, sulla loro applicazione e sui limiti che poi incontreremo. In primo luogo la trasformata è lineare, il che significa che una funzione che nel tempo è combinazione lineare di funzioni, sempre nel tempo, allora nel dominio delle frequenze sarà... combinazione lineare secondo gli stessi parametri delle trasformate delle funzioni elementari. Cosa significa questa cosa piuttosto complicata?

In realtà non molto di complicato. Mi dice semplicemente che se una funzione la posso esprimere, se una funzione h di t la posso esprimere come f di t moltiplicata per a più g di t moltiplicata per b, Allora la trasformata di H sarà uguale ad A per la trasformata di F più B per la trasformata di G. Un'altra proprietà della trasformata di Fourier è l'applicazione della convoluzione.

Allora intanto una nota sotto, questa è la convoluzione. f convoluzione con g di x è l'integrale di f di y g. x meno y di y.

Questa cosa qui complicatissima in realtà che cosa vuol dire? Che ho una funzione f, una funzione g, vado a sfasarli. di un tempo y, li moltiplico tra di loro e faccio l'integrale.

Dopodiché li sposto di nuovo, moltiplico tra di loro e faccio l'integrale. Praticamente questa operazione, la convoluzione, mi dà l'integrale del prodotto in funzione dello sfasamento tra le due. Perché questa cosa complicata?

In realtà perché la convoluzione, lo sfasamento tra le due, aiuta a identificare gli elementi di nuovo che hanno una medesima periodicità, così come aiuta a identificare i picchi. La cosa importante per la trasformata di Fourier è un'altra. è che la convoluzione nel dominio del tempo diventa il prodotto nel dominio delle frequenze e viceversa la convoluzione nel dominio delle frequenze diventa il prodotto nel dominio del tempo.

Dicevamo che la convoluzione ha un'importanza notevole per le conseguenze che ha nell'analisi del segnale, in particolare nel leakage. Proviamo allora a fare la convoluzione, così, giusto come esercizio, di un segnale qualsiasi. E questo segnale lo chiameremo H, con un altro segnale che però non è qualsiasi, ma è un impulso. Questo impulso lo chiameremo G di T.

Ora abbiamo detto che una funzione che è la convoluzione, che una funzione che è g convoluzione h è dato dall'integrale di g di t meno, scusate, per h di t meno tau. Ho cambiato un po'le lettere, ma è lo stesso discorso. In the tau. Questo lo devo fare per ogni tau. Quindi ritardo 0, disegniamo qua sotto.

Disegniamo qua sotto la funzione. Con il ritardo 0, cosa succede? I due rimangono esattamente come sono, vado a prendere questo valore qui e quindi...

me lo segno in 0. Ritardo 1. Allora significa che l'impulso rimane di dov'è, ma devo moltiplicarlo per il valore che aveva h un secondo prima. Ritardo 1. vorrà dire che vado a mettermi a questo punto. Ritardo 2, vado a moltiplicare g che è rimasto fermo per h che è il piccolo i.

Quindi io di fatto sto ridisegnando h. in un posto diverso. Posso continuare per picchi e la sto ridisegnando in un posto diverso. Facciamo un esempio ancora più lampante.

Dove sarà questo punto? Sarà laddove c'è l'impulso. Quindi io ho spostato questa funzione blu e l'ho centrata laddove c'era l'impulso.

L'ho anche specchiata, in questo caso ho cambiato di seguito. Torniamo a vedere cosa questo rappresenti. Nel caso del leakage, noi abbiamo una sinusoide che inizia a meno infinito, finisce a più infinito, però in realtà la stiamo osservando per un tempo limitato.

Allora, matematicamente, equivale a prendere questa sinusoide che va da meno infinito a più infinito, che esiste sempre e dura per sempre, e moltiplicarla per una finestra rettangolare. moltiplicarla per una finestra rettangolare che parte all'istante 0 quando noi iniziamo ad osservare il fenomeno e finisce all'istante t grande quando il fenomeno è concluso. Ora, la trasformata della finestra rettangolare è la funzione sinc, la trasformata della sinusoide è un impulso, il prodotto tra le due nel dominio del tempo diventa una convoluzione nel dominio delle frequenze e la convoluzione di un segnale qualsiasi per un impulso non è nient'altro che la sua traslazione laddove c'è l'impulso.

Quindi io se guardo qui vedo che qua in questa regione Avevo un impulso, qui avevo un altro impulso, il picco della funzione sinc che normalmente è a 0 è stato traslato laddove c'era l'impulso. Quindi qui vedete non ho più come mi aspettavo dalla teoria un impulso puro alla frequenza della sinusoide perché la sinusoide è stata limitata nel tempo. ho la funzione sync centrata sulla mia funzione.

Questo ha anche una conseguenza diretta, significa che quando faccio analisi spettrale l'informazione che c'è alla frequenza che cerco è un pelo smorzata e soprattutto va a sporcare, perde, va a sposare. sporcare le frequenze attorno. Si parla proprio di leaking perché è, o leakage, è perché è proprio una perdita, una sbrodolatura di tutto quello che c'è attorno, proprio per la funzione sink. La funzione sink deriva dalla trasformata della finestra, quindi noi sappiamo anche come manipolarla. Più allarghiamo la finestra...

Rettangolare, quindi più a lungo la facciamo durare, più stretta è la funzione sink. e quindi meno sbrodolatura, chiamiamola meno lì che giocheremo. Possiamo scegliere altrimenti, anziché andare a ampliare la durata della finestra, possiamo scegliere di applicare diverse finestre. Nel senso non ce l'ha ordinato il dottore di usare una finestra rettangolare, possiamo andare a usare una finestra più morbida. Quindi moltiplichiamo non per un rettangolo la nostra funzione, ma usiamo un qualcosa di più morbido.

Perché usiamo un qualcosa di più morbido? Perché la sua trasformata sarà diversa dalla funzione SYNC, magari avrà meno oscillazioni, meno sporcizia attorno alla frequenza che ci interessa per davvero e quindi la sua convoluzione porterà meno problemi. Ne esistono tantissime di queste finestre, a volte con differenze veramente minimali, perché ogni settore ha sviluppato la sua.

Una tipicamente usata nel campo dell'analisi meccanica è la Henning. Hanno tutte le loro caratteristiche, questo al momento non è particolarmente importante, la cosa che dovete ricordarvi fondamentalmente però è che si tratta di moltiplicare il segnale per un qualcosa che non è rettangolare ma che gradualmente cresce fino a 1, poi rimane 1 e poi scende. Questo cosa comporta in termini di analisi del segnale?

Ho migliorato il problema del leakage, quindi io l'ho ridotto, ho compensato un po'il problema del leakage. Cosa ho sacrificato? Ho sacrificato tutte le informazioni che stavano all'inizio e alla fine.

della mia forma d'onda, perché ovviamente le ho moltiplicate per un valore molto basso e quindi le ho ridotte notevolmente. In realtà noi non useremo praticamente mai la trasformata di Fourier. Perché? Perché non lavoriamo con segnali continui, ma come abbiamo già visto nelle lezioni precedenti, noi lavoriamo con dei segnali che sono campionati, quindi sono finiti e rappresentati da una sequenza di numeri.

non da una grandezza continua. Cosa usiamo? Usiamo la trasformata di Fourier discreta, che è la controparte della trasformata di Fourier nel dominio discreto. Vedete, non cambia molto.

Rappresentazione simile, stesse proprietà, stesse caratteristiche, visto che la DFT, la... La trasformata di Fourier discreta è particolarmente onerosa, negli anni sono state sviluppate tutta una serie di implementazioni chiamate Fast Fourier Transform, abbreviate come FFT. Sono brutalmente approssimazioni della trasformata di Fourier discreta, ma più rapide da calcolare.

Ne esistono tantissime, una volta erano limitate a un numero di campioni. fisso adesso ce ne sono di tutti i tipi e modi, l'importante è ricordarsi che anche qui esistono varie convenzioni, non bisogna pensare di poter usare una convenzione all'andata, quindi dal dominio del tempo al dominio delle frequenze, e una al ritorno nel fare l'inverso. Di vantaggio che cosa abbiamo? Che tipicamente, come vedremo tra non molto, le ampiezze degli spettri hanno un interesse relativo, nel senso che il valore assoluto di una componente spettrale mi interessa fino a un certo punto, è molto più interessante il valore relativo di una componente spettrale rispetto a un'altra componente spettrale, quindi la forma di tutte queste trasformate sarà simile, a volte cambierà magari l'ampiezza. La FFT, questo già anticipo, è diventata così famosa e così diffusa da assumere spesso come senso quello del suo prodotto.

Non mi ricordo come si chiama questa forma letterale, questa forma poetica, ma in realtà è una cosa che si usa molto spesso in ambito tecnico. Quando io dico voglio l'FFT del segnale non ti sto dicendo voglio che tu mi calmi, voglio... che tu calcoli un FFT, ma voglio vedere lo spettro del segnale, quindi ha assunto spesso il significato di spettro del segnale, indipendentemente dalla operazione FFT.

Altre caratteristiche fondamentali dell'analisi spettrale legate al campionamento. Già conosciamo il problema della liasing, quindi attenzione che si rischia di fraintendere tutti i contributi spettrali che non rispettano il teorema di Nicky Shannon. Quindi in realtà...

Se io vado ad osservare un fenomeno che ha dei contributi spettrali al di sopra di metà della frequenza di campionamento, quindi a metà di sopra della frequenza di Nyquist, quello che osservo è un segnale falsato perché questi contributi vengono specchiati nella zona bassa. Quindi questo aliasing deriva dal fatto proprio che abbiamo già visto, cambiano frequenza pur mantenendo la stessa ampiezza e quindi li vediamo sotto un altro aspetto che è completamente falso rispetto a quello che hanno. Altra cosa fondamentale e che ha tutta una serie di implicazioni notevoli per quanto riguarda lo sviluppo dei sistemi d'acquisizione in ambito di analisi spettrale è la risoluzione spettrale. La risoluzione spettrale è il reciproco del tempo d'osservazione totale.

Questa è una regola matematica inevitabile, non abbiamo modo di aggirarla, la risoluzione spettrale è il reciproco del tempo d'osservazione. Quindi se io voglio andare ad osservare un fenomeno e voglio essere in grado di discriminare meglio nel tempo, saprò discriminare meno nelle frequenze perché avrò un t più piccolo e un df più grande. Se io voglio andare a discriminare un fenomeno molto bene nel campo delle frequenze dovrò osservarlo molto a lungo, ok?

Se osservo molto a lungo riesco a notare differenze molto piccole tra le frequenze, se osservo molto poco riesco a notare solo differenze tra frequenze molto diverse tra di loro. Tutta questa introduzione mi serve perché? Perché tutta una serie di strumenti per l'analisi in frequenza è stata sviluppata partendo da le tecniche di rappresentazione in frequenza che si basano sulla matematica che vi ho appena presentato e su quella che presenteremo tra non molto. Abbiamo visto che dalla trasformata di Fourier deriva la FFT o trasformata di Fourier rapida, che è quella che useremo. Dal teorema della convoluzione abbiamo visto che deriva il leakage, qual è l'origine matematica del leakage e come risolverlo, ampliando la finestra, cambiando la finestra.

Vedremo tra non molto autocorrelazione e cross-correlazione e andremo a parlare poi invece con la combinazione di tempo e frequenza della Waterfall Analysis o della Time Frequency Analysis, se vogliamo, e poi parleremo anche dello Spectral Averaging per i processi stocastici. Partiamo dalla matematica. più pesante autocorrelazione e cross correlazione.

Qui c'è qualcosa di molto simile a quello che abbiamo visto prima, vedete che cambia solo un segno rispetto alla convoluzione. La cross correlazione tra due segnali è un parametro che mi dice quanto i due segnali sono tra di loro. correlati.

È un parametro che però io posso calcolare per ogni valore di k ritardo e quindi andare a, scusate, per ogni valore di t ritardo e quindi poi andare a rappresentarlo nel dominio del tempo. Cosa faccio? Faccio il complesso coniugato di f. Lo moltiplico.

Per G, attenzione, G l'ho anticipata di T, quindi è simile alla convoluzione, cambia il segno al complesso coniugato. Tutto questo discorso perché? Beh, perché ipotizzate di avere due sinusoidi. leggermente sfalsate. Se io ho il valore del ritardo che me le fa coincidere il loro prodotto sarà il massimo.

Se io ho un valore di ritardo che invece me le sfasa completamente avrò un valore mediamente nullo comunque molto piccolo stesso discorso di prima. Quindi questa è una tecnica per cercare le periodicità nel segnale. Di fatto io moltiplico i due segnali tra di loro sfasandogli un po', rappresento istante per istante, sfasamento per sfasamento questi segnali e ottengo un qualcosa che mi va a sottolineare quei ritardi che rendono i due sistemi molto simili. Quindi quelle periodicità.

che hanno in comune. L'autocorrelazione che cos'è? È una cross correlazione del segnale su se stesso. L'autocorrelazione quindi è il segnale moltiplicato per se stesso ritardato. Cosa me ne faccio di un segnale moltiplicato per se stesso ritardato?

Stesso esempio di prima della sinusoide. Ho la stessa sinusoide, la sto sfasando. Quando i picchi coincideranno con i picchi avrò i valori massimi, quando non sarà così avrò dei valori mediamente nulli, quindi di fatto sto andando ad eccitare quei periodi che si ripetono all'interno del segnale. Inoltre l'ho messa al quadrato, quindi la amplifico e vado a eccitare tutti i contributi comuni con la medesima periodicità.

Quando si usano queste tecniche? Iniziamo dalla più facile, la trasformata rapida di Fourier. Come dicevo prima, lo spettro del segnale, in realtà sarebbe corretto chiamare spettro del segnale il risultato e FFT l'operazione matematica che me lo fa ottenere, però spesso le due cose si sovrappongono.

Quando la uso? Beh, la prima cosa, vi prego di correggere i lucidi perché quel pic è scritto sbagliato, pic pic pic di frequenze di importanza, di interesse. Supponiamo ad esempio di avere necessità di identificare una risonanza meccanica, la frequenza di risonanza di un ponte ad esempio, o andare a valutare dei contributi in fatica, quindi andare anche qui a vedere quali sono le frequenze di risonanza ad esempio di un telaio.

Le frequenze di risonanza danno un contributo vibrazionale molto più alto alla loro frequenza piuttosto che alle altre frequenze, quindi un... Approccio rapido potrebbe essere quello del peak picking. Peak picking è definito così semplicemente perché vuol dire che l'operatore guarda lo spettro, vede i picchi o si fa aiutare nell'analisi con un operatore automatico, come fa in PIX di Matlab, per cercare i picchi.

Una volta trovati i picchi, identifica le frequenze a cui questi si verificano come... il contributo in frequenza più importante. Tipicamente l'FFT è il primo gradino, l'analisi più rapida e più economica per andare a investigare il fenomeno che sto studiando, ad esempio per verificare qual è la frequenza di interesse. Voi finora in tutti gli esercizi siete partiti sempre dall'idea di dire il fenomeno che devo misurare ha un contributo in frequenza Fino a?

Eh, io non lo so fino a. Quindi una delle cose più comode tipicamente è quella di acquisire alla frequenza più alta possibile per un breve periodo, fare analisi spettrale, capire dov'è il contributo interessante e poi dopo partire con un'analisi un po'più seria. Altra cosa?

Tipicamente gli ingegneri meccanici se ne fanno poco di parte reale e parte immaginaria dell'FFT di un segnale meccanico. quindi la convertiamo in ampiezza e fase. Tranne pochissimi casi la fase è del tutto trascurata.

Tranne pochissimi casi la fase è trascurata e ci preoccupiamo soprattutto dell'ampiezza. Un esempio è questo. Noi abbiamo la parte reale e la parte immaginaria, le abbiamo ricombinate otteniamo un'ampiezza e una fase. In cosa consta il peak picking?

Il peak picking è esattamente questo. Guarda qua c'è un picco, qua c'è un altro picco, qua c'è un altro picco, qua c'è un altro picco. Questo qui è a 50 Hz, questo è a 20 Hz, questo è proprio a 10 Hz. e questo potrebbe essere o 12 o 15 dovrei ovviamente andare a zoomare un po di più per vederlo queste sono le frequenze che sono di interesse poi questi altri bu è uno spike così a caso stessa cosa per questi Allora, questi sono di sicuro i contributi più importanti, vuol dire che nel segnale che io sto analizzando, 10, 12, 20, 50 Hz, sono frequenze associate a un comportamento che è predominante rispetto agli altri.

Per ora posso limitarmi a dire così, poi in media, tipo questo segnale, mi verrebbe da dire è poco interessante dai 100 Hz in su. Certo, questa è solo una prima analisi. Approfondiamo un attimo.

Passiamo ad un'analisi un po'più interessante, la Power Spectral Density. La Power Spectral Density rappresenta la potenza effettivamente trasmessa all'interno di uno stretto intervallo di frequenza. Questa cosa qui è piuttosto complicata da capire in realtà perché qui potenza è usato, come spesso si fa in analisi del segnale, in maniera impropria.

Non è una potenza in termini meccanici, è una potenza nel senso che il segnale è stato elevato al quadrato. Quindi di fatto quando parlo di power spectral density, voi immaginatevi come primissima approssimazione il segnale nel dominio delle frequenze al quadrato e poi diviso per ciascun intervallino, per ciascuna risoluzione spettrale. Come faccio a calcolarlo? Ma matematicamente questo è la trasformata di Fourier dell'autocorrelazione, quindi la trasformata di Fourier di quell'operazione matematica che mi è citata. che mi amplifica tutti i contributi che sono a periodicità ripetute.

È molto comoda questa tecnica, soprattutto per questo fatto di essere al quadrato, per monitorare dei processi stocastici, dei processi che sono stazionari, che hanno più o meno gli stessi contributi sempre, ma che hanno anche tutta una serie di... contributi del tutto aleatori che vogliamo isolare. È un po'più affidabile dell'FFT perché è in grado di evidenziare meglio i contributi delle singole righe spettrali. e ci dice in particolare in che frequenza di intervallo, in che intervallo di frequenza c'è più energia.

Questo si usa soprattutto in analisi delle vibrazioni. Quindi mentre prima cercavamo una frequenza singola da analizzare come contributo del problema, la PSD tante volte viene usata anche per esprimere un'attesa di vibrazione. Ad esempio esistono...

test industriali su componenti di automotive che si fanno prendendo la PSD di una macchina, di una sospensione ad esempio, registrata in campo, quindi registrata direttamente quando la macchina è su strada e si usa quella PSD per dire guarda io voglio testare il mio sistema, non voglio che tu riproduca esattamente quelle vibrazioni. ma voglio che l'energia frequenza per frequenza sia la stessa. Certo può essere usata anche per identificare meglio e distinguere meglio i picchi con il peak picking rispetto al rumore. E effettivamente qui io vedo tranquillamente questo che è il 10 che c'era prima, questo che è il 12 che c'era prima. il 20, il 50, qua non ho più dubbi, non c'è niente.

Cosa ho perso? Qui ho l'ampiezza. La fase è sparita.

Perché? Perché la PSD è basata sulla trasformata di Fourier della autocorrelazione Quindi in realtà è il segnale moltiplicato per il suo complesso coniugato. Un segnale per il suo complesso coniugato è orientato ad un segnale al quadrato che non ha fase.

C'è un'altra cosa da notare. L'unità di misura del PSD è, in questo caso sto pensando a un segnale elettrico, volta al quadrato su Earth. E'quella che si chiama unità ingegneristica al quadrato. su Earth, perché ognuno di questi pallini in realtà rappresenta il quadrato del segnale diviso la risoluzione spettrale. Vedete che è molto più chiaro questo rispetto a quello di prima.

Complichiamoci un altro po'la vita e arriviamo a uno degli strumenti più importanti dell'analisi spettrale, ovvero la Frequency Response Function. Ora, frequency response function, risposta in frequenza, risposta armonica, eccetera, eccetera, anche qui è facile, soprattutto in ambito industriale, in accademico un po'meno, però anche in ambito industriale è molto facile, parlare indistintamente di frequency response function che si parli della funzione che calcola la risposta in frequenza o della risposta in frequenza espressa come funzione. Quindi anche qui strumento e risultato dell'applicazione dello strumento sono spesso intercambiabili.

Che cosa mi indica questa risposta in frequenza? Mi indica la relazione causale tra due segnali. Quindi io ho uno stimolo e una risposta, io riesco a capire quali frequenze sono effettivamente collegate tra le due.

perché c'è una relazione di qualche tipo, e quali invece non sono collegate tra le due. Se noi usiamo questo strumento ad esempio per fare una calibrazione dinamica, quindi per andare a valutare le caratteristiche dinamiche di un sistema, possiamo ad esempio ipotizzare di fare uno sweep in frequenza, fare una risposta in frequenza tra lo stimolo e la risposta, E questo mi rappresenterà la risposta in frequenza del sistema. Matematicamente da dove arriva questa magia? Matematicamente arriva dalla cross-correlazione diviso l'autocorrelazione.

Di nuovo è la trasformata di. Esistono in realtà tre modi di calcolarla. Può essere la.

Cross-correlazione tra F e G fratto G può essere l'autocorrelazione di F fratto la cross-correlazione di G oppure può essere una media. Di solito questo si chiama H1, questo si chiama H2, questo si chiama H3. Il succo è sempre quello.

Faccio, da una parte uso la cross-correlazione, cioè cerco le periodicità comuni e poi le divido per quelle periodicità che sono presenti nello stimolo. Quindi vado a vedere non solo le periodicità comuni, ma quanto vengono... amplificate o deamplificate. È molto utile questa tecnica nell'identificazione dei sistemi, quindi tutta la parte di controllo, nell'analisi modale, quindi tutta la parte di controllo delle vibrazioni, predizione delle vibrazioni e nella parte di caratterizzazione dinamica, quindi la parte di test di grandezza dinamica, ad esempio una rigidezza dinamica di una gomma eccetera eccetera.

Torniamo all'esempio di prima, Frequency Response Function, stesso segnale, vedete che vi sto presentando sempre lo stesso segnale di prima. Cosa c'è di diverso? C'è di diverso che la Frequency Response Function richiede due grandezze, mentre le altre potevano essere mentre altre funzioni potevano essere applicate a singoli segnali, la frequency response function richiede due segnali, un ingresso, un'uscita, un stimolo, una risposta, se volete ipotizzarle così. Andiamo a vedere di nuovo lo stesso fenomeno di prima.

È lo stesso segnale, in questo caso la stessa coppia di segnali che è stata misurata in diversi modi. troviamo di nuovo il 10 come prima, il 12 come prima, il 20 mi è quasi sparito, il 50 non c'è da nessuna parte, qua ho anche un 5 che prima non c'era e ho dei picchi notevoli qui che non posso trascurare. Cosa mi dice questa cosa? Ora, laddove ho dei picchi che c'erano anche prima vuol dire che il segnale è presente in entrambi. Facciamo un esempio pratico che aiuta a comprendere.

Supponiamo di aver messo un'asta in vibrazione con un accelerometro montato qui, che è la risposta. e di avere questo muro che si sposta su e giù, che è lo stimolo. Abbiamo un'asta che viene citata muovendo su e giù il suo vincolo, lo stimolo, e abbiamo la risposta misurata da un accelerometro, quindi la sua accelerazione. Allora, 10 Hz c'era guardando la PSD della risposta, c'era guardando la FFT della risposta, c'è anche guardando la funzione di trasferimento in frequenza.

Cosa vuol dire? Vuol dire che è una frequenza propria dell'asta ed effettivamente se io la eccito a quella frequenza, lei risponde in maniera molto più alta. 50 Hz non c'è più, vuol dire che in realtà era un segnale che io vedevo nella risposta ma che non era affatto presente nello stimolo, quindi vuol dire che non è una periodicità da tenere in considerazione perché deriva da altro che non c'entra niente con l'eccitazione che gli sto dando. 5, la vedo adesso, non la vedevo prima, vuol dire che la risposta di per sé è molto molto piccola, quindi a 5 Hz si sta muovendo molto poco, ma si sta muovendo molto poco perché a 5 Hz c'è uno stimolo ma è molto molto piccolo. Stessa cosa per tutte queste grandezze che sono molto amplificate ma lo stimolo era piccolo. Continuiamo a scendere in altra area del bianconiglio e parliamo della spectral averaging, che non è niente di complicato, anche questo è un banale uovo di colombo, ma bisogna parlarne.

In realtà tutte le analisi che abbiamo visto prima, in particolare quella della PSD, possono essere svolte in averaging. Che cosa significa? Significa che sto osservando un fenomeno stocastico, come ad esempio delle vibrazioni in un edificio. ci sono mille fonti di tutte le nature, quindi può essere considerato praticamente come una quantità del tutto stocastica. E allora cosa faccio?

Ne approfitto e lo misuro più e più volte, dopodiché vado a fare la media di tutte le mie misure. La media la faccio, la parte reale, media di tutte le parti reali. la parte immaginaria, media di tutte le parti immaginarie, cosa ne risulta?

Ne risulta che laddove ci sono delle frequenze che vengono citate solo una volta ogni morte di Papa, diciamo così, per casi esterni, io avrò la media che tende al zero. Laddove invece avrò dei contributi sempre presenti durante tutta la prova, allora avrò dei valori che si ripresentano sistematicamente e che manterranno il loro lavoro. Queste tecniche sono molto comode quando abbiamo un rapporto segnale rumore molto basso, quando ci sono interferenze, ma soprattutto quando abbiamo un ambiente poco controllato. che però possiamo monitorare a lungo, poco controllato, ad esempio un edificio, una strada, una macchina cui non possiamo accedere, che dovrà lavorare per giorni e giorni, eccetera, eccetera. Anche qui facciamo un esempio, sempre con il medesimo segnale di prima, abbiamo i nostri picchi, sto andando a valutare la FFT, cosa faccio?

La prima, questa è una finestra di acquisizione, Faccio la veraging e questa sarà la media di n finestre. Quindi da dove arriva la magia? Da nessuna parte come al solito. Arriva dal fatto che abbiamo sacrificato le nostre acquisizioni.

Al posto di farne una sola ne abbiamo ripetute n e quindi abbiamo messo assieme le informazioni tante. diverse acquisizioni. È molto più pulito il segnale, anzi addirittura io vedo qua a 70 qualcosa che qui non avrei mai distinto dal rumore di fondo.

Completiamo con la più difficile di tutte, in realtà anche questa molto molto... Banale se usata correttamente, se spiegata e capita correttamente, ma di difficile implementazione. Cosa succede se io ho un fenomeno che voglio osservare sia nel domino del tempo che nel domino delle frequenze?

Allora qui si parla di analisi tempo-frequenza. Analisi tempo-frequenza, spesso chiamata waterfall analysis perché è il grafico che si usa... principalmente è il grafico waterfall e che può essere usata per investigare un fenomeno che varia nel tempo e nelle frequenze. È basata sulla FFT o sulla PSD tipicamente.

E consiste in un procedimento molto molto semplice. Ogni n campioni calcolo uno spettro e me lo metto via. Calcolo un altro spettro e me lo metto via. Calcolo un altro spettro e me lo metto via.

Quindi avrò m spettri. Ogni spettro avrà x. righe spettrali e ciascuno avrà la sua impiezza.

Quindi in realtà ho lo spettro che non è più una sequenza di valori espessa in funzione della frequenza, ma è una matrice di valori in funzione del tempo e della frequenza. Di solito viene espresso con una mappa basata su una mappa a colori. e è molto comodo per valutare se ci sono cambiamenti nel comportamento dinamico del sistema, ovvero fino a 15 secondi il sistema si comporta così, da 15 secondi in poi per qualche motivo ha cambiato e le sue frequenze proprie sono cambiate. Questo si usa soprattutto in termini di diagnostica, soprattutto basato sulle vibrazioni, perché vi ricordo che le frequenze proprie dipendono da geometria e materiale.

E se una struttura cambia geometria o cambia materiale, quando non dovrebbe, di fatto vuol dire che si sta rompendo. È molto costosa se non viene automatizzata perché effettivamente richiede tutta una serie di operazioni. Questo è un esempio. So che sembra sacra sindone, ma in realtà non lo è. Abbiamo su quest'asse la frequenza, su questo è il tempo.

Vedete che in realtà si sta parlando di blocchettini di righe spettrali. Questo è un secondo di finestra, ho analizzato, ho fatto lo spettro, poi per ogni frequenza vado a rappresentare con il colore l'ampiezza. Ora ricorderete tutti, si spera, che df è uguale a 1 su t, tempo d'osservazione.

Questo è t, quindi la risoluzione spettrale tra due righe uguali, tra due righe prossime di frequenza df è uguale a 1 su t, il che significa che ognuno di questi quadratini, che ognuno di questi quadratini qui, è df per t e quindi la sua area è 1. Questo è un vincolo fondamentale con l'analisi del tempo frequenza, più voglio essere capace di discriminare nel tempo meno lo sarò nelle frequenze e viceversa perché quel rettangolino lì avrà sempre area unitaria. Cosa mi servono questi grafici? Spero che si riesca a intravedere, ma qui io ho delle frequenze che perdurano per tutta la prova. A 50 Hz ad esempio io ho una frequenza che dura per tutta la prova, perché per tutta la prova io ho una frequenza che vedo perché è bianca, altezza alta, ampiezza alta, per ogni frequenza e per ogni finestra che ho calcolato, a 50 Hz ho sempre ottenuto un valore alto.

Quindi in realtà questa 50 Hz riga dritta vuol dire che è una frequenza che rimane costante. questa è una frequenza che è presente sempre qua cade qualcosa di interessante invece ho una riga dritta fino a 6 secondi, da 6 secondi a 20 secondi. Ho una rampa, dopodiché ho di nuovo una riga dritta.

Questo è chiaramente un contributo in frequenza che ha cambiato posizione, quindi c'è un cambio di frequenza. Se pensiamo a un sistema massa-molla smorzatore, potrebbe essere cambiata la massa, si è alleggerito gradualmente perché ci ha impiegato ben 13 secondi, che ne so una macchina transfer che sta riempiendo delle bottiglie di acqua o le sta svuotando, magari il braccio che svuota la bottiglia d'acqua, ha perso massa, quindi la frequenza è diventata più alta e quindi abbiamo questo fenomeno. Oppure...

Un braccio di una gru si è esteso estendendosi si è abbassata la frequenza, rientrando poi nella sua sede ha diminuito il braccio, è aumentata la frequenza e ottengo quel fenomeno. Una sola nota non c'è nel grafico perché non è mai avvenuto, ma se invece io avessi un'intera riga verticale tutta bianca, Cosa rappresenterebbe questa cosa? Rappresenterebbe un impulso. Questa è una cosa che accade spesso. A un solo istante io ho tutte le frequenze citate.

Tutte le frequenze citate abbiamo visto vuol dire impulso. Impulso meccanicamente si traduce in urto. L'operatore ha perso la chiave inglese che è caduta per terra vicino all'accelerometro. la macchina ha sbagliato, tipicamente non la macchina ma l'operatore, la corsa è andata a sbattere da qualche parte, è un impulso, è un fenomeno che è citato, è vero, tutte le frequenze ma per un periodo molto limitato di tempo.

Questo è una riga verticale, quindi abbiamo visto righe orizzontali, frequenze sempre presenti, righe verticali impulso, tutte le altre che cambiano di frequenza sono effettivamente le variazioni di comportamento dinamico. Con questo abbiamo concluso, possiamo però andare a esaminare un attimo lo stesso fenomeno dal punto di vista invece dell'acquisizione. Facciamo molto rapidamente questo file, come al solito lo trovate sul sito. Simula la registrazione di quello di cui parlavamo prima.

Una sbarretta che ha un estremo libero e un estremo fissato, ha un accelerometro A fissato sull'estremo. Libero, un accelerometro B fissato sull'estremo vincolato, che è quello che scorre su e giù, e noi andiamo a analizzare per quanto riguarda le analisi che lavorano su una singola serie di dati, quindi su un singolo segnale, andiamo a analizzare FFT, PSD, Time History A. Per quanto riguarda la FRF andremo ad analizzare A come risposta, B come stimolo. L'ipotesi è che ci siano delle masse che eventualmente si possono spostare lungo questo braccio o delle lunghezze che possono effettivamente variare della trave.

Cosa possiamo cambiare noi? La frequenza di campionamento, il tempo d'osservazione, La finestra, vedete qui tutte le finestre che avete a disposizione, sono veramente tante. E il numero di finestre su cui calcolare la media. Dopodiché questo tasto attivo spegne l'abraging. Ovviamente è una simulazione di registrazione.

I dati sono falsi, ma vengono rappresentati comunque correttamente. Parto, nel dominio del tempo vedo questo segnale, se vado a vedere l'FFT vedo che il suo spettro è così. Facciamo un primo esempio di averaging, accendo l'averaging e vediamo che pian piano la parte che è non sempre presente ma aleatoria del segnale diminuisce. E è più facile identificare altre picche.

Spengo l'Averaging, se io guardo un solo secondo ho tantissimo rumore. Con la PSD questa cosa funziona molto meglio perché appunto rinunciamo alla fase in cambio di un contributo più rilevante dell'ampiezza. Andiamo a vedere Averaging ed ecco che si smorza subito ed è chiaro quali sono le frequenze che contribuiscono e quali no. L'FRF. Qui c'è in realtà sia A che B rispetto a B, proprio per farvi vedere che nel caso del segnale B rispetto a se stesso, ottengo una fase nulla e un fattore di amplificazione unitario, quindi correttamente il segnale è identico a se stesso.

Anche con l'FRF posso applicare l'averaging. Ci impiega un po'di più, ma effettivamente anche qui vedete che pian piano si smorzano tutti gli altri contributi. Attenzione, quando fate l'averaging è sempre meglio bloccare la scala in modo da non farsi ingannare dall'autoscala che si riadatta.

L'ultimo, ripartendo però da zero, l'analisi waterfall. Ho il tempo, ho la frequenza, ho l'ampiezza e andrò a vedere di fatto i quadratini di cui si parlava prima. Una riga spettrale per un intervallo temporale. Questo è il risultato.

Notate che è particolarmente difficile distinguerli, ci serve lavorare un po', però vedete questi sono i quadratini unitari. Qua ho un cambio di frequenza, posso cambiare la scala dell'ampiezza per vedere un po'meglio cosa sta succedendo, anche se è sempre rischioso esagerare. Ecco qua, si vede meglio la rampa. Giusto per farvi vedere che la matematica non mente, se io riparto e imposto come tempo d'osservazione 0.1 secondi, perché magari voglio vedere un po'meglio quella rampa che adesso è un po'squadrettata, cosa succede? Nel dominio del tempo avrò un segnale molto più rapido.

Un FFT? Eccoli qua. La risoluzione spettrale fa veramente schifo.

Perché? Perché è... 1 su 0.1, 10 Hz, effettivamente tra 60 e 70 ho una sola riga spettrale. Stessa cosa per la PSB, la FRF, ed ecco qui la mia Time Frequency Analysis.

Ho chiesto 30 media a 0.1 secondo, quindi sono arrivato a 3 secondi. Potete giocare un po'con questi dati, provare ovviamente a cambiare il tipo di analisi, provate a cambiare la frequenza di campionamento, cambiare il tempo di osservazione, cambiare la finestra, ecco ultima cosa, cambiamo la finestra, ad esempio una ending, torno a un tempo di osservazione di un secondo. Non me ne sono quasi accorto perché la Henning è partita subito, ma effettivamente mi è cambiata la pendenza di queste curve.

Transcript for:Fondamenti della Trasformata di Fourier

Transcript for:
Fondamenti della Trasformata di Fourier