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गणित में नंबरों का परिचय

बिस्मिल्लाह रहमान रहीम अस्सलाम वालेकुम आज की इस वीडियो में हम एक्सरसाइज 1.1 कंप्लीट सॉल्व करेंगे यानी कि इस एक्सरसाइज के अंदर जितने भी क्वेश्चन है हम सारे के सारे इसी वीडियो के अंदर सॉल्व करेंगे लेकिन स्टार्ट करने से पहले मैं आपको बुक दिखा देता हूं और इसके अलावा एक दो बातें और और फिर हम एक्सरसाइज को स्टार्ट करते हैं यह बुक है जी नाइंथ क्लास यह आप देख रहे हैं मैथमेटिक्स की बुक है और यह भी आप देख ले इसको इसमें पंजाब करिकुलम एंड टेक्स्ट बुक बोर्ड लाहौर तो यह पंजाब बोर्ड के जो स्टूडेंट्स हैं उनके लिए है पंजाब बोर्ड के अंदर आगे मजीद और भी बोर्ड्स हैं रावलपिंडी बोर्ड है लाहौर बोर्ड है गुजरावाला बोर्ड सरगोधा बोर्ड तो यह नौ बोर्ड हैं ऑलमोस्ट जो पंजाब में पंजाब बोर्ड्स के अंदर आ जाते हैं तो यह बुक उन स्टूडेंट्स के लिए है अभी आते हैं जी हम एक्सरसाइज की तरफ लेकिन एक बात मैं आपको और बता दूं कि आपको डिस्क्रिप्शन के अंदर आपको एक टाइम कोड दिया होगा टाइम कोड का मतलब यह है लेट्स सपोज आप क्वेश्चन वन की जगह क्वेश्चन टू समझना चाहते हैं तो वहां पर क्वेश्चन टू का टाइम लिखा होगा अब जैसे ही उसके ऊपर आप क्लिक करेंगे तो क्वेश्चन टू स्टार्ट हो जाएगा ठीक है वो आपकी आसानी के लिए मैंने दे दिया है कि आप जिस भी क्वेश्चन को समझना चाहते हैं उस टाइम कोड की मदद से आप उस क्वेश्चन को स्टार्ट कर सकते हैं और उसको आप समझ सकते हैं बाकी जी बगैर टाइम जा किए अभी हम एक्सरसाइज को स्टार्ट करते हैं इसका क्वेश्चन नंबर वन है पहले इसको पढ़ लेते हैं और फिर इसको सॉल्व करते हैं देखें जी क्वेश्चन में लिखा हुआ है आइडेंटिफिकेशन इस काबिल हो जाएंगे कि आप नंबर को देखते ही बता देंगे कि वह नंबर रैशनल है या फिर इरेशनल है इसलिए हम पहले यह देख लेते हैं वो तीन पॉइंट समझ लेते हैं जिससे हमें यह फिर आईडिया हो जाए पता चल जाए कि कौन से नंबर रैशनल होते हैं और कौन से नंबर इरेशनल नंबर होते हैं और ये मैं आपको क्वेश्चन की स्टेटमेंट जरा यह भी बता देता हूं ये इसका मतलब क्या है आइडेंटिफिकेशन जो कि नीचे लिखे होते हैं दर्ज जल का मतलब होता है नीचे लिखे हुए एज अ रैशनल और इरेशनल मतलब आपने यह देखना है कि कौन से नंबर रैशनल है और कौन से इरल है तो डियर स्टूडेंट्स वही मैं आपको पहले भी बता चुका हूं कि मैं आपको तीन पॉइंट्स बताऊंगा जो आप अगर तीन पॉइंट समझ लेते हैं तो फिर आप इस काबिल हो जाएंगे आप बता सकेंगे कि कौन सा नंबर रैशनल होता है और कौन सा नंबर इरेशनल नंबर होता है तो अभी हम देखते हैं जी वो तीन पॉइंट्स और इसका नाम मैंने रख दिया जी बेसिक कांसेप्ट ऑफ रैशनल नंबर एंड इरेशनल नंबर सबसे पहला जो पॉइंट है जी नंबर वन टर्मिनेटिंग डेसीमल नंबर ये जो रेशनल नंबर होते हैं यह होते हैं जी टर्मिनेटिंग डेसीमल नंबर्स मतलब क्या हुआ इसका इसमें यह है कि जैसे ये आप देख रहे हैं 1/4 ये देख रहे पॉइंट के बाद दो नंबर है और ये खत्म हो जाते हैं टर्मिनेट का मतलब भी यही होता है खत्म हो जाना अगर पॉइंट के बाद कुछ नंबर है और फिर खत्म हो जाते हैं तो इनको कहते हैं टम नेटिंग डेसीमल नंबर्स इसी तरह जैसे 8/25 को देखें तो यह 8.32 आता है और इसके बाद यह खत्म हो गए इसी तरह यहां पर आप देख रहे हैं 3 / 8 तो यह भी 0.35 375 तीन नंबर्स आए हैं और इसके बाद ये खत्म हो जाते हैं जो नंबर्स खत्म हो जाए उनको कहते हैं टर्मिनेटिंग डेसीमल नंबर्स और ऐसे सारे नंबर कहलाते हैं रैशनल नंबर यह बात अब याद रखनी है जो पॉइंट के बाद कुछ नंबर हो और फि खत्म हो जाए इनको कहा जाता है रैशनल नंबर्स और रैशनल क्या होता है जी ये नॉन टर्मिनेटिंग होते हैं यह पॉइंट मैं यहां पर जाकर डिस्कस करता हूं फिलहाल आप देखि आपको यह तो आईडिया होगा ना नॉन टर्मिनेटिंग मतलब पॉइंट के बाद ये खत्म नहीं होंगे ठीक है ये चलते रहेंगे अब कैसे यह आप देखते हैं नेक्स्ट पॉइंट नंबर टू में तो रैशनल नंबर के लिए एक और भी य है कि यह भी नॉन टर्मिनेटिंग भी हो सकते हैं ठीक है टर्मिनेटिंग के अलावा ये नॉन टर्मिनेटिंग भी हो सकते हैं देखिए नॉन टर्मिनेटिंग मीन जो खत्म ना हो अ पॉइंट के बाद ये चलते रहेंगे एंड रिकरिंग डेसीमल नंबर और फिर आगे कैसे चलते रहेंगे एक नंबर बार-बार रिपीट हो होगा दो मतलब है ना इसके देखिए नॉन टर्मिनेटिंग मीन जो खत्म ना हो ये आप साथ-साथ एग्जांपल भी देखते जाएं ताकि आपको समझ आ जाए देखिए ये खत्म नहीं हो रहा ये डॉट डॉट का मतलब है ये नंबर चलता जा रहा है तो ये हो गया नॉन टर्मिनेटिंग एंड रिकरिंग रिकरिंग कहते हैं देखें थ्री बार-बार रिपीट हो रहा है ये भी लिखा हुआ है थ्री रिपीट्स अच्छा जो नंबर्स खत्म ना हो और लेकिन एक प्रॉपर तरतीब के साथ एक नंबर बार-बार रिपीट हो रहा हो तो ऐसे नंबर्स को हम कहते हैं रैशनल नंबर्स जबकि आप दूसरी साइड पर अगर आप देखें वो भी मैं आपको बताता हूं लेकिन पहले हम इसको समझ लेते हैं एग्जांपल्स के साथ तो ये 1/3 आ रहा 0.333 और यह डॉट डॉट का मतलब है ये आगे नंबर चलता जा रहा है इसको हम ऐसे भी लिख सकते हैं 0 पॉट देखिए इसमें थ्री जो है ये बारबार रिपीट हो तो थ के ऊपर आपने एक लाइन सी लगा देनी है अब इसका मतलब यह हुआ कि ्र बारबार रिपीट हो रहा है ये नीचे लिखा भी हुआ है थ रिपीट्स इनफिट अब दूसरी एग्जांपल देखें जी जैसे ये 1/6 है यह आ रहा है 01666 आगे डॉट डट लगा हुआ है इसमें जो सिक्स है ना यह बारबार रिपीट हो रहा है इसलिए मैंने आगे लिखा है 0.16 देखि जो मैंने लाइन लगाई है वो सिर्फ सिक्स के ऊपर है इसका मतलब है सिक्स सिर्फ रिपीट हो रहा है ठीक है ये ख लिख भी दिया है सिक्स रिपीट्स इनफिट थर्ड एग्जांपल जो है ये इसको भी आप देख लें 22/7 ये जो है ये 3.14 285 7 यहां तक अगर आप इसको देखें ये नंबर आए ठीक है इसके बाद फिर से वही नंबर स्टार्ट हो जाते हैं 1 4 2 8 5 7 तो डॉट डॉट इसका मतलब है ये पूरा पैटर्न सिर्फ एक नंबर नहीं बल्कि पूरा पैटर्न रिपीट हो रहा है ये आपने देखा मैंने इसके ऊपर लिख भी दिया 1 28 5 7 के ऊपर एक लाइन लगाई हुई है मतलब ये पूरा नंबर बार-बार रिपीट होगा ठीक है इसके बाद फिर से यह नंबर सारा आएगा तो ये द पैटर्न इसको मैंने पैटर्न वर्ड लिख दिया है रिपीट्स इनफिट ठीक है जी तो ये आपने देखा कि ये नॉन टर्मिनेटिंग और रिकरिंग डेसीमल नंबर है इनको कहा जाता है जी रैशनल नंबर्स अब हम आते हैं इरेशनल वाली साइड पर ये भी होते हैं जी नॉन टर्मिनेटिंग मतलब खत्म नहीं होंगे ये आप देख रहे हैं ये आगे चलता जा रहा है नंबर लेकिन नॉन रिकरिंग नॉन रिकरिंग मीन एक एक नंबर बार-बार रिपीट नहीं होगा ठीक है यहां पर जैसे आपने देखा थ्री बार-बार रिपीट हुआ है लेकिन यहां पर देखें 71 82 81 82 84 डिफरेंट डिफरेंट नंबर्स आते जा रहे हैं तो ये रिपीट नहीं हो रहे तो इस तरह के नंबर्स भी हमारे कहलाएंगे इरेशनल नंबर्स ठीक है एक और एग्जांपल भी है ये अंडर √2 अगर आप देखें तो इसके आगे भी अगर आप सारे नंबर्स को देखें तो यह नॉन टर्मिनेटिंग है मतलब खत्म नहीं हो रहा ठीक है एंड नॉन रिकरिंग मतलब कोई नंबर ऐसे बार-बार रिपीट हो र डिफरेंट डिफरेंट आते जा रहे तो ये नॉन रिकरिंग नंबर्स है ठीक हो गया अच्छा यहां पर एक और चीज बता दूं सिर्फ अंडर रूट टू नहीं बल्कि यह जो इस इस तरह के जितने भी नंबर्स है सिवाय उनके जिनका परफेक्ट स्क्वेयर है फॉर एग्जांपल जैसा कि आपको पता है फोर का प्रॉपर एक परफेक्ट स्क्वेयर है टू है ठीक है इसी तरह अगर आप नाइन का देखें तो वो थ्री है ठीक है इसी तरह फिर 16 का देखें तो वो फोर है जिनका एक परफेक्ट स्क्वेयर है ये सारे होते हैं रेशनल नंबर ये याद ये इरेशनल नहीं है इरेशनल कौन से होंगे जिनका परफेक्ट स्क्वेयर नहीं है वो होंगे इरेशनल बाकी यह वाले जो है ना ये ये रैशनल है इनके अलावा जो है जिस तरह के नंबर जिनका कोई परफेक्ट स्क्वेयर नहीं होगा वो इरल कहलाएंगे यह सिर्फ आपने अंडर रूट नहीं बल्कि अंडर रूट 3 हो गया 5 हो गए तो यह सारे नंबर इरेशनल होते हैं ठीक है छोड़ के सिर्फ इस तरह के नंबर जो जिनका परफेक्ट स्क्वेयर आ जाता है अच्छा इसके अलावा पाई ये कन्फ्यूजिंग होता है स्टूडेंट्स परेशान भी हो जाते हैं कि हम पाई के तो 22/7 भी लिखते हैं तो यहां पर 22 हालाकि दोनों को हम इक्वल समझते हैं एक को यहां पर रैशनल कहा गया और एक को इरेशनल कहा गया ये क्या कहानी है तो डियर स्टूडेंट्स अगर यहां पर आप देखें पहले तो आप पाई को देख ले 3.141 9265 ये नॉन टर्मिनेटिंग भी है नंबर चलते जा रहे हैं और नॉन रिकरिंग है मतलब इसमें पैटर्न कोई रिपीट नहीं हो रहा या नंबर रिपीट नहीं हो रहा ठीक हो गया अच्छा अब आप ये मैं कंफ्यूजन क्लियर कर देता हूं कि पाई को अक्सर आप 22/7 भी लिखते हैं तो फिर यहां पर दोनों इक्वल क्यों नहीं है तो डियर स्टूडेंट्स हम अप्रॉक्सिमेट्स कंसीडर कर लेते हैं लेकिन तब जब हम नॉर्मल कैलकुलेशन वगैरह कर रहे होते हैं क्योंकि इनमें थोड़ा सा ही माइनर सा डिफरेंस है लेकिन जब इसको आप इन डेप्थ में जाके देखेंगे रैशनल और इरेशनल के हिसाब से तो ये जो पाई है ये एक नॉन टर्मिनेटिंग और नॉन रिकरिंग नंबर है इसमें पैटर्न रिपीट नहीं होता या नंबर रिपीट नहीं होता इसलिए ये इरेशनल है जबकि 22/7 को अगर आप इन डेप्थ में देखें तो यह नॉन टर्मिनेटिंग है लेकिन यह रिकरिंग डेसीमल नंबर है इसमें यह नंबर यह पैटर्न बार-बार रिपीट हो रहा है इसलिए आपने इस चीज का भी ख्याल रखना है अब अब हम बढ़ते हैं पॉइंट नंबर थ्री की तरफ तो यह हमारा पॉइंट नंबर थ्री है इसके बाद एक छोटा सा और भी कांसेप्ट होगा लेकिन जी रेशनल नंबर को हम लिखते हैं इट कैन बी एक्सप्रेस इन द फॉर्म ऑफ p क प ओ क ये मैं आपको समझाता ये p और q की क्या कहानी है और यह जो नंबर होते हैं रैशनल इनको हम p और q की फॉर्म में नहीं एक्सप्रेस कर सकते अब प और q मतलब एस क्श ऑफ इंटी जर्स शायद आपको यह बात भी समझ ना आई हो अभी मैं आपको एग्जांपल बताता हूं फिर आपको यह सारा पॉइंट में एक्सप्लेन करता हूं देखें जी यह नंबर्स अगर उनको हम इस तरह क्वेट की फॉर्म में ठीक है या इसको फ्रैक्शन की फॉर्म में कहा जाता है और बिल्कुल सादा अल्फाज में हम यह कहते हैं जो वैल्यू ऐसे बटे में लिखी जा सकती है जैसे एक वैल्यू ऊपर लिखी हुई है और एक नीचे लिखी हुई है इस तरह के फॉर्म में अगर कोई नंबर लिखा जा सकता है तो वोह कहलाएगा रैशनल नंबर ठीक है जैसे आप देख रहे हैं ये 0 बाव ये भी एक रैशनल नंबर है जीरो को आप ऊपर लिख सकते हैं अच्छा एक चीज का खल रखना है सिर्फ इस लिए मैं आपको पहले यह बता देता हूं कि p और q मतलब इस तरह हम उसकी फॉर्म एक नंबर ऊपर और एक नीचे क्वेश्चन फॉर्म कह सकते हैं या फ्रैक्शन की फॉर्म में आप कह सकते हैं इसको हम लिख सकते हैं इसमें ये जो पी होता है ना प q ये होते हैं इंटी जर्स z कहते हैं इंटी जर्स को ये भी मैं बता देता हूं इंटी जर्स कौन से नंबर होते हैं ये 0 1 2 3 4 आगे चलते जा रहे हैं और इस तरफ -1 -2 -3 -4 और ये भी चलते जा रहे हैं इन सिंपल वर्ड्स इसको हम ऐसे भी लिखते हैं रो क्योंकि वन हमारे पास प्लस में भी है माइनस में भी है इसलिए हम प्लस माइव अठा लिख देते हैं इसी तरह 2 प्लस में भी है माइनस में भी है तो इसलिए हम + -2 + -3 4 5 आगे चलते जा रहे हैं तो यह जो p और q ऊपर भी इंटी जर्स होता है इनमें से कोई नंबर होगा और q जो नीचे लिखा हुआ है यह भी इन्हीं में से ही होगा लेकिन एक चीज का ख्याल रखना है कि q सिर्फ जीरो नहीं होना चाहिए जीरो के अलावा आप कोई भी यहां से नंबर कंसीडर कर सकते हैं जैसे ये मैंने नीचे एग्जांपल लिखी है जैसे ये इसको भी आप देख ले कि / 0 नीचे नहीं होना चाहिए ये आपका रैशनल रैशनल नंबर नहीं होगा बाकी जैसे 3/2 है 3 भी देखें एक इंटी जर इन्हीं में से है टू भी इन्हीं में से है तो ये इसको हम इस फॉर्म में ऐसे लिख भी लिया देखि आपके सामने लिखा हुआ है इसको आप प समझले इसको q समझले तो ये एक रैशनल नंबर है ये भी एक रैशनल नंबर है आप कह रहे होंगे ये तो p और q की फॉर्म में नहीं है न जब कुछ नंबर भी नीचे नहीं होता तो हम वन तो लिख सकते हैं तो ये 2 बाव ये भी p बा क की फॉर्म बन की रैशनल नंबर हो गया इसको भी आप वन कर ले खुद से नेगेटिव नंबर हो पॉजिटिव हो किसी तरह के भी हो जब इस फॉर्म में लिखे जा सकते हैं तो वो रेशनल नंबर कहलाएंगे अब अगर आप दूसरी तरफ देखें तो इनको हम इस तरह क्वेश्चन की फॉर्म मतलब ऐसे डिवाइड करके नहीं ख सकते है जैसे य अंडर रूट से हो गया ये जो अंडर रूट वाले नंबर्स है ये जितने भी है ये सारे के सारे सवाय उनके जिनका परफेक्ट स्क्वेयर है ठीक है मैंने पीछे भी एग्जांपल दिया जैसे फोर है फोर का प्रॉपर एक टू है तो ये आपका कन्वर्ट हो जाएगा रैशनल की कैटेगरी में आ जाएगा इसी तरह नाइन जो है इसका आ जाता है थ्री ये भी रैशनल में चला जाएगा ठीक है तो ये रैशनल है लेकिन इनके अलावा इस तरह के नंबर सारे क्या कहलाते हैं इरेशनल इनको हम इस फॉर्म में नहीं लिख सकते अ स्टूडेंट के में आता है कि वो यूं कर देते हैं अंडर रट से डिवाइड बाव कर लेते वो कहते हैं यह भी हमने तो प बा क की फॉर्म में लिख लिया हालांकि यहां पर मिस्टेक यह है कि यहां पर प और q दोनों इंटी जर्स है जबक आप देख रहे हैं ये जो ये नंबर है ऊपर वाला जिसको आप प समझ रहे सपोज क्या ये अंडर रूट से इन इंटी जर्स में आ रहा है कहीं पे नो सो इसलिए यह आपका जो है इस तरीके से आप उसको नहीं लिख सकते और यह आपका इरेशनल नंबर कहलाएगा रैशनल नहीं कहलाएगा है आपको कुछ चीजें समझ आ गई है बाकी इंशाल्लाह आस्ते चीजें क्लियर हो जाएंगी नेक्स्ट एक पॉइंट है जी दो नोट है छोटे-छोटे अगर आपका कोई रैशनल नंबर है प्लस उसमें इरेशनल नंबर आप ऐड करते हैं रैशनल को इरेशनल के साथ आपका रिजल्ट हमेशा इरेशनल नंबर ही होगा जैसा कि आप एग्जांपल देख रहे हैं ये एक रैशनल नंबर है ये इरेशनल है ये जो अंडर रूट वाले नंबर है ये सारे रैशनल है तो यह दोनों जब ऐड करेंगे तो वो आपका नंबर सारा इरेशनल ही होगा इसी तरह जब आप रैशनल नंबर को मल्टीप्लाई करते हैं इरेशनल के साथ लेकिन लेकिन ये याद रखना है रैशनल नंबर आपका जीरो के अलावा होना चाहिए क्योंकि यहां पर अगर आप जीरो लेते हैं तो ये सारा जीरो हो जाएगा और जब सारा जीरो हो जाएगा तो जीरो फिर रेशनल की कैटेगरी में चला जाता है इसलिए यहां पर ये मैंने ऊपर छोटा सा लिखा हुआ है कि रेशनल नंबर आपका जीरो के इक्वल नहीं होना चाहिए जीरो के अलावा 1 2 3 4 कुछ भी कर लें उसको जब आप मल्टीप्लाई करेंगे इरेशनल नंबर के साथ तो आपका आंसर भी रैशनल नंबर ही होगा जैसे कि ये आप देख रहे हैं एक रैशनल नंबर है ये एक इरेशनल नंबर है तो ये सारा ओवरऑल जब कहलाएंगे इसको आप इरेशनल नंबर कहेंगे तो ये कुछ बेसिक चीजें थी इंशाल्लाह आपको आगे जाकर मजीद चीजें बहुत सारी क्लियर हो जाएंगी अभी हम एक्सरसाइज को स्टार्ट करते हैं जी हमने देख लिया कि रैशनल और रैशनल नंबर कौन से होते हैं देखिए इसमें जो पार्ट वन है लिखा हुआ है जी क्वेश्चन को पढ़ लेते हैं दोबारा से आइडेंटिफिकेशन है या फिर इरेशनल देखिए जी मैंने आपको कुछ ट्रिक्स बता दी है कि कौन से नंबर रैशनल होते हैं कौन से इरेशनल होते हैं साथ साथ दोबारा से देखते हैं देखिए पॉइंट के बाद य आ रहा है 35 35 और 35 और यह नंबर खत्म हो गया तो जो नंबर खत्म हो जाते हैं ठीक है टर्मिनेट हो जाते हैं टर्मिनेटिंग डेसीमल नंबर्स होते हैं रैशनल नंबर क्योंकि यह पॉइंट के बाद जो है ना खत्म हो गए इसलिए यह हमारा होगा रेशनल नंबर अक्सर स्टूडेंट्स यह भी सोचते हैं कि य पैटर्न रिपीट भी हो रहा था बेशक रिपीट हो रहा लेकिन आगे कंटिन्यू तो नहीं है ना रिपीट होने के लिए यह भी लाजमी है कि वो कंटिन्यू हो तो कंटिन्यू नहीं हो रहा तो यह जब पॉइंट के बाद नंबर्स हो और फिर यह पॉइंट्स के बाद नंबर कुछ नंबर खत्म हो गया तो यह होता है टर्मिनेटिंग डेसीमल नंबर्स और ऐसे नंबर्स को हम कहते हैं रैशनल नंबर सो यह हमारा नंबर होगा रैशनल नंबर इसको हम लिख लेते हैं रैशनल नंबर ठीक है जी इसको बेशक आप यहां पर रीजन दे दें कि ये कौन सा नंबर है टर्मिनेटिंग टर्मिनेटिंग डेसीमल नंबर यह मैंने लिख दिया टर्मिनेटिंग डेसीमल नंबर ठीक है सो इसलिए यह इसको हम रैशनल नंबर कहेंगे अब नेक्स्ट इसका पार्ट टू है जी 0.6 और इसके ऊपर लाइन लगी हुई है इस लाइन का मतलब यह है इस नंबर को आप यूं भी लिख सकते हैं 0.66 और सिक्स और आगे यह नंबर कंटिन्यू है लाइन का मतलब है यह सिक्स बार-बार रिपीट हो रहा है ठीक है जी तो हमने यह पढ़ा था अब देखि इसमें दो बातें एक तो यह खत्म नहीं हो रहा ठीक है और दूसरा इसमें एक नंबर एक प्रॉपर रिपीट हो रहा है रिकरिंग हो रहा है इसलिए यहां पर यह देखें जो नॉन टर्मिनेटिंग होते हैं और रिकरिंग होते हैं रिकरिंग मीन जैसे एक ही नंबर बार-बार रिपीट हो और नॉन टर्मिनेटिंग मीन जो खत्म भी ना हो ऐसे नंबर्स को हम कहते हैं रैशनल नंबर सो यह भी हमारा क्या हो गया जी रैशनल नंबर इसकी रीजन मैं आपको अगेन बता देता हूं इसमें दो चीज हैं कि यह खत्म नहीं हो रहा नॉन टर्मिनेटिंग है और एक ही नंबर बार-बार रिपीट भी हो रहा है तो ये इस कैटेगरी में आता है ये इसको हम कहते हैं रेशनल नंबर अब जी नेक्स्ट हमारे पास इसका पार्ट थ्री है 2 पॉइंट ये देखें 2 3 6067 पहली बात ये कि नॉन टर्मिनेटिंग है मतलब ये खत्म नहीं हो रहा ठीक है नॉन टर्मिनेटिंग बाद देखें क्या नंबर कोई रिपीट हो रहा है नो ये तो सारे नंबर डिफरेंट डिफरेंट आते जा रहे हैं सो ये हो गया नॉन टर्मिनेटिंग और नॉन रिकरिंग मतलब नंबर रिपीट नहीं हो रहे नॉन रिकरिंग है तो ये जो नंबर नॉन टर्मिनेटिंग और नॉन रिकरिंग होते हैं उनको कहते हैं इरेशनल नंबर सो ये नंबर हमारा क्या कहलाएगा इरेशनल नंबर साथ साथ में आपको इसकी रीजन भी बताता जा रहा हूं ताकि आपको कांसेप्ट क्लियर हो जाए तो यह आपका हो गया जी इरेशनल नंबर अब जी नेक्स्ट हमारे पास पार्ट फोर है ये हमने देखा था कि वो नंबर जिनके ऊपर स्क्वेयर रूट आ जाता है वो सारे जो है ना वो रैशनल होते हैं सवाय उनके जिनका एक परफेक्ट स्क्वेयर हो फॉर एग्जांपल जैसा कि फोर है फोर का परफेक्ट स्केर देखते हैं वो टू होता है इसी तरह नाइन का भी देखें तो वो थ्री हो जाता है 16 का देखें तो वो आपके पास जो है ना फोर हो जाता है इसी तरह 25 का भी फ है उसके बाद 36 का सिक्स आता है इनको छोड़ के इनका एक प्रॉपर आगे परफेक्ट स्क्वेयर है इनको छोड़ के बाकी जितने भी यस के रूट वाले नंबर्स है सारे यह सारे होते हैं रेशनल नंबर ठीक है सो यह हमारा क्या होगा जी इरेशनल नंबर इरेशनल नंबर जैसे ही आप यह चीज देखें ना आप चेक कर ल कैलकुलेटर प कि उसका कोई परफेक्ट स्क्वेयर है अगर नहीं है तो वो नंबर आपका इरेशनल नंबर होगा बस इन नंबर का आपने खास क्या रखना है जी कि जिनका परफेक्ट स्क्वेयर हो वोह तो रैशनल हो जाएंगे इसके अलावा जो भी इनका कोई नंबर आ रहा है वो सारा आपका वो नंबर क्या कहलाएंगे इरेशनल नंबर होता है ठीक है तो ये मैं लिख देता हूं कि यह वाले जो है ना ये रैशनल होते हैं अब जी नेक्स्ट इसका पार्ट फाइव है ये लिखा हुआ है ई अब e की वैल्यू क्या आती है वो मैं पहले लिख देता हूं तो यह होती है जी e की वैल्यू यह आपकी बुक के ऊपर भी लिखी हुई है अब देखें यह एक तो नॉन टर्मिनेटिंग है मतलब ये नंबर चलते जा रहे हैं और इसमें अगर आप देखें तो कोई नंबर रिपीट नहीं हो रहा डिफरेंट डिफरेंट नंबर्स आ रहे हैं तो जब मैंने आपको यह चीज बताई थी कि जब नंबर्स खत्म नहीं हो रहे और कोई प्रॉपर तरतीब के साथ भी नंबर नहीं है कोई एक नंबर रिपीट भी नहीं हो रहा नॉन रिकरिंग है ऐसे नंबर्स को हम कहते हैं इरेशनल नंबर सो ये अब आपने याद रखना है कि जो ई है ना ये आपका होता है जी इरेशनल नंबर ठीक है इसको यहां पर लिख लेते हैं इरेशनल नंबर अब नेक्स्ट पार्ट सिक्स है और ये पाई है पाई की वैल्यू मैं लिख लेता हूं जी ये आपकी बुक में लिखी हुई है तो ये वैल्यू है जी पाई की इसको अगर आप देखें तो ये नॉन टर्मिनेटिंग मतलब खत्म डॉट डॉट का मतलब है नंबर चलते जा रहे हैं ये नॉन टर्मिनेटिंग हो गया और इसमें देखें तो कोई प्रॉपर नंबर जो है ना वो रिपीट नहीं हो रहा डिफरेंट डिफरेंट नंबर है तो ये नॉन रिकरिंग हो गया ठीक है जो नंबर नॉन टर्मिनेटिंग और नॉन रिकरिंग होते हैं उनको हम कहते हैं इरेशनल नंबर तो यह याद रखना है कि जो पाई है यह आपका होता है जी इरेशनल नंबर ठीक है तो यहां पर हम लिख लेते हैं इरेशनल नंबर अच्छा पाई के हवाले से एक और भी कंफ्यूज होती है वैसे मैं वो चीज बता चुका हूं लेकिन दोबारा से बता रहा हूं कि नॉर्मली जो है जब हम नॉर्मल क्वेश्चन रा सॉल्व कर लेते हैं मैं लिख देता हूं नॉर्मली ठीक है तो हम पाई की वैल्यू जो है ना वो 22/7 भी कंसीडर कर लेते हैं ठीक है अप्रॉक्सिमेट्स में देखें तो यह नॉन रिकरिंग भी है मतलब कोई नंबर बार-बार रिपीट नहीं हो रहे चेंज होते जा रहे हैं तो ये इरेशनल है जबकि इसको अगर आप देखें इसमें र ये पहली बात कि नॉन टर्मिनेटिंग है और रिकरिंग भी है रिकरिंग क्यों क्य देखें 14 4 2857 ये नंबर बार-बार रिपीट हो रहा है ठीक है ये मैंने नीचे लिख भी दिया है इसलिए ये आपका रैशनल होता है और यह होता है इरेशन नॉर्मली आप जब नॉर्मल क्वेश्चन सॉल्व कर ें तो आप इसको आपस में इक्वल कह सकते हैं लेकिन जब आप यह चीज देख रहे हैं कि कौन सा रैशनल है और कौन सा इरेशनल तो फिर आपको यह फर्क जो है ना इन दोनों में रखना पड़ेगा सो अब आपने इस चीज से भी कंफ्यूज नहीं होना ठीक है तो यह इसलिए मैंने आपको यह चीज भी बता दी है अब जी नेक्स्ट पार्ट नंबर सेवन है 5 प्लस ये अंडर रट 11 इसमें ये देखें ये एक रैशनल है और ये जो स्के रूट वाला नंबर है ये एक इरेशनल है तो जब भी रैशनल नंबर में इरेशनल नंबर ऐड हो जाए तो सम कि वो इरेशनल ही आएगा इसमें समझ ले कि दोनों में से इरेशनल ज्यादा एक हैवी है इसमें जो भी चीज ऐड होगी या सबै होगी ये याद रख ले वो हमेशा रिजल्ट आपका इरेशनल नंबर ही होगा इसलिए यह आपका नंबर जो है ये आपका क्या कहलाएगा इरेशनल नंबर ठीक है तो यह भी आपका इरेशनल नंबर है अगेन बता रहा हूं कि इरेशनल के अंदर जो भी चीज ऐड हो ठीक है कुछ कुछ भी ऐड हो तो तब भी आपका रिजल्ट जो है ना वो इरेशनल नंबर ही आता है और ये पॉइंट भी आपकी बुक में लिखा हुआ है बुक पेज नंबर फाइव के ऊपर ठीक है यह मैं बता देता हूं पेज फाइव के ऊपर जो है ना यह आपका एक छोटा सा बॉक्स बना होगा उसके अंदर आपको यह चीज मिल जाएगी अब जी नेक्स्ट पार्ट एट है यह देख रहे हैं यह अंडर √3 है और सी तरह ये 13 है दोनों के ऊपर आपको ये साइन नजर आ रहा है ठीक है और यह जब भी आप देख ले कि इरेशनल नंबर में जब रैशनल नंबर ऐड किया जाता है तो रिजल्ट आपका इरेशनल नंबर ही होता है इसलिए यह दोनों इंग ये भी रैशनल है ये भी रैशनल है तो दोनों का सम जो है वो भी क्या होगा इरल ही होगा तो सो आपका यह नंबर भी क्या हो गया इरेशनल है नेक्स्ट सी पार्ट नंबर नाइन है ये आप देख रहे हैं मैंने आपको जो कुछ पॉइंट्स बताए थे शुरू में उसमें मैंने बताया था कि जो नंबर इस तरह के फॉर्म में लिखा हो वो आपका रैशनल नंबर होता है ठीक है नहीं तो आप इसको डिवाइड करके भी देख लें आपको मजीद समझ आ जाएगा डिवाइड आपने ऐसे करना है जी कि ये 15 आपने इ अंदर लिख लिया और ये फोर आपने इधर बाहर लिख लिया फोर का टेबल देखें 4थ 12 क्योंकि 4 4 16 हो जाता है फिर इसमें से आप जब ये माइनस करेंगे तो यह आ जाएगा ्र अब आपने इधर पॉइंट लगा लेना है और यह हो जाएगा फिर जीरो ठीक है जीरो कर देंगे अब 47 होता है जी 28 जो इसके करीब तरीन है और 30 में से जब 28 माइनस करेंगे तो ये टू आ जाएगा अगेन जीरो लगा ले क्योंकि हमने पॉइंट लगाया हुआ है पॉइंट एक दफा लगाते हैं अब फिर 47 8 ही है ठीक है जी सॉरी 4 5 20 एग्जैक्ट इस पे टेबल जा रहा है सो ये 4 52 हो जाएगा माइनस करेंगे तो ये जीरो आ जाएगा तो ये आपने देखा 3.75 और उसके बाद ये नंबर खत्म हो गया तो इसको हम लिख सकते हैं 3.75 और ये तो नंबर टर्मिनेटिंग नंबर है क्योंकि पॉइंट के बाद दो नंबर है और फिर ये खत्म हो गए तो जो टर्मिनेटिंग होते हैं ऐसे नंबर्स को हम कहते हैं रैशनल नंबर ठीक है सो इसको आप क्या बोलेंगे रैशनल नंबर इसको आप य भी कह सकते हैं क्योंकि ये p बा q की फॉर्म में है ठीक है इसकी रीजन आप ये भी लिख सकते हैं कि ये p बा q की फॉर्म में है और इसमें जो p और q है ये इंटी जर्स है ये भी 15 भी एक इंटी जर है फोर भी एक इंटी जर है ठीक है ये मैंने बेसिक कांसेप्ट जो शुरू में बताया था ना वहां पे चीजें एक्सप्लेन की थी वो देख ले फिर आपको ये चीज समझ आएगी और इसमें ये होता था कि q इक्वल नहीं होना चाहिए जीरो के तो ये जीरो भी नहीं है सो ये आपका जो है ना इस वजह से ये रैशनल नंबर है नेक्स्ट इसका पार्ट नंबर 10 है जी और यह समझ ले एक स्पेशल टाइप के यह क्वेश्चंस हैं ठीक है अब देखते हैं कि यह रैशनल है यह रैशनल है इसमें आपने यह करना है कि देखें यह चीज और ये चीज इसको आप a समझ ले a - b और a + b ये आपने एक फार्मूला पढ़ा होगा ठीक है a - b और a + b बेशक आप प्लस वाले को पहले लिख ले माइनस वाले को बाद में से कोई मसला नहीं है a स् - b स् ये फॉर्मूला आपने पढ़ा होगा सेम वही फार्मूला आप इस पे यूज़ करेंगे क्योंकि यह भी उसी तरह की एक फॉर्म बनी हुई है सो ये आपका ए है ठीक है जैसे ये ए है और यह आपका बी है सो ए का स्क्वा यानी कि आपका हो जाएगा 2 का स्क्वायर साइन आपने माइनस का लगाना है फिर बी ये बी है आपका अंडर रटू और इसका आपने कर देना स्क्वायर ट का स्क्वायर होता है जी 4 ठीक है ट की पावर टू का मतलब ऐसे मल्टीप्ला टू ये फोर आ जाता है इसी तरह ये आपका कट जाता है माइनस आ जाएगा ू 4 माइट आप करेंगे तो ये आ जाता है जीटू तो जो है ये एक रैशनल नंबर है क्योंकि टू को आप जो है ना ऐसे 2 बाव वन भी कह सकते हैं नीचे लिख सकते हैं तो ये p बा क की फॉर्म बन गई है जो कि मैंने आपको बताई थी स्टार्ट में कि प बा क क्वेश्चन फॉर्म में अगर कोई नंबर इस तरह लिखा जा सकता है वो आपका जो है ना वो रैशनल नंबर होता है सो टू जो है ना वो एक रैशनल नंबर है लिख लेते हैं जी यहां पे इसमें यह चीज याद रखें कि कोई भी नंबर है ठीक है कोई भी नंबर है अगर वो इसरा सिर्फ अकेला लिखा हुआ है तो उसको आप खुद उसके डिवाइड में नीचे लिख सकते हैं तो वो फिर एक उसको आप कह सकते हैं कि वो प बा क की फॉर्म बन गया है सो इसलिए वोह आपका एक रैशनल नंबर है या इसको आप अपनी यूं समझ भी सकते हैं कि लेटस सपोज आप पॉइंट लगा देते हैं ठीक है पॉइंट के बाद तो कोई नंबर नहीं है तो यह टर्मिनेट हो रहा है समझ ले तो ये इसलिए भी रेशनल नंबर है किसी भी तरीके से आप इसको समझ सकते हैं अब नेक्स्ट क्वेश्चन नंबर टू है इसमें लिखा हुआ है रिप्रेजेंट द फॉलोइंग नंबर मतलब ये जो नंबर है इसको रिजेंट करें ऑन नंबर लाइन देखि जी सबसे पहले यह जरूरी है कि आपको यह पता हो कि यह नंबर लाइन होती क्या है जब हमें इसका आईडिया हो जाएगा फिर हम नंबर की ड्रा कर सकेंगे या उसको रिप्रेजेंट कर सकेंगे इसलिए सबसे पहले हम यह समझेंगे कि यह नंबर लाइन होती क्या है और फिर हम इस नंबर को उसके ऊपर रिप्रेजेंट कैसे करना है वह भी मैं आपको सिखाऊंगा तो यह आप देख रहे हैं जी आपके सामने ये लिखा हुआ है नंबर लाइन और इसका दूसरा नाम होता है य लाइन यह चीज आपने याद रखनी है कि नंबर लाइन को रियल लाइन भी कहा जाता है अब यह होती क्या है यह आपके सामने एक नंबर लाइन ड्रा हुई हुई है अब इसके बारे में मैं आपको थोड़ा सा बता देता हूं यह अगर आप देखें तो यह जीरो लिखा हुआ है और जीरो के इस साइड पर यह सारे पॉजिटिव नंबर है टूथ फर आगे ये 5 6 से इस एरोहेड का मतलब है कि ये नंबर आगे कंटिन्यू है ठीक है और इसी तरह जीरो के आपकी जो लेफ्ट साइड है ठीक है इस तरफ सारे नेगेटिव न नंबर है -1 -2 -3 -4 और सिर्फ फोर तक नहीं बल्कि ये इस एरो हेड का मतलब है कि यह नंबर आगे भी कंटिन्यू है -5 -6 और ये सारे आगे नंबर चलते जाएंगे ठीक है जी तो इस लाइन को कहा जाता है नंबर लाइन तो ये एक लाइन है जिसके ऊपर नंबर लिखे हुए हैं तो यह हो गई नंबर लाइन ठीक है जी अब आपको आईडिया हो गया कि नंबर लाइन क्या होती है अब आपको छोटा सा एक एग्जांपल मैं देके ना फिर ये क्वेश्चन स्टार्ट कर देता हूं जैसा कि मैं आपको कहता हूं कि इस नंबर लाइन के ऊपर आप टू को रिप्रेजेंट करें ठीक है मतलब आप टू बताएं कहां पर है सादा अल्फाज में इसका मतलब ये है आप बड़ी आसानी से कह देंगे जी कि अच्छा ये पॉजिटिव टू है तो ये पॉजिटिव टू है जी यहां पर आप ऐसे ऊपर करके एक लाइन सी लगा दें एरो बना दें एरोहेड बना दें तो बस आपका नंबर रिप्रेजेंट हो जाएगा लेकिन मसला यह है कि यह तो बड़ा आसान नंबर था अब आपको जो नंबर दिए जा रहे हैं वो कुछ इस तरह के हैं आपसे अगर मैं आप डायरेक्ट क्वेश्चन करता हूं जैसे कि मैंने टू पूछा तो आपने 4m बता दिया अगर अब आपसे मैं पूछता हूं कि ये इसके √2 कहां पर है तो आप कंफ्यूज हो जाएंगे सो यही चीज मैं आपको सिखाने जा रहा हूं कि आप कैसे देखेंगे इस तरह के जो नंबर्स होते हैं उनको नंबर लाइन के ऊपर कैसे देखा जाता है कि वो कहां पर है तो सबसे पहला काम कि मैंने यह जो है ना नंबर लाइन ड्रा कर ली है अब इसको मैं ड्रा करने का पहले आपको यह तरीका बता देता हूं एक चीज का ख्याल रखना है आपने कि ये जो नंबर्स दो नंबर्स के दरमियान ये जो जगह है स्पेस है गैप है ठीक है ये सब में इक्वल इक्वल होना चाहिए जैसे इसमें जितना भी है सेम उसमें भी इतना ही होना चाहिए इसी तरह इसमें भी तो इन सिंपल वर्ड ये सब में सेम होना चाहिए अब आप क्या ट्रिक यूज करेंगे कि ये सेम रहेगा आपको मैं यहां पर कुछ ट्रिक्स बता देता हूं आप उनको फॉलो कर ले तो आपका यह जो है ना स्पेस जो है या गैप है वो सेम हो जाएगा अगर आप मैं अगर मुझे देखें तो मैंने क्या किया जी मैंने दो 2 सेंटीमीटर का जीरो से लेकर टू तक ये एक बना लिया फिर टू से लेकर फोर तक ये एक और हो गया फोर से सिक्स नेक्स्ट बन गया इसी तरह सिक्स से 8 8 से 10 10 से 12 तो ये सारे जो है ना दो दो नी के सेंटीमीटर की ना बन गए तो कुछ इस तरीके से भी आप बेशक दो के कर ले तीन के कर ले चार के कर ले लेकिन मैं आपको जो रिकमेंड करूंगा वो आप दो दो की कर ले तो ज्यादा बेहतर है इससे बड़े नंबर पे ना जाए स्पेस पे ना जाए क्योंकि फिर आपके लिए मुश्किल हो जाएगा अच्छा ये काम तो हो गया पहला कि आपने नंबर लाइन को ड्रा कैसे करना है ड्रा करना आप सीख कि स्पेस सब में इक्वल होनी चाहिए इसके बाद जब इस तरह के नंबर हो जिनके ऊपर य स्के रूट का साइन आपको नजर आए इसमें फिर आपने पहला काम यह करना है कि कैलकुलेटर उठाना है कैलकुलेटर के ऊपर आपने देखना है कि ये स् √2 किसके इक्वल होता है फॉर एग्जांपल मैंने जी ये कैलकुलेटर के ऊपर लिखा स् √2 ठीक है फिर ये वाला बटन आप प्रेस करेंगे अगर आपका ये वाला कैलकुलेटर है तो ये आ जाएगा जी 1.414 आगे ये नंबर बहुत सारे हैं आपने क्या करना है जी कि जो वन पॉइंट मैं आपको बता देता हूं कि आप कैसे लिखें आप इसको लिख ले अ 1 1 4 144 तीन डिजिट्स लिखें और आगे डॉटर लगा दें क्योंकि ये रैशनल नंबर है इरेशनल नंबर में आपको पता है कि ये नंबर कंटिन्यू होते हैं ठीक है तो कैलकुलेटर तो क्योंकि अप्रॉक्स मेे करके एक वैल्यू दे देता है आपने क्या करना है तीन नंबर लिख के आगे डडर लगा देना है ज्यादा भी लिख सकते हैं आपकी मर्जी है ये जस्ट आपको एक आईडिया दे रहा हूं अच्छा इससे फायदा क्या होगा इससे फायदा ये है कि आपको यह पता चल गया कि अच्छा ये वाला जो नंबर है यह तकरीबन वन से थोड़ा सा आगे है वन पॉइंट आ गया ना कुछ नंबर्स है तो मतलब यह हुआ कि ये वन से थोड़ा सा आगे होगा कहीं प यहां पर वन और टू के दरमियान है यह हमें आइडिया हो गया इससे ठीक हो गया अब आप देखेंगे वो प्रॉपर एग्जैक्ट किस जगह पर है आपको इसके लिए एक पाइथागोरस थरम है वो समझना पड़ेगा स्पेशली जो इस तरह के नंबर होते हैं ठीक है तो मैं पहले यहां पर ही आपको सिखा देता हूं आपको वो सारा प्रोसेस करने की जरूरत नहीं है जस्ट आपको समझना है तो बाय पाइथागोरस थरम इसमें ये चीज याद रखें पैगर र्म राइट ट्रायंगल के ऊपर अप्लाई होता है अब राइट ट्रायंगल कौन सी होती है ऐसे ठीक है इसमें यहां पर एंगल कौन सा बनता है जी 90 का एंगल बनता है ये याद रखना है ये लाइन और ये बिल्कुल सीधी लाइन होती है तो यह राइट ट्रायंगल होती है अब इसमें यह जो साइड होती है इसको कहते हैं बेस ठीक है ये होती है इसको कहते हैं परपेंडिकुलर ये क्या होती है जी हाइपोटेन्यूज अच्छा इसमें ये चीज अगर याद रखें अगर हम लेट्स सपोज अगर बेस को वन करते हैं और परपेंडिकुलर को भी वन कर लेते हैं तो हाइपोटेन्यूज हमारा क्या आएगा ये थोड़ा सा पहले समझ ले फिर हम वापस इस तरफ आते हैं तो ये हमें नहीं आईडिया हम यहां पर हमारा क्या नंबर आएगा तो सपोज इसको हम फिलहाल जो है ना वो x कह देते हैं और ये हमारा हमें पता नहीं है कि ये क्या होगा अब चेक कर लेते हैं पाइथागोरस थ्योरम क्या होता है जी हाइपोटेन्यूज का स्क्वायर ठीक है यानी कि इस साइड का आप स्क्वायर करेंगे इज इक्वल टू परपेंडिकुलर का स्क्वायर प्लस बेस का स्क्वायर ये पाइथागोरस थोरम है ठीक है अब हाइपोटेन्यूज हमें नहीं पता हमने सपोज इसको फिलहाल x कहा हुआ है तो ये x का स्क्वायर हो गया परपेंडिकुलर को हमने वन कहा है वन का स्क्वायर बेस भी वन है तो ये वन का ये परपेंडिकुलर था और ये बेस है ठीक है अच्छा ये वन का स्क्वायर वन ही आता है इधर भी वन का स्क्वायर वन ही आएगा और ये हो जाएगा जी टू ठीक है अब हमने स्क्वायर खत्म करना है तो स्क्वायर खत्म करने के लिए स्क्वा रूट लेंगे इधर भी स्क्वा रूट आ गया ये हो गया कैंसिल तो आपने देखा कि x इक्वल टू क्या आ रहा है अंदर √2 तो ये आपने देखा कि जब आप बेस को भी वन परपेंडिकुलर को भी वन करते हैं तो आपका हाइप न्यूज है वो अंडर √2 आता है मतलब वो नंबर है जो यहां पर आपको दिया गया है तो कुछ इस तरीके से आपने फिर यहां पर भी सारा वर्क करना है और आपको वो ड्रा हो जाएगा इजली अब देखें स्टेप बाय स्टेप मैं आपको समझाता हूं पहला स्टेप आपने क्या करना है तो इसी तरह आपने ये ट्रायंगल जो है ना राइट ट्र एंगल इधर भी बनानी है ठीक है फिर वो आपका नंबर ड्रा होगा देखिए जी आपने क्या करना है बेस वन रखनी है वन का मतलब है जैसे ये एक पूरा ये एक हिस्सा है इसी तरह ये एक हिस्सा है ठीक है तो आपने एक हिस्सा रखना है अब करना स्टार्ट कहां या रो से जीरो से अगर आप यहां तक ये एक लाइन ड्रा कर लेते हैं तो ये एक हिस्सा हो गया अगर मैं आपसे कहता कि इस बेस को आप टू रखें फिर आप रो से टू तक कर लेते लेकिन अब आपने बेस को वन रखना है तो जीरो से हमेशा स्टार्ट आपने जीरो से करना है तो जीरो से लेकर ये तो सपोज आपने ये लाइन ड्रा कर लिया रो से ये वन तक ये आपका वन हो गया अब आपने परपेंडिकुलर को भी वन रखना है ठीक है वन का मतलब ये है कि जितनी यहां से लेकर यहां तक ये एक है तो इतना ही आपने ऊपर एक लाइन ड्रा करनी है लेकिन उसके लिए ख्याल रखना है परपेंडिकुलर हमेशा ऐसा होता है बिल्कुल सीधा होता है 90 का एंगल बना रहा होता है तो इसके लिए फिर मैं आपको ये रिकमेंड करूंगा कि आप जो है वो प्रोटेक्टर को यूज करें इसमें आपके लिए जरा आसानी हो जाएगी एंगल इजली ड्रा हो जाएगा आप देखें आपने क्या करना है कि आपने जो परपेंडिकुलर ड्रा करना है वो ऐसे वन के ऊपर ड्रा करना है ठीक है तो इसके लिए आप यह प्रोटेक्टर यूज करें इसमें आप ऐसा करें कि इसमें ये जो चीज होती है ये वाली ये पॉइंट ये बिल्कुल आपने वन के ऊपर रखना है तो यह वाली जो जगह थी मैंने बिल्कुल वन के ऊपर रखी तो ये आप देख रहे ये डॉट लगा हुआ है ठीक है मैंने लगा दिया है यह मतलब है कि ये इस डायरेक्शन में आपने लाइन ड्रा करनी है यहां पर मैंने य छोटा सा डाट लगा दिया अब आपका इसका काम हो गया खत्म इसको आप हटा ले ठीक है अब आप क्या करें कि आप एक स्केल ले ले ठीक है आप स्केल की मदद से आपने यह करना है कि यहां इस डायरेक्शन में लेकिन लाइन जो लगानी है वो वन की होनी चाहिए नवन से मरा 1 सेंटीमीटर नहीं है बल्कि ये जितना ये आपका स्पेस है इसके लिए आप चाहे तो आप जो है ना कंपस भी यूज कर सकते हैं वो भी मैं बता देता हूं अदर वाइज स्केल के जरिए भी आप लाइन ड्रा कर सकते हैं चले अगर आप स्केल के जरिए नहीं करना चाहते तो कंपस को देख लें आपने क्या करना है जी इसको इसके मुताबिक ओपन कर लेना है ठीक है अब जैसा कि देख रहे हैं यह एप्रोक्सीमेटली मैं कोशिश कर रहा हूं तकरीबन तकरीबन सही अच्छी बने तो ये मैंने इसको ओपन कर लिया तो ये एक वन यूनिट बन गया जितना यानी कि यहां पर स्पेस है सब में ठीक है अब इसको मैं यहां पर रखूंगा ठीक है ये वन के ऊपर ख के एक ऐसे आपने जो है ना वो आर्क सी ड्रा कर लेनी है इसका फायदा क्या होगा कि हमारी जो लाइन है ना वो इस आर्क तक ही जानी चाहिए अब आप स्केल यूज करें स्केल को कोशिश करें ये वन और वो जो 90 वाला आपने डॉट लगाया था वो ये दोनों बिल्कुल ऐसे इक्वल कर लें इक्वल करके आपने ये जो लाइन ड्रॉ करनी है अब ये लाइन जस्ट इस आर्क तक ही आपकी होनी चाहिए ठीक है तो ये आपका जी ये जो लाइन ड्रा हो गई है ये आपकी एक इसी तरह वन यूनिट की होगी इसको बेशक यहां पर आप लिख लें वन इसके बाद आपने क्या करना है जी के इसको जीरो से लेकर इस पॉइंट तक आपने इसको ड्रा कर लेना है अगेन से यह मैं आपके सामने ड्रा कर रहा हूं यह आप देखें जी ठीक है कोशिश कर रहा हूं अच्छी बने आप मजीद कोशिश कीजिएगा इसको बेहतर बनाने की ठीक है जी तो यह हमने ये लाइन ड्रा कर ले अब आपको बताऊं यह भी आपका वन है यह भी आपका वन है और यह फिर क्या होगा जब हम इन दोनों को वन वन रखेंगे यह हमने पहले ही चेक कर लिया हुआ था ये अगर हम इन दोनों को बेस को भी वन परपेंडिकुलर को भी वन रखें तो हमारा ये जो हाइपोटेन्यूज है ये आता है स् √2 ठीक है तो ये आपका आ गया स् √2 अच्छा अब आपका काम अभी खत्म नहीं हुआ अब आपने क्या करना है जी कि अगेन से ये कंपस उठानी है आपने इस यहां से लेकर ना ये यहां तक इसको ओपन करना है ठीक है ये मैं बता देता हूं ये यहां से यहां तक जितना आपने ये हाइपोटेन्यूज आपका बन रहा है ठीक है ये अब आपने क्या करना है इसको अगेन ये जीरो के ऊपर रखना है ठीक है जीरो के ऊपर रख के आपने एक आर्क सी ड्रा करनी है तो ये हम कोशिश करते हैं जी तो यह हमने जो है ना एक डॉटेड सी आर्क जो है ना बशक आप ड्रा कर ले तो यहां पे ये आपने देखा जी कि इस पॉइंट के ऊपर ये जो पॉइंट है यह पॉइंट आपका होगा स्क रूट हमने मैंने आपको ये भी बता दिया था ना कि वन से आगे है अब देख ले ये वन हैवन से ये यहां पे आके ये आपका नंबर बनता है जैसे आपसे पूछ र था टू कहां पर है आप फर में बता देते थे लेकिन अब ये नंबर कहां पर है जी यहां पर है तो बेशक आप अपनी मर्जी से इसके नाम भी रख लें इसको लेट्स सपोज हम o कह देते हैं इस पॉइंट को इस पॉइंट को हम a कह देते हैं और इस पॉइंट को हम b कह देते हैं और इस पॉइंट को जो हमारा असल में जो ड्रॉ पॉइंट करना था इस पॉइंट को बेशक आप p कह दें ऐसे आपकी बुक में आगे लिखा नहीं हुआ लेकिन ये आप ऐसे लिख लें कि ये जो पॉइंट है ये आपका रूट ू है ठीक है जी थोड़ा सा जो लेंथी प्रोसेस है लेकिन आप स्टेप बाय स्टेप इसको एक दो दफा देखें इंशाल्लाह आपको क्लियर हो जाएगा अब जी नेक्स्ट जो आपका पार्ट है उसमें लिखा हुआ है स् रथ पहला काम आपने क्या करना है जी कि सबसे पहले आपने कैलकुलेटर के ऊपर इसको चेक कर लेना है कि यह किसके इक्वल है तो यह मैं आपके सामने चेक किया जी मैंने तो ये आ रहा है 1.732 मैं लिख लेता हूं यहां पे अ 1.732 ठीक है आपने आगे आपने डॉट डॉट लगा देना है देखें आपने क्योंकि यह स्के रूट थ रैशनल नंबर है इरेशनल नंबर वो होते हैं जो आगे कंटिन्यू रहते हैं कैलकुलेटर जो है ना वो आपको एप्रोक्सीमेटली करके एक वैल्यू देता है आपने तीन नंबर लिख आगे डाड लगा देना है ठीक है तो यह आपका हो गया जी पहला काम अब नेक्स्ट आपने क्या करना है देखिए इससे आपको क्या आईडिया हो गया कि ये जो स् √3 है यह वन से आगे है ठीक है 1 पॉइंट समथिंग है ना तो यह वन से आगे ये और क्योंकि ये पॉजिटिव नंबर है तो इसलिए पॉजिटिव वाला वन आपने इस साइड पर देखना ठीक है तो ये वन से यहां पर कहीं आगे होगा यह पार्ट वन की तरह ही होगा अच्छा यहां पर भी आपको एक पाइथागोरस थोरम समझना पड़ेगा पहले और पाइथागोरस समझाने से पहले भी आपको यह चीज बता दूं कि जैसा कि आपने पार्ट वन में जैसे सारा काम किया है वही सारा काम आपको पहले यहां पर भी करना पड़ेगा य लेकिन यह याद रखना ये जब इसके रूथ हो तो तब वही सारा कुछ आप यहां पर भी करेंगे उससे आगे थोड़ा सा एक काम और करना है फिर आपका ये स् √3 भी ड्रा हो जाएगा अच्छा वो कैसे आपने ड्रा किया वो भी मैं जरा थोड़ा थोड़ा आईडिया आपको दे देता हूं दोबारा से क्योंकि ये चीज आप याद रखें कि स् √3 के लिए आपको पहले स्क √2 ड्रा करना पड़ेगा उसके बाद स् √3 ड्रा होता है तो स् रटू के लिए मैंने वैसे पार्ट वन समझा दिया लेकिन अगर आप डायरेक्ट पार्ट टू देख रहे हैं आप पहले देख ले दोबारा से कुछ चीजें तो यहां पर मैं आपके सामने लिख देता हूं जी बाय पाइथागोरस थोरम ठीक है बाय पाइथागोरस थोरम क्योंकि ये याद रखना है राइट ट्रायंगल पे अप्लाई होता है अब राइट ट्रायंगल क्या होती है जी कि ऐसे एक लाइन ड्रा करनी है बिल्कुल सीधी लाइन आपने ड्रा करनी है और ये जो आपकी राइट ट्रायंगल है इसको कहते हैं राइट ट्रायंगल जिसमें 90 का एंगल बनता है अच्छा ये साइड होती है जी बेस यह होता है परपेंडिकुलर और यह होता है हाइपोटेन्यूज अच्छा यहां पर मैं आपको एक चीज बता दूं कि सपोज स्के रूट के लिए आपने क्या करना है बेस को वन रखना है परपेंडिकुलर को भी आपने वन रखना है तो ये जो आपका हाइपोटेन्यूज है ये आप चेक कर लें कि क्या आएगा लेट्स सोज हमें नहीं है आईडिया हम देख लेते हैं कि क्या आता है तो य पाइथागोरस थरम क्या होता है जी हाइपोटेन्यूज का स्क्वायर ठीक है इज इक्वल टू परपेंडिकुलर का स्क्वायर प्लस बेस का स्क्वायर ठीक हो गया जी अच्छा अब आपको पता है जी पर हाइपोटेन्यूज तो आपको नहीं आईडिया लेट्स सपोज इसको आप x कह देते हैं फिलहाल तो ये हो गया x का स्क्वायर परपेंडिकुलर वन है वन का स्क्वायर और बेस भी वन है तो ये वन का स्क्वायर हो गया अच्छा अब आप देखें ये वन का स्क्वायर वन और ये भी वन ये आ जाएगा जी टू ठीक है अब आपने स्क्वायर खत्म करना है तो स्क्वा रूट ले लेंगे तो यह आपका स्क्वा रूट आ गया इस तरह आपने देखा कि आपके जो हाइपोटेन्यूज है व स् √2 बन रहा है तो ये आपका हो गया स् √2 ये कब कैसे बनेगा जब आप बेस को वन और परपेंडिकुलर को वन रखेंगे ठीक है अब आपको मैं ये ड्रा करके बताता हूं देखिए वन का मतलब भी समझना है वन का मतलब ये है कि जैसे ये एक स्पेस ये आपके लिए वन है अगर मैं कहूं कि जी आप बेस को टू रख लें तो फिर आप जो है ना ये दो हिस्से समझाएंगे और याद ये रखना है आपने हमेशा जीरो से स्टार्ट लेना है अगर मैं आपसे कहता हूं ना कि वन रखें तो फिर आप जीरो से लेकर वन तक ये आपका वन हो गया अगर मैं आपको कहूं जी बे बेस को टू रख ले फिर आप जीरो से लेकर टू तक कर लेंगे तो ये आपके दो हिस्से बन जाएंगे क्योंकि अभी हमने वन करना है ये क्यों कर रहे हैं ये भी आगे जाके आपको समझ आ जाएगा तो जीरो से स्टार्ट लेना है तो ये आपका हो गया जी ये सारा काम वैसे पार्ट वन वाला ही है तो ये आपने जीरो से वन तक कर लिया ये आपका वन हो गया अब आपने परपेंडिकुलर भी वन रखना है परपेंडिकुलर कहते हैं जो बिल्कुल सीधी लाइन इसके लिए मैं आपको ये कहूंगा कि आप वैसे रैंडम ड्रा ना करें आप प्रोटेक्टर जिसको डी कहा जाता है ठीक है जी सादा अल्फाज में डी भी कहते हैं क्योंकि ये डी शेप की होती है इसमें आपने यह काम करना है कि यह जो लाइन है इसकी य ये पॉइंट है ये पॉइंट आपने बिल्कुल वन के ऊपर रखना है और फिर आपने देखना है कि 90 का एंगल बन रहा होगा तो जी ये मैंने अपनी तरफ से कोशिश की है बिल्कुल वन के ऊपर रख के आप देखें मैंने वो छोटा सा डाट लगा लिया है वो उसका मतलब ये है कि आपने इस डायरेक्शन में लाइन ड्रा करनी है ठीक है तो अब हम इसका काम हो गया खत्म इसको हटा लेते हैं जी लेकिन एक चीज याद रखनी है जो आपने लाइन ड्रा करनी है वह वहां तक नहीं ड्रा करनी आपने ये इसका एक यूनिट ड्रा करना है जस्ट क्योंकि इसको वन रखना है इसका तरीका क्या होगा कि आप कंपस को यूज कर ले आप स्केल भी यूज कर सकते हैं आपकी मर्जी है इसको ना आप वन तक ऐसे ये आपका जो मैंने ओपन किया इसको वन यूनिट का ओपन कर लिया अब आपने क्या करना है वन के ऊपर रख के ना ठीक है आपने एक आर्क सी लगा लेनी है इस आर्क का फायदा क्या होगा ये भी आपको को भी समझ आ जाएगा इसका मकसद यह है कि हमने जो लाइन ड्रा करनी है वो इस आर्क तक ड्रा करनी है लेकिन डायरेक्शन क्या होगी यह पॉइंट और ये पॉइंट याद रखना है सो यहां पर हम ये करते हैं कि इस पॉइंट को ठीक है इस पॉइंट को और वो जो ऊपर पॉइंट है 90 वाला इनको आपने बिल्कुल ऐसे बराबर करना है ठीक है ये कर लिया अब आप लाइन ड्रा करें ये लाइन आपकी सिर्फ इस आर्क तक ही होगी ये आपकी वन यूनिट की ड्रा होगी क्योंकि हमने कहा था जी वन की ड्रा करनी है सो ये आपका हो गया वन अच्छा अब आपने क्या करना है जी कि इसी स्केल की मदद से आपने जीरो से लेकर ना यहां तक इसको अगेन जो है ना वो ये आपका हाइपोटेन्यूज बन जाएगा ठीक है जी तो इसको हम कोशिश करते हैं कि अच्छी सी बने आपने मजीद कोशिश करनी है जी अच्छा बनाने की मैं कोशिश कर रहा हूं कोशिश कर रहा हूं बेहतर बने तो ये आपका जी ये अगर वन है ये भी वन है तो ये क्या होगा ये स्के रूट होगा लेकिन हमारा टारगेट स्क रूट 3 है अब इसके बाद क्या होगा लेट्स सपोज ये अगर स् रट है लिख देता वैसे लिखने की जरूरत नहीं है लेकिन सपोज अगर ये स् रटू है अब आप देखें हमने कहा जी ये सपोज हमारा स् रटू है बिल्कुल इसी तरह यह भी शेप है अगर इसको अब हम बेस समझ ले ठीक है बेस समझ के अगर यहां पर हम यहां पर जो लाइन ड्र करें वो वन की ड्र कर ले ठीक है सपोज कर लेते हैं लेट सपोज आपको बना के बताता हूं मैं एक रैंडम ड्र कर रहा सपोज ये सीधी लाइन है और ये वन की है अगर आपकी बेस स् रटू हो अब ये परपेंडिकुलर है ये 90 का एंगल बना रहा है ये अगर आपका वन हो तो ये हाइपोटेन्यूज आपका क्या होगा ठीक है इसको भी आप कोशिश करें स्केल की मदद से ही ड्रा करें तो ये अब हम चेक कर लेते हैं ये हमारा क्या होता है अगेन से हम थोड़ा सा ना इसी तरह पाइथागोरस थोरम को समझ लेते हैं ताकि हमारा काम आसान हो जाएगा तो लेट्स सपोज जी अगेन दोबारा से बाय पाइथागोरस थ्योरम जो कि क्या होता है हाइपोटेन्यूज का स्क्वायर तो ये हाइपोटेन्यूज का स्क्वायर इज इक्वल टू परपेंडिकुलर का स्क्वायर और प्लस हो गया जी बेस का स्क्वायर परपेंडिकुलर को हमने कहा जी वन तो ये हमारा वन का स्क्वायर हो गया बेस हमारे लिए स् √2 है तो ये स्के √2 का स्क्वायर हो गया हाइपोटेन्यूज हमें नहीं पता ठीक है इसको लेट्स सपोज आप x कह देते हैं तो ये x स् कर दें ठीक है तो ये हो गया वन अच्छा ये स्क्वायर और स्क्वायर रूट कट जाता है तो ये आपके पास टू आ जाएगा तो इसी तरह ये बन जाएगा थ्री अब आपने स्क्वायर खत्म करना है तो स्क्वा रूट लेंगे तो आप देखें तो आपके पास ये जो हाइपोटेन्यूज है वो थ्री आ गया वही नंबर है जो एग्जैक्ट हम ड्रा करना जा रहे हैं सो इस तरीके से ये आपका बन जाएगा स्क √3 और फिर आप जब आपका स्क रथ बन जाएगा तो वहां से आपने वो लाइन ड्रा करनी है जैसे वो मैं आगे जाके बताता हूं अब आपने क्या करना है अब आपने यह करना है कि इसको बेस समझ लेना है और यहां पर आपने बिल्कुल आपने 90 के एंगल की तरह एक लाइन ड्रा करनी इसके लिए अगेन प्रोटेक्टर जिसको डी भी आप कह सकते हैं अच्छा इसमें आपने क्या करना है जी अगेन से ये वाला जो पॉइंट है ये पॉइंट ये पॉइंट आपने यहां पर रखना है ठीक है थोड़ा सा ऐसे इस तरीके से आपका वर्क करना पड़ेगा मैं बता देता हूं तो ये आप देख रहे हैं जी मैंने बिल्कुल उसके ऊपर रख के और वो छोटा सा एक डट लगा लिया है ताकि इस डायरेक्शन में हमारी लाइन होगी ये देखिए 90 का एंगल बनता है ठीक है अब आप इसका काम हो गया खत्म आप अगेन से क्या करें कंपस को यूज करें आपको ये पता है कि यहां पर भी हमने जो परपेंडिकुलर है वो वन का रखना है इसको आप वन का ओपन कर ले वन का ओपन करने से मुराद ये है कि ये जितनी स्पेस है ना जैसे ये सपोज हमने वन का ही रखा हुआ है तो इसको आपने यहां पे रखना है ठीक है इधर इस डायरेक्शन में जहा पर डॉट लगाया था ना डॉट के नीचे कहीं पर आपने आर्क सी लगा लेनी है अब आपने क्या करना है जी डियर स्टूडेंट्स आपने स्केल की मदद से स्केल लेना है और इस पॉइंट को और इस पॉइंट को बिल्कुल मैच कर लेना है ठीक है जैसे मैं आपके सामने कोशिश कर रहा हूं ये मैंने अप्रॉक्सिमेट्स अब आपने इसी स्केल की मदद से इसको जीरो को आपने उसके साथ जो है ना वो जॉइन कर लेना है तो ये हम कर लेते हैं जी जॉइन कोई मसले वाली बात नहीं है तो बच्चों ये आपने देखा यह हम इसको रखेंगे ऐसे और यह हमने ये ड्रा कर लिया अब ये जो आपकी चीज ड्रा हुई है ना ये स् √3 है ठीक है बेशक आप लिखना चाहे लिख द नहीं तो कोई मसला नहीं है बेशक आप ना लिखे तब भी कोई मसले वाली बात नहीं है अच्छा अब आपका असल काम स्टार्ट होगा जी ठीक है वैसे आपकी बुक में उन्होने क्या किया हुआ था था उन्होंने स् रट वाली आर्क भी ड्र की हुई है लेकिन अगर आप वो नहीं करते तो कोई मसला नहीं लेकिन चलिए हम कर भी देते हैं ठीक है आपने क्या करना है जी के चलिए पहले हम वो ड्रा करते हैं जो असल हमारा टारगेट है आपने इसको कंपस को ना यहां तक ओपन करना है जितना ये है ये आपका जो हाइपोटेन्यूज बना हुआ है ठीक है जी मैं इसको ओपन कर लेता हूं पहले तो ये अगर आप देखें तो ये बिल्कुल मैंने इसको ओपन कर लिया और आपने क्या करना है जिसको इस इस पॉइंट पे जीरो पे जीरो पे रख के आपने जो है वो यहां से एक आर्क ड्रा करनी है ठीक है ऐसे ठीक है बेशक इसको डॉटेड स कर ले कोई मसला नहीं जैसे भी आप इजी समझते हैं तो यह मैं इसको जो है ना वो ड्रा कर रहा हूं तो ये यहां पे आ गई है तो ये जो पॉइंट बना है ना आपका बेसिकली ये वाला ठीक ये पॉइंट बेसिकली आपका टारगेटेड पॉइंट है मतलब आपका स्क रूथ यहां पर है इसको बेक आपके बुक में लिखा तो नहीं हुआ लेकिन आप इसको ऐसे लिख दें कि ये स्क रूट 3 है आपकी बुक में उन्होने स् र को भी ड्रा किया हुआ है तो कोई मसला नहीं जी हम इसको भी कर लेते हैं इसके लिए आपने क्या करना है जी के ये जो स्के रट वाला हाइपोटेन्यूज है ये इस इस त को ओपन करना अच्छा स्टूडेंट पूछते हैं क्या सर ये लाजमी है तो नहीं आप अगर नहीं करते तो ये आपका क्वेश्चन कंप्लीट हो गया है ठीक है तो अगर इसको भी आप कर देते हैं तो यह भी चल जाएगा जी कोई मसले वाली बात नहीं है तो इसको हम यहां पर यह कर लेते हैं ठीक है तो तकरीबन तकरीबन चले मैं इसको आगे खुद ही ऐसे कर लेता हूं ये हो गया तो ये आपका देखा आपने इसको कुछ नाम वगैरा भी रख लेते हैं जी तो नाम आप अपनी मर्जी के रख सकते हैं कोई मसले वाली बात नहीं है ठीक है तो मैं वही रख लेता हूं जी जो आपकी बुक में यूज हुआ है इसको मैं ए कह देता हूं ठीक है और इस पॉइंट को मैं बी कह देता हूं और फिर इसके बाद यह जो पॉइंट है मैं इसको सी कह देता हूं सी के साथ आपको पता है जी ये जो हमने बनाया था ये 90 का एंगल था ए ब सी हो गया उसके बाद बेशक फिर आप इसको मैं डी कह देता हूं ये हमारा डी हो गया और फिर अगेन हम यहां पर आते हैं ये हमारा ई हो गया और और इस पॉइंट को जो हमारा असल पॉइंट है इसको बेशक आप e के बाद एफ कह दें ठीक है लेकिन यह बता रहा हूं इसमें परेशान होने वाली बात नहीं है आप अपनी मर्जी के नाम रखें पी क्यू आर एस टी जहां मर्जी कर ले कोई मसले वाली इसमें बात नहीं असल काम आपका ये जो आपने ड्रा किया है ये चीज बतानी थी कि स् रूथ कहां पर है वो आपने बता दिया तो यहां पे हो गया जी आपका क्वेश्चन कंप्लीट एक चीज आपको मैं और बता देता हूं क्योंकि आपकी बुक में एक एग्जांपल भी है वो उसके रूट फ वाली है फाइव के लिए आप क्या करेंगे थोड़ा सा एक्स्ट्रा चीज आपको बता देता हूं देखिए इसमें आपने फाइव के लिए जो बेस है ना बेस को आपने टू रखना है ठीक है थोड़ा सा आईडिया दे रहा हूं ताकि ये आपने खुद ट्राई करनी है बेस को आप टू रख लेंगे इसको अगर आप वन रखें फिर आप चेक करें कि आपका आंसर क्या आता है लेट्स सपोज यही हम यूज करते हैं तो ये बेस का स्क्वायर या बेस का स्क्वायर और ये परपेंडिकुलर का स्क्वायर तो ये इधर आपका हाइपोटेन्यूज हो इसको x कह द ये 4 + 1 और यह आ जाएगा फ ठीक है जी तो स्के रूट खत्म करने के लिए आपने क्या कर करना है जी सॉरी इसका स्क्वायर खत्म करने के लिए ठीक है तो ये आपका फाइव आ जाएगा तो ये आपने ट्रिक याद रखनी है अब देखें यहां पर टू है फिर आप जीरो से लेकर टू तक ये एक हिस्सा ये हो गया एक हिस्सा ये हो गया जीरो से टू ये बेस रखनी है जो ऊपर लाइन ड्रा करनी है वो वन की ही ड्रा करनी है मतलब एक स्पेस यहां से लेकर यहां तक वाली तो ये आपने ट्राई करना है जी ठीक है अब जी नेक्स्ट पार्ट हमारा थ्री है ठीक है इसमें लिखा हुआ है फोर और ये सा 1 3 सबसे पहला काम आप क्या करें कि आप एक लाइन ड्रा कर ले ठीक है तो ये मैंने जी लाइन ड्रा कर ली इसके ऊपर जो नंबर आपने लिखने है ना वो जरा एतित से लिखने है वो आप जैसे मैं बताऊंगा वैसे लिखें तो आपके लिए बहुत ही बेहतर रहेगा देखिए जी ये जो नंबर है ना पहले मैं आपको मुख्तलिफ ट्रिक्स बता देता हूं कि यह नंबर कहां पर है एप्रोक्सीमेटली देखि आपको यह आईडिया हो जाना चाहिए कि ये एक नंबर यहां पर जो लिखा हुआ है ये एक फोर है और यह जो है ना न डिवाइड बा अगर आप थ कर ले तो ये 0 पॉइंट समथिंग आएगा तो ये आपको आईडिया हो रहा है कि ये फो से थोड़ा सा बड़ा नंबर है नहीं तो एक और तरीका आप फोर को थ्री से मल्टीप्लाई करें 3 3 4 12 12 में आप वन ऐड कर ले 13 13 / 3 आप कैलकुलेटर के ऊपर चेक करें ये आप देखें मैंने 13 डि बा 3 किया तो ये 4.33 3 आ रहा है अब इसका मतलब क्या है कि ये फोर से थोड़ा सा आगे नंबर है ठीक है अच्छा अब एक और चीज देखें नंबर पॉजिटिव है तो आपको नेगेटिव साइड की जरूरत नहीं है इसलिए आपने जो नंबरिंग करनी है ना वो आपने कोशिश करनी है नेगेटिव साइड वाले बेशक एक नंबर लिख दें बाकी सारे पॉजिटिव वाले लिखें लेकिन ये लिखें कि वो फोर से आगे फोर्थ कम से कम फोर से अगला नंबर जो है ना वो फाइव आता है फाइव तक लाजमी हो ये ट्रिक है ठीक है अब मैं ये करता हूं कि मैं इसको कर लेता हूं जी जीरो ये मेरे पास हो गया जीरो इसको हम कर लेते हैं -1 नेगेटिव की हमें जरूरत ही नहीं है क्योंकि नंबर हमारा ओवरऑल पॉजिटिव है जीरो ये हो गया जी आगे वन इसको मैं कर लेता हूं टू ये हमारा हो गया थ्री ये हमारा हो गया जी फोर और यहां पर जो आप कर ल जी ये हो गया आपका फाइव ठीक है तो आगे भी आप ड्रा करना चाहे तो लाइन आप बड़ी भी कर सकते हैं कोई मसला नहीं लेकिन एक चीज का ख्याल रखना है जी कि आपके ये जो सब दो नंबर्स के अंदर ये जो जगह है ना स्पेस या गैप ये सब में इक्वल इक्वल होना चाहिए एप्रोक्सीमेटली ठीक है कोशिश करनी है आपने अपनी तरफ से कि ये इक्वल इक्वल हो बाकी थोड़ा सा हल्का हल्का डिफरेंस आ जाता है तो कोई परेशान नहीं होना है आपने ठीक है चलिए अब आपकी नंबर लाइन ड्रा होगी आपको ये भी आईडिया हो गया कि आपका जो नंबर है है वो प्रोक्सी मेेली फोर से आगे आ गया है अच्छा अब आपने क्या करना है बेशक आप जो है ना वो इसको लिख ले ऐसे कोई मसले वाली बात नहीं है ठीक है इसको आप चाहे तो आप ऐसे लिख ले 13/3 और ये आ जाएगा जी 4.33 33 नंबर लेके आगे डडर लगा दें ठीक है तो नहीं तो आप यूं देखें कि ये फोर है ना इसको देख ले फोर आपका नंबर जो है वो फोर से आगे है इतना तो आपको आईडिया हो गया 4 पट समथिंग है ना फोर से आगे तो तो फोर से आगे मतलब फोर और फाइव के बीच में कहीं होता है अच्छा अब आपने क्या करना है जी देखें इसके बाद आपने यहां पर आ जाना है ये जो लिखा हुआ है ना डिनॉमिनेटर में नीचे इसको कहते हैं डिनॉमिनेटर और ये होता है नॉमिनेटर ये जो नंबर लिखा हुआ है थ्री थ्री का मतलब आपने ये करना है कि फोर और फव के बीच में क्योंकि आपका नंबर फोर से आगे है तो फोर और फव के बीच में आता है तो आपने यह करना है कि ये जो लिखा हुआ है ना थ्री आपने इसके अकॉर्डिंग इस थ्री का मतलब है कि आप इसके तीन हिस्से बना ले फोर और फाइव के बीच में तीन हि से अब तीन हिस्से बनाने के लिए आपने दो लाइने लगानी है ऐसे इन दोनों के बीच में दो लाइने ठीक है और कोशिश करें कि जो आपका जो पार्ट्स बने ना वो सारे इक्वल इक्वल हो जाए जैसे दो लाइने लगानी है जैसे मैं कहता हूं जी के वन इ इधर कर लेते हैं और एक इधर कर लेते हैं दो लगा लाइने लगाने से आप देखें कितने पार्ट्स बने एक ये वाला एक दो और ये तीन तीन पार्ट बन गए जो नंबर यहां पर लिखा होगा उतने आपने पार्ट्स बनाने हैं और लाइन फिर कैसे उतने पार्ट्स बनाने के लिए जो ला ड्रा करेंगे वो इससे एक नंबर कम अगर लेटस सो यहां पर फाइव लिखा होता तो फिर मैं लाइने कितनी लगाता जी चार लाइने लगाता ऑटोमेटिक वो पांच नंबर पार्ट्स बन जाते चले ये भी आपका काम हो गया अब आपने क्या करना है इस पहले आपने देखा था फोर फोर से आगे फिर आगे तीन पार्ट्स बनाने थे तो दो लाइने लगा दी अब आपने इधर आ जाना है इस पे वन तो आपने क्या करना है जो आपने पहली लाइन ड्रा की उसके ऊपर आप वो आपका नंबर बेसिकली होगा तो आपकी पहली लाइन स्टूडेंट कंफ्यूज होते हैं पहली ये वाली है ये वाली है जो आपने ड्रॉ की है आपने यह लाइन ड्रॉ की है यह आपकी पहली थी फोर से आगे आगे यह ठीक है और फोर से आगे स्टार्ट करना है फोर से आगे जो यह आती है पहले यह आपकी लाइन है इसको आप बेशक यहां पर ना स्केल की मदद से ऐसे एरो है ड्रा कर ले तो इस जगह पर आपका यह वाला जो नंबर है इधर मैं लिख देता हूं 4 1/3 यह नंबर आपका यहां पर आता है बाकी जी इसके आगे वाले जो पार्ट्स हैं वह भी आप देखें तो इंशाल्लाह यह सारी चीजें आपको क्लियर हो जाएंगी अब जी नेक्स्ट नेक्स्ट हमारा जो पार्ट फोर है इसमें अगर आप नंबर देख ले तो सबसे पहला आप काम ये करें कि आप एक लाइन लगा ले ऐसे सीधी सी ठीक है अच्छा लाइन लगाने के बाद आप ये देखें कि ये नंबर पॉजिटिव है या नेगेटिव है आप ये देख रहे हैं ये जो नंबर है ये नेगेटिव नंबर है इसका मतलब है आपको नेगेटिव वाली साइड की जरूरत है ठीक है और नेगेटिव वाली साइड तक आपने कहां तक नंबर लिखने कहां तक आपको जरूरत है वो भी आपको मैं ट्रिक बता देता हूं इतना तो आपको आईडिया हो गया कि आपका नंबर नेगेटिव वाइट साइड ज्यादा आपने रखने पॉजिटिव साइड आप कम रख लें ठीक है अब कहां तक रखें देखें सबसे पहले आपने देखना है ये जो नंबर लिखा हुआ है ये देखें ये लिखा हुआ है टू और ये अगर नंबर छोटा हो और ये नीचे वाला बड़ा हो तो ये याद रखें अगर ऊपर वाला नंबर हमेशा छोटा है और अगर नीचे वाला बड़ा है तो ये हमेशा 0 पॉइंट समथिंग आएगा इसका मतलब ये हो गया कि ये तकरीबन तकरीबन 2 पॉइंट समथिंग नंबर बन रहा है ठीक है नहीं तो इसको जैसे मैंने आपको पहले भी ट्रिक्स बताई है माइनस तो आप इसी तरह लिख लें लेकिन 7 * 2 14 14 और प्सव करें ये आ जाएगा 15/7 15/7 को आप कैलकुलेटर प डिवाइड करके देख ले जी हम चेक कर लेते हैं 15 सॉरी ये ऑन कर लेते हैं इसको और यह 15 ठीक है डिवाइड बाय आप 7 करेंगे तो यह एप्रोक्सीमेटली इसको मैं चेंज कर लेता हूं ये 2.14 ठीक है तो इसको मैं लिख लेता हूं जी 2.14 142 है ठीक है और आगे डर लगा दे आगे जो भी नंबर है कंटिन्यू नंबर है अच्छा अब आपको इतना आईडिया हो गया कि सॉरी इसके साथ माइनस भी लगाए ये नंबर आपका 2 पॉइंट समथिंग है मतलब टू से आगे है तो आपके जो नेगेटिव साइड जो आप ड्रा करेंगे ना वो कम से कम टू और उससे अगला नंबर क्या आता है थ्री टू और थ्री तक आप लाजमी ड्रा कर ले ये आपके लिए ट्रिक है सो अब मैं क्या करता हूं देखि दोबारा से देखें लाइन ड्रा कर ली इसके ऊपर जो नंबरिंग करनी है वो आप पहले इसको चेक कर ले कि य तकरीबन तकरीबन कितना है इसके ट्रिक है वो टेक्नीक क्या है कि अगर आप इसको देखें ये जो नंबर लिखा होता है ना ये टू इसका मतलब है कि टू से आगे थोड़ा सा नंबर है क्योंकि ये 1 बा 7 ये 0 पॉइंट समथिंग होता है लेकिन ये याद रखना है कि अगर ये ऊपर वाला नंबर छोटा और नीचे वाला बड़ा हो तब नहीं तो ये ट्रिक भी देख लें 72 14 + 1 15/7 और ये 2 पॉट आ रहा तो अब आपको ये आईडिया हो गया कि ये 2 पॉइंट समथिंग है तो सो मैं इसको कर रहा हूं जी जीरो इसको कर लेता हूं -1 इसको कर लेता हूं -2 इसको कर लेता हूं -3 देखिए मुझे नंबर मान तक कम से कम चाहिए क्योंकि यह नंबर हमारा ू है ू से आगे आता है ट और थ के बीच में कय नंबर है इसको आप कर वन तो यह जो स्पेस है गैप है य सब में मैंने इक्वल इक्वल रखा हुआ है ठीक हो गया जी अच्छा अब एक और चीज लाजमी नहीं है इर थ तक आपने लिखा इधर भी ी तक लिख कोई मसले वाली बात नहीं है अच्छा अब आ जाना जी आपने इस नंबरिंग व आपकी होगी अच्छा अब आप देखें ये नंबर य टू है ना इसका मतलब हैय ट ट से आगे नेगेटिव साइड वाले देखि टू से आगे नेगेटिव साइड पर इस साइड पर आपने आना है ठीक है टू से इस साइड पर अक्सर स्टूडेंट परेशान हो जाते हैं कि टू के इस साइड पर करें या इस साइड पर देखिए आपका नंबर जो ू पॉइंट समथिंग है मतलब टू से बड़ा है तो टू से बड़ा आप जो है ना इस साइड पर आएंगे नेगेट जब भी आपका माइनस आ जाए तो बस आप आपका फोकस जो है ना वो इस साइड पर हो जाना चाहिए नेगेटिव साइड पर ठीक है तो टू से आगे तो ये आईडिया हो गया इससे फिर आपने इधर शिफ्ट होना है देखिए क्या लिखा हुआ है सेवन इसका मतलब है कि से आगे थ है ना टू और थ के बीच में आपने सेवन पार्ट्स बनाने है और सेवन पार्ट बनाने के लिए मैंने आपको ट्रिक बताई थी कि सेवन से एक नंबर कम करें क्या आता है सिक्स सिक्स लाइने लगानी है आपने टू और थ्री के बीच में जब आप सिक्स लाइन लगाएंगे तो ऑटोमेटिक सेवन पार्ट बन जाएंगे तो सिक्स लाइन लगा लेते हैं और कोशिश करनी है कि इक्वल इक्वल पार्ट्स बने एप्रोक्सीमेटली तकरीबन तकरीबन वर्क होगा इतना को इसमें परेशान नहीं होना ये एक लाइन होगी हमारी हमने छह लाइने ड्रा करनी है साथ लिखा हुआ है ना एक नंबर कम करके एक ही होगी और ये हो ग जी दो और ये तीन ये चार ये पांच और ये छह छह लाइने लगा ली अब आप देखें जो पार्ट बने वो देखें वो सात होंगे अब चेक कर लें ये एक दोती 4 पा छ और ये सात ठीक हो गया जी इसके बाद फिर आपने इधर शिफ्ट होना ऐसे ही ये आपका सर्कल बन रहा है इधर से इधर और फिर इधर आ जाना है वन आपने कौन सी लाइन के ऊपर टिक करना है जी वन के ऊपर तो स्टार्ट आपने इधर से लेना है टू से आगे आगे ठीक है क्योंकि आपका मेन नंबर टू है तो टू से आगे पहली लाइन कौन सी है अगेन बता रहा हूं स्टूडेंट परेशान होते हैं वो ये सोचते हैं कि वन ये वाली लाइन है या ये वाली है जो आपने ड्रा की है अभी उसमें ये पहली लाइन है तो ये आपका जो ला नंबर है जी ये वाला ठीक है ये आपका यहां पर आता है 2 पॉइंट बल्कि इसको आप ये ऐसे लिखें जैसे नंबर आपको क्वेश्चन में दिया गया -2 1/7 तो ये आपका जी नंबर ड्रा हो गया अब जी नेक्स्ट जो पार्ट फाइव है ठीक है इसमें आप देख रहे हैं जैसे पहले हमने पार्ट कि यहां पर भी कोई ना कोई नंबर होता था यहां पर कुछ भी नहीं है अब आप पहले सबसे पहला काम क्या करें एक लाइन ड्र करले सिंपल लाइन ठीक है तो ये जी आपने एक सिंपल सी लाइन ड्रॉ कर ली है इसके ऊपर जो नंबरिंग करनी है ना वो आपने इसके अकॉर्डिंग कर लेनी है जरा बेहतर हो जाएगा अब आपने देखना है कि ये नंबर तकरीबन तकरीबन कितना है सबसे आसान तरीका कि आप पहले सिंपली कैलकुलेटर की मदद से देखें 5 / 8 क्या होता है तो ये आप देखें 5 / बा 8 होता है जी 0.625 ठीक है मैं इसको लिख लेता हूं 0 प 625 अच्छा एक ट्रिक बता देता हूं बगैर कैलकुलेटर के अगर आपका यह जो ऊपर वाला नंबर है यह अगर हो छोटा और नीचे वाला नंबर हो उससे बड़ा तो यह हमेशा जीरो पॉइंट समथिंग होगा यह हमेशा आप याद रखले य नहीं कि वन से छोटा यह आपके लिए ट्रिक है वैसे आप यूज कर ले तब भी ठीक है देखिए मैं आपको तीन तरीके बता रहा हूं नंबर वन आपने पहला काम क्या किया कैलकुलेटर की मदद से देख लिया अच्छा यह नंबर जी एप्रोक्सीमेटली जीरो से आगे आ गया है यानी कि आपका तो पॉजिटिव नंबर है ना तो आपका जीरो से आ गया है ठीक है और इसके बाद दूसरा तरीका कैलकुलेटर से हो गया नंबर वन दूसरा तरीका ये है कि अगर ये नंबर आपका फाइव है छोटा नंबर है यानी कि और ये बड़ा है तब भी ये 0 पॉइंट समथिंग आएगा इससे भी आपको आईडिया हो जाएगा अच्छा ये जीरो से आगे है थोड़ा सा नंबर तीसरा तरीका तीसरा ये है कि जब यहां पर आपका कोई नंबर नहीं लिखा हुआ ठीक है इसके लिए शर्त ये है कि ये छोटा और ये बड़ा ही होना चाहिए और यहां पर कुछ भी नहीं लिखा हुआ फिर आप जीरो सपोज कर ल तो ये समझ ले कि ये जीरो और आगे 5 डिवाइड बा जो भी आएगा पॉइंट तो रो पॉइंट समथिंग बन रहा है तो आपने नंबरिंग ड्रा करनी है जी जीरो से कम से कम जीरो से अगला नंबर कौन सा आता है वन जीरो और वन तक लाजमी होनी चाहिए सो इसलिए ये मैं करता हूं कि मैं इसको कर लेता हूं रो इसको कर लेता हूं वन इसको कर लेते हैं टू इसको कर लेते हैं थ्री और ये हो जाता है जी -1 अब क्योंकि हमारा जो नंबर है वो जीरो से आगे है जीरो और वन के बीच में कहीं यहां पे आता है ठीक है अक्सर स्टूडेंट स्ट पूछते हैं कि जीरो इस साइड पर आपने क्यों नहीं किया क्योंकि इस साइड पर अगर ये नेगेटिव होता तो फिर हम करते अब हमारा नंबर पॉजिटिव है जब कोई साइन ना हो तो प्लस का ही होता है तो जीरो से आ गया यहां पर ठीक है अब हम आते हैं इस साइड पर क्योंकि यहां पर तो जीरो है वो हमें आईडिया हो गया अब हम इस नंबर पर आते हैं एट आपने क्या करना है जी जीरो और वन के बीच में एट पार्ट्स बनाने हैं तो एट पार्ट बनाने के लिए इससे एक नंबर कम कर ले सेवन तो सेवन लाइंस आप लगाएं तो यहां पर मैं आपके सामने जीरो और वन के बीच में सेवन लाइंस लगा लूंगा और कोशिश करनी है कि जो पार्ट्स बने वो जरा इक्वल इक्वल हो तो यह वन ठीक है ये टू यह हो गया थी 4 5 6 और ये सेवन तकरीबन तकरीबन मैंने कोशिश की है कि इक्वल बने अच्छा लाइन तो मैंने सेवन लगाई है इससे एक नंबर कम करके लेकिन पार्ट एट ही बनेंगे आप बेसिक चेक कर ले 1 2 3 4 5 6 से और ये एट अच्छा फिर आपने यहां पर आ जाना है फाइव अब कौन सी लाइन पे आपने एरो हेड बना देना जी फाइव वाली पे स्टार्ट कहां से करना है किधर से इधर से इधर से देखें जीरो से मेन टारगेट आपका जीरो है तो जीरो से आगे जीरो से आगे ये आपकी पहली लाइन है जो आपने ड्रा की है पहली इस अर स्टूडेंट कंफ्यूज होते हैं वो ये पहली समझते हैं नहीं जो आपने अभी ड्रा की है वो वहां से ये आपकी पहली है ठीक है कहां पे जाना है जी फाइव वाली पे तो नट 3 4 और ये फ ये जो आपकी लाइन है ना ऐसे स्केल की मदद से आप कोशिश करें ये इसके ऊपर लिख ले 5 डिवाइड 8 तो ये आपका यहां पर बनता है जी 5 डिवा बा 8 तो यह आपका नंबर रिप्रेजेंट हो गया और यह पार्ट भी कंप्लीट हो गया अब जी नेक्स्ट आपका पार्ट सिक्स है यह नंबर आपने ड्रा करना है सबसे पहला काम आप एक सिंपल सी ऐसे लाइन ड्रा करना है ठीक है नंबर नहीं लिखने नंबर आपको यहां से पहले मैं बताऊंगा फिर आपने लिखने है अब आप यह देखें कि यह अप्रॉक्सिमेट्स है पहली ट्रिक यह है आप ये नंबर देख लें ये जो लिखा हुआ है टू बस यहां से ही आप आईडिया लगा लें कि आपका नंबर टू से थोड़ा सा आगे है लेकिन इसके लिए ये शर्त है कि ये नंबर छोटा होना चाहिए और ये वाला बड़ा होना चाहिए तब तब जाके ये 0 पॉइंट समथिंग होता है तो फिर हम कहते हैं कि अच्छा ये नंबर जो है ये 2 पॉइंट समथिंग आ रहा है ठीक है तो इससे आपको आईडिया हो जाता है दूसरा तरीका दूसरा तरीका यह है कि ये तो बगैर कैलकुलेटर के आप ट्रिक यूज करके काम कर सकते हैं कैलकुलेटर नहीं भी है तो तब भी चल जाएगा दूसरा तरीका ये है कि आप फोर को टू से मल्टीप्लाई करें जैसे आप नॉर्मली करते हैं 4 टू 8 8 में थ ऐड करें 8 और थ हो जाएगा 11 11/4 आप कैलकुलेटर प 11/4 डिवाइड करके देखें नॉर्मली भी डिवाइड कर सकते हैं तो ये आपका आएगा जी 2.75 एक तरीका यह हो गया तब भी आप देख सकते हैं ये नंबर अच्छा 2 पॉइंट मतलब ू से आगे आगे है बस इतना आईडिया आपने लेना है ठीक है तो अब आपने नंबर ड्रा करने अब हम आते हैं जी इसी ट्रिक के ऊपर अब हम यहां पर देखते हैं जब य पर लिखा हुआ है टू इसका अच्छा नंबर भी पॉजिटिव है पहले नंबरिंग कर लेते हैं जी तो नंबरिंग आपने पॉजिटिव साइड ज्यादा रखनी है कहां तक लिखना है देखें ये टू है ना तो टू से अगला नंबर कौन सा आता है थ्री कम से कम थ्री तक आप लाजमी रखें और पॉजिटिव साइड ठीक है इसलिए हम कर लेते हैं इसको जीरो ठीक है ये हो जाएगा वन ये हो जाएगा टू और ये हो जाएगा थ्री कम से कम थ्री तक और ये आपका माइव ब एक फॉर्मेलिटी के लिए करना है अच्छा ठीक है वो नंबरिंग भी होगी अब आते हैं दोबारा इसके पर अब आप इसको देखें ये लिखा हुआ है ना टू अब ये आपका टू लिखा हुआ है पॉजिटिव साइड वाला अब इसका मतलब है टू और थ्र के बीच में कहीं ये नंबर आपका आता है वैसे भी आपको आईडिया हो गया हुआ है तो टू और थ्री के बीच में फिर आपने आना है इसके ऊपर ये जो लिखा हुआ है फोर अब आपने टू और थ्री के बीच में कितने पार्ट्स बनाने है जी चार लेकिन लाइनें कितनी लगाएंगे एक नंबर कम करके एक नंबर कम करें चार से एक नंबर कम तीन है ना तो तीन लाइने आपने लगानी है जी यहां पे सो यहां पे हम क्या करते हैं के टू और थ्री के बीच में तीन लाइने लगा लेते हैं सो ये होगी वन ये होगी जी टू और ये होगी हमारी थ्री लाइने तो हमने तीन लगाई है लेकिन आप देखें पार्ट्स चार ही बने होंगे एक दो तीन और ये चार टारगेट हो गया कंप्लीट पहले हम यहां पर थे फिर हम यहां पर है अब हम आते हैं यहां पर थ्री अब कौन सी लाइन प जाके टिक करना है जी थ्री वाली पे तो टू से आगे मेन टारगेट आपका टू है टू से आगे स्टार्ट करना है टू से आगे ये आपकी पहली लाइन है जो आपने ड्रा की अभी पहली और ये दूसरी और ये तीसरी है ये आप आपने थर्ड लाइन पे ऐसे एरो हेड बनाना है एरो बनाना है और यह आपका नंबर जो आपका लिखा हुआ है जैसे क्वेश्चन में 2 3/4 यह नंबर आपका यहां पर आ जाता है तो यह आपका पार्ट हो गया जी कंप्लीट तो देखा आपने कितना आसान है आपको मैं यही रिकमेंड करूंगा आप इन सारे पार्ट्स को देखें जब आप सारे छह के छह पार्ट्स देख लेंगे तब यकीन करें आप खुद कहेंगे कि वाकई सर हमें बहुत अच्छे तरीके से समझ आ गई है अब नेक्स्ट क्वेश्चन नंबर थ्री क्वेश्चन को पढ़ लेते हैं जी एक्सप्रेस द फॉलोइंग ये जो नीचे लिखा हुआ है एज अ रैशनल नंबर ठीक है इसको ये भी रैशनल नंबर ही है क्योंकि देखें इसमें लाइन लगी हुई है इसका मतलब फोर रिपीट हो रहा है बार-बार लेकिन इसको आपने रिप्रेजेंट करना है या एक्सप्रेस करना है प बा क की फॉर्म में अब प ब क का मतलब है कि आप इसको सॉल्व करें जो इसका आंसर हो वो एक नंबर ऊपर लिखा हो और एक नंबर नीचे लिखा होना चाहिए इस फॉर्म में ठीक है इसको कहते हैं क्वेश्च की फॉर्म में या फ्रैक्शन की फॉर्म में भी आप कह सकते हैं ठीक है बट की फॉर्म में कह सकते हैं वेयर p एंड q ये जो p है और ये जो q है ये इंटी जर्स है मैंने आपको बताया था शुरू में के इंटी जर्स नंबर कौन से होते हैं ठीक है और इसमें ये याद रखना है कि बस q जो है वो जीरो नहीं होना चाहिए अभी हम इसको सॉल्व करते हैं जी देखें इसको सॉल्व करने का तरीका क्या है सबसे पहले आपने इसको लेट कर लेना x के इक्वल ठीक है तो ये मैंने लेट कर लिया जी x इ इक्वल टू ये आगे इसी तरह 0.4 और इसके ऊपर ये लाइन लगा देनी है अब आपने ये चीज क्वेश्चन वन में पड़ी है कि जब ये लाइन लगी हुई है तो इसका मतलब क्या होता है 0 पॉइंट इसका मतलब है फोर बार-बार रिपीट हो रहा है ठीक है फर फर और ये फोर ठीक है आगे डॉट डॉट अ स्टूडेंट कहते हैं सर ये कैसे लिखा जाता है अगसे स्टूडेंट कहते हैं सर फोर फर इस जो फोर का इसको हम कितनी दफा यहां पर लिखें तो डियर स्टूडेंट्स आप अगर लेट्स कम से कम तीन दफा लिख देते हैं तो तब ठीक है ज्यादा लिखते हैं तो तब भी कोई मसले वाली बात नहीं है और ये जो डाट डाट बेशक तीन डाट लगाए या ज्यादा लगा ल वो भी कोई मसला ठीक है यह आपकी मर्जी है लेकिन एक् स्टैंडर्ड फॉर्म इस तरह की होती है अच्छा अब आपने क्या करना है जी यह तो आपने कर दिया इसको अब यहां पर एक चीज और याद रखनी है देखि पॉइंट के बाद कितने नंबर है एक ही नंबर लिखा हुआ है जो यहां पर लिखा हुआ है इस क्वेश्चन के अंदर एक जब एक नंबर लिखा हुआ है तो फिर आपने 10 से मल्टीप्लाई करना है दोनों साइड पर ठीक है य मैं बताता हूं फिर आपको मैं बताता हूं अगर दो हो तो फिर आप क्या करेंगे तीन हो तो फिर क्या करेंगे वो चीज भी मैं आपको बता देता हूं पहले यहां पर हम लिख लेते हैं कि मल्टी 10 या मल्टीप्लाई बाय 10 ऑन बोथ साइड दोनों तरफ आपने 10 से मल्टीप्लाई करना इधर भी आप 10 से मल्टीप्लाई करेंगे तो यह हो जाएगा 10x और इसको आप लिख ले जी 10 मल्टीप्ला 0.44 4 और आगे इस तर तीन ट लगा दे ज्यादा लगा दे तब भी कोई मसला नहीं अच्छा लेट्स सपोज एक नंबर है तो फिर आपने मल्टीप्लाई करना है जी 10 से ठीक है ये आपकी ट्रिक बता रहा हूं अगर दो नंबर है पॉइंट के बाद अगर आप दो नंबर आपको लिखे हुए नजर आए तो फिर आपने समझले कि दो जीरो लगा देना तो वो 100 बन जाएगा और अगर आपको तीन डिजिट्स नजर आए फिर समझले तीन जीरो लगाए वन के साथ तो ये 1000 बन जाएगा तो इस तरह आप इसको कर सकते हैं आगे भी बाकी आगे अगले पार्ट जब हम सॉल्व करेंगे तो आपको मजद चीजें समझ आ जाएंगी अब आपने क्या करना है कैलकुलेटर से 10 को मल्टीप्लाई करना है इससे अग बगैर कैलकुलेटर के भी मैं आपको ट्रिक बता देता हूं पहले तो बगैर कैलकुलेटर वाली ट्रिक देख ले अगर इसमें लिखा ना 0.44 आगे रिपीट हो इसको 10 से मल्टीप्लाई करने से आपका नंबर आएगा फोर एक नंबर होगा क्योंकि एक था ना 4 पॉइंट आगे इसी तरह यह सारे होंगे फर फर फर और यह कंटिन्यू है ठीक है ट्रिक क्या बताई दोबारा से बताने जा रहा हूं अगर आप यहां पर 10 से मल्टीप्लाई कर रहे ठीक है तो यहां पर आप क्या करेंगे यह जो फोर रिपीट हो रहा है तो पॉइंट से पहले भी फोर आ जाएगा और आगे यह सारे सी तरह आ जाएंगे अगर हम कैलकुलेटर से देखें तो उसे भी देख लेते हैं तो ये आप देखें जी मैंने कलकुलेटर पर लिख दिया मल्ला 0.4 क्योंकि आगे डॉट डट तो हम नहीं बना सकते इसी ने लिख इसको जब आप इक्वल करेंगे तो एक और बटन होता है यहां पर यह जो वाला इसको जब आप प्रेस करेंगे ना तो यह आपका आ जाएगा 4.4 अ कैलकुलेटर पर आपको सिर्फ दो नंबर मिलाएंगे लेकिन आपने क्या करना है आगे डाटर लगाना है लाजमी ठीक है जैसे य मैंने लिखा है 4 पॉ सिर्फ 44 नहीं लिखा बल्कि एक और फोर लिख के डटर लगा दिया ठीक है अच्छा जी अब आपने क्या करना है यह तो आपने सी लिख दिया 10 एक अब आपने यह करना है कि इसको आप दो तरीके हैं वैसे सॉल्व करने के एक और मैं जो इजी है वही बता देता हूं इसके ना आप दो हिस्से बना ले पॉइंट से पहले नंबर अलग कर ले ये आपने फोर किया फिर आप प्लस का साइन बनाए और पॉइंट और इसके साथ आगे नंबर अलग कर ले ये पॉइंट फर फोर और ये फोर आगे इसी तरह ये कंटिन्यू है डॉट डॉट अच्छा पॉइंट से पहले ना ये आप जीरो लगा दे जरा वो नंबर थोड़ा अच्छा सा लगता है ठीक है तो इन दोनों को अगर ऐड करें तो यही चीज आती है इसको अलग करने का तरीका बड़ा आसान है पॉइंट से पहले नंबर अलग कर जो होल नंबर है और पॉइंट और आगे नंबर सारा अलग कर ले और ये जीरो लगा ले अगर आप इसमें यह चीज देखें इससे फायदा क्या होगा ठीक है यह जो नंबर है सारा यह आपने क्या लेट किया हुआ है इसको आपने क्या कहा हुआ है x इसलिए अब आप क्या करेंगे इस सारे की जगह लिख देंगे एक ये कैसे लिखा यहां पर रेफरेंस दे दे फ्रॉम वन ठीक है इसको बेशक आप वन कह दे ऐसे ये आपने रेफरेंस दे दिया अब आप क्या करें जी x वाली टर्म एक तरफ कर ले ये भी x है ये शिफ्ट होगा 10x तो ये देखें इधर प्लस है इधर आके हो जाएगा माइनस और इधर आरह जाएगा 4 10 - x मतलब 10 में से एक x निकाल दें तो ये आ जाएगा 9x = 4 और हमें x को क्या करना है वैल्यू फाइंड करनी है तो ये जो नाइन इसके साथ मल्टीप्लाई हो रहा है दूसरी तरफ जाके डिवाइड हो जाता है जो चीज मल्टीप्लाई होती है वो डिवाइड हो जाती है तो ये देखें ये p बा q की फॉर्म ये ऐसे आ गया ना क्वेश्चन की फॉर्म है या जिसको आप बटे की फॉर्म में कह सकते हैं तो ये आपका नंबर जो था वो हमने एक्सप्रेस कर दिया या रिप्रेजेंट कर दिया यह क्वेश्चन की फॉर्म है यही आपका आंसर भी है इसका दूसरा तरीका भी है कि यहां तक आप अलग जो करें इससे पहले पहले इसको हम नाम दे टू का और सक्शन टू में से ये वन हम माइनस करें यानी कि 10x में से x माइनस करेंगे तो वो भी 9x ही आएगा इसी तरह जब आप इसमें से यह माइनस करेंगे तो वोह भी आपके पास आ जाएगा फोर तो इस तरह आप सॉल्व कर सकते हैं दोनों में से जो आपको इजी लगता है अब नेक्स्ट सी इसका पार्ट नंबर टू है सबसे पहला स्टेप आपने क्या करना इसमें आपने इसको x सिलेक्ट कर लेना है x = 0 37 ठीक है ये लाइन लगा दें अब आपको ये चीज आईडिया है कि ये जिसके ऊपर लाइन लगी हुई है ये नंबर बार-बार रिपीट होगा यानी कि 37 37 फिर 37 फिर 37 और ये डॉट डॉट मतलब आगे लिखते जाए इसी तरह ठीक हो गया जी अब आपने क्या करना है देखि पॉइंट के बाद दो डिजिट्स हैं तो मैंने आपको पार्ट वन में बताया था कि जब दो डिजिट्स हो तो फिर आप 100 से मल्टीप्लाई करेंगे ठीक है यहां पर हम लिख लेते हैं जी मल्टीप्लाई बाय 100 ऑन बोथ साइड ठीक है य बी का मतलब बोथ और ए का मतलब साइड बोथ साइड इसको शॉर्ट फॉर्म में हम ऐसे लिख देते हैं जब इसको आप 100 से मल्टीप्लाई करेंगे तो यह हो जाएगा 100 एक् और इसको हम ऐसे लिख लेते हैं जी 100 मल्ला 0 3737 और 37 इसको विदाउट कैलकुलेटर भी आप मल्टीप्लाई कर सकते हैं ट्रिक के साथ वो ट्रिक क्या है देखें नंबर के बाद पॉइंट के बाद जो नंबर रिपीट हो रहा है ना 37 वही आपका इधर आ जाएगा ठीक है 37 ठीक है पॉइंट और फिर आप पॉइंट के बाद यही सारे लिख दें 37 37 37 और ये डॉट डॉट आप बशा कैलकुलेटर से भी देख लें ठीक है कलकुलेटर पे आप लिखें 100 म 0.37 3737 डट डट तो नहीं लगा सकते यहां तक की लिखेंगे आपका शायद आंसर आ जाएगा 37 हो सकता है ये दो दफा लिखा हो आपने खुद तीसरी दफा लिख के डॉ ड लगा देना है ठीक है जी तो ये आप इस तरह आ जाएगा 100x अब इसके दो तरीके हैं वैसे ठीक है इसमें से यह माइनस करके भी किया जा सकता है लेकिन हम ऐसे सॉल्व कर रहे हैं अब इसको ना दो हिस्से बनाते हैं 37 अलग कर ले पॉइंट से पहले वाला और पॉइंट और आगे वाला अलग कर ले तो ये प्लस लगाया और ये पॉ 37 37 37 और ये ऐसे इसको आप ना अपने जरा नंबर थोड़ा अच्छा लगे जीरो लिख दें क्योंकि दोनों को ऐड करने से यही नंबर आता है अब आपने क्या करना है जी ये 37 और प्लस ये जो सारा नंबर है ना ये नंबर लिखा हुआ है इसको हमने क्या कहा हुआ है x इसलिए आपको कह दे x इस तर यहां पर रेफरेंस दे दें फ्रॉम वन इसको आप नाम दे दें वन का अच्छा अब आपने क्या करना है जी ये ये भी x वाला है इधर तो हमारा चल रहा है जी 100x इसको इधर ले आए ये 100x इधर प्लस है इधर आके - x = 37 100 में से जब आप x माइनस करेंगे तो ये 99x = 37 और x के साथ ये 99 मल्टीप्लाई हो रहा है जो चीज मल्टीप्लाई होती है दूसरी तरफ जाके ऐसे डिवाइड हो जाती है तो यह आपने देखा आपका जो नंबर है वो p बा q की फॉर्म में एक्सप्रेस हो चुका है सो यही आपका आंसर भी है अब जी नेक्स्ट इसका पार्ट थ्री है सबसे पहला स्टेप अब आपको तो यह याद हो गया होगा हमने इसको लेट करना है जी x के इक्वल x = 0.21 और ये लाइन लगा देनी है इस लाइन का मतलब है कि ये जो 21 है ना ये बार-बार रिपीट हो रहा है 21 इसी तरह फिर 21 फिर 21 और ये डड लगा द ठीक है जी अब आपको मैंने ट्रिक बताई थी कि अगर यह पॉइंट के बाद दो नंबर है आपने 100 से फिर मल्टीप्लाई करना है ठीक है सो यहां पर आप लिखेंगे मल्टीप्लाई बाय 100 ऑन बोथ साइड ठीक है जी इसको जब आप 100 से मल्टीप्लाई करेंगे तो ये 100x इसको आप पहले लिख ले ऐसे 100 मल्टीप 0.21 21 21 और यह डॉट डॉट आपने लगा दिया अब बगैर कैलकुलेटर के ट्रिक के साथ कैसे से मल्टीप्लाई करेंगे देखें जो नंबर रिपीट हो रहा था 21 इसको आप यहां पर लिखें और फिर पॉइंट बना के यही सारे आगे फिर लिख दें 21 ये 21 21 और ये ऐसे कैलकुलेटर से करें तो एड मल्टीप्लाई 0 प ये आप तीन दफा लिखेंगे यह तो नहीं लिख सकते ना आपको क्लेटर आंसर देगा 21.2 1221 ठीक है आपने एक और लगा के आगे डॉ ड लगा देना है ठीक है तो ये आपका आ जाएगा ऐसे अब आप इसको ना दो पार्ट बना ल इसके पॉइंट से पहले नंबर अलग कर ले फ प्लस और पॉइंट और आगे वाला नंबर अलग कर ले पॉ और यह डॉट डॉट पॉइंट से पहले य पर जरा अच्छा नंबर लगे य जीरो लिख ले क्योंकि दोनों को ऐड करें तो यह वापस आ जाता है अब आप क्या करें कि यह 21 तो इसी तर लिखा यह जो नंबर है यह नंबर देखें यही नंबर है इसको आपने क्या कहा हु एक् इसको आप कह सकते हैं एक्स यहां पर रेफरेंस दे दे फ्रॉम वन इसको बेशक आप कह दे वन अब आपने क्या करना जी ये आपका 100x इस x को इधर ले है सो ये 100x - x इल टू हो जाएगा 21 और अब आपने क्या करना है 100 में से x माइनस करेंगे तो ये 99x = 21 आपने क्या करना है जी के 99 मल्टीप्लाई हो रहा है दूसरी तरफ जाके डिवाइड हो जाता है जो नंबर मल्टीप्लाई हो वो डिवाइड होता है सो यह आपका देखि यह जो फॉर्म है ना ये p बा क की फॉर्म है ठीक है और p और q ये भी रशन इंटी जर्स है और ये भी एक इंटी जर है सो ये आपका नंबर एक्स हो गया p बा q की फॉर्म है और यही आपका आंसर बी है अब जी नेक्स्ट क्वेश्चन नंबर फोर है नेम दी प्रॉपर्टी यूज्ड इन द फॉलोइंग मतलब इसके अंदर कौन सी प्रॉपर्टी यूज हुई है आपने जस्ट नेम बताना है देखिए लिखा हुआ है नेम दी प्रॉपर्टी तो पहले तो बात यह स्टार्ट करने से पहले यह सारी प्रॉपर्टीज आपकी बुक पेज नंबर सेवन और एट के ऊपर लिखी हुई है ठीक है आप वहां से भी एक दफा देख लें बाकी मैं आपको यहां पर इस तरीके से समझाऊ कि आपको यहां से से ही सारा कुछ समझ आ जाएगा तो देखें जी जो पार्ट वन है इसमें लिखा हुआ है a + 4 + b अच्छा देखा जाए तो लेफ्ट हैंड साइड पर तीन वैल्यूज है एक दो और तीन इसी तरह अगर आप राइट साइड पर देखें तो इधर भी तीन वैल्यूज है एक दो और तीन ठीक है तो ये चीज याद रखें जब तीन वैल्यूज होती हैं ठीक है तो वो प्रॉपर्टी होती है एसोसिएटिव प्रॉपर्टी मैं लिखता हूं आपको मजीद भी मैं इस हवाले से चीजें एक्सप्लेन करता हूं पहले तो सबसे पहले हम ये लिख लेते हैं कि ये होती है एसोसिएटिव प्रॉपर्टी ठीक है तो यह मैंने लिख लिया जी एसोसिएटिव प्रॉपर्टी ठीक है इसको आपने मजीद भी आगे लिखना है वो भी मैं आपको बताता हूं आप कैसे लिखेंगे देखिए अब जो एसोसिएटिव प्रॉपर्टी तो है ही है क्योंकि तीन आप ये याद कर ले कि जब तीन वैल्यूज है तो वो एसोसिएटिव से लिंक कर रहा है ठीक है वो एसोसिएटिव प्रॉपर्टी होगी अच्छा अब देखें तो इसमें साइन कौन सा यूज हुआ है प्लस का तो एसोसिएटिव प्रॉपर्टी विद रिस्पेक्ट टू यहां पर आप लिखेंगे विद रिस्पेक्ट टू इस का मतलब है विद रिस्पेक्ट टू अच्छा इसकी जगह आप ववर भी लिख सकते हैं अंडर भी लिख सकते हैं ये आपकी मर्जी है अच्छा किस लिहाज से है जी साइन इसमें कौन सा यूज हुआ है प्लस का तो एडिशन ठीक है तो यहां पर आप लिख देंगे एसोसिएटिव प्रॉपर्टी विद रिस्पेक्ट टू एडिशन अच्छा थोड़ा सा वैसे आपने नाम तो बता दिया आपका क्वेश्चन कंप्लीट हो गया लेकिन मैं आपको एक दो चीजें और एक्सप्लेन कर देता हूं कि ये एसोसिएटिव प्रॉपर्टी बनाते कैसे हैं ठीक है यहां पर हम थोड़ा सा एक रफ वर्क कर लेते हैं और कुछ चीजें मैं आपको जो है ना वो समझा देता हूं देखिए जी ये चीज याद रखनी है तीन वैल्यूज है ना a 4 और बी यहां पर आप लिख ले a प् 4 और प् बी इसी तरह बिल्कुल सेम वही चीज है a ् 4 प् बी ये a प् 4 और प् बी अच्छा देखें जी अब लेफ्ट हैंड साइड पर अगर आप ब्रैकेट जो है इनके अराउंड लगाते हैं ये शुरू वाले दो है फिर दूसरी साइड पर आप एंड वाले जो दो है ना उनके राउंड अबाउट ब्रैकेट लगा दें तो ये आपकी बन गई एसोसिएटिव प्रॉपर्टी इसको बनाने का तरीका ये इसका मतलब अब क्या है नाम तो चले हमने बता दिया मतलब यह है कि जब आप इसको सॉल्व करेंगे और इसी तरह राइट हैंड साइड को भी आप सॉल्व करेंगे तो दोनों का आंसर इक्वल ही होगा बशक आप पहले इस ब्रैकेट को सॉल्व करें फिर प्लस उसमें ये वैल्यू कर दें ठीक है मैं एक एग्जांपल के तौर पर ना आपको एक सिंपल सी चीज बता देता हूं जैसे हम नंबर ले लेते हैं 2 + 3 + 4 ठीक है इसी तरह यहां पर भी 2 + 3 + 4 ब्रैकेट लगा लेते हैं जैसे यहां पर शुरू वाले दो में लगाते हैं फिर उधर से एंड वाले दो पे लगा दें अब आप इसको सॉल्व करके देखें दोनों साइड्स इक्वल होती हैं तो ये जो लॉ है ना इसको लॉ समझ ले प्रॉपर्टी समझ ले कि ये इसको कहा जाता है एसोसिएटिव प्रॉपर्टी ठीक है पहले ब्रैकेट ल के जाती है 3 + 2 ये आपके पास आ जाएगा फ फिर प्लस ये फोर ठीक है ये 5 + 4 ये आपके पास ना आ जाएगा इसी तरह इस साइड पर देखें बेशक आप इन दोनों को ऐड करें ये आ जाएगा सेवन और ये टू फिर भी नाइन ही आ रहा है तो इस लॉ को इस प्रॉपर्टी को कहा जाता है एसोसिएटिव प्रॉपर्टी ठीक है जी आपने तो सिर्फ नाम बताना था ये सारा कुछ नहीं करना ये जस्ट मैं आपका कांसेप्ट क्लियर कर रहा हूं ठीक है तो तीन का वर्ड आपने याद रखना है अब आते हैं जी नेक्स्ट पार्ट टू के ऊपर पार्ट टू में अगर आप देखें तो दो वैल्यूज हैं ठीक है ये एक वैल्यू है और ये दूसरी है एक लिखी हुई है फिर प्लस ये दूसरी है और दूसरी साइड पर ये वाले पहले नंबर पर आ गई और ये बाद में चली गई है तो ये याद रखें जब दो नंबर्स हो ठीक है इसको कहा जाता है कमेंटेट प्रॉपर्टी ठीक है पहले नाम लिख लेते हैं जी फिर हम कुछ चीजें इसकी भी एक्सप्लेन कर देता हूं मैं आपको इसको कहा जाता है कमेंटेटिंग प्रॉपर्टी ठीक है अच्छा अब किस लिहाज से साइन कौन सा यूज हुआ हुआ है तो यह आप लिख देंगे कटेट प्रॉपर्टी विद रिस्पेक्ट टू ठीक है इसका मतलब है विद रिस्पेक्ट टू आप अंडर कावर्ड भी यूज कर सकते हैं ववर कावर्ड भी यूज कर सकते हैं अ साइन साइन के लिहाज से ठीक है यह एडिशन है तो यहां पर आप क्या लिख देंगे एडिशन एक एग्जांपल दे देता हूं ताकि आपका थोड़ा सा कांसेप्ट इसका भी क्लियर हो जाए कि ये कटेट प्रॉपर्टी क्या होती क्या है कांसेप्ट इसका क्या है नय मैं जरा सिंपल से नंबर लिख के आपको बताता हूं जैसे 2 + 3 ठीक है कमेट प्रॉपर्टी ये होती है कि आप 2 + 3 करें या 3 + 2 करें आंसर दोनों का सेम आएगा तो वाक ऐसा ही है इसको देख ले फाइव आएगा इसको देख ले तब भी ये फाइव आएगा तो इस लॉ को या इस प्रॉपर्टी को नाम दे दिया गया कमेट प्रॉपर्टी अब किस लिहाज से साइन कौन सा यूज हुआ है विद रिस्पेक्ट टू एडिशन ठीक है अगर मल्टीप्लाई हो तो आप लिख देंगे कम्युलेटिव प्रॉपर्टी विद रिस्पेक्ट टू मल्टीप्लिकेशन आप चाहे तो यहां पर जस्ट प्लस का साइन भी यूज कर सकते है ठीक हो गया जी अब आते हैं हम नेक्स्ट पार्ट थ्री की तरफ पार्ट थी को मैं थोड़ा सा ना पहले एक और तरीके से लिख केना फिर मैं आपको इसका नाम बताता हूं देखिए बेसिकली यह है कि लेटस सोज ये लिखा हुआ एक् ठीक है ये लिखा हुआ एक अब आपसे वैसे क्वेश्चन करता हूं एक् के अंदर मैं ऐसी क्या चीज ऐड करूं कि इसका आंसर यह सारा जीरो हो जाए तो यह चीज आपने याद रखनी है कि इसका इवर्स होता है वो इवर्स कैसे होता है अगर ये प् एक् है तो वो हो जाएगा - एक तो ये बेसिकली इसका इवर्स जब इसमें ऐड करेंगे तो ये हो जाएगा जीरो ये बेसिकली प्रॉपर्टी है अब प्रॉपर्टी का नाम क्या है देखि इसी से आपको आईडिया हो जाएगा मैं कुछ ट्रिक्स बताऊंगा उससे आपको प्रॉपर्टी नाम फोरन दे आईडिया हो जाता है देखि ये आपने क्या किया इसका इवर्स यह हो गया इवर्स आप यहां पर लिख ले जी इवर्स ठीक है अच्छा इवर्स को आपने क्या किया ऐड किया तो यह हो गया जी एडिटिव इवर्स ठीक है ड से एडिटिव इस तरह देखें आपको फोरन य याद भी रहेगा प्रॉपर मतलब याद करने की जरूरत नहीं है आप जैसे ही देखेंगे आप फरन कह देंगे अच्छा यह तो इवर्स ऐड हुआ है तो यह एडिटिव इवर्स वाली प्रॉपर्टी है इसकी भी मैं आपको एक एग्जांपल दे देता हूं ठीक है जैसे फाइव है ना अब फाइव के अंदर आप क्या ऐड करेंगे कि वह ज़ीरो हो जाए फाइव के अंदर इसका इवर्स -5 यानी कि इसको आप मजीद सिंपल करें तो ऐसे लिखते हैं प्लस माइ -5 देखिए अब + 5 -5 यह हो जाएगा 0 5 -5 0 ही होता है ना अब जी नेक्स्ट पार्ट नंबर फोर है यहां पर मैं आपको यह रिकमेंड करूंगा कि इसको स्टार्ट करने से पहले आपकी जो बुक है ना वहां पर एक प्रॉपर्टी जरा लिखी हुई है ये आप एक दफा पढ़ ले ठीक है ये मैं बुक ले आया हूं जी ये अगर आप देखें तो ये प्रॉपर्टी इसको कहते हैं डिस्ट्रीब्यूटर प्रॉपर्टी ये बात आप पहले समझ लें फिर हम आते हैं जी इस पार्ट नंबर फोर की तरफ देखें जी ये बेसिकली प्रॉपर्टी लिखी हुई है ठीक है इसका नाम अब देखते हैं क्या है इसमें मैं आपको कुछ ट्रिक्स बताऊंगा देखिए a जो है ना a मल्टीप्लाई हो रहा है b के साथ भी और c के साथ भी देखिए a जब बी से मल्टीप्लाई होगा तो ए आ जाएगा फिर ये प्लस और ए स के साथ मल्टीप्लाई होगा तो ये बन जाएगा ए अच्छा यहां पर क्या हुआ है यहां पर यह समझ ले कि ए जो है ना वो डिस्ट्रीब्यूटर बी के साथ भी और सी के साथ भी इसलिए इसका नाम आ गया जी डिस्ट्रीब्यूटर प्रॉपर्टी ठीक है एक तो बात यह होगी ए डिस्ट्रीब्यूटर लिया जी डिस्ट्रीब्यूटर प्रॉपर्टी अब a की साइड पर लिखा हुआ है लेफ्ट साइड पर है ना इसलिए लेफ्ट डिस्ट्रीब्यूटर प्रॉपर्टी अब ए क्या हो रहा है जी इसके साथ क्या हुआ बी के साथ और सी के साथ मल्टीप्लाई हुआ ना तो इसलिए हाफ मल्टीप्लिकेशन अब किसके साथ मल्टीप्लिकेशन हुआ ये देखें ये सारा क्या है ये ऐड हो र है ना अवर एडिशन तो ये इसका एक पूरा नाम बन जाता है अब इसी तरह ये देखें आपको आसे से समझ आ जाएंगी अब देखें पहली बात है कि आप देखें ए जो है ना वो लेफ्ट साइड पर लिखा हुआ है इसलिए यहां पर आ गया लेफ्ट अब ए बी के साथ भी आ रहा है फिर माइनस और ए स के साथ भी आ रहा है मतलब ये समझ ले कि a इसलिए यह होगी जी लेफ्ट डिस्ट्रीब्यूटर प्रॉपर्टी अच्छा ए मल्टीप्लाई हुआ है ना बी के साथ भी और सी के साथ भी हाफ मल्टीप्लिकेशन अच्छा आगे क्या लिखा हुआ है यह सारा क्या है माइनस है ना तो अवर सबक्स माइनस आ जाए तो सबक्स कह देते हैं इसी तरह अब आप देखें ये जो सी है ये राइट साइड पर शिफ्ट हो गया इसलिए अब इसका नाम होगा राइट राइट डिस्ट्रीब्यूटर प्रॉपर्टी सी फिर भी डिस्ट्रीब्यूटर देखें a के साथ आएगा ए फिर प्लस और स जो है वो बी के साथ आएगा तब ये b स बन जाएगा है ये राइट साइड पर तो इसलिए इसका नाम रखा गया राइट डिस्ट्रीब्यूटर प्रॉपर्टी हुआ तो ये मल्टीप्लाई ऑफ मल्टीप्लिकेशन किसके साथ अवर एडिशन ये क्योंकि ये ऐड हो रहे थे इसी तरह यहां पर भी ये देखें c जो है वो राइट साइड पर है इसलिए राइट डिस्ट्रीब्यूटर प्रॉपर्टी है c जो है वो a के साथ आएगा ए फिर - c ब के साथ आएगा तो b स यानी कि c डिस्ट्रीब्यूटर इट साइड पर था तो राइट डिस्ट्रीब्यूटर प्रॉपर्टी ऑफ मल्टीप्लाई हुआ था ना ऑफ मल्टीप्लिकेशन किसके साथ किसके ऊपर देखें र् सबक्स तो यह आपको आईडिया होना चाहिए अब हम आते हैं क्वेश्चन की तरफ तो अब आपको क्वेश्चन देखते ही आईडिया हो जाएगा कि यह कौन सी प्रॉपर्टी है देखि जी अगेन मैं आपको कुछ चीजें एक्सप्लेन करता हूं देखि जी यह जो a है ना पहली बात है कि यह लेफ्ट साइड पर लिखा हुआ है इसलिए यहां पर मैं लिख लेता हूं लेफ्ट ठीक है यह मैंने लिख दिया लेफ्ट अब अब a जो है वो बी के साथ भी आ रहा है देखें ये बन गया ए फिर ये प्लस और ए स के साथ भी आ रहा है तो ए मतलब ए बी के साथ भी और ए सी के साथ डिस्ट्रीब्यूटर है इसलिए आप लिख देंगे जी लेफ्ट तो आपने लिख दिया था आगे आप लिखेंगे डिस्ट्रीब्यूटर ठीक है तो ये मैं लिख रहा हूं डिस्ट्रीब्यूटर प्रॉपर्टी ये तो आपको मैंने ट्रिक्स के साथ जो है ना वो बता रहा हूं अच्छा अब आप देखें ये हो गया लेफ्ट डिस्ट्रीब्यूटर प्रॉपर्टी लेकिन मुझे बताए कि a जो है वो बी और सी के साथ क्या हो रहा था मल्टीप्लाई हो रहा है ना तो इसलिए आप लिखेंगे वैसे आपकी बुक में यहां तक ही लिखा हुआ है लेकिन मैं आपको रिकमेंड करूंगा कि आप पूरा इसका नाम लिखें लेफ्ट डिस्ट्रीब्यूटर प्रॉपर्टी ऑफ ठीक है मल्टीप्लाई हुआ है ना तो यहां पर आप लिखें मल्टीप्लिकेशन ठीक है अब किसके साथ जो आगे जो वैल्यू है वो सारी क्या ऐड हो रही है ना अवर आप लिख देंगे जी अवर एडिशन ठीक है ये सारे नाम वर्ड जो है ना उसको देख के ही सारा बन जाता है मैं अगेन से रिपीट कर रहा हूं देखि ए लेफ्ट साइड पर है तो इसलिए आ गया जी लेफ्ट आगे क्योंकि ए बी के साथ भी सी के साथ डिस्ट्रीब्यूटर तो ये डिस्ट्रीब्यूटर प्रॉपर्टी अच्छा ए मल्टीप्लाई हुआ था ऑफ मल्टीप्लिकेशन किसके साथ जी ऐड हो रही थी वैल्यू आवर एडिशन तो ये आपने देखा कितना एक तरीके से हमने जो है इसका नाम भी इजली लिख लिया है अब आता है जी नेक्स्ट पार्ट नंबर फाइव बहुत ही आसान है मैं यहां पर आपसे क्वेश्चन पूछूंगा फिर मैं आपको प्रॉपर्टी का नाम भी बता दूंगा मैं आपसे यह कहता हूं कि मुझे बताएं ये सपोज करें यहां पर कुछ भी नहीं लिखा हुआ 16 में ऐसा क्या नंबर ऐड करें कि आंसर फिर भी 16 ही आए मैं एग्जांपल बता देता हूं लेट्स सपोज हमारे पास एक नंबर फाइव है मैं आपसे पूछता हूं फाइव में मैं क्या ऐड करूं आंसर फिर भी फाइव रहे मतलब कोई ऐसा नंबर है जिसको ऐड करने से इसकी आइडेंटिटी चेंज नहीं हो रही यह वैसे का वैसा ही रहता है तो इसका मतलब है कि इसकी आइडेंटिटी चेंज नहीं हो रही तो यह प्रॉपर्टी कौन सी होगी आइडेंटिटी वाली यहां पर तो पहले तो हम वर्ड लिख लेते हैं आइडेंटिटी ठीक है ये लिख दिया अब क्या करने से उसकी आइडेंटिटी चेंज नहीं हो रही कुछ नंबर ऐड करने से इसलिए इसका नाम पूरा नाम क्या हो जाएगा जी एडिटिव आइडेंटिटी मतलब कुछ भी आप इसमें ऐड कर ले फिर भी इसकी आइडेंटिटी चेंज नहीं हो रही नंबर वैसे का वैसा ही रहता है सो वो नंबर कौन सा है जी जीरो ये याद रखना है या आप अपने अपने दोस्तों से क्वेश्चन भी पूछ सकते हैं गेम है ना कि ऐसा नंबर बताओ जी वो किसी भी नंबर में ऐड हो फिर भी वो नंबर वैसा ही रहता है ठीक है तो इस ना का इस रूल का नाम रख दिया गया है एडिटिव आइडेंटिटी अब नेक्स्ट इसका पार्ट नंबर सिक्स है वैसे यहां पर भी आपको खुद देख के ही आईडिया हो जाएगा वरना मैं आपसे क्वेश्चन करता कि जी सपोज हमारे पास एक नंबर 100 है 100 को किससे मल्टीप्लाई करें आंसर फिर भी 100 आए अच्छा यहां पर भी आप देख रहे हैं कि उस नंबर की आइडेंटिटी चेंज नहीं हो रही ऐसा कौन सा नंबर है जिससे मल्टीप्लाई किया जाए फिर भी वही नंबर आता है पहली बात यह होगी के इस ये नंबर चेंज नहीं हो रहा इसकी आइडेंटिटी चेंज नहीं हो रही सो यहां पर आप लिख लेंगे आइडेंटिटी ठीक है ये देखें कितना आसानी से आप इसका नाम बता सकते हैं आइडेंटिटी अब वो नंबर क्या है जी वो नंबर वन है वन को आप किसी भी नंबर से मल्टीप्लाई करें आंसर फिर भी वही आएगा तो वन को हम क्या कर रहे मल्टीप्लाई तो ये इसका मतलब है कि इसकी आइडेंटिटी चेंज नहीं हो रही क्या करने से मल्टीप्लाई करने से तो मल्टीप्लाई नहीं लिखना आप इसको लिखेंगे मल्टीप्लिकेटिव ठीक है वर्ड कैसे लिखना है मल्टीप्लिकेटिव तो यह मैं लिख रहा हूं जी मल्टीप्लिकेटिव आइडेंटिटी मतलब क्या हुआ कि किसी भी नंबर की आइडेंटिटी चेंज नहीं होती मल्टीप्लाई करने से तो यह भी एक गेम है आप क्वेश्चन कर सकते हैं अपने दोस्तों से कि कोई ऐसा नंबर बताए जिसको किसी भी नंबर से मल्टीप्लाई करें फिर भी वह नंबर वैसा ही रहता है सो वो नंबर वन है ठीक है जी और इसका नाम है मल्टीप्लिकेटिव आइडेंटिटी अब जी नेक्स्ट इसका पार्ट नंबर सेवन है यहां पर आपको देखते ही आईडिया हो जाएगा कि ये तीन नंबर है ठीक है एक दो तीन इस साइड पर भी आप देखें तो तीन नंबर है जब तीन नंबर होते हैं तो वो कौन सी प्रॉपर्टी होती है ठीक है तो तीन से आपने याद रखना एसोसिएटिव ठीक है तो ये प्रॉपर्टी होगी ये पार्ट वन भी हमने सॉल्व किया था तो ये हमारे पास प्रॉपर्टी है जी एसोसिएटिव प्रॉपर्टी लेकिन पूरा नाम लिखना है जी वो आगे बताता हूं क्या लिखेंगे एसोसिएटिव प्रॉपर्टी साइन कौन सा यूज हुआ है इसके अंदर मल्टीप्लाई का तो यहां पर आप लिखेंगे विद रिस्पेक्ट टू मल्टीप्लिकेशन ठीक है आप जस्ट यहां पर ऐसे मल्टीप्लाई का साइन भी बना दे तब भी चल जाएगा कोई मसला नहीं है ऐसे पूरा वर्ड लिख देते हैं तो तब भी ठीक है जी सो ये याद रखना है जब तीन नंबर हो लेकिन अच्छा एक आपको मैं थोड़ा सा आईडिया दे दूं कि इसमें एक चीज का ख्याल रखना है कि ये जो ब्रैकेट वाली वैल्यू है ना ये वाली वैल्यू और ये वैल्यू सेम नहीं होनी चाहिए मतलब इधर लिखा हु है ना 5 मल्टीप 8 इधर भी अगर लिखा हो ना 5 मल्टी 8 फिर उसको आप एक ही समझेंगे तो वो बेसिकली एक नंबर ये और एक ये वो कटेट में चला जाता है ठीक है मैं आपको एग्जांपल दे देता हूं ठीक है नाम तो चले आपने लिख लिया आपका क्वेश्चन कंप्लीट हो गया लेकिन जरा आपकी कांसेप्ट के लिए मैं एक आपको क्वेश्चन देता हूं लेट्स सपोज हमारे पास एक क्वेश्चन है जी x मल्टीप्लाई इसको हम कर लेते हैं मल्टीप्लाई टू और फिर कर लेते हैं जी प् मल्टीप्ला y इसी तरह आप दूसरी साइड पर क्या करेंगे इसमें आप कर लेते हैं जीवा ठीक है और फिर मल्टीप्लाई x मल्टीप 2 अब अगर आप देखें तो यहां पर भी आप कहेंगे किय तीन नंबर है लेकिन यहां पर यह चीज याद रखें कि यह एक नंबर है यह x मल्टीप्ला ू है ना इधर भी देखें x मल्टीप्ला टू है इसको आप एक कंसीडर करेंगे इस नंबर को आपने पहले लिखा और फिर वा दूसरी साइड पर आपने वा को पहले लिखा उस नंबर को बाद में तो यह बेसिकली कटेट प्रॉपर्टी बन जाती है इस चीज का आपने जरा ख्याल रखना है ठीक है यह जस्ट आपको आईडिया दे रहा हूं कि ये कटेट प्रॉपर्टी बन जाती है अर स्टूडेंट जरा कंफ्यूज हो जाते हैं ऐसे क्वेश्चन आ जाते हैं इसलिए आपने इस चीज़ का भी ख्याल रखना है ठीक है तो यह मैंने आपके कंसेप्ट के लिए आपको एग्जांपल दे दिया है बहरहाल यह तीन नंबर हो बस तीन का ख्याल रखना है तरतीब इनका आर्डर सेम होना चाहिए देखें 4 5 8 इधर भी 4 5 8 यह ट्रिक है जब इनका आर्डर सेम है ना जैसे पहले फोर है फिर फाइव है फिर एट इसी तरह दूसरी साइड पर भी पहले फोर फिर फाइव फिर एट फिर समझ ल कि वह एसोसिएटिव प्रॉपर्टी ही है और विद रिस्पेक्ट टू किस लिहाज से जो भी साइन यूज़ हुआ है वह आप लिख देंगे मल्टीप्लिकेशन अब नेक्स्ट हमारे पास इसका पार्ट एट है यहां पर भी आपको देखते ही आईडिया हो जाएगा कि यह देखें दो नंबर हैं एक और यह दो इधर a पहले है b बाद में है दूसरी साइड पर b पहले और a बाद में है मतलब इसका सादा अल्फाज में मतलब यह है लेट्स सपोज 2 मल्टीप्लाई आप 3 करें या 3 मल्टीप्लाई आप 2 करें आंसर फिर भी सेम आएगा तो यह ऐसी प्रॉपर्टी जिसमें दो नंबर यूज़ हो दो वैल्यूज हो इसको हम कहते हैं कमेट प्रॉपर्टी ठीक है जी तो यह हमारे पास होगी कम प्रॉपर्टी अच्छा वैसे आपकी बुक में सिंपल यही लिखा होता है कटेट प्रॉपर्टी लेकिन आगे आप लिखें विद रिस्पेक्ट टू अब इसमें कौन सा साइन यूज हुआ अर आप स्टूडेंट कहते हैं सर इसमें तो साइन है ही नहीं मल्टीप्लाई क नजर नहीं आ रहा तो यह याद रखें जब साइन नहीं भी होता दो वैल्यू ऐसे गठी लिखी हो तो वो मल्टीप्लाई हो रही होती है सो यहां पर आप लिख देंगे विद रिस्पेक्ट टू मल्टीप्लिकेशन तो इसको हम यहां पर ही लिख लेते हैं जी मल्टी मल्टीप्लिकेशन ठीक है तो ये आपका जी पार्ट हो हो गया कंप्लीट अब जी नेक्स्ट क्वेश्चन नंबर फाइव नेम द प्रॉपर्टी यूज्ड इन द फॉलोइंग अब इसके अंदर कौन सी प्रॉपर्टी यूज हुई है उसका जस्ट आपने नेम बताना है जी ठीक है आप नाम बता द अब नाम कैसे बताएंगे थोड़ा सा हम कुछ वर्क करेंगे पहले इसको पढ़ लेते हैं देखिए पहली तो बात है इसमें ये साइन यूज हो गए ठीक है इनको इनका साइंस का नाम भी बता देता हूं ये कहते हैं इन इक्विटीज ठीक है इनको कहा क्या कहा जाता है जी इन इक्विटीज मतलब जब इक्वल का साइन हो तो वो इक्वेशन होती है इक्वलिटी आप कह सकते या इवेन कह देते हैं और जब यह वाला साइन आ जाए तो उसको कहते इन इक्वलिटी यह साइन होते है इस साइड से आप रीड करते हैं ये जैसे मैं कहता हूं यह साइन है ना यह लेस देन ट्रिक बताता हूं वैसे स्टूडेंट को ये देखि एक कॉर्नर है इस तरफ दो है एक वाला नंबर कम है तो इसको बोलेंगे लेस देन यह आप देखें दो इस तरफ हो गए तो इसको कहेंगे ग्रेटर देन तो यह हो गया लेस देन और इक्वल टू ये जो नीचे लाइन लगा देते इसको कहते इक्वल टू तरह ये ग्रेटर दन आ इक्वल टू ये आपने साइन याद रखने है अच्छा इन इक्वलिटी की प्रॉपर्टी को हम ऑर्डर की प्रॉपर्टीज भी कह देते हैं ठीक है इसके लिए एक्सर वर्ड यूज होता है ऑर्डर प्रॉपर्टीज यह भी जो है आपकी बुक में पेज नंबर एट के ऊपर सारी लिखी हुई है ऑर्डर प्रॉपर्टीज इनका नाम होगा इनको आप इन इक्वलिटी भी कह सकते हैं प्रॉपर्टीज ऑफ प्रॉपर्टी ऑफ इन इक्वलिटी या फिर ऑर्डर कह सकते हैं ठीक है बरल चले अभी हम स्टार्ट करते हैं इसको तो देखें जी अब इसमें क्या है कि -3 लेसन -1 ठीक है और इसको कहते हैं इंप्लाइज दैट मतलब ये है कि इसको आप सॉल्व करके ये चीज आ जाती है अब आप देखें इसको ऐसा क्या करेंगे कि ये चीज बन जाए तो ये भी हम रफ में कर लेते हैं क्योंकि हमने तो जस्ट इसका नाम बताना है बाकी सारा ये हमारा रफ वर्क है अपनी समझ के लिए देखिए जी दोबारा से मैं लिख लेता हूं ये -3 लेन -1 ठीक है अच्छा अब देखि वो कहता है कि ये चीज आप लेकर आए अब आप खुद सोचे कि इस साइड पर जीरो आ जाए ये जो -3 है ना ये रो हो जाए कैसे अब देखें -3 कैसे रो हो सकता है जब आप इसमें + 3 करेंगे तो वो + 3 आप दूसरी साइड पर भी करेंगे ठीक है तो ये देखें फिर क्या हो जाएगा ये रो हो जाएगा और ये क्या हो जाएगा -1 + 3 ये आपके पास आ जाएगा 2 तो बन गया ना इससे ये रिजल्ट बना अब आप खुद सोचे कि आपने ये क्या काम किया इसमें ऐड किया ना कुछ नंबर तो यहां से ही आपको प्रॉपर्टी का नाम पता चल जाएगा कि आपने जब ऐड किया तो यह प्रॉपर्टी होगी एडिटिव प्रॉपर्टी ठीक है ऐड किया ना तो ऐड से एडिटिव तो देखें कितना आसान आपने इसका ट्रिक के जरिए आपने नाम देख लिया इसका नाम है जी एडिटिव प्रॉपर्टी अब क्योंकि ये इन इक्वलिटी की है आप यूं लिख सकते हैं एडिटिव प्रॉपर्टी ऑफ इनक्व या फिर इसको लिख देते हैं ऑफ ऑर्डर ठीक है आप अगर लेट सपोज आपकी बुक में सिर्फ यही लिखा होगा एडिटिव प्रॉपर्टी क्योंकि उन्होंने बस उन्हें पता है कि जी ये सारी इन इक्वालिटीज वाली है तो आपको मैं यही रिकमेंड करूंगा आप ऐसे पूरा नाम इसका लिख ले एडिटिव प्रॉपर्टी ऑफ ऑर्डर या एडिटिव प्रॉपर्टी ऑफ इन इक्वलिटी भी लिख दे तब भी ठीक है कैसे पता चला क्योंकि हमने जब ऐड किया तो फिर ये चीज आई तो ये जो प्रोसेस आपने किया इसी से आपका नाम पता चल गया ऐड किया तो ये एडिक्ट प्राप्ति होगी अब जी नेक्स्ट पार्ट टू है अच्छा पहले बता दूं कि इस प्रॉपर्टी का जो नाम है वो आपकी बुक पेज नंबर नाइन के ऊपर लिखा हुआ है लेकिन मैं आपको यहां पर एक्सप्लेन करता हूं फिर आपको आईडिया हो जाएगा कि अच्छा ये क्या प्रॉपर्टी है देखिए कहता है इफ इफ इफ का मतलब है अगर ये चीज आपके पास हो देन फिर यह चीज बना आ जाए तो ऐसा इसमें आप क्या करेंगे कि यह चीज बन रही है देखि मैं यहां पर आपको पहले कुछ ट्रिक्स बता देता हूं जैसे सिंपल लिखा हुआ है जी ए और फिर लेस देन ये बी अब लेट्स सपोज ए के नीचे कोई नंबर नहीं है तो आप वन लिख सकते हैं इसी तरह बी के नीचे भी कुछ भी नहीं है तो आप वन लिख सकते हैं इसका आप उलट कर दें बेसिकली जब आप उलट करते हैं उसको हम कहते हैं रेसिप प्रोकल ठीक है इस प्रॉपर्टी का नाम है रेसिप आपको मजीद भी एक्सप्लेन करता हूं पहले मैं नाम लिख लेता हूं इस प्रॉपर्टी नाम है जी रेसिप प्रोकल इसको समझना जरूरी है नाम तो चले आपने फरन बता दिया लेकिन इसको मैं आप कुछ कांसेप्ट बताता हूं रेसिप कल प्रॉपर्टी ऑफ ऑर्डर ठीक है पूरा नाम लिख देते हैं अच्छा अब इसमें होता क्या आपने ये जरा गौर करें तो देखें यह साइन और इधर आके यह साइन चेंज हो जाता है इधर लेस है और इधर ये ग्रेटर का हो जाता है क्यों इसकी रीजन क्या है तो देखें यहां पर ये होता है बेसिकली पहले तो इसी को हम लिख लेते य ए बाव है ना अगर इसको वन ऊपर ले जाएंगे और एक को नीचे ले आएंगे तो यह रेसिप प्रोकल हो गया इसका फिर ये साइन चेंज हो जाता है अब क्यों होता है इसकी लॉजिक भी बताता हूं एक एग्जांपल के जरिए ताकि आपका कांसेप्ट क्लियर हो जाए सपोज करें कि ये जो ए लेसन बी है ना इधर हम कोई एक नंबर लिख लेते हैं जैसे मैं कहता हूं 2 लेसन 3 यह बात तो ठीक है ना ू जो है वो छोटा है थ्र से लेकिन अब इसका आप रेसिप प्रोकल करके देखें रेसिप कल क्या होगा सपोज इसका वन कर ले इसके नीचे वन कर ले तो रेसिप प्रोकल होगा 1 बाटू भी आप साइन बनाए इसका रेसिप प्रोकल क्या होगा 1/3 अब आप देखें यहां पर ू तो छोटा था इस नंबर से अब देखें क्या यह नंबर अभी भी छोटा ही है 1/2 को आप कैलकुलेटर के ऊपर डिवाइड करके देखें तो आएगा 0.5 इसको डिवाइड करके देखें तो यह आएगा 0.3 अब आप देखें कौन सा नंबर बड़ा है यह नंबर बड़ा है ना आप इस तरफ साइन कर लेंगे अब देखें ना साइन चेंज हो गया ना तो यह आपने बात याद रखनी है कि जब भी आप रेसिप प्रोकल करते हैं तो उसका यह जो साइन है ये चेंज हो जाता है की वर्थ चेंज हो जाती है सो इस प्रॉपर्टी का इस रूल का नाम रख दिया गया रेसिप प्रोकल प्रॉपर्टी क्योंकि ये इक्वलिटी की है या ऑर्डर की है तो हम ऑफ ऑर्डर लिख देते हैं ठीक है जी यह सारा आपका रफ वर्क है क्योंकि आपने तो जस्ट नाम बताना था सो यहां पर हम मेंशन कर देते हैं कि यह आपका सॉरी यह रफ ठीक है यहां पर लिख देते हैं रफ और यह हो गया वर्क अब जी नेक्स्ट इसका पार्ट थ्री है ये बहुत ही आसान है देखि वो कहता है इ अगर आपके पास य चीज हो देन फिर यह आ गई है अब आप खुद सोचे कि इससे यह क्या हुआ ऐसा कि इससे यह चीज बन गई है तो देखते ये आईडिया हो रहा है कि a में c ऐड हो गए ठीक है साइन तो वैसा ही है और बी में बी में भी c ऐड हो ग ऐड हुआ है ना कोई नंबर कोई चीज ऐड हो गई है दोनों साइड पर तो जब ऐड होती है तो उसका क्या नाम होता है जी एडिटिव प्रॉपर्टी ठीक है सो ये वेरी सिंपल है इसका आप लिख देंगे एडिटिव प्रॉपर्टी क्योंकि इसमें दोनों तरफ एक नंबर ऐड किया गया है तब जाके इससे ये चीज बन गया सो इसका नाम आ गया एडजेक्टिव प्रॉपर्टी ऑफ ऑर्डर ठीक हो गया जी अब जी नेक्स्ट इसका पार्ट नंबर फोर है ये वेरी इंपॉर्टेंट है इसको आपने बहुत अच्छे से समझना है जी देखिए इसमें कहता है इफ अगर ये चीज आपके पास है ठीक है अब इसमें ए लेस देन है b स से एंड c ग्रेटर दन 0 पहले इसका मतलब समझ ले देखिए जीरो से जब भी कोई चीज बड़ी है ना उसका मतलब क्या है मैं यहां पर आपको थोड़ा सा एक आईडिया दे देता हूं देखिए सपोज ये जीरो है ये वन ये टू ये थ्री सारे पॉजिटिव नंबर है इस साइड पर इस साइड पर आए तो -1 -2 -3 और नेगेटिव नंबर तो रो से बड़े नंबर रो से बड़े नंबर कौन से हैं जैसे ही आप राइट साइड पर जाएंगे तो यह सारे नंबर है बड़े ये पॉजिटिव नंबर होते हैं और लेफ्ट साइड पर आएंगे तो ये नेगेटिव नंबर है अब ये कहा गया कि c बड़ा है जीरो से तो जीरो से बड़े नंबर को कौन से बनते हैं पॉजिटिव सो इसका मीनिंग आपने क्या लेना है कि आपका जो सी है वो एक पॉजिटिव नंबर है ठीक है और पॉजिटिव नंबर को यहां पर क्या किया गया है देखिए दोनों साइड से हटा दिया गया और यह चीज आ गई है और यह साइन देखें वैसे का वैसा ही है यह साइन चेंज नहीं होता अगर यह चीज यह नंबर जो आपने इस तरफ दोनों तरफ मल्टीप्लाई हुआ था अगर वो पॉजिटिव हो पॉजिटिव से कोई फर्क नहीं पड़ता ठीक है नंबर जो है ना उसका साइन वैसे का वैसा ही रहता है आपको एक एग्जांपल भी दूंगा लेकिन यहां पर हम कोशिश करते हैं कि प्रॉपर्टी का नाम लिख लेते हैं पहले आप जरा गौर करें तो इसमें हुआ क्या है ठीक है तो लेट्स सपोज मैं लिख देता हूं ए ठीक है ए लेसन है b स से इससे हमने यह चीज बनानी है अब यह खुद सोचे कि इससे यह चीज कैसे बन रही है इसमें यह हो रहा है कि सी जो है ना वो दोनों तरफ से कैंसिल हो रहा है ठीक है अच्छा एक और चीज भी बता दूं सिंपली आप कैंसिल कर दे तो वही चीज आपके पास बन जाएगी लेकिन ये कैंसिल कैसे हो रहा है आप ये करेंगे कि इधर भी आप जो है ना / सी से मल्टीप्लाई करेंगे इधर भी आप / सी से मल्टीप्लाई करेंगे तब जाके ये हो गया कैंसिल फिर ये इधर रह गया a और इधर से ये भी कैंसिल हो गया और ये आ गया बी तो यहां पर मैं आपको दो नाम बताऊंगा प्रॉपर्टीज का आप दोनों में से कोई एक लिख सकते हैं देखिए वैसे आपकी जो बुक में उन्होने लिखा हुआ है ना क्योंकि हमने वन बा c को दोनों तरफ मल्टीप्लाई करके खत्म किया है उन्होंने लिख दिया जी मल्टीप्लिकेटिव प्रॉपर्टी ठीक है यह हमने क्या किया जीय उस हिसाब से समने लिखा हुआ है मल्टीप्लिकेटिव प्रॉपर्टी लेकिन इसका एक और नाम भी मैं आपको बताने जा रहा हूं जो कि ज्यादा रिकमेंड है यह तो आपकी बुक वाला आंसर हो गया इससे आप एक और भी लिख सकते हैं बेसिकली हमने यहां से सी को दोनों तरफ से खत्म किया तब जा देखि सी को खत्म करेंगे तब जाके यह चीज बनती है तो कैंसिल कर रहे हैं इस प्रॉपर्टी का नाम होना चाहिए कैंसलेशन प्रॉपर्टी ठीक है तो यहां पर मैं लिख देता हूं कैंसलेशन ठीक है कैंसलेशन अब किस लिहाज से कैंसिलेशन हुई है कैंसिलेशन कैसे हुई है एक नंबर आपने मल्टीप्लाई किया है वन बा सी दोनों तरफ तब जाके कैंसिलेशन हुई है सो कैंसिलेशन हुई है विद रिस्पेक्ट टू मल्टीप्लिकेशन तो ये प्रॉपर्टी का एक प्रॉपर नाम होना चाहिए ठीक है तो ये रिकमेंडेटरी तरफ से है मैं आपको है ना एक फेडरल बोर्ड की बुक है वहां पर ये नाइंथ क्लास की हेयर बुक है वहां पर ये नाम लिखा हुआ है ये देखें एग्जैक्ट ये प्रॉपर्टी यूज हुई है यह वाली इस प्रॉपर्टी का नाम देखें कैंसलेशन विद रिस्पेक्ट टू मल्टीप्लिकेशन ठीक है ये इसलिए मैं आपको यह नाम लिख करर दे रहा हूं वैसे आपकी बुक में जो उन्होने ना थोड़ा सा यह नाम लिखा हुआ है तो यह भी चले आप कह सकते हैं वन बा सी दोनों तरफ मल्टीप्लाई हुआ लेकिन बेहतर ये है ठीक है बाकी आप चले दोनों में से कोई दोनों लिख दें बात ही खत्म हो जाएगी ठीक है अब जी नेक्स्ट इसका पार्ट नंबर फाइव है यह देखने में तो आपको बिल्कुल इसी की तरह नजर ही आएगा लेकिन दोनों में मेन डिफरेंस क्या है डिफरेंस सिर्फ इस बात का यहां पर सी पॉजिटिव था ठीक है सी बड़ा है ना जीरो से जीरो से बड़ा मतलब पॉजिटिव नंबर और यहां पर देखें सी नेगेटिव है छोटा है तो जीरो से छोटे नंबर इस तरफ ये सारे छोटे नंबर है नेगेटिव इसका मतलब यह है कि सी नेगेटिव है तो यह याद रखें जब एक नंबर यह नेगेटिव है ठीक है यहां पर मैं मेंशन कर देता हूं यह नेगेटिव है सॉरी ये नेगेटिव नंबर है इधर मैं मेंशन कर देता हूं कि यह पॉजिटिव था अच्छा जब भी य देखि आप मतलब ये हुआ कि यहां पर एक नेगेटिव नंबर दोनों तरफ मल्टीप्लाई हुआ हुआ है अब आप जब इसको खत्म करेंगे तो यह देखि इससे यह चीज बन रही है देखि साइन चेंज हो गया है ठीक है तो बेसिकली नेगेटिव नंबर जब दोनों तरफ से आप हटाएंगे तो उसकी वैल्यूज की वर्थ चेंज हो जाती है मैं आपको एग्जांपल से भी ये बात समझाऊ लेकिन हम यहां पर प्रॉपर्टी का नाम लिख लेते हैं अगेन वही बात आ जाती है जी कि आप सी को कैंसिल कर रहे हैं ठीक है तो या य समझ ले कि आप न बा सी दोनों तरफ मल्टीप्लाई करेंगे तो यहां पर पहले हम ख ते ए ये b स है ना इससे हमने यह चीज लेकर आनी है आप ये कैसे करेंगे न बा सी दोनों तरफ जो भी ये नंबर है ना उसी से आप दोनों तरफ ऐसे मल्टीप्लाई करके इसको कैंसिल कर देंगे सो ये a लेकिन क्योंकि ये नेगेटिव नंबर था सो वैल्यूज की वर्थ चेंज हो जाएगी बी सो यहां पर इसको आप लिख सकते हैं मल्टीप्लिकेटिव ठीक है जो कि आपकी बुक में नाम लिखा हुआ है मल्टीप्लिकेटिव प्रॉपर्टी लेकिन मैं आपको यही रिकमेंड करूंगा कि इसका जो बेहतर नाम है वो यह है आपने दोनों तरफ से सी को क कसल किया है इस तरह आप लिख द कैंसलेशन प्रॉपर्टी ठीक है कैंसिलेशन विद रिस्पेक्ट टू अब किस लिहा से आपने इसको कैंसिल कैसे किया जा इसी बात है कैंसिल करने के लिए भी आपको यह नंबर दोनों तरफ समझले न बाय सी से मल्टीप्लाई करना पड़ेगा सो कैंसलेशन प्रॉपर्टी विद रिस्पेक्ट टू मल्टीप्लिकेशन अब आपको ना मैं कांसेप्ट के लिए एक एग्जांपल दे देता हूं कि यह नेगेटिव नंबर सेसे क्या होता है तो सपोज कर लेते हैं जी यहां पर ना हम एक की जगह लिख लेते हैं थ्र और इसको हम कर लेते हैं जी c की जगह हम कर लेते हैं -1 ठीक है और फिर लेस दन है और b की जगह हम कर लेते हैं जी टू ठीक है और c की जगह तो हमने लिखा हुआ -1 अब बेसिकली ये एक नंबर -3 है और इसको 2 -1 से मल्टीप्लाई करें तो ये -2 है तो नेगेटिव नंबर में ये जो -3 है ना ये छोटा नंबर है जैसे जैसे आप इस साइड पर आएंगे तो ये नंबर छोटा होता जाएगा इधर जाएंगे तो नंबर बड़ा होता जाएगा तो ये -2 बड़ा और -3 छोटा है यह बात लिखी हुई है यह बिल्कुल ठीक है लेकिन जब आप इस नंबर को बीच में से निकाल देंगे इधर क्या रह जाएगा थ्र इधर से ये निकाल द तो क्या रह जाएगा टू अब देखें क्या वाकई इस साइड वाला नंबर अभी भी छोटा है नो ये तो क्या हो गया ये ग्रेटर हो गया सो ये बेसिकली इसका मतलब है देखिए नेगेटिव से जब नेगेटिव को बीच में से निकालेंगे तो उसकी वैल्यूज चेंज हो रही है वर्थ चेंज हो रही है इस साइड वाले नंबर की सो साइन ट्स वाई चेंज हो जाता है ठीक है सो ये आपको कुछ कांसेप्ट था बाकी नाम आपने देख लिया जी अब जी नेक्स्ट पार्ट नंबर सिक्स आदर ए जो है वो ग्रेटर देन है बी से मतलब a बड़ा है बी से या फिर और a इक्वल हो सकता है बी के या फिर a छोटा है बी से देखिए तीन पॉसिबिलिटीज हो सकती है ना कोई बंदा है जी वो लेट्स सोज या तो उस दूसरे से बड़ा हो सकता है या उसके बराबर हो सकता है या उससे छोटा हो सकता है जब तीन पॉसिबिलिटीज हो ठीक है तीनों में से कोई एक ही ठीक होगी ना तो तीन से आपने याद रखना ट्राई ठीक है ट्राई कहते हैं तीन को य प्रॉपर्टी का नाम होगा ट्राई को ट्राई कोटोमी ठीक है तो यह आपने नाम इस ट्रिक बता रहा हं जब तीन पॉसिबिलिटी बन जाए तो आप यह ट्राई का वर्ड याद रखें क्योंकि ट्राई का बेसिकली मतलब भी होता है तीन तोय इस तरीके से ट्राम प्रॉपर्टी जो है ना वो आपकी आ जाएगी तो यहां पर हम इसका नाम मेंशन कर देते हैं यह लिख दिया ठीक है जी ट्राई कोटोम प्रॉपर्टी ऑफ ऑर्डर बेशक लिख ले ठीक है ऑफ सिंपल लिख देते हैं ये भी तब भी कोई मसला नहीं ठीक है अब जी नेक्स्ट क्वेश्चन नंबर सिक्स है इनसेट टू रैशनल नंबर्स बिटवीन इन दोनों के बिटवीन आपने दो नंबर बताने हैं दो रैशनल नंबर पहले मैं आपको थोड़ा सा आसान करके ये क्वेश्चन समझा देता हूं सपोज कर ले जी के हमारे पास यहां पर ना कोई नंबर है जी थ्री ठीक है और यहां पर नंबर है जी सेवन मैं आपसे ये कहता हूं कि थ्री और सेवन के बिटवीन नंबर बता दें दो ठीक है तो आप बड़ी आसानी से कह देंगे कि एक फोर कह दें और एक फ कह दें फोर और फ दोनों इनके दरमियान ही आते ना कुछ इस तरीके से य क्वेश्चन है ठीक है इसको मैं कैंसिल कर देता हूं अब इसके लिए हम यूं बना लेते हैं सपोज एक और दफा बताता हूं सपोज ये एक नंबर है जी हमारा यहां पर 1/3 ठीक है और यहां पर नंबर है जी 1/4 जैसे यहां पर आपने थ और सेन के बिटवीन आसानी से बता दिया था अब यह तो नंबर 1/3 और 1/4 है अब इनके दरमियान दो नंबर आप कैसे बताएंगे थोड़ा सा मुश्किल हो जाता है एज कंपेयर टू इसके तो इस तरह के क्वेश्चन फिर में आप क्या करेंगे वो भी बड़ा आसान है आपने परेशान नहीं होना देखें आप क्या करेंगे जी एवरेज निकाल सकते हैं इस दोनों की एवरेज का मतलब है यहां पर मिड वाला नंबर आपके पास आ जाएगा ठीक है 1/3 और / से की जब आप एवरेज निकाले कैसे निकालते हैं वो बताता हूं आपके पास यह नंबर आ जाएगा जो दोनों के दरमियान में होगा इसलिए यह ट्रिक हम यूज करेंगे यहां पर हम लिख लेते हैं जी के फर्स्ट नंबर ठीक है दो नंबर बताने तो फर्स्ट नंबर कैसे हम निकालेंगे हम क्या करने जा रहे हैं जी के एवरेज ऑफ 1/3 1/3 एंड 1 बा फ दोनों की एवरेज निकालेंगे एवरेज का मतलब है कि ये मिडल वाला आ जाएगा जो दोनों के मिड में आएगा वो नंबर उसको कहते हैं एवरेज अब इसका तरीका यह होता है एवरेज का कि जो भी दो नंबर है जैसे ये दो नंबर है ठीक है 1/3 आप दोनों को ऐड करें 1 बा फ और डिवाइड बाय आप टू कर दे इस तरीके से आपके पास वो मिड वाला नंबर यानी कि एवरेज आ जाती है अब आपने इसको सॉल्व करना है जी देखि आप सपोज करें टू नहीं है सिर्फ ये ऊपर नंबर लिखा हुआ है ऐसे इसको आप कैसे सॉल्व करेंगे इसका आप एलसीएम लेंगे एलसीएम आप कैसे निकालते हैं ये देखें अब यहां पर क्या क्या लिखा हुआ है थ और क्या लिखा हुआ है जी फोर अब आप इसे छोटे से छोटा नंबर देख ले जो दोनों पर टेबल ऐसा नंबर जिसका टेबल इनमें से किसी एक पे चला से लेट्स सपोज टू सबसे छोटा नंबर है टू से देख लेते हैं टू का टेबल फोर पे तो जाता है टू का थ्री पे जदा थी को इसी तरह रहने दें टू का फोर पे 2 2 4 ठीक है जी अब आपने अगेन देखना है अगेन टू पे सबसे कम नंबर जो टू है थ्री पे तो नहीं जाएगा 2 1 2 अब थ्री पे थ्री का डेबल ही जाएगा टू के बाद फिर थ्री पर आ जाए 3 1 3 तो ये आ जाएगा जी 3 * 2 6 और 6 * 2 12 तो इनसे इन तीनों को मल्टीप्लाई करना है तो 12 आपके पास एलसीएम बनता है सो य आपने क्या किया जी के एलसीएम लिख लिया 12 ठीक है अब आपने इसको छोड़ दे इसको समझे ये है ही नहीं अब थ का टेबल देखें 12 पे कितने टाइम जा रहा है 3 4 12 4 फोर को आपने इसी के ऊपर जो नंबर है उसे मल्टीप्लाई करना है 4 1 ये आ जाएगा फर फिर आगे प्लस अब आपने फोर का टेबल देखना है 12 पे 4 * 3 12 3 3 को आपने इससे मल्टीप्लाई करना है 3 * 1 3 अब इसको यूं भी कर सकते थे ये 4 * 1 4 फिर प्लस और 3 * 1 ये 3 ये आपने डिवाइड बाय इसका एलसीएम आ गया था और ये मेन लाइन है डन की ये इक्वल के इक्वल इसके सामने होता है और ये डिवाइड बा आपने टू कर लेना है जी अब आपने ऐड करना है फोर और थ कितने होते हैं जी फोर और ्र हो जाते हैं से ये इनका रिजल्ट आ गया से डिवाइड बाय ये आपके पास आ गया 12 और यह आपकी मेन लाइन है और इसके नीचे आ जाएगा 2 इसको आपने क्या करना है जी अब देखें अब इसके दो तीन तरीके डायरेक्ट वैसे आप ू जो है ना इस 12 से मल्टीप्लाई कर सकते हैं लेकिन चलिए मैं आपको आसान कर देता हूं एक वैल्यू है जी 7/1 ये वाली ये डिवाइड हो रही है टू के साथ ऐसे ऐसे लिख ले डिवाइड हो रही है टू के साथ अब जैसे इसके नीचे नंबर है इसके नीचे कुछ भी नहीं है तो आप वन लिख ले आपको ये चीज पता होगी कि जब आप डिवाइड को चेंज करते हैं मल्टीप्लाई में तो ये नंबर ऊपर चला जाएगा और ये नंबर नीचे आ जाएगा अब आप देखें जो मैं कह रहा था कि टू को आप 12 से मल्टीप्लाई कर सकते हैं देखिए मल्टीप्लाई हो गया ना अब आप ऊपर वाले नंबर ऊपर से मल्टीप्लाई करें 71 से मल्टीप्लाई होके 7 और 122 से मल्टीप्लाई होके आ जाएगा 24 तो ये आपके पास एक ऐसा नंबर आ गया जो कि दोनों के बिटवीन है इन दोनों के बिटवीन एक नंबर हमें पता चल गया जी जो कि क्या है 7 बाय 24 एक और नंबर अब हमने फाइंड करना है ये जो 7/24 है इसको मैं यहां पर लिख लेता हूं कि यहां पर जो इन दोनों के बिटवीन नंबर है जी वो हमारा आ गया 7/24 अच्छा अब एक नंबर हमें और चाहिए अब वो कैसे फाइंड करेंगे देखें अब अगर लेट्स सपोज इन दोनों के बिटवीन आप नंबर फाइंड करते हैं तो वो कहीं यहां पे होगा और वो जो नंबर होगा वो वल उसको आप देखें वो इन दोनों के दरमियान ही आता है ना इसलिए अब आप इन दोनों की एवरेज निकाल लेंगे अगर आप चाहे तो आप इन दोनों की एवरेज भी निकाल सकते हैं क्योंकि इन दोनों की एवरेज मीन तकरीबन ये मिड वाला नंबर आ जाएगा और ये इधर भी देखा जाए तो यह भी नंबर जो है इन दोनों के बिटवीन ही आता है सो ये आपका मर्जी होगी तो यहां पर हम लिख लेते हैं जी सेकंड नंबर ठीक है क्योंकि दो नंबर है तो ये सेकंड नंबर अब आपकी मर्जी है जी एवरेज विषक इन दोनों की निकालना है या इन दोनों की निकालना है मैं इन्हीं दोनों की निकाल लेता हूं यहां पर लिख लेते हैं जी एवरेज ऑफ 7/24 एंड / फ एवरेज निकालना भी आप सीख चुके हैं दोनों को ऐड करना है और ट से डिवाइड कर देना है सोय 7/24 प्स 1/4 डिवा बाट इन दोनों का एलसीएम लेना है जी अब एलसीएम कैसे लेंगे यहां पर जैसे बताया था दोबारा से देख लेते हैं आप बशक लिख ले जी य पर 24 और एक और लिखा हु फ अब ऐसा टेबल देखें जो दोनों पर जा रहा है या किसी एक पर चला जाए तो कोशिश करें नंबर देखें जो दोनों प जा रहा हो ज्यादा बेहतर हो जाता है तो मैंने देखा जी फोर एक ऐसा नंबर है फोर का टेबल इस पर भी जाता है इस पर भी जा रहा है तो इसको मैं कर लेता हूं 4624 और 414 अब सिक्स प सिक्स का टेबल ले जाते हैं 616 आपने इधर वव लाना वनव हो जाए तो समझले सॉल्व हो गया इन दोनों को मल्टीप्लाई करें 6 4 24 आ गया स इसका मतलब ये हुआ कि इन दोनों का एलसीएम क्या बनता है जी 24 आप समझे ये टू है ही नहीं ठीक इसको थोड़ा सा बेहतर कर लेते ये 24 अब आपने देखना है 24 का टेबल 24 प कितने टाइम जा रहा है 24 का टेबल 24 प वन टाइम जा रहा है वन को जब आप 7 से मल्टीप्लाई करेंगे तो ये 7 आ जाएगा फिर प्लस ठीक है अब फोर का टेबल 24 पे 4 स 24 6 सिक्स को आपने मल्टीप्लाई कर देना है वन से तो यह आ जाएगा स ही ठीक है अब आपने यूं क्रॉस नहीं करना ये कुछ वो ट्रिक्स होती है क्रॉस चल जाता है लेकिन ऐसे नहीं चलता अब इसमें और यह डिवाइड बा आप कर देंगे जी ट अब सिक्स और सेन कितने हो गए जी 6 और सेन ये हो गए 13 डिवाइड बाय आपने कर लिया जी 24 और ये मेन जो इसकी लाइन है डिवाइड बाय टू आप चाहे तो डायरेक्ट टू को 24 से मल्टीप्लाई कर सकते हैं लेकिन अगर आप ऐसे कंफ्यूज होते हैं तो आप यूं कर ले 13/2 देखि ये नंबर डिवाइड हो रहा है किसके साथ टू के साथ अब इसके नीचे तो 24 है इसके नीचे आप खुद से वन लिख ले तो ये 13/2 इसको जब आप चेंज करेंगे मल्टीप्लाई में वन ऊपर शिफ्ट हो जाएगा और टू नीचे आ जाएगा तो जो मैं आपको कह रहा था टू को मल्टीप्लाई कर ले 24 से ये देख ले ठीक है मल्टीप्लाई अब हो रहा है 13 को वन से मल्टीप्लाई करें 13 24 को जब आप टू से मल्टीप्लाई करेंगे तो ये 48 आ जाएगा तो ये एक और नंबर आपके पास आ चुका है जो कि उन दोनों के बिटवीन होता है तो इसको भी हम लिख लेते हैं 13 बा 48 तो यहां पर इन दोनों का एवरेज था चकि तो ये इसलिए यहां पर 13 बा 48 तो ये आप देखें यह नंबर भी और ये दोनों नंबर इन दोनों के बिटवीन ही आ र है ना तो यही हमारा टारगेट था और दोनों रेशनल नंबर भी है ठीक हो गया जी तो यह दो नंबर्स हैं आपके इनका आंसर आपको बुक में नहीं मिलेगा क्योंकि अब इसके बहुत सारे तरीके हैं ठीक है अब लेट्स सपोज कोई स्टूडेंट इन दोनों के बिटवीन फाइंड करता है तो उसका तो आंसर चेंज हो जाएगा सो इसलिए और भी बहुत सारे मेथड्स हैं इसलिए आपके डिफरेंट डिफरेंट नंबर्स हो सकते हैं लेट्स से जैसे मैंने आपको यहां पर बताया था कि जी अगर थ्री और सेवन है ठीक है तो थ्र और सेवन के बिटवीन फोर और फव भी आता है अच्छा फाइव और सिक्स भी आप कह सकते हैं फोर और सिक्स भी कह सकते हैं तो ये हर स्टूडेंट्स का अपना अपना आंसर हो सकता है इसलिए आपको परेशान होने की जरूरत नहीं है तो यह आपके दो नंब आ गए अब जी नेक्स्ट पार्ट नंबर टू है हमने थ्री और फोर के बिटवीन दो रेशनल नंबर फाइंड करने है अब आप सोच रहे होंगे थ्री और फोर के दरमियान तो कोई नंबर होता ही नहीं है जबकि बहुत सारे नंबर्स है ठीक है तो कोई से दो रैशनल नंबर हमने फाइंड करने मैं अभी आपको फाइंड करके बताता भी हू सपोज कर लेते हैं जी कि यहां पर एक नंबर हमारा थ्री है और यहां पर फोर है इन दोनों के बिटवीन तो जैसा कि आप पार्ट वन में सीख चुके हैं हम एवरेज निकाल रहे हैं थ्री और फोर की जब एवरेज निकालेंगे तो ये एक मिड वाला नंबर आ जाएगा अब यहां पर हम लिख भी लेते हैं कि एवरेज ठीक है यहां पर हम लिखते हैं जी कि एवरेज ऑफ थ एंड 4 केसे दोनों के मिड जो नंबर है ना वो आ जाता है अब एवरेज निकालने का आपको तरीका पता चल गया जी 3 + 4 करेंगे यही जो दो नंबर्स है ऐड करके दोनों को टू से डिवाइड कर लेंगे ठीक है दो नंबर है दो नंबर को फिर टू से डिवाइड कर लेंगे अच्छा अब आप क्या करेंगे ्र और फोर कितने हो जाते हैं आपके पास 7 बाट तो यह एक नंबर आपके पास आ चुका इसको मजीद आगे पॉइंट्स में ना लिखे ऐसे ही रने दे यह आपका जो नंबर है यह रेशनल भी है क्योंकि देखें यह य एक इंटी जर है यह भी इंटी जर है प बा क की फॉर्म आ चुकी है सो यह एक रैशनल नंबर है जो कि ी और 4 के बिटवीन आता है सो यहां पर हम लिख लेते हैं सॉरी 7 बाट अब हमने क्या करना है जी कि इन दोनों के बिटवीन या फिर इन दोनों के बिटवीन लेटस सपोज हम इन दोनों के बिटवीन फाइंड करते हैं तो यहां पर नंबर आएगा और यह नंबर बेसिकली थ्र और फोर के बिटवीन ही आता है सो इस तरह हमारा दूसरा नंबर भी फाइंड हो जाएगा सो यहां पर हम लिख लेते हैं जी क्या अब हम एवरेज निकालने लगे एवरेज ऑफ 7/2 ये जो हमने नंबर फाइंड किया है एंड और यह जो फोर है इसके सो अब आपको पता है जी एवरेज कैसे निकालते हैं 7/2 प्लस आप करेंगे इसमें फोर और दोनों को टू से डिवाइड कर देंगे अब आपने इसको सॉल्व करना देखें इसके नीचे टू लिखा हुआ है इसके नीचे कुछ भी नहीं है तो आप वन लिख ले अब आप एलसीएम ले ठीक है एलसीएम इसका देखें ट वन जब वन है तो ये 2 वट ही आएगा सो इसका एलसीएम टू आएगा अब टू का टेबल टू प कितने टाइम जा रहा है 2 वट ववन को जब आप सेन से मल्टीप्लाई करेंगे तो ये आ जाएगा से फिर आगे प्लस अब वन का टेबल टू पे न को टू से मल्टीप्लाई करेंगे तो ट आता है ट को जब आप फोर से मल्टीप्लाई करेंगे तो ये आ जाएगा 8 और डिवाइड बाय आप देखें तो ये आपके आ जाएगा ये भी टू ही है ठीक है एक तो इनका एलसीएम था टू और एक ये वाला टू है ठीक है अब आप इन दोनों को ऐड करें सेन और ये 8 आपके पास आ जाएगा 15 बाय और ये वाला टू और फिर यह लाइन और यह वाला ू ठीक है इसको आप डायरेक्ट वैसे टू को इस टू से मल्टीप्लाई कर सकते हैं लेकिन अगर आपको ये चीज समझ नहीं आती तो आप ऐसे लिख ले 15/2 डिवाइड बाय देखें ये जो सारा है ना ये डिवाइड हो रहा है किसके साथ टू के साथ कुछ भी नीचे नहीं है तो वन लिख ले अब ये 15/2 इसको जब आप चेंज करेंगे मल्टीप्लाई में वन ऊपर शिफ्ट हो जाएगा और टू नीचे आ जाएगा तो जो मैं आपको कह रहा था कि आप टू कोटू से मल्टीप्लाई कर ल देखें अब 2 2 से मल्टीप्लाई ही होगा ना सो ये 15 व से मल्टीप्लाई होगा 15 आ गया और 2 2 से मल्टीप्लाई होके आ जाएगा फोर सो ये आपके पास सेकंड नंबर ब जो है ना वो फाइंड हो चुका है इसको भी आप ऐसे कर लें ये दो नंबर्स हैं जी आपके जो इन दोनों के बिटवीन है तो यहां पर भी हम लिख लेते हैं वैसे ये लाजमी नहीं है ठीक है मैं आपकी सानी लिख रहा हूं ताकि आपका कांसेप्ट क्लियर हो जाए अब इसी तरह जी नेक्स्ट पार्ट थ्री है इन दोनों के बिटवीन हमने दो रैशनल नंबर फाइंड करने हैं तरीका आपको समझ आ चुका है दोनों की हम एवरेज निकाल लेंगे तो इस तरह हमारा फर्स्ट नंबर आ जाएगा फिर सेकंड भी हम निकालते हैं जी तो एवरेज कैसे निकाली जाती है इ दोनों को ऐड करना है ऐसे 3/5 प्लस 4/5 और ऐसे टू से डिवाइड कर देना है ठीक है अब आप इनका एलसीएम ले ये फ है ये भी फ है तो एलसीएम फ ही आएगा सो ये आपने फ लिख लिया फ का टेबल फ पे 5 व टाइम 5 होता है ठीक है तो वन को आप थ से मल्टीप्लाई करें थ प्लस इसी तरह फ का फ पे वन टाइम वन को फोर से मल्टीप्लाई करेंगे फोर यहां पर एक ट्रिक बता दूं अगर यह नंबर यह नंबर और इनका एलसीएम तीनों सेम है आप डायरेक्ट 3 प् 4 ये लिख सकते हैं और ये डिवाइड बा आप लिख लेंगे 2 अब आपने क्या करना है 3 प् 4 ये हो जाएगा 7 बा 7 और बाय 5 7/5 और यह डिवाइड बाय आपके पास 2 डायरेक्ट टू को आप मल्टीप्लाई कर ले फ से नहीं तो आपको जैसे मैंने एक तरीका बताया आसान 7/5 डिवाइड हो रहा है जी किसके साथ टू के साथ इसके नीचे फ है इसके नीचे आप खुद से वन लिख ले सो ये 7/5 डिवाइड को जब आप चेंज करेंगे मल्टीप्लाई में तो वन ऊपर शिफ्ट हो जाएगा टू नीचे आ जाएगा अब ये देखें 7 1 7 और 5 टू 10 तो ये एक रैशनल नंबर जो के उन दोनों के बिटवीन आता है ठीक हो गया जी अब हम 7/10 आ गया है ठीक है यहां पर चले एक आसानी के लिए जो हमने ट्रिक बनाई थी कि इधर नंबर हमारा लेट्स सपोज 3/5 है और इधर सपोज 4/5 है इन दोनों के बिटवीन हमारे पास नंबर जो आ चुका है वो 7/10 है 7/1 अब हमने अगर इन दोनों के बिटवीन नंबर फाइंड करें तो वो ये होगा मिड वाला तो वो भी बेसिकली इन दोनों के बिटवीन ही आता है आप चाहे तो इन दोनों की एवरेज निकालें तो वो ये भी आपका वही नंबर होगा आंसर डिफरेंट होगा इसके लेकिन वो आपका इन दोनों के बिटवीन ही आता है तो आपकी ये मर्जी है जी आप जैसे भी इसको हल करना चाहते हैं तो मैं यहां पर लिख लेता हूं जी कि एवरेज ऑफ मैं जो है ना इन्ही दोनों के बिटवीन फाइंड कर लेता हूं एवरेज ऑफ 7/10 एंड 4/5 अब एवरेज कैसे निकालते हैं जी दोनों को ऐड करें ऐसे ये 7/10 प् 4/5 करें डिवाइड बाय आप कर लेंगे ू आप दोनों का एलसीएम ले एलसीएम ऐसे 10 है एक देखि एक 10 है और एक फ है अब फ का टेबल 5 2 10 5 1 5 अब ू पर टू का टेबल जाएगा सो ये 5 टू 10 यही एलसीएम आता है इनका सो इनका इन दोनों का एलसीएम आ जाएगा 10 अब 10 का टेबल 10 प वन टाइम जाता है वन को जब आप से से मल्टीप्लाई करेंगे तो से फिर प्लस अब फ का टेबल 10 प 5 टू 10 को जब आप फोर से मल्टीप्लाई करेंगे तो ये 8 आ जाएगा और ये डिवाइड बा आपने ू इसी तरह लिख देना है अब ये दोनों ड के आ जाएगा 15 ठीक है 15 बाय आपके पास ये 10 ठीक है और ये डिवाइड बाय 2 अब आपने क्या करना है जी इन दोनों को बेशक डायरेक्ट मल्टीप्लाई कर ले नहीं तो आसान तरीका ऐसे 15/1 लिखें डिवाइड बाय ये डिवाइड हो रहा है किसके साथ टू के साथ जब इसके नीचे 10 है इसके नीचे कुछ भी नहीं है तो वन लिख ले ठीक है जी अब आप देखें इसको आप यूं लिख सकते हैं 15/1 इसको चेंज करें मल्टीप्लाई में वन ऊपर टू नीचे आ जाएगा अब ये देखें 15 वन से मल्टीप्लाई होके 15 और 10 टू से मल्टीप्लाई होके 20 इसको आप सिंपल भी कर सकते हैं तो हमने नंबर ही बताना है जी तो यह नंबर हमारा फाइंड हो चुका है जो कि उन दोनों के बिटवीन आता है 15/2 इधर भी लिख देते हैं जी 15/2 स ये आपका क्वेश्चन कंप्लीट हो गया तो यहां पे आपकी ये जो एक्सरसाइज है जी खत्म हो जाती है तो डियर स्टूडेंट्स पढ़ाते हुए कोई बात बुरी लगी है तो मैं आपसे माजर चाहता हूं बाकी अपना बहुत सारा ख्याल रखिएगा अल्लाह हाफिज पस