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इंटीग्रेशन का महत्वपूर्ण परिचय

हेलो बच्चों कैसे हैं आप लोग उम्मीद एकदम मास्त होंगे जबरदस्त होंगे आपका बहुत बहुत बहुत बहुत बहुत स्वागत है हमारे प्यारे से चैनल जेवाला में और आज हम लोग रिवाइस करने वाले हैं पूरा का पूरा इंटिग्रेशन पूरा का पूरा सबसे बहने शुरुवात करते हैं कि ये integration होता क्या है? integration को बच्चों हम anti derivative भी बोलते हैं मतलब जो integration होता है sir वो reverse phenomena होता है differentiation का इसका sir क्या मतलब होता है मैंने कहा भीया अगर आप fx plus c को differentiate करते हो तब आप अगर gx पाते हो तो sir इसका मतलब ये है कि sir जब आप gx को integrate करोगे जब आप भीया gx को integrate करोगे इसे पढ़ते कैसे है with respect to d क्योंकि differentiate किया था with respect to dx तो integrate भी करेंगे with respect to dx तो भाई साहब answer आता है आपका fx plus c यहां बे बहिया c एक constant है इसको बहिया लिखना बहुत जादा जरूरी है यह होता है constant of integration इसे बोलते हैं या फिर कुछ लोग इसे integration constant बोलते हैं इसको बहिया लिखना बहुत जादा जरूरी है कुछ भी या सबसे important चीज linear substitution सर ये linear substitution क्या है मैंने का भी या अगर आप fx का dx के respect में integration करते हो मानो बेटा gx आता है तो अगर आप यहाँ पे इस वाले x की जगा इस वाले x की जगा linear substitution करते हो मतलब ax plus b करते हो दियान दीजे का भी या यहाँ पे जो a और b हैं वो number सोएंगे ये constant सोएंगे ये variable नहीं होंगे इतन की value दी जाएगी for example 2 और 3, minus 2, minus 3, 22 by 7, alpha, 1, 2, कुछ ना कुछ इनकी value दी जाएगी तो सर देखो मैंने किया क्या, सर fx में x की जगा ax plus b किया है, ax square plus b नहीं किया है, ax cube plus b भी नहीं किया है a sine x plus b भी नहीं किया है, मतलब भी यहाँ पे सिर्फ substitution क्या हो सकता है, x की जगा ax plus b तो सर इसका integration क्या आता है सर इसका integration आता है same g में आता है बट यहाँ पे ax plus b हो जाता है और सर पूरे को हमें इस वाले x के coefficient से divide करना पड़ता है और plus c तो जरूर लिखना है इसे बोलते हैं भाई linear substitution उसके बाद भाईजा अगर x की power n का आप integration करते हो तो ये formula होता है x की power n plus 1 upon n plus 1 यहाँ पे बेटा n minus 1 के बराबर नहीं होता है उसके बाद भाईजा अगर आप 1 upon x को integrate करते हो तो आता है ln mod x plus c अगर आप एकी power x को integrate करते हो तो आता है एकी power x upon ln a अगर बेटा sin x को integrate करते हो तो सक square x का integration tan x plus c होता है, देखो उल्टा process है, अगर आप इसे differentiate करोगे, तो सर यहाँ पे sec square x आ जाएगा, इसलिए सर इसे anti derivative कहा जाता है, sin x का differentiation cos x हो जाएगा, minus cos x का sin x हो जाएगा, एक ही power x upon ln a का एक ही power x हो जाएगा, ऐसे कर आप right वालों को differentiate करते जाओगे, है सर, yes, ऐसे भाई cos x square x का क्या formula होता है, minus cot x plus c होता है, 1 plus x square का tan inverse x इसका sin inverse x by a इसका tan inverse x by a और यहाँ पे 1 by a होता है Generally students भी यहाँ confused रहते हैं इसको भी यहाँ बहुत ध्यान दीजेगा कि अगर आप यहाँ पे sin inverse बना रहे हो तो यहाँ पे 1 upon a नहीं होता है जबकि tan में होता है उसके बाद इसका sec inverse x plus c होता है इसका sin inverse x plus c होता है और इसका 1 upon a sec inverse x by a होता है ये बाई सारे के सारे फॉर्मले आपको याद होने चाहिए उसके बाद भाई सब दो फॉर्मले और है कि सर अगर सेक एक्स को इंटिग्रेट करोगे तो ये आता है और सर अगर आप कॉसिक एक्स को इंटिग्रेट करोगे तो सर ये आता है ये होता है minus ln cos of cosic x plus cortex इसका एक और फॉर्मला होता है जो students के वीचे वह या famous है वो ताइब या cosic x minus of cortex plus c ठीक है भाई और हाँ यह कैसे बनेगा, minus 1 आप यहाँ पे log की property लगा दोगे, तो आप यहाँ पे पहुँच जाओगे उसके बाद भाई साम आता है यहाँ पे under root of a square minus x square dx यह भाई बहुत important formula है यह आपको याद होने चाहिए इसको एक paper में लिखके दिवार में चिपका लो इन formula को रोज देखो क्योंकि भाई थोड़े lengthy formula है और इसमें mistake होने के chances है तो यार इसका integration होता है 1 upon a x into under root a square minus x square plus a square sine inverse x by a plus c इसका भाई साम integration यह होता है सर इसका integration यह होता है मैं बोल नहीं रहा हूँ क्या होता है पर आपको यह याद करना है चलो पढ़ देता हूँ, under root of x square plus a square होता है, half x under root x square plus a square plus a square ln of x plus under root x square a square plus c, उसके आदम भी यह under root of x square minus a square क्या होता है, दोनों देखे सेम टाइप के formula है, अगर आपने यह वाला formula याद कर लिया है, तो यह वाला automatically याद हो जाएगा, देखे जहां जहां फरक है, सिर मैं underline कर दे रहा हूँ, सर यहाँ पे plus था, यहाँ पे minus है, बिल्कुल से अपन अंडर रूट a square minus x square का होता है 1 upon 2a ln of a plus x upon a minus x और सर ये तो आप समझी रहे हैं कि ये उपर वाले को minus से दोनों साइड मल्टिप्लाई करो तो ये आ जाएगा मतलब अगर बिटा अपने उपर वाला याद कर लिया तो नीचे वाला आपको आटोमेटिकली याद हो गया है हैं सर? हाँ उसके बाद आता भी या integration by substitution अगर कोई formula सवाल में काम नहीं आ रहा है linear substitution सवाल में नहीं हुआ है तो sir integration by हम लोग substitution use करते हैं इसको बोलते हैं भाई technique number one तो भाई साब इसमें क्या होता है इस तरफ का format होता है इसके अलावा भी बेटा format हो सकता है example मैंने ये लिया है जैसे भाई यहाँ पे हम लोग fx को assume कर लेते हैं बेटा t तो जैसे भाई यहाँ पे fx को हम लोग t assume करेंगे तो सर इससे f-x dot जो dx है this will equal to dt यानि सर इससे आपक divided by n plus 1 plus c, और finally सर आप t को put कर देना, fx है सर, हाँ बेटा, उसके बाद भी यह देखो, कुछ suggested substitution है, कि भी आ, कौन से सवाल में, कौन सा substitution आपको use करना है, अगर कहीं भी भी यह वाला term आपको दिख जाए, under root of a square minus x square, तो यहां तो x को put कर दो, या फिर भाई x को put कर दो a cos theta आपका answer आ जाएगा generally लोग या first वाला put करते हैं उसके बाद में क्या होता है भाई अगर कहीं पे under root of a square plus x square आपको दिख जाए तो आब x को या तो put कर दो a tan theta या तो put कर दो a cot theta generally लोग या a tan theta put करते हैं अगर भाई कहीं पे आप ऐसा कुछ देख लो तो या तो x को put कर दो a sec theta या तो कर दो a cos sec theta generally लोग ये first वाला भी या put करते हैं अगर मुन्ना आपको कहीं पे ऐसा format दिख जाए under root of a square minus x square upon a square plus x square तो भी आपको x square को ये put करना होता है तो ये कुछ सवाल जो भी आपको बहुत op type के आते हैं उनका integration करने में भाई इससे सवाल तोड़ा easy हो जाता है हैं सर? Yes उसके बाद भाई साब अगर सवाल direct formula नहीं use हो रहा है या फिर substitution से भी नहीं हो रहा है तो भाई आप use कर सकते हो integration by parts इसका दूसरा नाम होता है sir ये product rule होता है integration का अगर दूसरा फंक्शन मल्टीप्लाइड है जैसे यहां पर एफेक्स है उसके बाद में क्या है सर जीएक्स है तो सर देखिए इन में से किसी एक को फर्स्ट फंक्शन मानते हैं कैसे मानते हैं अभी मैं आपको बताऊंगा तो उसका फॉर्मला क्या होता है सर सबसे इंटीग्रेशन लिखना है सेकंड फंक्शन का जिसको भी सेकंड फंक्शन माना है और उसके बाद में इंटीग्रेशन सर यह सेकंड फंक्शन का आपको किस से multiply करना है differentiation of first function से multiply करना है फिर पूरे को integrate कर देना है और हाँ जो choice है first और second function की ये नहीं कि किसी को भी first मान लो और किसी को भी भी second function मान लो तो देखो ये sir हम isolate logic एक होता है उस से decide करते हैं कि किस को first function मानना है और किस को second function मानना है I का मतलब होता है inverse trigonometric functions L का मतलब होता है Logarithmic Functions, A का मतलब होता है Algebraic Functions, Sir T का मतलब होता है Trigger Functions, E का मतलब होता है Exponential Function. तो भाईया जो function priority order में उपर होता है उसको हम मानते है first function.

और सर जो priority order में नीचे होता है इसको हम मानते है second function जैसे बच्चा कोई तुमसे ऐसा बोल दे कि एक सवाल में एक जगे ITF function है और एक trigonometry है तो first function मानोगे ITF को second मानोगे trigonometry को मानो दो function algebraic और exponential है तो उपर उसको वाले को first function मानोगे और नीचे वाले को second function मानोगे ये होता है isolate logic दो बेटा क्लासिक इंटीगरल है अगर भाई कहीं पर इजी पावर एक्स में कोई भी फंक्शन एफ एक्स और उसका डिफरेंशियेशन डीएक्स आ जाए तो उसका अंसर हमेशा होता है इजी पावर एक्स इंटू एफ एक्स होता है डिफरेंशियेशन वाला नहीं इंटू एफ एक्स प्लस सी होता है अगर भी यह फॉरमेट आ जाए एफ एक्स प्लस एक्स टाइम्स एफ डेश एक्स तो अंसर भी एक तो यह दो बहुत important formula हैं जिससे बहुत बड़े बड़े सवाल जो होते हैं वो छोटे में बाई shrink हो जाते हैं for example इसका भी आई कि मैं example बताता हूँ आपको दिया हुआ है e की power x sin x plus दिया हुआ है cos x dot दिया हुआ है dx तो आप बिटा यह समझ सकते हो कि यह वाला अगर भी आ fx मानेगा तो सर यह वाला f'x हो जाएगा और आपको बता है सर यह same format हो गया है तो उसका answer आएगा e की power x into fx plus c देखो बिया directly answer आ गया, तो ये बिया बहुती classy चीज़े है, अगर ये formula याद कर लिया है, comment कर दो, classy with दिल दिल, हैं सर, हाँ बेटा उसके बाद भी यह देखो कुछ key points आते हैं, कुछ important formats हैं, अगर किसी सवाल में भाई dx upon quadratic दिख जाए, या dx upon under root quadratic दिख जाए, तो सर आपको यहाँ पे perfect square बनाना है, और फिर सर इसको integrate कर देना है, अगर भाई साथ कहीं पे क्या हो, linear upon quadratic दिख जाए, और साथ में linear upon under root quadratic दिख ज a times नीचे वाले का differentiation plus कोई constant सर यहाँ पे आपको a और b की value निकालनी होती है सर कैसे निकालती है यहाँ से x का coefficient इसके x coefficient से आप compare करते हो constant वाला इससे compare करते हो a और b की value आजाएगी फिर linear को put कर देते हो फिर यह easily integrate हो जाता है आपको यह mind map तबी देखना है जब आपने integration पढ़ लिया है mind map मतलब कि सारी चीजों का quick revision है, सारे formula का quick revision है, ठीक है, आईए, उसके बाद भी आता है integration by partial fractions, partial fraction का भी यह सबसे important ज्यान है, कि अगर भी आप कहीं पे partial fraction लगा रहे हो, तो सर आपको यह ध्यान रखना है, कि सर जो भी rational function दिया है, rational function मतलब division वाला, अपन पॉलिनॉमियल उसमें सर उपर वाले की जो degree है वो कम होनी चाहिए नीचे वाले की degree जादा होना चाहिए उसी को बेटा हम लोग क्या बोलते हैं proper fraction यानि सर proper fraction का मतलब होता है जो degree of numerator है वो कम होगी denominator से अगर भाई सवाल में proper fraction नहीं दिया हुआ है, तो बेटा हम लोग क्या करते हैं, हम लोग बेटा क्या करते हैं, पहले उसे proper में convert करते हैं, सर वो कैसे convert करते हैं, सर long division method से, divide करके सर उसे proper fraction में convert करते हैं, उसके बाद मैं आता हूँ, यह क्या rule होता है, अगर सर denominator में non-repeated linear factors दिये हैं, सर देखो non-repeated linear factor है, ठीक है भाई ये देखो proper fraction है उपर की degree 2 है नीचे की degree 3 है जब तीनों को multiply करोगे तो x cube आएगा इसको लिख दो sir a upon x minus 1 इसको लिख दो भाई साब b upon x plus 3 इसको लिख दो भाई साब c upon x minus 4 बहुत बढ़िया उसके बाद में क्या है simplify करो cross multiply करो और sir abc की value निकाल लो simplify करेगा तो ab उसके बाद भी आता है role number 2, जिससे भी यह denominator में क्या होता है, repeated linear factors होते हैं, repeated linear factor मतलब जैसे देखो perfect square वाले, तो देखो इस वाले को हम लोग क्या करेंगे, सबसे पहले उपर की degree बेटा 3 है, नीचे की degree देखो x की power 4 highest आएगा, मतलब सर यह proper fraction है, तो इसको आप लिख दोगे a upon फिर से भाई जैसे आप इसको compare करोगे तो तुम्हाँ पास A, B, C और D की value आ जाएगी बहुत अच्छे उसके आप माता भी है rule number 3 अगर भाईसाब denominator में non-repeated quadratic factors होते हैं जैसे आप देखो भाईया ये जो आपको दिया ये quadratic factor है जो factorize नहीं हो सकता है तो इसको भाईया ऐसे लिख देते हम लोग a upon जैसे भाईया पहला आपने linear factor लिख दिया a upon x-1 और दूसरा देखो आपको linear upon quadratic form में लिखना होता है क्योंकि ये देखो on linear factor में तूट नहीं सकता और बिटा फिर से इसको compare करना होता है इससे सर आपके पास a b और c की value आ जाएगी है सर यस बेटा आगे आते हैं भाई आगे देखिए भाई साथ क्या आता है कि ट्रिग्नोमेट्रिक फंक्शंस का कैसे इंटेग्रेशन होता है जैसे भाई साथ आप यहां पर देखोगे अगर कभी आपको ऐसा फॉरमेट मिल जाए डीएक्स अपन ए प्लस बी कॉस स्क्वेर एक्स ए और भी नंबर होंगे कॉन्स्टेंट होएंगे ए अपन अ एप्लस बी साइन स्क्वेर एक्स या फिर भी देखो यह आपको जो फॉरमेट दिख रहा है ऐसा कोई भाईया फॉरमेट दिख जाए एसर हां यहां पर ध्यान दीजिएगा साइन एक्स इंटू कॉसेक्स है यहां पर भी आप प्लस साइन एक्स प्लस कॉसेक्स प्लस की चीज नहीं होनी चाहिए सिर्फ पॉइंट इस होना चाहिए यहां पर को मिस्टेक इसको जरा सही कर दो मैं यहां sin x cos x multiplication में होना चाहिए, same format में इनका square यहाँ पे नहीं होना चाहिए, यहाँ पे होना चाहिए sin square x, तो सर देखो क्या करते हैं हम लोग, सर numerator और denominator में cos square x से divide कर देते हैं, फिर सर यह किसी ना किसी known चीज में convert हो जाता है, इससे यह easily integrate हो जाता है, उसके बाद भी टाइप नंबर 2 क्या आता है अगर आपको दिया डी एक्स अपन ए प्लस बी कॉस एक्स डी एक्स अपन ए प्लस बी साइन आपको यह पूट कर देना इससे सवाल इजली हो जाएगा फॉर्मेट ध्यान रखना यह क्या भाई कॉस एक्स और sin x constant, a plus b sin x हो सकता है, a plus b cos x हो सकता है, a और b numbers है, अगर भाई साब इस type की चीज आती है, जैसे आप यहाँ पर देख रहे हो, sir a sin x है, b cos x है, constant है, d sin x है, e cos x है, constant है, तो देखें method क्या होता है बेटा, इसमें जो भी आपका numerator दिया होता है, एक a times denominator, b a times denominator का differentiation, पर plus constant, उसके बाद भाई इसको simplify करके हम ABC की value निकालते हैं, जैसे sir ABC की value आ जाती है, फिर इसको भाई यहाँ numerator जगे put कर देते हैं, divide करते हैं, sir यह known integration में convert हो जाता है, उसके बाद आता है भाई यह, इसको बोलते है algebraic twins, जैसे यह format है, x square plus 1 upon x की power 4 plus kx square plus 1, x square minus 1, x की power 4, kx square minus 1, देखिए दोनों same type के हैं, सिर्फ सर देखो फरक किस में है, मैंने कहा भाईया numerator में सिर्फ और सिर्फ फरक है, तो देखिए ऐसे case में क्या करते हैं, आप numerator और denominator में x square से divide करिए, बहुत बढ़िया, x square से divide करिये, तो भाई साफ अगर numerator में ये बन जाता है, 1 minus 1 by x square dx अगर ऐसा कुछ बन जाता है, तो भी आपको x plus 1 by x को t मनना है, क्योंकि आपको समझ में आ रहा होगा, इसी का differentiation ये हो जाएगा, अगर सर आपका numerator में ऐसा कुछ बन जाता है, sorry, ऐसा कुछ बन जाता है, numerator में, 1 plus 1 by x square into dx, तो सर आपको इसको t put करना है क्योंकि इसी का differentiation ये हो जाएगा मतलब minus वाला बन रहा है तो plus वाले को t put करना है और अगर plus वाला बन रहा है तो minus वाले को इतना put करना है बहुत बढ़िया सर बहुत ज़्यादा अच्छे इसके बाद आता भी है trigonometric twins या फिर आपको दिया है cos x minus sin x ये numerator में है बहुत अच्छे और इसे denominator में क्या दिया हुआ है denominator में दिया है b plus 2 बहुत अच्छे b plus sin2x या फिर under root b plus sin2x अगर भी यह ऐसा कुछ denominator में दिया है तो भी यहाँ पे आपको ध्यान देना है कि अगर भी यह numerator में यह वाली चीज present है तो आपको sinx minus cosx को मनना है t और अगर numerator में ऐसा कुछ present है तो आपको भाईसाब यहाँ पे sinx plus cosx को मनना है t कि sir इसका differentiation उपर हो जाएगा इसका differentiation ये हो जाएगा और हाँ अगर इसको t माना है तो देखे बईया इससे क्या हो सकता है दोनों साइड square कर दीजिए जैसे बेटा आप दोनों साइड यहाँ पे square करोगे यहाँ भी यहाँ भी जैसे बेटा आप इसे square करोगे तो sin square x plus cos square x आएगा 1 minus आजाएगा भाईसा आप 2 sin x into cos x बहुत अच्छे बराबर आजाएगा t square ये formula sin 2 x को होता है इसको उधर बेज दो तो sir 1 minus t square की value कितनी हो जाएगी this will be sin 2x हैं sir same भी है इसमें क्या हो जाएगा यानि आप ये समझ गए हो कि sir इस वाले sin 2x को आप ये value दे दोगे and sir इसको जैसे आप square करोगे तो यह आजाएगा 1 plus sin 2x कैसे आएगा sir sin square x cos square x तो सम 1 होता है 2 sin x cos x sin 2x होता है बराबर आजाएगा beta t square इससे beta क्या होगा जो sin 2x है this will equal to t square minus 1 तो यह चीज आपको अपने short notes बना लेने हैं आपको अपनी copy में लिख लेना है और यह already आपकी copy में लिखा ही होगा इसलिए आप यहाँ पे revise करने आए हो अगर इंटिग्रल इस form कहता है sign की power mx cos की power nx इस ताइब की चीज होती है तो देखो इसके different formats होते हैं अगर भाई m odd है m का मतलब क्या sign की power odd है तो भाई cos को t मानो अगर भाई cos की power odd है तो sign को t मानो अगर भाई सब दोनों के दोनों odd हैं तो सर या तो sine x को t put करते हैं या तो cos x को दोनों से भाई answer आ जाएगा अगर भाई दोनों even है तो सर multiple angle form आपको use करना होता है सर multiple angle form क्या होता है कि सर आपको पता है कि सर multiple multiple angle form को मतलब यह होता है कि सर कहीं भी अगर आप sin square x लिखना चाहो तो यह हो जाता है 1 minus cos 2x by 2 और भाई अगर आप यहाँ पे cos square x लिखना चाहो तो यह हो जाता है 1 plus cos 2x divided by 2 और भाई सब कहीं पे अगर आप sin x into cos x लिखना चाहो तो यह हो जाता है भाई sin 2x by 2 तो बेटा यह ऐसे solve होता है कि सबसे इंपोर्टेंट यह है इस पर यह सवाल आ भी जाता है यह बहुत ज्यादा इंपोर्टेंट है इस पर सवाल बोर्ड में भी बिटा सकता है ठीक है ना अगर भाई एम प्लस एन आपको कोई नेगेटिव इवेन इंटीजर आ जाए यह भाई आप टैनेक्स को टी मान लो और इंजॉय करो इसमें भी यह सवाल आपके बोर्ड में भी आ सकता है हैं सर हां यह बहुत important type है इस पे सवाल मेंस में आया हुआ है और आ भी सकता है जै मेंस में आपी के साल में तो देखें बहुत important type है इस पे सवाल मेंस में आया हुआ है और आ भी सकता है जै मेंस में आपी के साल में तो देखें बहुत important type है इस पे सवाल में आपी के साल में तो देखें बहुत important type है इस पे सवाल में आपी के साल में आपी के साल में क्योंकि बईया सबसे आदा संभावना इसी पे सवाल आने की है हैं सर बिल्कुल मेंस में एकदम सही अब बईया आते हैं यहाँ पे irrational algebraic functions तो irrational का मतलब क्या होता है सर हम कर रहे हैं यहाँ पे root वाले algebraic functions तो बईया अगर यह अलग format होता है मतलब dx upon linear root linear है जो भी यहाँ पे root के अंदर होता है उसको हम मान लेते हैं t square जैसे कि ये वाला सवाल है, root के अंदर वाले को मान लो, t square, काम तमाम, यहां से भी x की value निकालो, जैसे भी x की value निकालोगी, यहां जाएगा t square plus 3 divided by 4, इसको भी यह इस वाले x की जगह पुट कर दो, सवाल चुटकी बजाते ही हो जाएगा, उसके बाद ने भी यह देखे, second पहला वाला quadratic है, root linear है, तो देखें भी यह जो भी चीज root के अंदर आती है, उसको हम लोग क्या मानते हैं सर, उसको हम t square मानते हैं, जैसे यहाँ पे x-3 को मानेंगे t square, उसके बाद में क्या हो जाएगा सर, x का value आ जाएगा t square plus 3, वो यहाँ पे बेटा हम put कर देंगे, x square plus 5x- linear under root quadratic तो भी यह जब कभी quadratic root में बेटा फसेगा तो उस time क्या होगा सर आपको इस linear वाले को जब भी कभी quadratic बईया यहाँ पे root में फस रहा है तो सर इस linear वाले को आपको 1 by t पूट करना है यानि आपको यह समझ में आ गया होगा कि जब linear root के अंदर है तो उसे t square मानो लेकिन जब quadratic अंदर फसा है तो भीया उसको 1 by t मानो जैसे यहाँ पे मैंने x plus 1 को माना हुआ है 1 by t सवाल तुरंद हो जाएगा इसके बाद भीया आपको मिल जाए quadratic under root quadratic मतलब ये कौन सा format है this is quadratic under root quadratic तो इसमें क्या करते हैं अगर भाईया इसके if it has it has का मतलब मैं किसकी बात कर रहा है मैं भाईया बात कर रहा है ax square bx plus c की मैं root के अंदर वाले की बात नहीं कर रहा है अगर ये two distinct linear factors में बेटा तूड़ जाता है तो देखो य तो भी यह जैसे आप इसका बेटा partial fractions करते हो है सर हाँ जैसे बेटा आप इसमें partial fractions करोगे तो partial fractions करते ही यह सर देखो किसमें convert हो जाएगा यह भी यह 2 1 upon 2 होंगे ऐसे 1 upon linear under root quadratic में बेटा तूट जाएगा तो यह देखो भी यह इस वाले method से हो जाएगा ठीक है मैं देखो बार-बार कह रहा हूं कुछ लोग को गुस्सा भी आ रहा होगा यार यह क्या बहुत जल्ली बता रहे हैं एग्जाम्पल भी कराओ तो भाई ये माइंड मैप सीरीज है डिटेल्ड स्टडी के लिए भाई साब मंजिल लेजेंड है आप जानते हो या फिर जो रिवीजन करना चाहते हैं, मैं बार बार कहता हूँ, जो भाई रिवीजन करना चाहते हैं, अगर वाई यहाँ पे कुछ भी समझ में नहीं आएगा, अगर आपने एक बार पढ़ लिया है, तो ही बेटा आपको यहाँ पे रहना है, अगर वाई यहाँ पे आपको कु तब भी नहीं समझ में आएगा मतलब आपको जितने फॉरमेट मैं यहां पर दिखा रहा हूं वह सारे के सारे बेटा फॉरमेट आपके पड़े हुए होने चाहिए एक बार तभी यहां पर बेटा समझ में आएगा और वह एक बार ऐसा नहीं कि ऐसे रह लिए थे प्रैक्टिस करी हुई होनी चाहिए खून में भी एकदम कोई चीजें दोरनी चाहिए अब यह अगली चीज़ आती है कि देखो अगर यहां पर एक्स स्क्वेर बी एक्स प्लस सी अगर भाई परसेक्ट स्क्वेर हो जाता है मतलब मैं इसकी बात कर रहा हूं रूट वाले क्वाटरेटिक की नहीं इसमें दिफरेंट केसेस हैं यह फोर्ट का पहला केस था कि अ� करना है इतने का पार्शल फ्रेक्शन कर देना है तो सर यह टोटल दो वन अपन लीनियर रूट क्वाड्रेटिक में हो जाएगा जो बिटा मैसेज सॉल्व कर लेंगे लेकिन अगर भाई साहब यहां पर इस वाले के क्या यह पर फेक्ट स्क्वेयर यहां पर जो चीज दी गई है इसके एक्स प्लस वन को भाई साहब हमें वन बाई टी मान लेना है अब देखिए तीसरा केस आता है पिसरा case है अगर भी या B और Q 0 है, B और Q 0 ने का मतलब क्या, पहले दिया था AX square BX plus C, तो आप समझ गए सर इसमें याली ची 0 हो जाएगी तो बचेगा AX square plus C, अरे वारे दादा, बिल्कुल सही, अगर भाई सब क्या दिया रहेगा आपको PX square plus दिया होगा QX plus R, तो देखो पी एक्स स्क्वेर प्लस आर है अब देखो भी यह इस वाले सवाल में आप कैसे कर सकते हो या तो आप एक्स को पुट कर दो वन बाई टी या फिर भी कोई सुटेबल ट्रिग्नो मेट्रिक सब्स्टिटूशन भी बेटा आप कर सकते हो जैसे कि यह सवाल है तो एक्स को बाई साब आप एक्स टैन थीटा पुट कर सकते हो तो भी यह जो आपको जो फॉरमेट दिया है एक अविलियो अगर 2 है तो यह हो जाएगा x square plus 4 तो सर यहाँ पे आप x को put कर सकते हो भाई 2 tan theta इतना खरा डाला life जिंगा लाला हैं सर कि अगला आता है भी अगर आपको कहीं पर ऐसा फॉरमेट दिखें अंडर रूट एक्स माइनस एलफा बीटा माइनस एक्स अंडर रूट एक्स माइनस एलफा बीटा माइनस एक्स का डिवीजन या फिर दोनों नीचे समझ रहा भी आप में चीज क्या एक बीटा माइनस एक्स से इस पर भाई सब सवाल आ सकता है यह लिख लेना तो उस टाइम एक्स को हम लोग पूट कर देते हैं क्या एलफा टाइम्स कॉज स्क्वेर थीटा यह भी यह इससे मल्टिप्लाइड है और बीटा times sin square थीटा ठीक है भाई तो इससे तुरंद ये सवाल हो जाएगा इसको लिख लो तुरंद रही है इसपे सवाल आ सकता है और इसपे सवाल definite के साथ भी merge के आ सकता है इसके बाद में क्या आता है भाई अगर आपको दिया हुआ है under root x minus alpha x minus beta समझ गए या तो multiplication में या तो division में या फिर दोनों नीचे तो सर हम लोग यहाँ पे x को put कर देते हैं alpha square theta minus beta tan square theta इस substitution से answer तुरंद आ जाता है हैं सर हाँ beta तो भाई इसे के साथ indefinite की सारे के सारे type मैंने आपको करा दिये सारे के सारे formulae revise करा दिये अब आता है भाई definite integration सर definite integration का मतलब क्या होता है सर ये integration with limits होता है जैसे भाई यहाँ पे a से b दिया हुआ है और सर यहाँ पे आपको दिया हुआ है fx. डीएक्स मानो भाई साब इसका इंटेग्रेशन जीएक्स आता है तो भाई या देखो यहां पर सी नहीं लिखते हैं हम लोग क्या लिखते हैं भाई या से बी लिखते हैं तो सर यह देखो पहली चीज क्या होती है यहां पर देखो भाई यह लिमिट होती है कॉमन मिस्टेक यह है कि लोगों को यह पता नहीं होता है कि सर पहले हम लोग अपर लिमिट लगाते हैं हैं फिर माइनस कर देते हैं वह या लोग वर लिमिट लिमिट एक्सटेंडिंग ए और यहां पर बेटा जीएक्स कर देते हैं हैं सर इसके बाद आता है सर अब देखो भाईया जेमेट्रिकल मीनिंग क्या है जैसे भाईया ये वाली लाइन मानो है x बराबर a और भाईसाब यहाँ पे मैं अगर दूसरी लाइन बना लूँ सर ये दूसरी लाइन क्या है माने सर ये दूसरी लाइन है x बराबर b ये भाई साब जो ग्राफ दिया हुआ है मानिये ये भाई साब FY बराबर FX का ग्राफ है ठीक है ना और आपको A से B के बीच में FX को integrate करना है तो सर इसका geometrical meaning क्या होता है सर उपर वाले का area प्लस से लिखो बहुत अच्छे नीचे वाले का area माइनस से लिखो बहुत जादा अच्छे उपर वाले का area प्लस से लिखो तो सर इसको बोलते है algebraic sum of the area यहाँ पे सर A1 positive लिखा है नीचे वाला minus में लिखा है और उपर वाला plus में लिखा है इसे बोलते हैं sir algebraic sum तो ये क्या represent करता है integration A से B में ये algebraic sum of the area बताता है x बराबर A line, x बराबर B line और जो x axis के साथ जो sir ये क्या करता है ये sir जो x axis के साथ जो algebraic area करता है तो वहीं लिखा हुआ है area above the x axis is entered with plus while area below the x axis is entered with minus sign ओ ते sir हाँ property number 1, अगर भाई साब a से b, fx dx का आपने integrate किया, answer 0 आ गया, हाँ, तो sir equation fx जो है, उसका कम से कम एक root होगा a से b में, मत हाँ, लेकिन ये तभी होगा अगर भाई fx continuous function है, क्यों sir, अगर fx continuous है तो continuous का मतलब क्या होता है, graph कहीं पे break नहीं होगा, हैं sir, हाँ, graph कहीं पे break नहीं हो मानिए सर ये वाली जो line है, ये है x बराबर a, ये है x बराबर b, अब बताइए अगर कहीं पे, इसका मानिए sum of the area 0 हो रहा है, तो इसका मतलब क्या है, जितना उपर positive area का sum होगा, उतना ही भाईया नीचे negative area होगा, इसलिए सर इसका sum 0 आ रहा है, तो सर अगर algebraic area of the sum 0 आ रहा है क्योंकि ग्राफ को उपर से नीचे जाना है और ग्राफ को तूटना नहीं है, continuous है, इसलिए सर इस वाले example में इसके सर दो root आ रहे हैं, लेकिन कम से कम एक root होगा, अब आता है सर property number 2, देखके डरना नहीं, कोई भी function बानो n और x में दिया हुआ है, आपसे कहा गया है पहले integrate कर Keeping n constant, तब यह n-eck constant होगा, जो answer है उसमें यह limit लगा दो, intending infinity, तो इसका answer वही आता है कि भी यह सबसे पहले आप जाके क्या करो, limit लगा दो, ठीक है न, जैसा limit कैसे लगाओगे, n में, x को constant लगाओगे, फिर जो answer है उसको definite integration कर दो, मतलब integration के बाद भी limit लग सकती है, और integration के बाद भी integration के बाद भी limit लग सकती हो limit के बाद भी integration हो सकता है बहुत सही अब आता भी property number 3 अगर भाई साब आपको कुछ ऐसा दिया गया है d by dx fx dot dx अगर ऐसा कुछ दिया गया है इसे integrate करना है तो देखे भाई यह dx से dx कट जाएगा सर पच्चे का क्या? मैंने कहा d of fx d of fx का integration होता है भी यह fx limit लगी है a से b अब यहाँ पे देखो fb minus fa जो जिंपल सीज़े यहां पर कहने चाहिए लिमिट एक्सटेंडिंग बीफेक्स माइ फिर ये बोला कि अगर मानो किसी कारण से fx function discontinuous हो जाता है a से b में ठीक न किसी कारण वश ये जो बहिया fx है वो a से b में कहीं बीच में x बराबर c पे discontinuous हो जाता है तो देखो आप क्या कर सकते हो पहले a से c माइनस तक integrate कर दो बाकी जो अंदर लिखा है वो बहिया मत देखना जाएं जाएं अंडरलाइन कर रहा हूँ वही देखना a से b अगर integration करना है तो बहिया a से c माइनस तक आ जाओ क्योंकि c पे ग्राफ तूट रहा है फिर सर c प्लस से यह अंदर जो लिखा उसको मत देखना, उसके बाद आता भी या property number 4, which is very important, ठीक है sir, हा, कि भी या अगर GX आपको दिया हुआ है, कि यह inverse है, किसका, FX का, A पे function की value sir C आती है, B पे function की value D आती है, तो यार अगर आपको sum of integration दिया है, क्या FX का, और GX का, function का, उसके inverse का, हा, इस और A पे value function की C आती है, देख रो, A से C, format यही होना चाहिए, और sir B से, यहाँ पे, function की value B पे sir D आती है, तो इसका answer होता है, देखो, उपर वाले का product, BD, बहुत सही, और नीचे वाले का product, minus AC, this is very important formula, जो आपको लिखना ही है, हैं sir, हाँ. उसके अधिया प्रॉपर्टी नंबर 5 आती है तो ये बोला गया है कि अगर आपको A से B देखो limit सेम है A से B करना है यहाँ पे Fax, Dx है तो answer वही आएगा जो FT, DT के लिए आएगा मतलब X बराबर T ये independent of the choice of independent variable ऐसी की तैसी मतलब तुम्हें समझ में आ गया अगली चीज क्या अगर भाई हम limit को interchange कर देते हैं किसी function में तो बाहर minus आ जाता है उसके बाद में क्या है कि अगर कभी mod x को integrate करना है तो mod हटाना है fractional part of x को integrate करना है तो इसका fractional part हटाना है ये greatest integer function of x करना है तो इसका gif हटाना है तो भाई अगर आपको a से b के बीच में integrate करना है तो पहले integrate करो a से c में जिसमें कि mod हट जाए उसके बाद भी इंटेग्रेट करो C से लेके कहां तक B में, ठीक है, जिसमें की mod भी अच्छे से हट जाए, simple, for example आपको करना होता mod x dx, ठीक है न, integrate करन�� होता minus 2 से 2, तो आप क्या करते, mod अटाना था, पहले आप ले लेते minus 2 से 0, mod x dx, और फिर क्या कर देते सर, 0 से 2, mod x dx, यहा मैंने कहा, sir, mod खुलेगा minus से, हैं, sir, हाँ, यहाँ पे, sir, देखो, x की value positive है, तो mod, sir, किस से खुलेगा, x से खुलेगा, ठीक है, अब देखो, भाई सा, आप इसे easily integrate कर सकते हो, यह मेरा कहने का मतलब है, हैं, sir, एकदम सही, साथ property हो भी गई, sir, और क्या, उसके बाद में, यह होती है, eno property, yes, काम तमाम, सिब साथ second में, eno का मतलब है, even and odd property, हैं, sir, हाँ, अगर कहीं भी भी यह symmetric interval दिया है, minus a से, मतलब minus 2 से 2, minus 3 से 3, कान घड़े कर लो, है, हाँ, जैसे भी यहाँ कान घड़े कर लोगे, तो समझो यार, इसका जो answer वही आता है, जो भी यह इसका answer आता है, क्या है सर यह, मैंने कहा, limit हो जाएगा 0 से, पहले लिखो fx, फिल लिखो सर f of minus x, बहुत अच्छे, अगर fx एक और function है, मतलब fx हो जाएगा minus f of minus x, तो यह दोनों कट जाएगे, तो सर अगर यहाँ पे fx एक odd function है तो सर इसका area कितना आता है सर 0 आता है बहुत अच्छे उसके बाद में क्या है सर अगर fx एक even function है तो f of minus x और fx के बराबर ही हो जाएगा तो सर आप समझ रहो यहाँ पे 2 fx हो जाएगा बहुत सही तो इसका 2 भी यह ऐसे बाहर जाएगा त किसी भी सवाल में अगर minus a से a है तो आप तुरंच चेक करो वो अगर odd function है तो answer 0 लिख दो even है तो भाई 2 times fx कर दो यह भाई राजा भाई साब है तुरंच इन्हें प्रणाम करो भाई राजा भाई साब है तुरंच इन्हें प्रणाम करो यह भाई राजा भाई साब है तुरंच इन्हें प्रणाम कर दो चेंज समझ लेना भाई यहाँ पर देखो एक्स के बदले क्या आया है एक्स के बदले यहाँ पर क्या आया है अपर लिमिट प्लस लोग लिमिट ए प्लस बी माइनस एक्स और देखो भाई लिमिट यहाँ पर चेंज नहीं हुई है इसे भी यहाँ भी है इसे भी यहाँ भी ह तो देखो भी यह 0 से 2a पहचान क्या भाई यहाँ पे 0 होगा 0 से limit start होगी तो हमेशा इसको तोड़ दो 0 से a fx dx में देखो भी यह limit आदी हो गई 2a से a यह गई अगर यहां पर थ्री होता तो यहां पर थ्री बाई टू हो जाती है सर आ और यह क्या गया इसके समके बराबर आ गया मतलब अगर कभी भी जीरो से लिमिट स्टार्ट है और लिमिट को उपर वाले को आधा करना है तो हमेशा भाईजाब यहां पर क्विंज रूल यह और राणी साहिबा उसके बाद में क्या है भाई नेक्स्ट चीज अगर आफ टू ए माइनस एक्स अगर एफेक्स के बराबर होगा तो इसकी जगह भाई एफेक्स पूट कर देंगे तो यह देखो भाई यह टू टाइम्स आ जाएगा तो देखो भाई यह मेनली काम किसके लि ठीक है भाई, MSM बाबा की class में दिखेगा, सर ये jack rule है, jack rule सर क्या होता है, मैंने कह भाई, a से b, fx, dx अगर आप देखोगे, ठीक है न, अगर limit भाई 0 से 1 चाहिए, पहचान क्या है भाई, कोई भी limit दी हो, उसको 0 से 1 में तुड़ना है, तो देखे भाई आप हमेशा करते क्य कि यह भाग्या पीडब्लू में बताया जाता है इसलिए हम बोल रहे हैं अगर एक्स की जगह भाग्या बी माइनस एक्स प्लस एक रोगे तो लिमिट जीरो से होगी लेकिन आ पूरे भाग्या बाहर क्या होगा देखो बी माइनस एसे मुल्टिप्लाई होगा बहुत ज्यादा थर्टी नाइन रिपोर्ट कर देना पूरी करिए लंग बाहर आ गए मैंने अपना चेहरा तक नहीं देखा लग रहा है चलो भाई यहाँ तक हो गया बहुत अच्छे उसके आदम यह न्यूटन लेबनीस रूल इट इस ज़रॉक स्टार ऑफ कैलकुलस तो यह पता ही होगा सर यह टैलकुलस का रॉक स्टार है जहां कुछ ना काम आए वहां पर न्यूटन लेबनीस लगाएं ऐसे लेबनीस बहुत अच्छे, अब यहाँ पर द्यान दीजिए, अगर आपको भीया कोई function y दिया है, x के terms में, limit लगी है भाई, fx से लेके gx तक, ठीक है, x के terms में, उसके आदमें अंदर कोई function भीया, ht dt है, ठीक है, और आपसे भाई साथ यह बोला गया है, क्या बोला है भाई साथ, हम उस x को हटाना होगा, कैसे हटाते हैं, सवाल तुम करो कि समझ में आजाएगा, वैसे kings rule से generally हट जाता है, practice करी होगी, तब ही देख रहा हूँ mind map series, otherwise थोड़े ना देखते, अब यहाँ पे आजो, dy by dx भी या क्या होगा, उपर वाले को differentiate करो, तो sir यहाँ जाएगा g dash x, बहुत बहुत अच्छे fx है तो भी यह होता है बट अंदर कोई भी function x का नहीं होना चाहिए बहुत सही है सर हाँ अगर भाई आपको periodic function दिये है उसका di करना है मतलब अगर आपको उनका definite integration करना है तो देखिए आप क्या करते हो property number one अगर 0 से anti दिया है fxdx तो भी यह जो t है यह period है और n भाई साब एक देखो positive integer होना चाहिए तो देखो भी यह n क्या है बाहर आके multiply हो जाता है और सिर्फ 0 से t यह integration होता है उसके बाद में अगर integration का यह format है यह भी यह चारो चीज़ें फिर से बोलना हूँ दिवार में लगा देना यह अ मुझे पता है यह सारे प्रूफ तुम सोच सकते हो हमें अच्छे से बताया ग्राब बनाकर मल्टीप्लाई करके सबको आता होता है उसके बौजूद लोगों से भाई सवाल नहीं होता है तो सर कैसे इसके सारे के सारे सवाल होएंगे जब यह चारों प्रॉपर्टी हाँ खू ठीक है ना, A से A प्लस NT अगर दिया, यहाँ पे B हो गया तो अगला पर जाएगा, A से A प्लस NT, तो आंसर यही होगा, समझे, NT की नहीं समझे, आजो बिया next चीज, अगली चीज क्या, अगर बिया MT से NT गया है, तो आंसर होगा upper minus lower, 0 से T, Fx, Dx, बहुत सही, अगर सर यह different हो दिख रहा है यहां दोनों जगह क्या है भाई यहां पर दोनों जगह है एंटी देख रहा है यहां पर डिफरेंट है तो आंसर भी है एंटी से कहां अंटी टाटा जाओ पुलिस बुलाओ तो आंसर हो जाएगा इसे भी मुझे पता है तुम सारे प्रूफ बेट है याद होनी चाहिए है आ लेकर लो करियर की कसम है अगर बोल्ड में लगा लिया है अ लिखके सामने लगा लिया है, सब कुछ याद कर लिया है, खून ने बसा लिया है, तो में करियर की कसाम है, मुझे बताओ, कमेंट करो जल्दी से, जे बी के हैं सर, हाँ बेटा, बेटा दिल लगा देना, अपना पता जाता चैनल से ब्लॉग हो गया है, क्योंकि क्या पता जो इनिक्वालिटी इस इंटीआई जैमेंस और एडवांस का वैसे एडवांस का तो भी इसका प्यार है एडवांस का बहुत बड़ा यह क्रस है जैमेंस में दीरे दीरे समझ रहा हूँ क्रस्क बनाने की कोशिश कर रहा है ठीक है तो भाई यही चीज़े यह तीन इनिक्वालि� M से B-A, A और B के हैं भी यह limits है, और capital M से B-A, बहुत अच्छे हैं, और भी अगर कोई function आपको continuous दिया है, क्या है A से लेके B के बीच में, अगर तुमने दो continuous function F1X और F2X निकाल लिए, एसे बी में ही सच जैट एफिक्स भाई साहब देखो सैंडविस्ट है एफिक्स क्या है एफिक्स और सैंडविस्ट दोनों की बीच में ठीक है ना यह वाली इनिक्वालिटी है तो सर जब आप इंटीग्रेशन लगाओगे तो साइन नहीं कहां तक बैलेट है एसे बीच में तो जरेश भी एफ़ एक्स एसे भी एफ़ टू एक्स इसके बराबर होता है यह भी आप FX का A से भी integration करके तुम mod लेते हो तो value कम या बराबर आती है जब आप mod of FX लेते हो ठीक है बाई समझ तो generally देखो बड़ा यह लग रहा है लेकिन यह छोटा है जो बड़ा दिख रहा है वो छोटा है जो भी यह छोटा दिख रहा है वो बड़ा है लेकिन हाँ equality कब hold करेगी दो या विर पूरा का पूरा नीचे हो तो यह बईया यहाँ की most important inequality है है सर हाँ बेटा अब आता है limit of the sum नामी clear कर रहा है यहाँ पे कुछ बईया आपको दिया होगा आर बराबर आर वन से लेके आर बराबर आर टू तक अंदर भाई साब आपने अगर यह फॉरमेट बना लिया है है हां इसको बोलते हैं सम क्योंकि समेशन है उसके बाद भी यह लगा दिए अगर आपने लिमिट बहुत से इसका अंसर भाई साब वही जाता है जो इसका अंसर आता है इंटीग्रेशन इसकी लोग लिमिट होगी ध्यान से देखिए लिमिट एन टेंडिंग इनफिनिटी आरवन बाई एन है यह सर हां ऊपर गया होगा सर लिमिट and tending infinity r2 by n बहुत जादा अच्छे ये जो है इसके बदले लिख दो fx बहुत सही और ये जो भाईसा वन बाई n है इसकी जगह लिख दो dx जई means का प्यार है जई advance का प्यार है ये formula ना भूलना कि क्या किया है color coding याद रखना dx इसकी जगह और format ये दिखना चाहिए इसकी जगह this और limit ऐसे लगाते हैं बहुत बढ़िया अब आता है भी या वालीस फॉर्मुला ठीक है भाई ये क्या पता सबने ना पढ़ा हो ठीक है तो यहाँ पर ध्यान दीजिए अगर n दिया हुआ है natural number n दिया है बेटा greater than equal to 2 तो अगर बेटा आपको sin x की power n का integration करना है परन्तु 0 से pi by 2 में या भी भाई cos की power n x मतलब cos x की power n नीचे भाई साब even subtract हो रहा है, पहले देखो n-0 है, 0 एक even number होता है, मुझे पता है तुम्हें even नहीं लगता होगा, पर 0 एक even number होता है, और यह सबसे important है k, k की value क्या होती sir, अगर यहाँ पर n even है, तो sir pi by 2, और अगर n odd है, तो sir k को put करते हैं 1, इससे भी यहाँ बहुत बड� जैसे भी आग मैंने आपसे सवाल कहा भी है, साइन की पार 4x करो, integrate, अभी यह या तो आप इसे conventional method से करो, जैसा indefinite में सीखा है, या भी यह simple n की value कितनी है, सर n की value 4 है, बहुत अच्छे, तो उपर आगा n-1, मतलब 4-1 मतलब 3, फिर आजाएगा 4-3 मतलब 1, 1 आगया काम खतम, फिर लिखो 4-2, जैसे करा तो 2 आ गया काम ख़दम तो answer देखो directly आ गया 3 by 4 एज़ए power 6 हो power 7 हो 9 हो भी आ कर सकते हो लेकिन हाँ power natural number होनी चाहिए हैं सर हाँ इसी का भी यह दूसरा रूप जब sin x और cos x आपस में multiply होके आएंगे sin की power n है cos की power m है तो sir इसका answer क्या होता है ध्यान से देखेगा भाई सबसे पहले आपको भी यह लिखना है के के वही है जब m और n क्या है दोनों even है तब k को भी यह put कर देना pi by 2 एक अब पीछे से है तो ह है सर हाँ बेटा ठीक है बाई clear अगर किसी ने mistake लिख दिया है तो उसी को edit करो career की कसम है कि सर ने इस time पे जो अभी time है उस पे इसको ठीक कर दिया है बहुत सही उसका आता है भी या क्या next चीज आती है कि भी यहाँ पे देखो यह mn greater than equal to 2 होने चाहिए साथ में भी यह natural number होने बहुत ज्यादा अच्छे तो देखो भी यह सबसे पहले हम लोगों ने साइन की पावर्स में सेम फॉरमेट लगाए जैसे पीछे लगाया था फिर सर कॉस की पावर्स में सेम फॉरमेट लगाया है नीचे देखो भी यह समय ईवन सब्ट्रैक्ट किया है है इसमें जब यह दोनों इवेन है तो अंसर पावर्स होता है अदरवाइस बेटा वन होता है इसी के साथ जय बाबा की थैंक यू सो मच बिल्कुल लगातार बोला है ठीक है 40 मिनट में रिकॉर्ड किया और यार 50 मिनट हो गया पूरा-पूरा बसा ली होंगी अगर आज का lecture धंग से एकदम खून न भी आ बसा लिया है तो आपके लिए code देता हूँ वो है बाबा दिल दिल दिल दिल दिल दिल इसका मतलब है कि सर सारी चीजें हमने देख ली हैं जो जो short notes बनाने को कहे थे हमने बना लिये हैं अदरवाइज नहीं आने वाला है ये comment कर देना अब फिर से career की कसम है