بسم اللہ الرحمن الرحیم السلام علیکم میرا نام سحیل اقبال ہے اور آج ہم یہاں موجود ہیں ویڈیو لیکچرز کا ایک نیا سلسلہ شروع کرنے کے لئے ان ویڈیو لیکچرز میں ہم کمپلیکس انیلیسز اور ڈیفرنشل جومیٹری کے بارے میں جانیں گے جیسا کہ نام سے ظاہر ہے کہ یہ کورس دو بڑے حصوں پر مشتمل ہے ایک حصے میں ہم کمپلیکس انیلیسز کو ڈسکس کریں گے اور دوسرے حصے میں ہم ڈیفرینچل جومیٹری کے بارے میں جانیں گے دیسے تو آپ لوگوں کو نوٹس پروائیڈ کر دیا جائیں گے لیکن از ای ریفرنس بک ہم فالو کریں گے کمپلیکس انیلیسز کے لیے کمپلیکس ویریابلز اینڈ اپلیکیشنز بائی براؤن اینڈ چرچل اور اسی طریقے سے ڈیفرنشل جیومیٹری کے لیے بھی آپ کو نوٹس پروائیڈ کر دیا جائیں گے لیکن از ای ٹیکس بک ہم فالو کریں گے Elementary Differential Geometry by Barrett O'Neill اس کورس کے پہلے حصے میں ہم Complex Analysis کریں گے اور Complex Analysis میں ہم Complex Numbers اور ان کے فنکشنز کو ڈسکس کریں گے ہم کلکولیس of complex functions کو دیکھیں گے جیسا کہ آپ جانتے ہیں کلکولیس کے دو بڑے حصے ہیں differential calculus and integral calculus differential calculus میں ہم complex functions کے derivatives اور ان کی properties کو ڈسکس کریں گے اور integral calculus میں ہمارا جو main focus ہوگا وہ cautious theorem اور اس کی applications کو ہم detail میں دیکھیں گے دفترنشل جومیٹری پارٹ میں ہم چیزوں کی جومیٹری میں انٹرسٹڈ ہیں اس میں ہم دیکھیں گے جو سمپل آبجیکٹس ہیں اپنے اردگرد فور اگزمپل کربز ہیں سرفسز ہیں ان کی کیا جومیٹری ہے اور ان کی کیا پروپرٹیز ہیں جو ان کو ڈیفرنشیئٹ کرتی ہیں ایک دوسرے سے سو آئیے شروع کرتے ہیں اپنے کورس کے پہلے حصے اس میں ہم کمپلیکس انیلیسز کریں گے اور کمپلیکس انیلیسز جیسا کہ میں نے پہلے بھی کہا کمپلیکس نمبر سے ریلیٹڈ ہیں اور ان کے فنکشن سے ریلیٹڈ ہیں سو کمپلیکس نمبر کو جاننے سے پہلے ہم یہ دیکھتے ہیں کہ نمبرز ہوتے کیا ہیں اور ہماری کیسے مدد کرتے ہیں سو اس کے لیے میں آپ کو لے چلتا ہوں اس زمانے میں جب انسانوں نے نیا نیا نمبر سسٹم کو observe کرنا شروع کیا تھا نیا نیا یہ concept آیا تھا کہ numbers کیوں چاہیے ایک اگر ایک انسان کے پاس کچھ موویشی ہیں اور وہ جاننا چاہ رہا ہے کہ اگر صبح کچھ موویشی گئے ہیں باہر اور اتنے ہی واپس آئے ہیں یا نہیں اس کے لئے ایک سمپل سا نظام یہ بنایا جا سکتا ہے کہ آپ کے پاس ہر موویشی کے لئے ایک پتھر رکھ لیا جائے اور اگر موویشی باہر گیا ہے تو رائٹ سائٹ پر رکھ لیا جائے اور اگر اندر آ گیا ہے واپس آ گیا ہے تو لیفٹ سائٹ پر رکھ لیا جائے تو اگر شام واپسی میں تمام کے تمام پتھر لیفٹ سائٹ پر موجود ہیں تو اس کا مطلب ہے تمام مویشی واپس آ گئے ہیں تو اس کو اسی سسٹم کو تھوڑا سا امپروف کریں گے تو آپ ان پتھروں کو سمبل سے ڈینوٹ کریں گے اس کا ڈیفنیلی ہمیں پائدہ ہوگا جیسے جیسے ہم آگے بڑھے تو ہمیں ان نمبر کے علاوہ اور نمبر کی ضرورت پڑی so for example ہمیں یہ بتانا پڑا کہ اگر کوئی بھی موویشی موجود نہیں ہے تو number 0 آئے گا اور اسی طرح سے ہمیں negative numbers کی بھی ضرورت پڑی لیکن معاملہ یہاں ختم نہیں ہوا اور اگر مجھے آدھی quantities بتانی ہیں in other words اگر مجھے for example بتانا ہے کہ آدھا سیب ہے تو یہ numbers enough نہیں ہیں اس quantity کو بتانے کے لیے اس کے لیے ہمیں ضرورت پڑی rational numbers کی so rational numbers کیا ہیں they are of the form موسیقی انٹیجر اور انٹیجر لیکن ریشنل نمبر بھی اس قابل نہیں تھے کہ وہ ہمارے اردگرد کی تمام کوانٹیز کو ماب سکیں میئر کر سکیں اس کے لیے میں ایک چھوٹی سی اگزمپل آپ کو دوں گا ایک ٹرائنگل کنسیڈر کریں جس کی ایک سائیڈ کی لینتھ ون ہے دوسری سائیڈ کی لینتھ ون ہے تیسری سائٹ کی لنٹ کسی بھی ریشنل نمبر سے میئر نہیں کی جا سکتی وہ لنٹ کیا ہے وہ ہم پیتھاغورس تھیورم سے یا فیساغورس تھیورم جس کو ہم کہتے ہیں اس سے ہم بہت آسانی سے میئر کر سکتے ہیں فیساغورس تھیورم کیا ہے اگر آپ کے پاس ایک سائٹ A بیس A اور پرپینڈیکولر B ہے تو ہیپورٹینیس کی لنٹ C کو کیلکولیٹ کیا جا سکتا ہے C سکوئر ایز ایکول ٹو A سکوئر پلس B سکوئر اور یہاں سے آپ c کی value آرام سے نکال سکتے ہیں a2 plus b2 so c آپ کے پاس بن گیا 2 سکوئر روٹ لیکن جیسا کہ میں نے پہلے بھی کہا کہ یہ ایسا نمبر ہے جو کہ ریشنل نہیں ہے تو اس کے لیے ایک نیا نمبر بنانے پڑے جس کو ہم کہیں گے irrational نمبر اور ان دونوں کا اگر union لے لوں rational اور irrational کو ملا لیا جائے تو ہمارے پاس real numbers بنیں گے ان real numbers کو real line سے بھی denote کیا جا سکتا ہے جس میں آپ zero اگر mid میں رکھ لیں تو اگر right side پہ جائیں گے تو positive numbers آئیں گے one, two, up to so on اور اگر left side پہ جائیں گے تو minus میں number آئیں گے minus one minus two minus three so these are real numbers question پھر وہی تھا کیا یہ number ہمارے تمام کی تمام مسائل کو حل کرنے کے لیے کافی ہیں unfortunately answer was no اس کے لیے ہم ایک اور example consider کرتے ہیں کہ کیوں یہ numbers enough نہیں ہیں اس کے لیے ہمیں equations کے concept کو دیکھنا پڑے گا equations بھی ہماری help کرتی ہیں اس کے لیے اس چھوٹی سی ایکوئیجن کو کنسیڈر کریں اس ایکوئیجن کو میں ایسے بھی دیکھ سکتا ہوں کہ اگر ایک بچہ تیرہ روپے لے کے گیا ہے مارکٹ میں اور اگر اس نے چھے کلرز خریدے ہیں اور اس کے پاس ایک روپے بچ گیا ہے تو ہر کلر کی کیا ویلیو آئے گی ہر کلر کی ویلیو نکالنے کے لیے ہمارے پاس یہ ایکوئیجن بن جائے گی اگر چھے کلرز خریدے ہیں تو ایکس سے ہم ڈینوٹ کریں گے اس کلر کی پرائس کو اور ایک روپیہ جو بچ گیا وہ یہاں پہ ہے اور 6x plus 1 should be equal to 13 یہاں سے 6x آپ کے پاس آ جائے گا 12 اور x کی value آ جائے گی 2 آپ نے یہ جان لیا کہ ہر color کی price 2 ہے similarly کچھ اور situations آئیں گی جس میں اور زیادہ ہمارے پاس مشکل complex equations آئیں گی یہاں پہ ایک step اگر اور جائیں تو ہمارے پاس quadratic equations آ جائیں گی degree 2 کی equations similarly ہمارے پاس degree 3 کی اور اور زیادہ equations بھی آ سکتے ہیں دگری ٹو کی ایک ایکوئیجن جو کچھ سیچویشن میں ہمارے پاس آ جاتی ہے وہ ہے ایک سکوئر پلس ون ایکول ٹو زیرو اب اگر میں اس کا سلوشن جاننا چاہ رہا ہوں اپنا جو پرابلم ہے جو ریل لائف پرابلم ہے اس کا سلوشن جاننا چاہ رہا ہوں تو مجھے اس کو سولو کرنا پڑے گا سو ایک سکوئر ایکول ٹو مائنس ون بن جائے گا unfortunately ایسا نہیں ہے اس کا مطلب ہے real numbers بھی اس قابل نہیں ہے کہ ہمارے تمام سوالوں کے جواب دے سکیں اس کے لیے ہمیں ضرورت پڑی ایک اور number کی جس کو ہم denote کرتے ہیں iota سے اور جو کہ square root of minus 1 کے برابر ہے so اس iota سے ہمارے پاس جو numbers بن گئے وہ اس form کے تھے اس شکل کے بن گئے a plus iota b where a and b are real numbers so ان numbers کو ہم کہتے ہیں complex numbers so cardano was the first to introduce complex numbers into algebra but he had some doubts about this thing so اس نے جو ایک چھوٹا سا problem discuss کیا جہاں سے اس نے complex number کو سب سے پہلے observe کیا so problem بہت simple سا ہے آپ نے ایک ایسا number find out کرنا ہے دو ایسے number find out کرنا ہے جو کہ دس کو دو پارٹس میں ڈیوائیڈ کر دیں اور ان کا جو پروڈکٹ ہے ان کو جب ملٹی پلائی کریں تو آنسر فورٹی آ جائے so unfortunately real numbers were not enough to answer this question اور وہاں سے اس نے سب سے پہلے تاریخ میں کمپلیکس نمبر کو observe کیا اس کے بعد بومبیلی was the first who the thing seemed to me to be based more on سوفیزم than on truth but I searched until I found the proof so بمبیلی نے یہ کہا تھا اور اس نے بھی complex numbers کو observe کیا لیکن Euler was the first جس نے اس notation کو iota کو introduce کیا اور اس کے بعد complex numbers کا باقاعدہ آغاز ہو