सततता और अभिन्नता का संक्षिप्त अवलोकन

Overview

यह लेक्चर "Continuity and Differentiability" चैप्टर का रैपिड रिवीजन है, जिसमें मुख्य फॉर्मूलों और कॉन्सेप्ट्स का संक्षिप्त पुनरावलोकन किया गया है।

कंटिन्युइटी (Continuity)

• अगर लेफ्ट लिमिट = राइट लिमिट = f(c), तो फंक्शन continuous है।
• कंटिन्युइटी प्रूफ या k की वैल्यू निकालने के प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं।
• अगर दो functions continuous हैं, तो उनका sum, subtraction, multiplication भी continuous होगा।
• डिवाइड तभी continuous होगा जब डिनॉमिनेटर जीरो न हो।

डिफरेंशिएबिलिटी (Differentiability)

• जब left hand derivative = right hand derivative हो, तब function differentiable होता है।
• हर differentiable function continuous जरूर होता है, पर हर continuous function differentiable नहीं होता।
• डेरिवेटिव के लिए: k × f(x) का derivative = k × f'(x)।
• दो functions के sum या subtract का derivative उनके derivatives का sum या subtract होता है।

डेरिवेटिव रूल्स और फॉर्मूले

• Product rule: u × v का derivative = u × v' + v × u'।
• Quotient rule: u/v का derivative = (v × u' – u × v') / v²।
• x^n का derivative = n × x^(n–1)।
• Constant का derivative = 0।
• sin(x) का derivative = cos(x), cos(x) का = -sin(x), tan(x) का = sec²(x), cot(x) का = -cosec²(x)।
• sin⁻¹(x) का derivative = 1/√(1–x²); tan⁻¹(x) का = 1/(1+x²)।
• a^x का derivative = a^x × log(a)।
• log(x) का derivative = 1/x।

विशेष प्रकार और ट्रिक्स

• जब variable की power variable होती है, तो log लेकर solve करें।
• Parametric form: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)।
• Golden rule: Chain rule से derivative निकालें; हर function के अंदर function होने पर stepwise derivative करें।
• Derivative, tangent की unique slope देता है।

Key Terms & Definitions

• Continuity — किसी बिंदु पर लेफ्ट, राइट लिमिट और फंक्शन का मान बराबर होना।
• Differentiability — किसी बिंदु पर left और right hand derivative का समान होना।
• Product Rule — दो functions के multiplication का derivative निकालने का नियम।
• Quotient Rule — दो functions के division का derivative निकालने का नियम।
• Chain Rule (Golden Rule) — nested functions का derivative निकालना।

Action Items / Next Steps

• Revision के इन notes को ध्यान से पढ़ें।
• डेली live classes में PYQs, MCQs, case studies पढ़ें।
• derivative और continuity के example प्रश्न हल करें।