Propiedades de los Logaritmos

Propiedad 1: Logaritmo de 1

• El logaritmo en cualquier base de 1 siempre es 0.
• Ejemplo: ( \log_b(1) = 0 ) porque ( b^0 = 1 ).

Propiedad 2: Logaritmo base igual al argumento

• Si la base coincide con el argumento, el resultado es 1.
• Ejemplo: ( \log_b(b) = 1 ) porque ( b^1 = b ).

Propiedad 3: Logaritmo de un producto

• El logaritmo de una multiplicación se separa en la suma de logaritmos.
• Ejemplo: ( \log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y) ).
• Ejemplo práctico:
  • ( \log_2(4 \cdot 8) = \log_2(4) + \log_2(8) )
  • Resultados: ( \log_2(32) = 5 ), tanto usando la propiedad como directamente.

Propiedad 4: Logaritmo de una división

• El logaritmo de una división se separa en la resta de logaritmos.
• Ejemplo: ( \log_b(\frac{x}{y}) = \log_b(x) - \log_b(y) ).
• Ejemplo práctico:
  • ( \log_3(\frac{27}{9}) = \log_3(27) - \log_3(9) )
  • Resultados: ( \log_3(3) = 1 ), tanto usando la propiedad como directamente.

Propiedad 5: Logaritmo de una potencia

• La potencia se puede bajar multiplicando delante del logaritmo.
• Ejemplo: ( \log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x) ).
• Ejemplo práctico:
  • ( \log_4(16^2) = 2 \cdot \log_4(16) )
  • Resultados: ( \log_4(256) = 4 ), tanto usando la propiedad como directamente.

Propiedad 6: Cambio de base

• Permite cambiar la base para facilitar cálculos, especialmente en calculadoras.
• Ejemplo: ( \log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)} ).
• Ejemplo práctico:
  • ( \log_7(8) = \frac{\log_{10}(8)}{\log_{10}(7)} \approx 1.06 ).

Ejemplo completo con propiedades

• Ejercicio: ( \log_3(27 \cdot 9 / \frac{1}{3}) ).
• Aplicar propiedades:
  • Multiplicación: ( + )
  • División: ( - )
  • Resultados usando calculadora:
    • ( \log_3(27) = 3 )
    • ( \log_3(9) = 2 )
    • ( \log_3(\frac{1}{3}) = -1 )
    • Total: ( 3 + 2 + 1 = 6 ).
• Resultado directo: ( \log_3(729) = 6 ).

Conclusión

• Aplicar correctamente las propiedades del logaritmo lleva a los mismos resultados que resolver directamente.
• Usar propiedades facilita la resolución de ejercicios complejos.

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