[Musica] ragazzi in questo video proseguiamo il discorso sulla scomposizione dei polinomi che abbiamo cominciato nel video precedente della playlist parlando delle scomposizioni tramite prodotti notevoli e della scomposizione del trinomio di secondo grado se ricordate nel video precedente si diceva che dopo aver controllato se ci sono dei possibili raccoglimento totali or accoglimenti parziali da fare la terza cosa che vale la pena di controllare l eventuale presenza di prodotti notevoli perché questi possono essere sfruttati diciamo così al contrario per ricavare la scomposizione del polinomio per capire meglio che cosa intendo diamo un'occhiata a questo esempio come vedete qui abbiamo un hicks meno 2 x ics più 2 ovvero una somma per differenza che come sappiamo dà come risultato la differenza dei quadrati ovvero hicks quadro meno 4 ecco se ora leggiamo questa uguaglianza al contrario possiamo allora concludere che il polinomio hicks quadro meno 4 si scompone come hicks meno 2 x ics più 2 cioè in altre parole se quando io vedo il quadro meno 4 riconosco che si tratta di una differenza di quadrati cioè noto che hicks quadro il quadrato dx e che 4 il quadrato di due e che quindi sono davanti a una differenza di quadrati allora posso ricordarmi del prodotto notevole ragionare al contrario e di scrivere questa quantità come hicks meno 2 x ics più 2 dello schema qui sotto vi ho riportato i tre principali prodotti notevoli di cui abbiamo parlato nei video precedenti e tre esempi di loro applicazione per ricavare la scomposizione di un polinomio nel primo esempio vedete abbiamo 16x quadro meno uno che possiamo pensare come una differenza di quadrati infatti 16x quadro è il quadrato di 4x e un orlo possiamo pensare come il quadrato di se stesso e quindi nel momento in cui io riconosco che sono davanti ad una differenza di quadrati posso ricordarmi nel prodotto notevole e sfruttarlo per riscrivere questa quantità come 4x meno uno per 4x più uno e naturalmente quando sono allenato questo passaggio intermedio è inutile che io lo scriva lo posso fare a mente e salto direttamente da qui a cui viene in mente nel caso di hicks quadrato più 4x più 4 si nota subito che il quadrato quadrato dx e che 4 al quadrato di due e a questo punto nel momento in cui uno vide che ci sono due quadrati è una buona idea andare a vedere se il terzo termine presente è il doppio prodotto perché se lo fosse allora ci troviamo davanti allo sviluppo del quadrato di un binomio e possiamo a questo punto sfruttare il prodotto notevole per fare la scomposizione ora se ci calcoliamo il doppio prodotto tra x2 cioè se facciamo 2 x ics per due effettivamente viene 4x e quindi possiamo concludere che hicks quadro più 4x più 4 alla luce del prodotto notevole lo possiamo riscrivere come il quadrato dx più due di nuovo nel momento in cui uno è allenato e ha fatto questa cosa qui diverse volte è chiaro che si può sottintendere direttamente questo passaggio intermedio farlo a mente e saltare direttamente da qui alla scomposizione nel terzo esempio abbiamo invece questo polinomio di terzo grado in cui si riconosce abbastanza facilmente che hicks al cube il cubo dx e che 8 e il cubo di 2 e nel momento in cui uno vede che ci sono due cubi è subito una buona idea andare a controllare se gli altri due termini presenti non siano per caso i tripli prodotti che compaiono nello sviluppo del cubo del binomio ed effettivamente se andiamo a farci tre volte il primo termine al quadrato per il secondo termine vedete che otteniamo un 3 per il quadro per due che fa 6 sala seconda e se invece ci facciamo tre volte hicks per il quadrato di due cioè 3 x ics per due alla seconda con teniamo come risultato 12x e dunque possiamo concludere alla luce del prodotto notevole che ci troviamo davanti allo sviluppo del cubo dx più due ma qui sotto vi ho riportato poi altri due prodotti notevoli noti come differenza di cubi e somma di cubi che sono sicuramente meno comuni dei precedenti da trovare e che però ogni tanto saltano fuori e quindi secondo me può essere una buona idea memorizzarli come vedete la struttura è abbastanza simile quando c'è la differenza di due qb ci ritroviamo la differenza delle basi per questa parentesi che sembra il quadrato di un binomio solo che non ha il doppio prodotto a il prodotto e basta e quindi la chiamiamo il falso quadrato e analogamente nel caso della somma di due qb ci ritroviamo stavolta la somma delle basi e quindi non più la differenza ma la somma è di nuovo un falso quadrato solo che questa volta il segno del prodotto che prima era più è diventato meno qui sulla destra come prima trovate due esempi di applicazione di questi prodotti notevoli per fare una scomposizione vedete in particolare che nel caso di hicks cubo meno 8 nel momento in cui uno realizza che hicks cubo il cubo dx e 8 è il cubo di due alla luce di questa formula na si ottiene questa scomposizione qui e analogamente nel caso di hicks cubo più 8 nel momento in cui uno realizza di trovarsi davanti ad una somma di due cubi alla luce di questa formula cui conclude che la scomposizione è questa la parentesi i falsi quadrati quindi queste due parentesi che compaiono nella somma e nella differenza di cubi solo due di quei polinomi di secondo grado che avevamo definito irriducibili e cioè non ulteriormente scomponibili perlomeno nell'ambito dei polinomi a coefficienti interi o dei polinomi a coefficienti reali e quindi siamo sicuri che questi due polinomi non possano essere riscritti come prodotto di fattori di primo grado appurato questo vale subito la pena di fare un paio di osservazioni importanti la prima è che talvolta il prodotto notevole diciamo così salta fuori dopo aver fatto un raccoglimento e qui sulla sinistra vi ho riportato un esempio vedete che hicks cubo più quattro squadre più 4x di per sé non è nessuna delle casistiche di cui parlavamo prima però dopo aver fatto un raccoglimento totale dell'aics la parentesi che ci compare qui è esattamente il quadrato del binomio che abbiamo visto prima quindi è possibile che il prodotto notevole non sia evidente in partenza ma diciamo così salti fuori dopo aver fatto un opportuno raccoglimento ed è anche possibile talvolta che ci sia più di un prodotto notevole come vedete nell'esempio qui sulla sinistra vedete che in questo polinomio si nota abbastanza facilmente che hicks quadro più 2x più uno è il quadrato di xp 1 e se cenno riscriviamo così si nota poi che ci troviamo davanti ad una differenza tra due quadrati il quadrato disfi 1 e il quadrato di y e a questo punto alla luce di questa formula cioè alla luce di questo prodotto notevole possiamo riscrivere questa quantità in questo modo quindi mi raccomando cominciare sempre testando se si possono fare eventuali raccoglimento perché questi potrebbero svelare poi dei prodotti notevoli e nel momento in cui si è trovato un prodotto notevole controllare mi raccomando che non ce ne siano altri perché può succedere talvolta che ce ne sia più di uno appurato questo occupiamoci della scomposizione del trinomio di secondo grado per fattorizzare un trinomio di secondo grado del tipo ips quadro più di xp uci e quindi come vedete un trinomio di secondo grado avente il coefficiente del termine di secondo grado cioè il numero davanti ai squadre uguale ad uno bisogna cercare due numeri che io ho chiamato per esempio p e q 1 potete chiamarli come volete che abbiano questa caratteristica la loro somma deve fare b cioè deve fare il coefficiente del termine di primo grado mentre il loro prodotto deve fare c cioè deve fare il termine noto del polinomio ecco se riuscite a trovare questi due numeri di ecu che abbiano queste caratteristiche allora potete concludere subito che la scomposizione del trinomio e xp per xp per fissare meglio le idee diamo subito un occhiata ad un paio di esempi e cominciamo da questo cioè supponiamo che c'e neanche a chiasso di scomporre hicks alla seconda più 4x più tra alla luce di quello che dicevamo poco fa dobbiamo cercare due numeri che abbiano la somma uguale a 4 e il prodotto uguale a 3 e visto che quattro i tre sono due numeri interi ci conviene tentare inizialmente di cercare dei numeri interi ora non è difficile convincersi che due numeri interi aventi come prodotto 3 o solo uno e tre sono meno 1 e meno tre e se vogliamo che la somma dia come risultato 4 dobbiamo prendere più uno e peuterey e una volta che ho capito questo sostanzialmente ho vinto perché alla luce di quello che dicevamo prima posso allora concludere istantaneamente che la scomposizione del trinomio sarah hicks più uno per hicks più tra similmente se mi chiedono di scomporre hicks quadrato meno 7x più 12 dovrà cercare due numeri a 20 somma meno 7 e prodotto uguale a più 12 stavolta se cerco di ottenere 12 come prodotto di numeri interi o qualche possibilità in più per che potrai utilizzare 112 oppure 26 oppure 34 e anche le loro versioni negative naturalmente dopo un po di esperimenti ci si convince facilmente che la coppia buona è meno 3 e meno 4 infatti il loro prodotto effettivamente fa più 12 e la loro somma fa meno 7 e nel momento in cui uno ha capito che si tratta di meno 3 e meno 4 conclude istantaneamente che allora la scomposizione di questo trinomio sarah hicks meno 3 per i meno 4 la parentesi se non si riescono a trovare cioè se non esistono i due numeri interi p e q che abbiano la somma uguale a b e il prodotto uguale a c cioè che abbiano le caratteristiche che stiamo cercando allora possiamo concludere che il trinomio è irriducibile all'interno dell'insieme dei polinomi a coefficienti interi e qui sotto vino ha riportato un esempio il quadrato meno 2x meno 4 qui possiamo provare tutto il tempo che vogliamo ma non ce la facciamo a trovare due numeri che abbiano somma meno due e prodotto meno 4 per lo meno se proviamo utilizzando numeri interi e seguimi che il trinomio è irriducibile cioè non ulteriormente scomponibile nell'insieme dei polinomi a coefficienti interi mi raccomando però che questo non esclude che sia possibile fattorizzare il polinomio nell'insieme dei polinomi a quei fitch anche i reali ed effettivamente si può dimostrare che il nostro x4 meno 2x meno 4 si può riscrivere come hicks più radice di cinque meno uno per i meno radice di cinque meno uno quindi vedete la fattorizzazione esiste ce la facciamo a riscriverlo come prodotto di parentesi di primo grado solo che i numeri che compaiono all'interno di questa fattorizzazione non sono più interi ma in generale diventano numeri reali in questo caso ad esempio numeri irrazionali altre volte invece il trinomio risulta irriducibile anche nell insieme dei polinomi a coefficienti reali detto questo ragazzi io per il momento ha terminato concluderemo il discorso sulle composizioni dei polinomi nel prossimo video dove parleremo delle scomposizioni con ruffini e vedremo il caso del trinomio di secondo grado con coefficiente del termine di secondo grado diverso da uno come sempre se trovate utili queste elezioni ricordatevi di mettere mi piace passate a trovarmi su facebook e di instagram se non l'avete già fatto iscrivetevi al canale dove presto arriveranno moltissimi altri video [Musica]