इंटीग्रेशन का परिचय
इंटीग्रेशन क्या है?
- इंटीग्रेशन को एंटी डेरिवेटिव भी कहा जाता है।
- यह डिफरेंशिएशन का उल्टा प्रक्रिया है।
- यदि आप fx + c को डिफरेंशिएट करते हैं, तो gx प्राप्त होता है।
- gx को इंटीग्रेट करने पर fx + c प्राप्त होता है।
इंटीग्रेशन के महत्वपूर्ण तत्व
- c: यह इंटीग्रेशन का कॉन्स्टेंट होता है, जिसे इंटीग्रेशन कॉन्स्टेंट भी कहते हैं।
लीनियर सब्सटिट्यूशन
- जब आप fx का dx के संबंध में इंटीग्रेशन करते हैं, तो gx प्राप्त होता है।
- x की जगह ax + b का सब्सटिट्यूट करें।
- केवल x की जगह ax + b होना चाहिए।
- इसके इंटीग्रेशन का परिणाम भी g में होगा, और इसे x के गुणांक से विभाजित करें।
इंटीग्रेशन के फॉर्मुला
- $$\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$$ (n ≠ -1)
- $$\int \frac{1}{x} , dx = \ln |x| + c$$
- $$\int e^{ax} , dx = \frac{e^{ax}}{a} + c$$
- $$\int \sin x , dx = -\cos x + c$$
- $$\int \cos x , dx = \sin x + c$$
- $$\int \sec^2 x , dx = \tan x + c$$
- $$\int \sec x , dx = \ln |\sec x + \tan x| + c$$
महत्वपूर्ण फॉर्मुला याद करने के लिए
- सभी इंटीग्रेशन फॉर्मुला याद रखना आवश्यक है।
इंटीग्रेशन बाई पार्ट्स
- यदि कोई दो फंक्शन्स के गुणनफल का इंटीग्रेशन है:
- इसे पहले फंक्शन के रूप में मानें।
- फिर इसे दूसरे फंक्शन के इंटीग्रेशन के साथ जोड़ें।
इंवर्श फंक्शन इंटीग्रेशन
- यदि $G(x)$ और $F(x)$ एक-दूसरे के इंवर्श हैं, तो:
- $$\int F(x) , dx = xG(x) - \int G(x) , dx$$
डिफिनिट इंटीग्रेशन
- डिफिनिट इंटीग्रेशन को लिमिट के साथ किया जाता है।
- इसे नीचे लिखी गई सीमाओं के साथ इंटीग्रेट करें।
- पहले ऊपरी सीमा के लिए इंटीग्रेशन करें, फिर निचली सीमा के लिए।
जॉर्जेस दरेवेटिव विशेषताएँ
- किसी भी फंक्शन की ग्राफ में यदि कोई जगह discontinuous है, तो उसका इंटीग्रेशन प्रभावित होगा।
- यदि $F(a)=F(b)$, तो ग्राफ का क्षेत्रफल 0 होगा।
इंटीग्रेशन की विधियाँ
- पार्शियल फ्रैक्शंस: यदि कोई रैशनल फंक्शन है तो उसे पार्शियल फ्रैक्शन में बाँटें।
- ट्रिग्नोमेट्रिक इंटीग्रेशन: यदि $ rac{dx}{a + b ext{cos}(x)}$ दिया गया है, तो उसे इस रूप में इंटीग्रेट करें।
- इनहेरेंट इंटीग्रेशन: यदि कोई फंक्शन दिखता है, तो उसे उचित सब्सटिट्यूट करें।
महत्वपूर ्ण प्रॉपर्टीज़
- न्यूटन-लेबनीज़ नियम: इंटीग्रेशन का मूल सिद्धांत।
- यदि $F'(x) = f(x)$, तो $\int f(x) , dx = F(x) + c$।
निष्कर्ष
- इंटीग्रेशन एक महत्वपूर्ण अवधारणा है जो गणित की विभिन्न शाखाओं में उपयोगी है।
- इसे सही तरीके से समझना और अभ्यास करना आवश्यक है।
- सभी फॉर्मुलों और विधियों को सीखना आवश्यक है।
याद रखें: इंटीग्रेशन के सभी फॉर्मुलों और विधियों को बार-बार दोहराना और अभ्यास करना सबसे महत्वपूर्ण है!
इस सामग्री को ध्यान से पढ़ें और अपने नोट्स में लिखें।