इंटिग्रेशन पर लेक्चर नोट्स

इंट्रोडक्शन

• आज हम इंटिग्रेशन के बारे में चर्चा करेंगे।
• अगर डिफरेंशियेशन का वीडियो नहीं देखा है, तो उसे पहले देखें।

इंटिग्रेशन का उपयोग

• Displacement (s): s = t² (यह displacement है)
• Velocity (V): V = ds/dt
• समस्या: अगर हमें velocity दी जाए और displacement पूछना हो, तो हमें इंटिग्रेशन की आवश्यकता होगी।
• इंटिग्रेशन, डिफरेंशियेशन की विपरीत प्रक्रिया है।

ग्राफ और एरिया

• Y vs X ग्राफ का एरिया निकालना इंटिग्रेशन का मुख्य उद्देश्य है।
• ग्राफिकली, पतली स्ट्रिप्स का एरिया निकालकर पूरे एरिया को पाया जा सकता है।
• इंटिग्रेशन के लिए: A = ∫y dx (x = 0 से x = x1 तक)

इंटिग्रेशन के मूलभूत सूत्र

1. x की पावर n का इंटिग्रेशन:
   • ∫xⁿ dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (जहाँ n ≠ -1)
2. 1/x का इंटिग्रेशन:
   • ∫(1/x) dx = log|x| + C
3. e की पावर x का इंटिग्रेशन:
   • ∫e^x dx = e^x + C
4. dx का इंटिग्रेशन:
   • ∫dx = x + C

इंटिग्रेशन के समस्याएँ

• यदि सीमा दी गई हो (definite integration), तो C नहीं लगाना है।
• उदाहरण:
  • ∫(x) dx (2 से 3 तक) = [3²/2] - [2²/2] = 5/4

इंटिग्रेशन के विभिन्न प्रकार

• Integration by Parts:
  • ∫u dv = uv - ∫v du
• u को बाहर रखें, dv का इंटिग्रेशन करें, फिर du का इंटिग्रेशन करें।

कुछ महत्वपूर्ण ट्रिगोनोमेट्रिक इंटिग्रेशन

• ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫cos(x) dx = sin(x) + C
• ∫tan(x) dx = -log|cos(x)| + C

सब्सटिट्यूशन मेथड

• यदि किसी फ़ंक्शन का इंटिग्रेशन करना हो, तो उसे नए वेरिएबल में बदलना।
• उदाहरण:
  • ∫(x/(1+x²)) dx: t = 1 + x², dt = 2x dx

निष्कर्ष

• इंटिग्रेशन की प्रक्रिया का उपयोग कई समस्याओं को हल करने में किया जा सकता है।
• कई फॉर्मूलों और मेथड्स को समझना आवश्यक है।
• नियमित अभ्यास के माध्यम से इंटिग्रेशन में दक्षता प्राप्त की जा सकती है।