Assalamualaikum Wr Wb Ketemu lagi dengan saya, Denny Handayani di channel MadLab Ini adalah video pembahasan materi polinomial bagian kelima Pada video ini kita akan belajar tentang persamaan polinomial Serta bagaimana cara menentukan akar-akar dari persamaan polinomial Oke, sekarang langsung aja kita bahas materinya Oke, pada video ini kita akan belajar materi polinomial bagian kelima. Bagi teman-teman yang belum lihat video bagian 1 sampai 4, silahkan cek aja link-nya di deskripsi video ini. Pada video bagian kelima ini, kita akan belajar tentang persamaan polinomial. Pertama, kita kenali dulu bentuk umum persamaan polinomial seperti ini. Ini bentuk umum dari persamaan polinomial.
Intinya, persamaan polinomial itu polinomial, tapi di ruas kanannya itu sama dengan 0. Kuncinya itu di sini. Jadi setiap persamaan polinomial itu polinomial yang sama dengan 0. Contohnya, 2x pangkat 5 dikurangi 3x pangkat 3 ditambah 4x ditambah 1. Nah, teman-teman lihat di sini, sama dengan 0. Ini adalah persamaan polinomial. Atau contoh lain, ini juga persamaan polinomial yang berderajat 3. Jelas ya, bedanya cuma kita buat sama dengan 0. Nah, ini persamaan polinomial. Nah, waktu SMP, teman-teman kan udah belajar tentang persamaan kuadrat kan yang bentuknya seperti ini. AX kuadrat ditambah BX ditambah C sama dengan 0. Ini disebut persamaan kuadrat yang udah teman-teman pelajari waktu SMP.
Nah, waktu belajar persamaan kuadrat, kita mengenal yang disebut dengan akar-akar persamaan kuadrat. Cara nyarinya kan bisa difaktorkan, bisa dengan rumus ABC atau kuadratis, atau bisa juga dengan kuadrat sempurna. Nah, untuk persamaan polinomial juga sama, ada yang disebut dengan akar-akar persamaan polinomial.
Akar-akar persamaan polinomial adalah nilai variable yang memenuhi persamaan polinomial. Misalnya, untuk persamaan polinomial ini, x pangkat 3 ditambah 2x kuadrat dikurangi x dikurangi 2 sama dengan 0. Nah, semua nilai x yang memenuhi persamaan ini, atau ketika kita substitusikan hasilnya 0, Nilai X tersebut itu disebut sebagai akar-akar persamaan polinomial. Misalnya X sama dengan 1. Ini kita coba substitusi ke sini, teman-teman. Kita ganti setiap nilai X pada persamaan ini dengan 1. Jadi kita peroleh 1 pangkat 3 ditambah, disini kan 2X kuadrat, berarti 2 kali 1 kuadrat. Kemudian dikurangi X, dikurangi 1, dikurangi 2, sama dengan 0. Jadi kita ganti setiap X dengan 1. Dan ternyata ruas kiri ini kita peroleh, 1 dipangkatkan 3 kan 1, 1 dikuadratkan ini 1, kali 2 jadi 2, kemudian dikurangi 1, dikurangi 2. 1 ditambah 2 kan 3, kemudian dikurangi 1, 2, 2 dikurangi 2, ternyata ruas kirinya 0. Ini sama dengan ruas kanan.
Karena ruas kiri dan ruas kanan sama, ternyata ini benar. Artinya, x sama dengan 1 merupakan akar dari persamaan polinomial ini. Kita coba nilai x lain.
Misalnya, saya coba dengan X sama dengan negatif 1. Kita ganti setiap nilai X pada persamaan polinomial ini dengan negatif 1. Jadi negatif 1 pangkat 3 ditambah 2 kali negatif 1 kuadrat, dikurangi negatif 1, dikurangi 2, sama dengan 0. Dan kita peroleh, negatif 1 dipangkatkan 3 itu negatif 1, negatif 1 dikuadratkan kan 1. 1 kali 2, 2, kemudian dikurangi negatif 1, ini sama aja dengan ditambah 1. Kemudian dikurangi 2. Negatif 1 ditambah 2 itu 1. 1 tambah 1, 2. 2 dikurangi 2, ternyata ruas kirinya 0. Ini sama dengan ruas kanannya. Jadi pernyataannya benar. Artinya, X sama dengan negatif 1 ini juga akar dari persamaan polinomial ini. Nah, teman-teman lihat di persamaan polinomial ini, ini derajatnya, pangkat tertingginya kan 3. Jadi persamaan polinomial ini memiliki akar yang memenuhi itu maksimum 3 buah. Jadi bisa 3 buah atau kurang Nah disini kita baru memperoleh 2 Sekarang kita coba yang ketiga Misalnya saya ambil X sama dengan negatif 2 Kita coba substitusikan X sama dengan negatif 2 Ke persamaan ini Kita peroleh negatif 2 pangkat 3 Ditambah 2 kali negatif 2 kuadrat Kemudian dikurangi negatif 2 Dikurangi 2 Dan kita peroleh seperti ini Negatif 8 tambah 8 tambah 2 min 2 sama dengan 0, ternyata ruas kirinya juga 0. 0 sama dengan 0, ini benar.
Artinya, x sama dengan negatif 2, ini juga akar dari persamaan polinomial ini. Nah, jadi sekarang kita sudah memperoleh 3 nilai X yang memenuhi persamaan tersebut. Ini adalah nilai akar-akar dari persamaan polinomial ini. Nah, sekarang pertanyaannya bagaimana cara kita memperoleh nilai X ini? Ini tidak mungkin, kan?
Kita cuma nebak angka, kita substitusikan. Kemungkinannya akan banyak sekali. Nanti akan saya bahas bagaimana cara kita memperoleh nilai X ini. Jadi dari proses ini kita sudah memperoleh...
3 nilai akar yang memenuhi yaitu X sama dengan 1, X sama dengan negatif 1 dan X sama dengan negatif 2 adalah akar-akar persamaan polinomial. X pangkat 3 ditambah 2X kuadrat dikurangi X dikurangi 2 sama dengan 0. Nah setelah teman-teman semua paham apa yang dimaksud dengan akar-akar persamaan polinomial, sekarang kita akan mencoba mencari nilai akar dengan cara memfaktorkan persamaan polinomial Akar-akar persamaan polinomial ini identik dengan faktornya. Jika X sama dengan P adalah akar suatu persamaan, maka X-P merupakan faktor dari persamaan tersebut.
Contohnya persamaan yang tadi, persamaan ini. Persamaan ini memiliki 3 akar yang memenuhi. Nah, secara tidak langsung, teman-teman sudah memperoleh 3 faktor dari sini.
Jadi persamaan X-3 ditambah 2X kuadrat min X-2 yang ini, Ini bisa kita ubah menjadi perkalian 3 faktor. Dari mana? Dari akar-akarnya.
Ingat, jika X sama dengan P adalah akarnya, maka X min V itu adalah faktornya. Jadi untuk X sama dengan 1 berarti X min 1 ini salah satu faktornya. Untuk X sama dengan negatif 1 berarti X plus 1 adalah faktornya. Dan untuk X sama dengan negatif 2, maka X plus 2 ini adalah faktor dari persamaan ini. Jadi persamaan ini bisa kita ubah menjadi perkalian dari faktor-faktornya.
Ini sama dengan 0. Seperti ini. Ini adalah 3 faktor dari persamaan polinomial ini. Oke, sekarang kita akan belajar bagaimana cara menentukan akar-akar persamaan polinomial dengan cara memfaktorkan. Biar jelas, teman-teman perhatikan contoh berikut ini. Tentukan akar-akar dari persamaan 2x pangkat 3 ditambah 5x kuadrat min x min 6 sama dengan 0. Nah, kita akan memfaktorkan bentuk persamaan polinomial ini.
Langkah pertama, teman-teman perhatikan koefisien dari variable yang berpangkat tertinggi. Di sini, variable pangkat tertinggi kan x pangkat 3. Teman-teman lihat koefisiennya. Yang mana? Yang ini kan, 2. Ya, koefisiennya adalah 2. Kemudian, teman-teman cari faktor dari 2 yang merupakan bilangan bulat positif dan negatif. Faktor dari 2, faktor itu bilangan yang bisa membagi 2 ya.
Berapa aja sih bilangan yang bisa membagi 2? Bisa plus minus 1 atau plus minus 2, ya nggak? 2 ini hanya bisa dibagi oleh plus minus 1 atau plus minus 2, oke?
Jadi langkah pertama, tentukan koefisien variable pangkat tertinggi. Kemudian langkah kedua, teman-teman tentukan atau lihat konstantanya. Untuk persamaan ini, konstantanya yang mana? Konstanta itu yang tidak bervariable, yang ini.
Ini konstantanya, negatif 6. Kemudian, langkah berikutnya, teman-teman tentukan faktor dari konstanta ini. Cari faktor dari negatif 6. Berapa aja bilangan yang bisa membagi negatif 6? Bisa plus minus 1, plus minus 2, plus minus 3, dan plus minus 6. Nah, ini adalah faktor-faktor dari negatif 6. Nah, setelah kita memperoleh faktor dari koepisien pangkat tertinggi dan faktor dari konstanta, Sekarang kita bisa menentukan akar-akar yang mungkin dari persamaan tersebut.
Caranya seperti ini. Akar yang mungkin itu faktor dari konstanta kita bagi dengan faktor dari koefisien variable pangkat tertinggi. Jadi yang ini, ini adalah faktor dari konstantanya, kita bagi dengan faktor dari koefisien pangkat tertinggi. Kita bagi dengan ini.
Oke? Pertama, faktor dari konstanta yang plus minus 1, plus minus 2, plus minus 3, dan plus minus 6. Kita bagi dengan faktor yang pertama, yaitu kita bagi dengan plus minus 1. Jadi akar yang mungkin pertama kita peroleh ini. Sekali lagi, dari sini kita bagi dengan plus minus 1. Atau bisa juga dari sini kita bagi dengan plus minus 2. Seperti ini. Sekarang kita cari nilainya.
Plus minus 1 dibagi 1, itu kan plus minus 1. Plus minus 2 dibagi 1, plus minus 2. Plus minus 3 dibagi 1, plus minus 3. Kemudian plus minus 6 dibagi 1, plus minus 6. Plus minus 1 dibagi 2, plus minus setengah. Plus minus 2 dibagi 2, ini kan 1, tadi udah ada, jadi ini nggak usah kita tulis. Kemudian plus minus 3 dibagi 2, plus minus 3 per 2. Dan plus minus 6 per 2, ini kan nilainya plus minus 3. Tadi udah kita tulis.
Jadi inilah nilai akar yang mungkin dari persamaan polinomial yang akan kita faktorkan. Akar yang mungkin dari sini. Nah, langkah berikutnya kita uji coba dari nilai akar yang mungkin ini. Substitusikan ke persamaan polinomial yang ada. Ke persamaan polinomial yang akan kita cari akarnya.
Ya, contohnya. Disini kan kita memperoleh plus minus 1, plus minus 2, plus minus 3, dan seterusnya Kita mulai dari sini dulu Misalnya kita ambil positif 1 X sama dengan 1 Kita coba substitusi ke sini Kita substitusi ke persamaan 2X pangkat 3 ditambah 5X kuadrat Minus X minus 6 sama dengan 0 Kita ganti nilai X-nya dengan 1 Seperti tadi Kita cari nilainya ruas kirinya 1 pangkat 3 kan 1 kali 2 Itu 2, 1 kuadrat ini 1 1 x 5, hasilnya 5. Kemudian dikurangi 1, dikurangi 6. 2 tambah 5, 7. Dikurangi 1, 6. 6 dikurangi 6, ternyata ruas kirinya 0. Karena hasilnya 0 dan benar, artinya ini ruas kiri dengan ruas kanan itu sama, maka X sama dengan 1 ini udah pasti salah satu akarnya. Nah, karena X sama dengan 1 adalah salah satu akarnya, maka X-1 adalah salah satu faktor dari persamaan tersebut. Nah, langkah berikutnya, teman-teman tidak perlu uji coba semua akar yang mungkin ini, terlalu banyak. Cara yang mudah adalah kita bagi aja.
Persamaan polinomial ini kita bagi dengan faktor yang udah kita peroleh. Untuk pembagiannya, mau pakai cara bersusun boleh, atau mau pakai Horner juga bisa. Kita kan udah belajar tentang pembagian polinomial, kan?
Nah, di sini saya pakai cara Horner aja, biar gampang. Kita akan membagi persamaan ini, 2x pangkat 3 ditambah 5x kuadrat min x min 6, kita bagi dengan x min 1. Kita ambil koefisiennya, 2, 5, negatif 1, dan negatif 6. Kemudian kita bagi dengan x min 1, berarti di sini kita simpan berapa? 1 kan? Oke, 2 kita tulis ulang. 2 kali 1, 2 kan?
5 tambah 2, 7. 7 kalikan dengan 1. 7, negatif 1 tambah 7, 6, 6 kalikan dengan 1, 6, negatif 6 tambah 6, ini 0. Nah, hasilnya ini harus 0, teman-teman. Karena kita sudah memperoleh X-1 adalah salah satu faktornya. Jadi hasilnya di sini, kalau faktor itu kan sisanya pasti 0. Jika teman-teman memperoleh sisanya bukan 0, kemungkinan ada salah proses perhitungan. Oke, sekarang kita sudah memperoleh hasil pembagiannya, berarti yang ini ya, ini adalah hasil pembagiannya. Yaitu 2x kuadrat ditambah 7x ditambah 6. Nah, untuk mencari faktor lainnya, ini kita faktorkan aja hasil pembagiannya.
Cara memfaktorkannya, untuk bentuk ax kuadrat ditambah bx ditambah c, kita faktorkan caranya lihat a-nya, kita ubah aja menjadi 1 per a, ax, ax. Seperti ini. Di sini kan a-nya 2, jadi kita...
Di sini kan a-nya 2, jadi kita ubah menjadi 1 per 2 kali 2x kali 2x. Langkah berikutnya, kita cari 2 angka yang dijumlahkan hasilnya b, dan jika dikalikan, hasilnya adalah a kali c. Jika dijumlahkan hasilnya b, koefisien x, dan jika dikalikan hasilnya adalah a kali c. Jadi untuk persamaan ini, kita cari 2 buah bilangan yang dijumlahkan hasilnya berapa?
b-nya di sini 7. Kemudian jika dikalikan hasilnya harus sama dengan A kali C. 2 kali 6. 12. Berapa tuh? 3 dan 4 kan? Atau 4 dan 3. Jadi kita peroleh setengah 2X.
Di sini positif 4 jadi plus 4. Kemudian positif 3 plus 3. Atau mau dibalik plus 3 plus 4 juga boleh. Sama aja. Kemudian setengah ini kita kalikan ke salah satu.
Boleh ke sebelah sini, boleh ke sebelah sini. Saya kalikan ke yang depan aja, biar 4-nya kan bisa dibagi 2 kan. Setengah kali 2x itu x, setengah kali 4, 2. Jadi yang sebelah sini masih tetap 2x tambah 3. Nah, kita udah memperoleh 2 faktor.
Secara tidak langsung, kita udah memperoleh semua faktor dari persamaan polinomial ini. Yaitu x-1, x plus 2, dan 2x tambah 3. Jadi, persamaan polinomial ini, 2x-3 ditambah 5xy-x-6 sama dengan 0, bisa kita ubah menjadi perkalian faktor-faktornya. x-1 x x plus 2 x 2x tambah 3. Nah, inilah cara memfaktorkan bentuk persamaan polinomial. Jika faktornya sudah kita peroleh seperti ini, maka akarnya pun kita peroleh. X-1 sama dengan 0, maka X-nya sama dengan 1. X tambah 2 sama dengan 0, X sama dengan negatif 2. 2X tambah 3 sama dengan 0, maka X-nya adalah negatif 3 per 2. Ini adalah akar-akarnya.
X1, X2, X3. Atau urutannya mau teman-teman ubah juga boleh ya. Misalnya X-2 ini jadi X1-nya, kemudian ini jadi X2, ini jadi X3, itu nggak masalah. Oke? Yang pasti ini adalah akar-akar dari persamaan polinomial 2x pangkat 3 ditambah 5x kuadrat min x min 6 sama dengan 0. Biar lebih jelas, kita coba satu soal lagi ya.
Oke, sekarang kita lanjut ke contoh kedua. Tentukan akar-akar persamaan x pangkat 3 dikurangi 3x kuadrat ditambah 5x dikurangi 6 sama dengan 0. Oke, sekarang kita coba selesaikan. Masih ingat langkahnya ya. Yang pertama adalah kita tentukan koefisien dari variabel berpangkat tertinggi. Di sini variabel pangkat tertinggi adalah x pangkat 3. Koefisiennya berapa?
Koefisiennya adalah 1. Kemudian kita cari faktor atau pembagi dari 1. Yang merupakan bilangan bulat. Bisa positif atau bisa negatif. Faktor dari 1 adalah jelas.
Plus minus 1. Ini adalah bilangan bulat yang bisa membagi 1. Kemudian teman-teman lihat konstantanya, konstanta disini negatif 6. Kita cari faktor dari negatif 6. Berapa aja? Plus minus 1, plus minus 2, plus minus 3, dan plus minus 6. Langkah ketiga kita tentukan akar-akar yang mungkin dari persamaan polinomial ini. Caranya faktor dari langkah kedua, faktor dari negatif 6 ini, kita bagi dengan faktor dari langkah pertama. Kita bagi dengan ini. Jadi kita peroleh akar-akar yang mungkinnya adalah plus minus 1, plus minus 2, plus minus 3, dan plus minus 6. Ini kita bagi dengan plus minus 1. Seperti ini.
Atau kita peroleh plus minus 1 dibagi 1, plus minus 1, plus minus 2 dibagi 1, plus minus 2, plus minus 3 dibagi 1. Itu plus minus 3 dan plus minus 6 dibagi 1. Itu plus minus... 6 ini adalah nilai akar-akar yang mungkin sebagai akar persamaan polynomial ini. Kemudian ini kita uji coba akar yang mungkin kita substitusi ke persamaan ini. Pertama kita ambil x sama dengan positif 1 dulu.
Kita substitusi ke persamaan ini. Kita ganti setiap nilai x-nya dengan 1. Jadi kita peroleh 1 pangkat 3 dikurangi 3 kali 1 kuadrat. Ditambah 5 kali 1 dikurangi 6 sama dengan 0. 1 dipangkatkan 3 kan 1. Kemudian dikurangi 3 kali 1 dikuadratkan kan 1. 3 kali 1 itu 3. Kemudian ditambah 5 kali 1. 5 kemudian dikurangi 6. Ruas kirinya 1 dikurangi 3 itu negatif 2. Negatif 2 ditambah 5 itu 3. Kemudian 3 dikurangi 6. Negatif 3. Ternyata ruas kiri dengan ruas kanannya beda. Artinya ini salah. Tidak memenuhi.
Tidak sama dengan. Nah dari sini kita peroleh ternyata x sama dengan 1 ini bukan faktornya teman-teman. Karena hasilnya bukan 0. Kita uji sekarang negatif 1 ya.
x sama dengan negatif 1 kita substitusi ke persamaan ini. Kita ganti setiap x nya dengan negatif 1. Jadi kita peroleh min 1 pangkat 3 dikurangi 3 kali negatif 1 kuadrat. Ditambah 5 kali negatif 1 dikurangi 6 sama dengan 0. Ruas kirinya negatif 1 dipangkatkan 3 itu negatif 1. Negatif 1 dikuadratkan, ini 1 kali min 3, min 3. 5 kali min 1, min 5. Kemudian dikurangi 6. Negatif 1 dikurangi 3, itu negatif 4. Kemudian dikurangi 5, negatif 9. Dikurangi 6, negatif 15. Ternyata ini juga salah, tidak memenuhi, tidak sama dengan.
Jadi, X sama dengan negatif 1, ini bukan faktornya. Nah, sekarang kita uji coba, ini udah jelas bukan ya. Sekarang kita ambil positif 2, X sama dengan positif 2. Kita substitusi lagi ke persamaan ini. Kita ganti X-nya dengan 2. Jadi kita beroleh 2 pangkat 3, dikurangi 3 kali 2 kuadrat, ditambah 5 kali 2, dikurangi 6, sama dengan 0. 2 dipangkatkan 3 ini 8. 2 dikuadratkan 4, 4 kali min 3, min 12. 5 kali 2, 10. Kemudian dikurangi 6. 8 dikurangi 12 negatif 4 ya.
Kemudian ditambah 10 itu positif 6. 6 dikurangi 6 ternyata ini 0. Nah ini kan benar. Artinya x sama dengan 2 ini salah satu akarnya. Atau x-2 adalah salah satu faktornya.
Nah kita sudah memperoleh salah satu faktornya. Sekarang kita lanjut ke langkah berikutnya seperti yang contoh pertama ya. Kita bagi aja persamaan polinomial ini.
Kita bagi dengan X-2. Di sini saya pakai corner lagi. Sekarang kita lihat koefisien dari persamaan polinomial ini.
1, negatif 3, 5, dan negatif 6. 1, negatif 3, 5, dan negatif 6. Kita bagi dengan X-2. Berarti di sini kita simpan positif 2 ya. 1 kita tulis ulang.
1 kali 2, 2. Negatif 3 tambah 2, negatif 1. Negatif 1 kali 2, negatif 2. 5 tambah negatif 2, itu 3. 3 kali 2, 6. Negatif 6 tambah 6, ini 0. Nah, sekarang kita lihat hasil baginya, bagian sini. Atau ini kita tulis jadi x kuadrat min x plus 3. Nah, langkah berikutnya ini kita faktorkan ya. Dan ternyata untuk persamaan ini, Ini tidak bisa kita faktorkan, teman-teman. Coba, ini kalau kita faktorkan, kita nyari 2 buah bilangan yang dijumlahkan hasilnya negatif 1. Kemudian, jika kedua bilangan itu dikalikan hasilnya 3, dijumlahkan minus 1, dikalikan 3, ini nggak bisa. Nggak ada bilangan bulat yang memenuhi.
Atau ini mau teman-teman pakai rumus ABC atau mau pakai kuadrat sempurna juga, ini ternyata nggak bisa. Nah, jika teman-teman menemukan persamaan kuadrat seperti ini yang sulit difaktorkan, kita cek diskriminannya. Diskriminan itu seperti ini. Untuk persamaan ax kuadrat ditambah bx ditambah c sama dengan 0, diskriminan atau d ini rumusnya b kuadrat min 4ac.
Jadi untuk persamaan ini, disini a-nya 1, b-nya min 1, dan c-nya 3. Diskriminannya berapa? B nya kan min 1, min 1 dikuadatkan, dikurangi 4 kali A, A nya 1, kemudian kali C, C nya 3. Ternyata diskriminannya adalah negatif 11, ini kurang dari 0. Ketika D nya, kalau D nya kurang dari 0 atau negatif, ini tidak ada yang memenuhi, tidak akan ada nilai X yang memenuhi. Tidak ada solusi.
Ketika hasilnya setelah kita uji coba ternyata diskriminannya sama dengan 0, ini hanya akan memiliki 1 nilai X atau disebut sebagai akar kembar. X1 dan X2 nya sama. Kemudian jika D nya positif, jika D nya lebih dari 0, ini akan memiliki 2 akar real yang berbeda.
2 akar berbeda. Oke, nah ini tentang diskriminan. Ternyata untuk bentuk ini, diskriminannya itu negatif.
Jadi ini nggak bisa kita faktorkan lagi. Jadi untuk persamaan polinomial ini, x pangkat 3 min 3x kuadrat tambah 5x min 6 sama dengan 0. Ini memiliki satu faktor linear dan satu faktor kuadrat. Atau bisa kita ubah menjadi perkalian x min 2 kali x kuadrat min x tambah 3 sama dengan 0 dari sini. Oke? Jadi kalau ditanya berapa akarnya, nilai X yang memenuhinya, ini hanya memiliki satu akar saja, yaitu X sama dengan 2 dari sini.
Oke, sampai sini dulu video kali ini. Sampai ketemu di video bagian terakhir untuk materi polinomial, yaitu teorema vieta. Kita akan belajar bagaimana cara mencari nilai jumlah dan hasil kali dari akar-akar persamaan polinomial tanpa mencari berapa akarnya. Sampai ketemu di video berikutnya. Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.