[Musique] bonjour dans cette vidéo je te propose de revoir tout le cours sur le chapitre des probabilités conditionnelles l'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre plus précisément on verra donc bien sûr la notion de probabilités conditionnelles on verra comment est construit dans ce contexte un arbre de probabilité on verra la notion d'indépendance pour préparer un contrôle ou un examen ceci ne suffira pas évidemment il faudra t'entraîner sur des exercices je te conseille donc de cliquer sur le lien qui te mènera vers d'autres vidéos proposant de nombreux exercices sur le thème des probabilités conditionnelles on peut commencer alors le mieux pour entrer dans la notion de probabilités conditionnelles c'est de partir d'un exemple on considère donc le l'expérience suivante on choisit au hasard un élèves dans une classe et on considère deux événements l'événement m l'élève et faire fort en maths l'événement f l'élève est fort en français du coup si je parle de l'événement m inter f il signifiera que l'élève est fort en maths et en français est donc fort dans les deux disciplines parlons maintenant de probabilité si je considère la probabilité paix de m donc la probabilité que l'événement m se réalise c'est donc la probabilité que en choisissant un élève au hasard dans toute la classe je tombe sur un élève qui soient forts en maths mais regardons la situation suivante on ne considère que les élèves qui sont forts en france et ceux qui sont pas fort en français je les élimine donc que les élèves qui sont forts en français et je voudrais parmi ceux qui sont forts en français en choisir un qui est fort en maths l'interception n'est peut-être pas vide on vient de le voir juste au dessus m inter f désigne des élèves qui sont à la fois fort en maths est à la fois fort en français donc je reprends je considère simplement les élèves qui sont forts en français et je voudrais calculer la probabilité qu'il soit fort en maths et bien là on est dans le cadre de ce qui s'appelle une probabilité conditionnelle sachant que l'élève est fort en français quelle est la probabilité qu'il soit fort en maths également que s'est il passé j'ai restreint l'univers des possibles tout à l'heure je considère que la probabilité des élèves qui sont forts en maths parmi tous les élèves maintenant je considère la probabilité qu'il soit fort en maths parmi les élèves qui sont forts en français seulement et bien là on a une probabilité conditionnelle qui se note de cette façon la paix de m sachant f la probabilité qu'il soit fort en maths sachant qu'il est fort en français et ça c'est une probabilité conditionnelle parce que je mets une condition la condition qu'il soit fort en français et à partir de là eh bien on peut maintenant définir ce que c'est qu'une probabilités conditionnelles et introduire une formule qui nous permet de calculer cette probabilité conditionnelle dans le cas général si on a à a et b qui sont deux événements est bien là probabilités conditionnelles de b sachant à c'est à dire je voudrais connaître la probabilité que l'événement b se réalise sachant que l'événement à y réaliser jeu restreint donc mon univers est bien la probabilité que l'événement b se réalise sachant que l'événement a est réalisé elle est notée donc p2b sachant à et elle est égale à la probabilité de à inter b sur la probabilité 2 à voilà comment se note et comment est défini la probabilité qu'on sionnel mais alors si j'applique cette formule à mon exemple et je voudrais donc écrire une formule qui me donne la probabilité de m sachant f ça donnera quoi eh bien ça donnera ceci ça donnera probabilité de m sachant f égal à la probabilité de m inter f sur la probabilité de f alors je précise qu' on peut écrire probabilité de m inter f ou probabilité de f1 trm c'était évidemment strictement la même chose donc si je veux obtenir la probabilité de m sachant f il me faudrait la probabilité de l'intersection des deux événements sur la probabilité de f c'est à dire la probabilité que la condition soient réalisés alors on va juste mettre un petit emballage pour bien comprendre la différence qu'il y as entre la probabilité 2ème sachant f et la probabilité de m internet parce que c'est souvent là qu'on se trompe et c'est souvent là qu'on a du mal à savoir quelle probabilité est désigné dans un exercice on considère maintenant qu'on a une classe de 30 élèves parmi ces 30 élèves 10 sont forts en maths douze sont forts en français et sept sont forts dans l'es2 en maths et en français du coup je peux calculer la probabilité de haine facile il y en a dix qui sont forts en maths sur trente élèves ça nous fait donc du 10 sur 30 c'est à dire un tiers je peux également calculer la probabilité de f il y en a 12 qui sont forts en français sur 30 soit 12 30e qui se simplifie en 2 5e je peux calculer la probabilité des deux de l'intersection des deux c'est à dire la probabilité de m inter f probabilité qu'ils soient forts en maths et en français j'en ai sept donc 7 sur 30 jusque là pas de problème mais alors à partir de là quelle est la probabilité de m sachant f eh bien c'est la probabilité de m 1 tf c'est à dire cette 30e sur la probabilité de f c'est à dire 2 5e 7 30e sur 2 5e alors je passe ici sur les calculs de fraction qui es tu effectues tout ça ça te donnera cette 12e alors on voit bien et on pouvait s'en douter que la probabilité de m sachant f qui fait cette 12e n'est pas égal à la probabilité de m inter f qui fait cette 30e pour bien comprendre la différence entre les deux la probabilité de m sachant f on a dit c'est la probabilité donc qu'ils soient forts en maths sachant qu'il est fort en français je ne regarde là que parmi ceux qui sont forts en français on a bien dit on a restreint l'univers c'est à dire que je ne m'occupe pas du reste de la classe ceux qui ne sont pas fort en français ils font même plus partie de mon expérience et bien cette probabilité de cette 12e alors qu'ici c'est la probabilité qu'il soit fort en maths et en français et en maths et en français parmi toute la classe cette fois ci là je regarde sur l'ensemble de l'univers qui concerne toute la classe et celle ci est les deux sets sur 30 alors à partir de là on a quelques petites propriétés en gros les probabilités conditionnelles suivre les mêmes règles que les probabilités vu dans les classes précédentes donc si j'ai un événement à dont la probabilité et non nulle et un événement b et bien la probabilité de bessat champ à elle est comprise entre 0 et 1 on le savait déjà pour n'importe quelle probabilité peut pas aller en dessous 0 peut pas dépasser on peut également parler de d'événements contraires et de probabilités de l'événement contraire et bien la probabilité de bay bar sachant à est égal à 1 - la probabilité de b sachant a donc bébé bars sont donc deux événements contraires donc la condition sur à ne change rien à la formule on garde la même et enfin dernière formule qui est une conséquence 2 la formule qui définit la probabilité conditionnel c'est que p2a inter b est égal à p2a fois p2b sachant à si on fait passer le pde a de l'autre côté on le retrouve donc au dénominateur à gauche si on retrouve la formule que j'ai donnée précédemment on peut attaquer maintenant les arbres de probabilité alors on va voir maintenant comment on construit un arbre pondéré un arbre de probabilités et surtout comprendre comment on y place les données de l'exercice us et sur cet arbre tous à ses ailiers puisque quand on construit un arbre de probabilité on va le voir il va falloir au départ faire un choix suivant les critères qui sont présentés dans l'énoncé regardons déjà ce que nous dit l'énoncé on tire au hasard une boule dans une urne qui contient des boules rouges et des boules noires donc on a déjà un premier critère les boules sont soit rouge soit noir lui on ne contient 40 % de boules rouges on sait déjà la proportion de boules rouges et donc celle de boule noire nécessairement parmi les boules rouges 75% sont gagnantes donc on imagine que sur la boule rouge il est écrit gagner donc il y aura des boules qui seront marquées gagnante et des boules qui seront marquées perdante on a donc là un deuxième critère dans le contexte d'un autre énoncé bull gagnante bull perdante donc elles peuvent être soit rouge soit noir soit gagnante soit perdante on peut imaginer donc une boule rouge marqué perdante est une boule noire marquée gagnante c'est chaque fois soit l'un soit l'autre sur les deux critères et enfin on a 25 % de boule noire et gagnante alors là on voit tout de suite que la la façon dont était écrit cette dernière consigne est un peu différente de la précédente et on essaiera de voir mathématiquement ce que cela signifie pour notre arbre de probabilité on aura donc un arbre de probabilités à deux niveaux car on l'a dit j'ai deux critères rouge noir gagné perdu mais finalement sur notre arbre de probabilité on pourrait imaginer soit un arbre de probabilité qui fonctionne de cette façon là est donc comme premier critère je tire une boule qui est rouge ou une boule qui est noir et comme deuxième critère sachant que les rouges elle peut être marquer gagné ou perdu sachant qu'elle est noire elle peut être marquer gagné ou perdu sachant que on voit venir ici la notion de progrès probabilités conditionnelles mais je peux avoir une deuxième façon de présenter mon arbre en plaçant en premier critère de choix le fait que la boule et marquer gagné ou perdu donc je tire une boule marqué gagné ou perdu deuxième critère sachant qu'il écrit gagner sur la boule elle est rouge où elle est noire sachant qu'il écrit perdu sur la boule elle est rouge où elle est noire et bien les deux arbres de probabilités sont justes mais suivant les données de l'exercice eh bien il faudra en faire un plutôt que l'autre pour faire le bon choix regardons-nous de nouveau les données de l'exercice donc on tire au hasard une boule et sert à lui en contient 40 % de boules rouges je sais donc que parmi l'ensemble des boules on a 40% de rouge et regardons nos arbres est-ce que ce 40% qui va être écrit 0.4 jeu pourrait le placer sur un des deux arbres eh bien oui clairement le premier parce que au départ soit la boule elle est marquée gagnante pardon soit la boule elle est rouge soit la boule elle est noire donc la probabilité qu'elle soit rouge et de 40% 0.4 donc 0.6 qu'elle soit noire sur le deuxième arbre sur le deuxième arbre je serais bien embêté pour noter ses 40% parce que l'entrée est soit elle est gagnante soit les perdantes mais après on est déjà dans le cadre d'une probabilités conditionnelles pas d'une probabilité direct or les données de l'exercice nous disent c'est une probabilité directes 40 % sont rouges donc cet arbre là ne convient pas on va travailler avec celui ci c'est celui qui est donc prêt en grand j'explique un petit peu les notations donc on l'a dit on entrées soit la boule elle est rouge soit elle est noire j'ai noté m et donc la probabilité d'obtenir une boule rouge si elle n'est pas rouge elle est nécessairement noir on peut parler d'événement contraire p2r barre c'est à dire qu'elle n'est pas rouge qui veut dire qu'elle est noire donc on a ici la probabilité de r et la probabilité de herbach on passe au deuxième niveau de notre arbre sachant qu'elle est rouge je retrouve ici la probabilité qu'elle est gagnante donc p de g sachant r sachant qu'à les rouges on le retrouve le mi6 sachant que les rouges quelle est la probabilité que j'ai une boule perdante c'est à dire j'ai écrit j'ai barre puisque soit les gagnantes soient les perdantes on parle également ici d'événements contraires et sur la deuxième branche de l'arbre on retrouve la même chose seulement on aura ici comme condition herbach on le voit puisque on est ici dans le cadre de d'une condition sur le fait que la boule et noir c'est à dire qu'elle n'est pas rouge on peut donc maintenant placer toutes les données de l'exercice et on va voir si le choix qu'on a fait de commencer par rouges ou noirs au premier niveau était le bon le en contient 40 % de boules rouges on l'a déjà dit on peut le noter donc ici 40% ou 0,4 c'est à dire p2r égal 0 4 continuons la lecture parmi les boules rouges 75% sont gagnantes parmi les boules rouges j'ai donc restera l'univers aux boules rouges je suis là dans le cadre d'une condition d'une probabilités conditionnelles parmi les boules rouges 75% sont marqués gagnante cette phrase-là se traduit par p de g sachant air égale 75% égale 0,75 alors avant de poursuivre la lecture de l'énoncé on va pouvoir compléter maintenant mathématiquement notre arbre car on a une première règle qui nous dit que la somme des probabilités des branches issues d'un même nom c'est un noeud là encore est égal à 1 on s'en doute bien si je regarde par exemple au niveau de ce ne soit elle est rouge soit elle est noire j'ai pas d'autre alternative du coup si on a une probabilité de 0.4 qu'elles soient rouges eh bien on aura une probabilité de 1 - 0 point 4 puisque c'est l'événement contraire qu'elle soit noire de cette façon là on aura 0.4 plus on peut donner le nombre maintenant 0,6 qui est égal à 1 on a bien ici la probabilité des deux branches issues d'un même nom qui fait 1 ce qui veut dire que ici je peux également complété sillage et 0,75 là j'aurai nécessairement 0,25 on ne poursuit pas encore la lecture de l'énoncé on va d'abord continuer à compléter notre arbre de probabilités mais on va aller un peu plus loin on va aller au delà de l'arbre de probabilité car on a une deuxième règle qui nous dit que la probabilité sur l'extrémité d'un chemin est égal au produit des probabilités sur ce chemin ça veut dire quoi ici j'ai un chemin par exemple donc le chemin qui passe d'abord par roger qui va jusqu'à gagner et bien la règle nous dit que la probabilité de l'extrémité d'un chemin c'est à dire ceux qui se trouvent ici est égal au produit des probabilités de ce chemin et bien c'est quoi les probabilités de ce chemin c'est 0 4 et 0 75 autrement dit là à l'extrémité d'un chemin je trouverais 0 et 4 x 0,75 qu'on peut effectuer qui nous donnerait 0,3 ok mais en fait c'est quoi ce produit bien se produit c'est p2r fois pdg sachant r je vais l'écrire p2r x p 2 g sachant m 0,4 fois 0,75 mais ceux-ci samedi quelque chose affichant nouveau la propriété que j'avais présenté tout à l'heure qui nous dit quoi que p2a inter bettega la p2a fois p2b sachant à on pourrait très bien appliqué cette propriété à notre situation est finalement p2r fois pdg sachant air serait égal à p 2 g inter r alors si du coup sûr un arbre de probabilités conditionnelles à l'extrémité d'un chemin on retrouve l'intersection des deux événements qui sont considérés sur ce chemin on va pouvoir compléter ici sont faire les calculs les probabilités qui se trouve à l'extrémité de ses chemins par exemple pour ce chemin là on a ici du r et du g bar on va retrouver la probabilité de gbh art inter r pour ce chemin on a dû herbach et du g on va donc retrouver la probabilité de g inter herbach et enfin pour ce dernier chemin on alla du herbach et du g bar on va trouver donc probabilité de jets bar inter herbach on pourrait donc de cette façon-là compléter tout notre arbre de probabilité à condition d'utiliser enfin maintenant la dernière condition dénoncé qui nous dit qu'on a 25 % de boules qui sont à la fois noir est à la fois marquer gagnante alors attention ici il ne s'agit pas d'une probabilités conditionnelles c'est parmi toutes les boules donc l'univers de toutes les boules qu'on a 25 % de noirs et gagnante donc on se trouve là bien dans le cadre d'une probabilité sur une intersection de deux événements et c'est cette intersection là qui est considéré les boules sont noirs herbach et gagnante g et bien cette probabilité est donc égale à 25% à 0,25 et bien du coup on peut maintenant complété tout notre arbre de probabilité pourquoi parce que je sais que 0,6 fois cette probabilité est égal à zéro 25 du coup je vais pouvoir trouver cette probabilité par la règle qui dit que à partir d'un même ne la somme des probabilités sur les deux branches est égal à 1 je vais pouvoir trouver celle ci puis celle ci et ses deux proches en poche proche parent dont on peut tout complété je te laisse mettre la vidéo en pause pour le faire et les résultats s'affichent ensuite voilà je te laisse regarder et comparer avec tes résultats et on va attaquer la troisième et dernière règle qui fonctionne sur un arbre de probabilités conditionnelles qui s'appelle en réalité la formule des probabilités total et qui nous dit quoi et bien qui nous dit que la probabilité d'un événement qui associé à plusieurs chemins est égale à la somme des probabilités sur chacun de ces chemins un exemple pour comprendre je voudrais connaître la probabilité de g la probabilité de tirer une boule gagnant parce que finalement on l'a bien vu en entrée de cet exercice eh bien on avait une indication si elle était rouge ou noir mais on n'avait pas d'indication si elle était gagnante ou perdante de façon globale sur l'ensemble des boules grâce à notre arbre de probabilité maintenant on peut la voir la probabilité probabilité qu'une boule soient marquées gagnante et sur cet arbre de probabilités partagé en deux parties on les trouve ici les deux parties l'âge et la probabilité qu'une boule soit gagnante et rouge ici j'ai la probabilité qu'une boule soit gagnante est pas un rouge autrement dit quelles alternatives existe-t-il à part ça et ça aucune soit les gagnantes et rouge soit les gagnantes et pas rouge il n'y a pas d'autre possibilité que celle-ci ce qui fait que la probabilité qu'elle soit gagnant c'est à dire la probabilité d'un événement qui est donc associé à deux chemins ce chemin et ce chemin et est égale à la somme des probabilités sur chacun de ces chemins la probabilité qu'elle soit gagnante elle est égale à la probabilité qu'elle soit gagnante et rouge ou gagnante est pas rouge voilà ce qu'on appelle la formule des probabilités total paie 2g est égal à pdg intérêts plus paix de gea terre herbach c'est assez facile à retenir si j'utilisais donner les noms c'est ça nous fait du 03 +0 25 autrement dit 0,55 et on voit que grâce à cet arbre de probabilité j'ai pu calculer la probabilité d'obtenir une boule gagnante je connais même la proportion de boules gagnante dans l'urne elle est donc de 55% données qui pourtant n'était pas indiquée dans l'énoncé alors mathématiquement la notion d'indépendance est assez facile à retenir et à comprendre c'est plus le sens qui est compliqué et pour cela je t'invite encore une fois à te rendre sur les exercices qui sont liées là haut et qui te permettront de mieux comprendre dans des contextes de la vie ce que signifie la notion d'indépendance mais je vais quand même l'expliqué ici d'abord la définition mathématiquement elle est assez simple à retenir je les dis a et b sont indépendants à condition que p2 à un terreau b soit égale ap2a fois p2p hockey du coup ceci entraîne une autre propriété qui est un peu moins officielle mais qui finalement est de mieux à comprendre la notion d'indépendance et qui nous dit que a et b sont indépendants si et seulement si on a p2b sachant à qui est égal à p2b et p2a sachant b kiéthéga la p2a alors déjà pourquoi ça en quoi ceci est est vrai bien rappelons de la formule je prends la première p2b sachant à la formule nous dit que ça c'est égal à p de 1,1 terme et sur p2a mais on vient de voir que si a et b sont indépendants p2a interv et s'écrit p2a fois p2b le tout sur et de ap2a en hop et de haut en bas finalement eu reste p2b gars c'est bien ce qui est écrit ici à droite p2b sachant à est égal à d2b on démonte de la même manière que p2a sachant b est égal mais qu'est ce que ça signifie finalement ça signifie ici que p2a pardon p2b sachant a donc p2b avec la condition sur un c'est pareil que p2b sans condition du tout c'est à dire que con restreignent l'univers ou pas pour le calcul de la probabilité de b je trouverais la même chose ceux qui ont la vue n'est pas vrai dans certains cas dans le cas justement où a et b sont indépendants et bien c'est ça la notion d'indépendance plus que cette notion d'intersection qui finalement on aurait envie de dire barawe ça veut dire que l'intersection des deux est vide non pas du tout l'intersection 2a et 2b n'est pas nécessairement vide mais que l'inde influence pas sur l'autre en termes de conditions p2b avec la condition sur à on s'en fiche séparé que p2b tout court voilà la notion d'indépendance entre 2 et vaine et pour finir une petite propriété qui nous dit que si a et b sont indépendants et bien par exemple à barres et b sont également indépendant ceci entraînera que à barres et bebar sont indépendants aussi ou que a et b bars sont indépendants également on aura donc toutes les combinaisons possibles entre à b à ba et des bars cette séquence est terminée