गणित में नंबरों का परिचय

Overview

इस लेक्चर में कक्षा 9 की गणित की एक्सरसाइज 1.1 की संपूर्ण समाधान एवं महत्वपूर्ण कॉन्सेप्ट्स (जैसे रैशनल व इरेशनल नंबर, नंबर लाइन, प्रॉपर्टीज ऑफ नंबर और इन इक्वलिटी) को विस्तार से समझाया गया है।

रैशनल और इरेशनल नंबर का परिचय

• रैशनल नंबर: जो p/q (q ≠ 0) के रूप में लिखे जा सकते हैं, दोनों इंटीजर हों।
• टर्मिनेटिंग डेसीमल (जैसे 0.25) तथा नॉन-टर्मिनेटिंग, रिकरिंग डेसीमल (जैसे 0.333...) रैशनल नंबर होते हैं।
• इरेशनल नंबर: नॉन टर्मिनेटिंग, नॉन रिकरिंग डेसीमल जैसे √2, π, e।
• जिनका परफेक्ट स्क्वायर नहीं होता, ऐसे रूट वाले नंबर इरेशनल होते हैं।

नंबर लाइन पर प्रतिनधित्व

• नंबर लाइन: एक सीधी रेखा जिसमें संख्या जीरो, पॉजिटिव व नेगेटिव इंटीजर दर्शाते हैं।
• √2, √3 जैसी संख्याओं को पाइथागोरस प्रमेय की मदद से नंबर लाइन पर दर्शाया जाता है।
• भिन्न (फ्रैक्शन) को भी नंबर लाइन पर बराबर हिस्सों में बांट के दिखाना सीखा।

एक्सरसाइज के महत्वपूर्ण हल

• दिए गए नंबर को रैशनल या इरेशनल पहचानना; कारण सहित लिखना।
• रिपीट होने वाले दशमलव (जैसे 0.4̅) को p/q के रूप में बदलने की ट्रिक।
• दो रैशनल नंबर के बीच नए दो रैशनल नंबर ढूंढ़ना: एवरेज विधि से।

महत्वपूर्ण प्रॉपर्टीज ऑफ नंबर

• एसोसिएटिव प्रॉपर्टी: तीन वैल्यूज पर ब्रैकेट बदलने से उत्तर नहीं बदलता।
• कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी: a+b = b+a तथा ab = ba।
• एडिटिव, मल्टीप्लिकेटिव, आइडेंटिटी, इन्वर्स प्रॉपर्टीज समझाई।
• डिस्ट्रीब्यूटिव प्रॉपर्टी: a(b+c) = ab + ac.
• इनइक्वलिटी की ऑर्डर प्रॉपर्टीज: रेसिप्रोकल, एडिटिव, कैंसिलेशन, ट्राइकोटॉमी।

Key Terms & Definitions

• रैशनल नंबर — जो p/q (q ≠ 0) फॉर्म में लिखे जाएं।
• इरेशनल नंबर — जो p/q के रूप में न लिखे जा सकें, जैसे √2।
• टर्मिनेटिंग डेसीमल — दशमलव के बाद खत्म हो जाने वाले नंबर।
• रिकरिंग डेसीमल — दशमलव के बाद कोई नंबर या पैटर्न लगातार दोहराना।
• प्रॉपर्टी — गणितीय नियम जैसे एसोसिएटिव, कम्यूटेटिव आदि।
• नंबर लाइन — एक रेखा जिसमें सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं।

Action Items / Next Steps

• पुस्तक के पेज 7, 8, 9 की प्रॉपर्टीज एक बार अवश्य पढ़ें।
• किसी भी रैशनल व इरेशनल नंबर की पहचान की प्रैक्टिस करें।
• नंबर लाइन पर √5, 1/5 आदि दर्शाने का स्वयं प्रयास करें।
• कठिन प्रश्नों की दोहराई और शंका नोट करें।