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Tecnologia em Gesto Pblica
> Matemtica Aplicada e Financeira Prof. George Homer
> INSTITUTO FEDERAL
> Roraima Campus Boa Vista Zona Oeste
> www.youtube.com/c/SabendoMais http://lattes.cnpq.br/4083230649242375
# 1 Funo afim
## 1.1 Definio
Chamamos de funo polinomial do primeiro grau, ou funo afim, a toda funo f : R R, em que
f (x) = ax + b, sendo a e b nmeros reais e a 6 = 0 . O grfico de uma funo afim uma reta. Na funo f (x) = ax + b, temos: i) O nmero a chamado coeficiente angular, inclinao ou declividade. ii) O nmero b chamado coeficiente linear.
Exemplos:
1) f (x) = 5 x + 2
2) f (x) = 3 x 5.3) y = 2x + 4 .4) y = x 2.5) f (x) = 5 x.6) y = 4x.
## 1.2 Clculo do coeficiente angular
O coeficiente angular a definido como a tangente do ngulo formado pela reta e pelo eixo x, tomado no sentido anti-horrio. Esse ngulo chamado de ngulo de inclinao.
Exemplos:
1) O coeficiente angular dado por a = tg 30 =
33 .
Quando o ngulo de inclinao agudo, temos que sua tangente positiva. Assim, para a > 0, a funo crescente. 2) O coeficiente angular dado por a = tg 135 = 1.
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Quando o ngulo de inclinao obtuso, temos que sua tangente negativa. Assim, para a < 0, a funo decrescente. 3) r contm os pontos P = (4 , 3) e Q = (7 , 7) .
O ngulo de inclinao indicado na figura por . Assim, temos a = tg .Logo, a tangente do ngulo pode ser calculada no tringulo retngulo indicado. Da, tg = 43 , ou seja, a = 43 .Dessa forma, sejam A = ( xA, y A) e B = ( xB , y B ) dois pontos que pertencem ao grfico de uma funo afim. O coeficiente angular a dado por:
a = yB yA
xB xA
ou, ento, a = y
x, em que
{
y variao em y
x variao em x .
## 1.3 Esboo do grfico
Para esboarmos o grfico de uma funo f : R R da forma y = ax + b, conveniente conhecermos os pontos de interseo desse grfico com os eixos coordenados. i) Interseo da reta com o eixo 0y
Fazendo x = 0 , temos y = a 0 + b = b. Logo, o ponto de interseo da reta com o eixo 0y dado pelo ponto (0 , b ).ii) Interseo da reta com o eixo 0x
Fazendo y = 0 , temos 0 = ax + b, ou seja, x = ba . Esse valor chamado de raiz ou zero da funo. Portanto, o ponto de interseo da reta com o eixo 0x dado por
(
ba , 0
)
.Marcando esses pontos no sistema de coordenadas cartesianas, temos: 2Tecnologia em Gesto Pblica
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Exemplo: Vamos construir o grfico f : R R, em que f (x) = x
4 + 1 .O nmero b indica a ordenada do ponto de interseo da reta com o eixo 0y. Logo, esse ponto igual a (0 , 1) .O nmero ba indica a abscissa do ponto de interseo da reta com o eixo 0x.Assim, temos: ba = 114= 4. Logo, esse ponto igual a (4,0) .Marcando esses pontos em um sistema de coordenadas cartesianas, basta uni-los para obter o esboo da reta.
Observao:
Dada uma funo afim f : R R definida por f (x) = ax + b. Se b = 0 , a funo chamada funo linear, o seu grfico uma reta passando pela origem do sistema de coordenadas.
Exemplo: Vamos construir o grfico f : R R, em que f (x) = x
4 .
## 1.4 Estudo do sinal da funo afim
Estudar o sinal de uma funo f (x) significa descobrir os valores de x para os quais f (x) < 0 ou
f (x) = 0 ou f (x) > 0.Como exemplo, tomemos o grfico da funo f : R R, em que y = ax + b, com a > 0.3Tecnologia em Gesto Pblica
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Observe que ba o ponto no qual a funo nula, ou seja, uma raiz. Para valores de x menores do que a raiz, os valores correspondentes de y so negativos. J para valores de x maiores do que a raiz, os valores correspondentes de y so positivos. Indicamos esses resultados no esquema a seguir:
Os sinais e + representam os sinais de y para o intervalo de x considerado. Analogamente, com a < 0, observamos que, para valores de x menores do que a raiz, os valores correspondentes de y so positivos. J para valores de x maiores do que a raiz, os valores correspondentes de y so negativos. Indicamos esses resultados no esquema a seguir:
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## 1.5 Problemas propostos
1. (ENEM) Uma indstria automobilstica est testando um novo modelo de carro. Cinquenta litros de combustvel so colocados no tanque desse carro, que dirigido em uma pista de testes at que todo o combustvel tenha sido consumido. O segmento de reta no grfico mostra o resultado desse teste, no qual a quantidade de combustvel no tanque indicada no eixo y (vertical), e a distncia percorrida pelo automvel indicada no eixo x (horizontal).
A expresso algbrica que relaciona a quantidade de combustvel no tanque e a distncia percorrida pelo automvel A) y = 10 x + 500 .B) y = x
10 + 50 .C) y = x
10 + 500 .D) y = x
10 + 50 .E) y = x
10 + 500 .2. (ENEM) Em um municpio foi realizado um levantamento relativo ao nmero de mdicos, obtendo-se os dados:
Tendo em vista a crescente demanda por atendimento mdico na rede de sade pblica, pretende-se promover a expanso, a longo prazo, do nmero de mdicos desse municpio, seguindo o comportamento de crescimento linear no perodo observado no quadro. Qual a previso do nmero de mdicos nesse municpio para o ano 2040? A) 387. B) 424. C) 437. D) 574. E) 711. 5Tecnologia em Gesto Pblica
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3. (ENEM) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formao das figuras est representada a seguir.
Que expresso fornece a quantidade de canudos em funo da quantidade de quadrados de cada figura? A) C = 4 Q. B) C = 3 Q + 1 . C) C = 4 Q 1. D) C = Q + 3 . E) C = 4 Q 2.4. (ENEM) Em um ms, uma loja de eletrnicos comea a obter lucro j na primeira semana. O grfico representa o lucro (L) dessa loja desde o incio do ms at o dia 20. Mas esse comportamento se estende at o ltimo dia, o dia 30.
A representao algbrica do lucro (L) em funo do tempo (t) A) L(t) = 20 t + 3 000 .B) L(t) = 20 t + 4 000 .C) L(t) = 200 t.D) L(t) = 200 t 1 000 .E) L(t) = 200 t + 3 000 .5. (ENEM) Uma empresa tem diversos funcionrios. Um deles o gerente, que recebe R$ 1 000,00 por semana. Os outros funcionrios so diaristas. Cada um deles trabalha 2 dias por semana, recebendo R$ 80 ,00 por dia trabalhado. Chamando de X a quantidade total de funcionrios da empresa, a quantia Y , em reais, que esta empresa gasta semanalmente para pagar seus funcionrios expressa por A) Y = 80 X + 920 .B) Y = 80 X + 1000 .C) Y = 80 X + 1080 .D) Y = 160 X + 840 .E) Y = 160 X + 1000 .6Tecnologia em Gesto Pblica
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6. (ENEM) A quantidade x de peas, em milhar, produzidas e o faturamento y, em milhar de real, de uma empresa esto representados nos grficos, ambos em funo do nmero t de horas trabalharas por seus funcionrios.
O nmero de peas que devem ser produzidas para se obter um faturamento de R$ 10 000,00 A) 2 000. B) 2 500. C) 40 000. D) 50 000. E) 200 000. 7. (ENEM) As sacolas plsticas sujam florestas, rios e oceanos e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhes de sacolas plsticas. Os supermercados brasileiros se preparam para acabar com as sacolas plsticas at 2016. Observe o grfico a seguir, em que se consideram a origem como o ano de 2007.
De acordo com as informaes, quantos bilhes de sacolas plsticas sero consumidos em 2011? A) 4,0. B) 6,5. C) 7,0. D) 8,0. E) 10,0. 7Tecnologia em Gesto Pblica
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8. (ENEM) Um sistema de depreciao linear, estabelecendo que aps 10 anos o valor monetrio de um bem ser zero, usado nas declaraes de imposto de renda de alguns pases. O grfico ilustra essa situao.
Uma pessoa adquiriu dois bens, A e B, pagando 1 200 e 900 dlares, respectivamente. Considerando as informaes dadas, aps 8 anos, qual ser a diferena entre os valores monetrios, em dlar, desses bens? A) 30. B) 60. C) 75. D) 240. E) 300. 9. (ENEM) A conta de telefone de uma loja foi, nesse ms, de R$ 200,00. O valor da assinatura mensal, j incluso na conta, de R$ 40,00, o qual d direito a realizar uma quantidade ilimitada de ligaes locais para telefones fixos. As ligaes para celulares so tarifadas separadamente. Nessa loja, so feitas somente ligaes locais, tanto para telefones fixos quanto para celulares. Para reduzir os custos, o gerente planeja, para o prximo ms, uma conta de telefone com valor de R$ 80,00. Para que esse planejamento se cumpra, a reduo percentual com gastos em ligaes para celulares nessa loja dever ser de A) 25%. B) 40%. C) 50%. D) 60%. E) 75%. 10. (ENEM) Em uma corrida de dez voltas disputada por dois carros antigos, A e B, o carro A completou as dez voltas antes que o carro B completasse a oitava volta. Sabe-se que durante toda a corrida os dois carros mantiveram velocidades constantes iguais a 18 m/s e 14 m/s . Sabe-se tambm que o carro B gastaria 288 segundos para completar oito voltas. A distncia, em metro, que o carro B percorreu do incio da corrida at o momento em que o carro A completou a dcima volta foi mais prxima de A) 6 480. B) 5 184. C) 5 040. D) 4 032. E) 3 920. 8