Aula sobre Limites de Funções com Duas Variáveis

Objetivo da Aula

• Mostrar que o limite de uma função com duas variáveis não existe.
• Convencer o professor sobre a inexistência do limite, ao invés de calculá-lo.

Conceito de Limite em Funções de Duas Variáveis

• Diferente do cálculo de limites unilaterais (direita e esquerda) em funções de uma variável, em funções de duas variáveis, é possível se aproximar de qualquer direção no espaço.
• A ideia é escolher caminhos para se aproximar de um ponto e verificar se os limites destes caminhos são diferentes.

Função da Aula

• Função utilizada: ( f(x, y) = \frac{2xy}{x^2 + y^2} )

Procedimento para Mostrar que o Limite não Existe

1. Escolher Caminhos Diferentes:

   • Eixo X:
     • Aproximação quando ( y = 0 ).
     • A função se torna ( f(x, 0) = 0 ).
     • Limite é a constante ( 0 ) enquanto ( x \to 0 ).
   • Reta ( y = x ):
     • A função se transforma: ( f(x, x) = 1 ).
     • Limite é a constante ( 1 ) enquanto ( x \to 0 ).

2. Constatação da Não existência do Limite:

   • Os limites dos dois caminhos são diferentes (0 e 1), mostrando assim que o limite da função não existe.

Estratégias e Dicas

• Sempre escolha caminhos que passam pelo ponto de interesse (neste caso, a origem ( (0,0) )).
• Se os limites resultantes dos diferentes caminhos são iguais, tente outros caminhos para verificar a não existência.
• Caminhos populares incluem o eixo X, eixo Y, e a linha ( y = x ) (bissetriz do primeiro e terceiro quadrante).
• Outras opções são ( y = \sqrt{x} ) ou ( y = x^2 ).

Exemplo Adicional

Função: ( f(x, y) = \frac{x^2}{x^2 + y^4} )

1. Caminho pelo Eixo X:
   • ( y = 0 ), função se torna ( f(x, 0) = 1 ), limite é 1.
2. Caminho ( y = \sqrt{x} ):
   • Função transforma para ( \frac{x}{2x} = \frac{1}{2} ), limite é ( \frac{1}{2} ).
3. Os diferentes limites (1 e ( \frac{1}{2} )) confirmam que o limite não existe.

Conclusão

• No cálculo de limites para funções de duas variáveis, é crucial explora diferentes caminhos e demonstrar a divergência dos limites para confirmar a inexistência.
• Aplicar este método em exercícios similares e revisar os conceitos discutidos nesta aula para melhor compreensão.