हेलो बच्चों, आज हम बात करने जा रहे हैं इंटिग्रेशन पे अगर आपने अभी तक मेरा डिफरेंशियेशन का वीडियो नहीं देखा है तो गूगल पे टाइप करें या यूटूब पे टाइप करें डिफरेंशियेशन, फिजिक्स वाला अब बच्चों पहली बात यह आती है कि इंटिग्रेशन हमें क्या यूज़ है माल नीचे लिखा है s is equal to t square यह displacement है, यह time है और मैं आपसे पूछूं कि velocity क्या है तो आप बोलो कि velocity क्या होती है ds by dt अगर आपने यह वीडियो नहीं देखा है कैसे velocity निकालते हैं तो पहले इसको देखें, इस बात को भी समझें ds by dt तो इसको हम differentiate कर देंगे तो यह आजाएगा 2t ठीक है, हमें differentiation पता था बहुत बढ़िया, और velocity क्या होती है change in displacement upon change in time पर बच्चों मान लो हम आपको बोलें V is equals to T square plus 1 और आपसे पूछे हम displacement कितना होगा अब आप क्या करोगे अगर मैं displacement देता तो आप velocity निकाल लेते हैं dS by dt करके पर जब मैंने velocity दी और आपसे displacement पूछा तो आपके पास कोई तरीका नहीं है भाई velocity क्या होती है dS by dt यानि displacement को differentiate कर दू पर यार velocity से displacement कैसे निकालें तो इस problem को solve करने के लिए हमें पढ़ना पड़ेगा integration see integration is the reverse process of differentiation reverse process of differentiation तो देखो पिछले वाला जो example दिया मैंने उसमें भी हमको reverse पीछे जाना था displacement से velocity निकालने के लिए क्या किया differentiation velocity से displacement निकालने के लिए करना पड़ेगा integration reverse process है तो बच्चो integration के लिए हम start करते हैं कहानी एक graph से ये मालो मेरे पाई इस ग्राफ है Y वर्सेज X का और ये ऐसा बना है मैं आपसे कहूँ XX के स्थितार आप ग्राफ का एरिया निकालिये किसके साथ? XX के साथ ग्राफ का एरिया निकालिये तो बड़ा असान है आप इस टैंगल का एरिया निकाल दोगे बड़ा असान है आप इस टैंगल का एरिया निकाल दोगे तो बच्चों प्रॉब्लम कब आएगी? मान लो ये ग्राफ कुछ ऐसा हो जाए अब मैं बोलू एक्स एक्सिस के साथ इस ग्राफ का एरिया बताईए अब आपके पास कोई मैस नहीं है जो ये काम कर पाए यहाँ पे integration काम आता है और यहीं से integration start होता है नोट्स बनाएं, इसको बना लें, चेक लें मैं क्या करता हूँ, यहाँ पे एक पतली सी strip काट लेता हूँ बहुत पतली सी एक strip काट लें, मैंने बहुत पतली सी यह लेंथ बहुत छोटी है, तो बहुत छोटी लेंथ को हम क्या बोलते हैं?
dx, क्योंकि यह x-axis है, बहुत छोटी लेंथ को मुला dx, और इस लेंथ को मैंने बोल दिया y1, मतलब यहाँ पे मैंने बोल दिया, जो y की value है, वो y1 है, अब इस छोटी सी strip का आप area निकाल सकते हो, area of strip, इस पतली सी strip का area निकाल सकता है, यह strip है, इसकी length कितनी है बच्चों, y1, और इसकी width कितनी है, dx, तो एरिया क्या हो जाएगा, length into breadth रिक्टांगल है, तो y1 into dx, इसी तरह से एक स्ट्रिप मैंने यहां काट ली, छोटी सी स्ट्रिप, तो dx, और length माल ली इसकी मैंने y2, कुछ change हो गया भाई, यह हो गया y2, इस वाली स्ट्रिप की एरिया कितना होगा, area of this strip, ठीक है, area of this strip will be y2 into और सबका एरिया निकाल लिया इसका भी एरिया इसका भी एरिया इसका भी एरिया पतली पतली स्ट्रिप्स के एरिया निकाले मैंने पतली पतली स्ट्रिप्स बनाया और उनके एरिया निकाले ठीक है जैसे यहां पर मैंने बोल लिया मान लो यह लेंथ हो और पतली पतली स्ट्रिप्स काटकर सबके एरिया को निकाल कर जोड़ दिया तो यह कंपलीट एरिया आ जाएगा एनी एरिया जो हमें रिक्वाइड है यहां पर वह कैसे निकाल सकते हैं सकते हैं कि सारी छोटी-छोटी स्ट्रिप के एरिया को जोड़ दें मतलब y1dx को जोड़ दें y2dx से उसको जोड़ दे y3dx से और जोड़ते-जोड़ते-जोड़ते-जोड़ते लास्ट तक सारे ydx को जोड़ दें अब बच्चों जोड़ने को हम बोलते हैं क्या है समिशन तो समिशन करना है ydx का वाइड नीचे लिख दिया एंड क्योंकि एंड की वैलू तभी वन है कभी टू है कभी तो मैंने लिखा n को start करो 1 से और n को लेके जाओ n तक किसी value तक ये आपका आ गया area ठीक है, पर अभी integration की बात नहीं आगे, अब दच्चों, इस submission में एक problem है, problem समझाता, जब इस script का area आपने लिया, तो आपने इसको complete rectangle माना है, जबकि ध्यान से देखो, ये part तुम्हारा छूड गया, इस part के बारे में हम बात नहीं कर पाए, जो rectangle के उपर है, जैसे यहाँ पे अगर straight line होती ऐसे तो area नहीं छूटता पर क्योंकि यह curve है तो यह area हर बार छूट जाता है तो इस area को बचाने के लिए हम submission के symbol को change करते हैं और यह symbol लगाते हैं यह symbol curve को दिखा रहा मतलब integration यहां लिखेंगे y dx कहां से कहां करना है तो हम माल लेते हैं यहां x की value 0 है और यहां माल लेते हैं x की value कुछ x1 है तो x is equal to 0 से लेकर x is equal to x1 तक integrate कर देंगे तो हमें पूरा area मिल जाएगा मतलब integration क्या होता है y versus x graph का जो area होता है y versus x graph का जो area होता है जो x axis के साथ graph enclose करता है उसको बोलते है integration जैसे मैं बोलूं मुझे यहां से यहां तक का area चाहिए सिर्फ इतना area चाहिए कोई बात नहीं आप मान लो यहाँ x की value है x2 और यहाँ x की value है x3 x चेंज हो रहा है तो आप लिख लो x is equals to x2 से लेके x is equals to x3 तक integrate कर दें y dx को तो पहली बात यह समझ में आई कि integration हमें देता है area of y versus x और differentiation देता था slope of y versus x इंटेग्रेशन देता है हमें area of वाइ वर्सेद एक्स वेरी वेरी इंपोर्टिट तो अभी आपको बेसिक कंसेप्ट समझ में आया होगा इंटिग्रेशन वाइ डी एक्स का मतलब क्या है ग्राफिकली वेरी बुट अब बच्चो जो इंटिग्रेशन है या की क्लास ट्विल्थ मैथमेटिक्स के कम से कम कुछ नहीं तो तीन चाप्टर्स और एट लीस्ट थर्टी एक्सरसाइजेस कवर करेगा ठीक है अप्रॉक्स ट्विंटी माल लो ट्विंटी ट्विंटी पाइब एक्सरस हम यहाँ पे उतना ही integration पढ़ाएंगे जितना हमको physics में use होगा और कुछ integration हम रास्ते में सीखेंगे अपनी journey में 11th की बीच में जब सवाल आएंगे तो बताएंगे दूसरी important हर function को differentiate आप कर सकते हो nearly हर function को सारे function differentiate भी नहीं होते पर integration कुछ particular function ही होते हैं जैसे मैं board में कुछ भी लग दूं तो उसको integrate करना possible नहीं है differentiate भले कर सकते हैं तो इंटेग्रेशन के लिए हम आपको सबसे पहले बेसिक फॉर्मुला बताते हैं जो बहुत इंपोर्टेंट है आप नोट करेंगे सबसे बेसिक फॉर्मुला जहां से इंटेग्रेशन स्टार्ट होगा माई लीचे लिखा है y is equal to x की पावर n हमने कहा इंटेग्रेशन के लिए x की पावर n dx यह आप ऐसे बोल लो बहले इंटेग्रेशन के लिए y dx तो y की जगह लिख दोगे x की पावर n dx का इंटेग्रेशन बच्चों, इसका integration होता है x की power n plus 1 upon n plus 1, ठीक है, n plus 1 upon n plus 1, अगर यहां कुछ लिखा है, जैसे लिखा है 1 से 3, तो ऐसे ही ठीक है, तो ठीक है, अगर कुछ नहीं लिखा बच्चों, तो इसको हम बोलते है indefinite integration, कि कुछ definite नहीं है, कहां से कहां integrate कर रहे हैं, कितना area निकाल रह चलिए तो formula क्या है x की power n का x की power n plus 1 upon n plus 1 जैसे हम आप से पूछे integration of x dx तो बच्चो x की power 1 है तो क्या हो जाएगा x की power 1 plus 1 2 और नीचे 1 plus 1 2 और साथ मिले क्लो plus c जैसे बच्चों आप से पूछे integration of x square dx तो x की power 2 है n plus 1 3 n plus 1 3 उपर क्या करना है, n plus 1, नीचे भी n plus 1, जैसे हम आपसे पूछें, under root x dx, बच्चों under root x का मतलब, x की power 1 by 2 dx लिख सकते हैं, अब integrate करेंगे तो उपर x की power n plus 1, नीचे भी n plus 1, और साथ में लिख देंगे plus c, यहाँ पे भी plus c, plus c तब तब लिखना है जब यहाँ कुछ ना लि� सबसे पहला formula x की power n इसमें बच्चों एक important बात यह है कि n should not be equal to minus 1 n की value minus 1 नहीं होनी चाहिए क्यों नहीं होनी चाहिए मान लो n की value minus 1 नहीं होनी चाहिए तो minus 1 plus 1 कितना हो जाएगा 0 and anything divided by 0 is not defined in maths तो n की value minus 1 नहीं होनी चाहिए और कुछ भी हो सकती है बस minus 1 ना हो जैसे हम आपसे बोलें आप हमें integrate करके दो integration of 1 by under root x dx बच्चों इसको आप क्या लिख सकते हो, यह x की power half है, उपर आएगा तो x की power minus half bx हो जाएगा, इसको integrate करोगे x की power minus half plus 1 upon minus half plus 1 और साथ में plus c लिख लोगे, x की cube हो, x की power 4 हो, बाकी सब integrate हो जाएगा, बस क्या नहीं होना चाहिए, m की value minus 1 नहीं होनी चाहिए, अच्छा बच् जैसे मान लीजिये हम बोले x की पार minus 1 dx का integration या exam में ऐसे आएगा 1 by x dx का integration तो बच्चो 1 by x dx का integration है वो है log mod x plus c mod इसलिए लगाया क्योंकि log के अंतर कभी भी negative number नहीं हो सकता log negative चीज़ का defined नहीं है तो मान लोग 1 upon x और x की value negative होती तो इसलिए हमने mod लगा दिया कि यहाँ पे value कैसी रहे positive x की power minus 1 dx क्या बन जाएगा? log base e mod x plus c, very easy, ठीक है? अच्छा अगर आप याद करो, तो differentiation में आपने देखा था, कि log x को differentiate करने पर, log x को differentiate करने पर 1 by x आता है, देखा था? log x का differentiation क्या होता है?
1 by x, तो 1 by x का integration क्या हो गया? log x, इसलिए मैंने बोला, integration is the reverse process of differentiation. तो formulas आज की class में ज़रूर note करें ठीक है, पहली class है तो आपको formulas ज़रूर note करें चलिए इसी x की power n पे एक सवाल और बताईए फिर आगे बढ़ते हैं integration of x की power 4 dx क्या हो जाएगा बच्चों x की power 4 plus 1 upon 4 plus 1 plus c, तो power एक बढ़ा दो नीचे उसी number से divide कर दो और plus c लिख दो ठीक है, तो x की power n dx का integration आपको याद हो जाना चाहिए x की power n plus 1 upon n plus 1 plus c, ऐसे कर सकते हैं, अभी यह मत सोचो कि differentiation में क्या था, उसको बाद में revise करना, mix करोगे तो confused होगे, ठीक है, अच्छा बच्चों, अब बात आती है कि अगर limit लगी हो तो क्या करें, जैसे मालो लिखा हो, x dx को integrate करना है, 2 से लेके 3 तक, x की power 1 plus 1, नीचे भी 1 plus 1, कहां से कहां, 2 से लेकर 3 तक, अब क्या करना है, पहले x की जगह 3 रखो, फिर minus लिखो, फिर x की जगह 2 रखो, चलिए दिखाते हैं, पहले x की जगह 3 रखा, तो 3 का square by 2, फिर minus लिखो, फिर x की जगह 2 रखो, 2 का square by 2, and that is the answer, 9 minus 4 by 2, that is 5 by 4, इस बार plus C नहीं लिखेंगे, जब limits दी हो तब plus C नहीं लिखना है, तब कोई constant नहीं आएगा, और जब limits ना दी हो तो constant आएगा, इसको बच्चों बोलते हैं definite integration, क्योंकि अब definite है, कहां से कहां जाना है, तो जब definite हो तब constant नहीं लिखना है, जैसे बच्चों आपसे बोले, integrate क तो आप integrate करोगे, x की power 2 है, तो 2 plus 1, नीचे भी 2 plus 1, 0 से लेकर 3 तर, पहले x की जगा 3 रखो, 3 का cube by 3, फिर लगाओ minus, फिर x की जगा 0 रखो, 0 का cube by 3, तो 3 का cube 27, divide by 3, the answer will be 9, और कोई constant C नहीं आएगा, ठीक है, तो clear हो रहा है, कि कब C लगाना है, और कब C न लगाके, ठीक है, जैसे बच्चों हम आपसे बोलें कि आप integration of 1 by x dx करो, x की value ले लो, 2 से लेके 5 ता, तो आप बोलोगे 1 by x, ये तो वही case है, कौन सा, integration of x की power minus 1 dx वाला, इस case में क्या answer आना चाहिए, इस case में answer आना चाहिए, log mod x, और कहा से कहा, 2 से लेके 5, तो पहले x की जगा 5 रखो, 5 अब तो mod की जरूरत नहीं क्योंकि 5 तो positive ही है minus log x की जगह 2 रख दो, log a minus log b, log a बटे b बन जाएगा, तो clear हो रही है बात कि इसको definite बोलते हैं, इसमें plus c नहीं लगाते, और जब limit ना दी हो तो plus c लगाते हैं, तो बच्चों first and foremost formula आपने पढ़ा, integration of x की पार n dx, x की पार n plus 1, upon n plus 1 plus c, इसी में आपने exception पढ़ा कि n की value minus 1 नहीं होनी चाहिए, यदि n की value minus होगी, तो क्या बनेगा, n की value अगर minus 1 हुई, x की power minus 1 dx, इसको इस तरह से भी लिख सकते हैं, 1 by x dx, और इसका integration आएगा log mod x plus c, अब तीसरे formula भी आते हैं बच्चो, integration of e की power x dx, e की power x का differentiation क्या था, e की power x, तो इसका integration भी क्या होगा e की power x plus c ठीक है इसका differentiation ये तो इसका integration ये reverse process है इन दूसरे का ठीक है तो ये तीन बहुत ही basic formula है सबसे पहले आपको ये आ जाएं ठीक है अब इनसे जुड़ते हुए formula है question number 4 जो की कुछ अलग नहीं है जैसे हम आपसे बोले integration of अब ये इसी form में चला गया, ये n हो गया, और n-1 भी नहीं है, तो आप लिखोगे x की पार 0,1, नीचे भी 0,1, plus c लिखेंगे, चीके, तो x आजाएगा answer, तो आब याद रखो कि integration of dx बच्चों x होता है, although ये सब कर सकते हो, पर छोटी-छोटी बातें याद होना भी बहुत ठीक है, अच्छा, next चीज़ आपको बताते हैं, number 5, ठीक है, वहाँ पर include कर लेंगे, integration of मालो लिखा हो 2x square dx, अब जब साथ में कोई चीज़ multiply हो रही हो, तो उस चीज़ को बाहर ले लो, integration of x square dx, तो 2 को बाहर रखो, x की power 2, तो x की power 2 plus 1, upon 2 plus 1, plus c, तो जो भी चीज़ multiply हो रही और उसके बाद integrate कर दो जैसे next question integration of 3dx तो बच्चों जो चीज multiply हो रही है उसको बाहर कर दो integration of dx कितना होता है x होता है तो हमारा आ गया 3x plus c तो इतनी बातों को note करें बहुत basic चीज़ें बताईं अब चलो कुछ formula और देख लेते हैं integration के ठीक है ये समझ में आ गया जो भी चीज multiply हो रही है constant चीज तो उसको बाहर और integrate कर लो जैसे हम पुछे integration of 5bx तो 5 बाहर आ जाएगा, dx का integration x plus c का लिए तो बच्चों, यह basic-basic formula हमने आपको बता दी हैं, integration के अब कुछ और formula हम आपको बता देते हैं और formulas बच्चों, integration बहुत सारे बनेंगे और अभी आपको सारे formula याद करने की जरूरत भी नहीं है with passage of time धीमे धीमे formulas याद होंगे अब ही हम एक list of formula आपको देने जा रहे हैं उस list of formula को आप हो सके तो print out निकाल लीजे या अपने notes में लिख लीजे उसको फड़के अपने घर में चिपका लीजिए और रोज उसको पढ़ते जाए चले लिस्ट देखा लिस्ट देख लीजिए तो आपने list देख ली formless के अब जैसे हम इसमें कुछ चीज़े समझाना चाहेंगे कि integration of sin x dx तो बच्चो sin x का integration होता है minus cos x plus c लगा दिया है अब आप याद करो cos x का differentiation होता था minus sin x यानि minus cos x अगर लिखा है cos x का differentiation क्या होगा minus sin x और एक minus all लगा है और उसका integration करोगे तो यह चीज़ आएगी थोड़ा सा इसमें change हुआ है sin x का differentiation होता था cos x और sin x का integration होता है minus cos x बस यह दो चीज़ याद रखो sin x का differentiation में cos x और integration में minus cos x जैसे integration of cos x dx आपने भी देखा कितना आ रहा है?
sin x plus c और याद हो cos x का differentiation था minus sin x तो ये change है, तो मैं कहूँगा सिर्फ आप एक चीज़ याद रखो ये वाली क्या? कि sin x को जब हम differentiate करते हैं बस ये चीज़ याद रखो, तो answer आता है cos x बस इतना याद रखो, बाकी सब हो जाएगा अब sin x को integrate करोगे तो minus cos x आ जाएगा cos x को differentiate करोगे तो minus sin x आ जाएगा cos x को integrate करोगे तो sin x आ जाएगा बस ये याद रखो कि sin x का differentiation cos x अब integration of sin x करेंगे तो उल्टा कर देंगे minus cos x अब differentiation of cos x किया हमने cos x का differentiation तो sin x का cos x था तो cos x का minus sin x अब integration of cos x किया तो differentiation of cos x is minus sin x तो integration क्या हो जाएगा plus sin x ठीक है तो इसमें से कोई एक formula अच्छे से आपको याद हो जाना चाहिए तो ये basic हो गया इसके बाद trigonometry में formula की कमी नहीं है जैसे एक बहुत ही आपको असान चीज़ में याद करा हूँ कि tan x का differentiation क्या होता था ठीक है बस example दे रहा हूँ तो tan x का differentiation होता था sex square x अब मैं आपसे पुछूं कि sex square x dx का integration क्या होगा तो वापस आ जाएंगे tan x plus c लिख देंगे जैसे आपको अगर याद हो कि cosec x का differentiation क्या होता था याद है क्या cosec x का differentiation मुश्किल है जाएंगे चली मैं बताता हूँ, होता था minus cosec x cot x, अब आपसे मैं पूछू integration of cosec x cot x क्या हो जाएगा, तो आप लिख दोगे minus cosec x plus c, just reverse process है, ठीक है, तो इतना जानने के बाद, कुछ formulas देखने के बाद, मैं आपको अगली चीज जो पढ़ाओंगा बच्चों, वो है algebra of integration, algebra of integration, ठीक है, कि addition को कैसे tackle करना है multiplication को कैसे tackle करना है इसके बारे में बात करते हैं तो बात करते हैं algebra of integration की तो पहले बात करते हैं addition या subtraction कि दो function add या subtract हो रहे हो तब कैसे integration करना है जैसे हमसे बोला y is equals to x square plus 1 by x को आप integrate करो तो आप लिखोगे integration of y dx तो आप लिखोगे integration of x square plus 1 by x और इस पूरे का integration अब करना क्या है एक एक को अलग अलग कर लो मैंने लिख लिया x square dx plus 1 by x dx और दोनों को अलग अलग integrate कर लो इस dx को इसमें भी दे दो integration का symbol दोनों में डाल दो और दोनों को अलग अलग integrate कर लो बच्चो x square का integration x की power n plus 1 upon n plus 1 और 1 by x का integration बार बार बता रहा हूँ log mod x और साथ में क्या लग जाएगा plus c constant लग जाएगा ठीक है तो करना क्या है सबको अलग अलग करके integrate कर देना है जैसे मान लो एक सवाल वाल ले जाती है हम y is equals to e की power x plus sin x plus root x हमसे कहा integrate करो तो integration of y dx is equals to integration of बोलो e की power x dx plus sin x dx plus under root x dx, सब को अलग अलग integrate कर लो, e की power x का integration, e की power x, sin x का क्या था, minus cos x, और root x को क्या समझ सकते हो बच्चों, यह हो गया x की power half, तो x की power half plus 1, और नीचे भी half plus 1, और last में plus c, मतलब अलग अलग सब को integrate कर दो, यही है addition या subtraction की technique, ठीक, फिर आता है बच्चों algebra of integration में multiplication और बच्चों ये part हम complete नहीं कर सकतें सिब आपको समझा सकते हैं कुछ example करा सकते हैं क्योंकि मैंने बोला integration एक बहुत बड़ा सागर है तो कुछ आपको हम basic समझा सकते हैं जैसे हमसे लिखा हो uv मतलब दो function multiply हो रहे हो example x multiplied by sin x हमसे किसी ने कहा x sin x को integrate करो अब sin x होता तो integration minus cos x, x होता integration तो x square by 2, अब दोनों multiply हो रहे हैं, तो बच्चों multiply होने का case देखो, integration of u b, आपको करना क्या है, u को बाहर रखो, integration of v dx, minus, अब सुनना, u को differentiate करो, du by dx, integration of v dx, तो फैले इस formula को अपने notes में आप डालें, कि, इसको हम एक चीज और कोलते हैं, क्या कोलते हैं इसको हम? integration by parts integration by parts तो integration by parts करने का तरीका यह होता है कि U को बाहर करो, integration of Vdx minus integration, फिर bracket में आओ U को differentiate करो, du by dx फिर integration Vdx, bracket close और यहाँ पर भी लगेगा एक dx पूरे का integration करो कि u v में से पहले एक को बाहर ले लो यू को फिर integration करो v dx minus फिर integration का symbol लगा के एक बड़ा सा bracket फिर u को differentiate du by dx फिर integration of v dx और पूरे को close करके dx तो इसको जन्मूर से note कर लें पहले ठीक है चले मैं इसको उपर लिख देता हूँ formula को और फिर इस पे कुछ questions कर लेते हैं अगर u v को integrate करना है with respect to dx, तो हम u को बाहर लेंगे, integration of vdx, फिर minus का symbol लगाएंगे, फिर integration का symbol लगाएंगे, अब लिखेंगे, du by dx, फिर integration of vdx, पूरे को bracket पर close करेंगे, और लिखेंगे dx, तो इतनी बात आप भी copy में note कर लें, अब definitely ये तो video देखके आद नहीं रहेगी, चलिए start करते हैं, तो मैंने x को बाहर ले लिया, u को बाहर, integration of sin x dx, ठीक है, minus, अब differentiate करना है किसको, पहले function को, u को, पहला function कौन है, x, तो मैंने लिखा dx by dx, x को differentiate कर दिया, फिर integrate करना है v को, v कौन है, sin x, sin x, dx, और इस पूरे के बाहर लिख दिया, dx, ठीक है, अब x, अब बच्चों sin x का integration क्या होता है?
minus cos x ठीक है ये बवाल खतम minus dx by dx 1 x का differentiation u क्या है? x x का differentiation क्या होता है? 1 तो ये 1 आ गया sin x dx का integration minus cos x ठीक है और साथ में लिखा है dx ये हो गया minus x cos x minus अब ये minus बाहर ले लो plus हो जाएगा कॉस x का integration बच्चो कॉस x का integration होता है sin x और साथ में लिख लेंगे plus c तो यह integration complete हो गया कॉस x का integration sin x ठीक है तो थोड़ी बहुत values याद रखनी जरूरी है एक और इसी पर example ले लेते हैं बच्चो कि कैसे आपको integration by part को करना है uv method को करना है पर धीमे धीमे जब math में जाओगे तो इसको पढ़ोगे neat वाले medical वाले परिशान ना हो उनके लिए मैं जितने फॉर्मले बता रहा हूँ सफीशिंट है बाकि पढ़ाते पढ़ाते कोर्स बीच में कुछ फॉर्मले अपने आ पाएंगे ठीक?
जैसे हम अगला लेते हैं E की पावर X और X ठीक है? U, V अब बच्चों ये भी ध्यान रखना है कि किसको U लेना है किसको V लेना है और इसके लिए एक प्रिंसिपल है I-LATE प्रिंसिपल ये प्रिंसिपल बताता है कि U किसको लेना है U किसको लेना है इन दोनों में से U कौन बनेगा I मतलब होता है Inverse Function अगर कई कोई inverse function दिखें, inverse मतलब sin inverse x, cos inverse x, तो इनको you लो, l का मतलब होता है logarithmic, अगर कोई logarithmic function बनता है तो उसको you लो, a का मतलब algebra, algebra मतलब x मिल जाए, root x मिल जाए, x square मिल जाए, इस टाइप का, t का मतलब trigonometric, sin x, cos x, और e का मतलब exponential, ठीक है, तो इन में से सबसे पहले कौन आता है, i, फिर L, फिर A, फिर T, फिर E तो U उसको लेना जो पहले आए देखो यहाँ पे एक X है X मतलब Algebraic और एक E की Power X है मतलब Exponential अब देखो इन दोनों में से पहले कौन आ रहा तो पहले Algebraic आ रहा तो इसलिए X को क्या मानेंगे U और E की Power X को क्या मानेंगे V, जैसे पिछली बार देखो क्या था X, Sine X, तो मैंने आपको बिना बताए X क्या था Algebraic और Sine X क्या था ट्रिग्नोमेट्रिक, तो मैंने आपको बिना बताए, x को देखो you लिया था, क्योंकि algebra पहले आता है, तो यहाँ पे आपको x को you लेना पड़ेगा, ठीक है, चलिए आइए इसको मैं integrate करें, integration of x, e x, e की पार x, dx, तो x को बाहर किया, integration of e की पार x, dx, minus, इसका differentiation, dx by dx, integration of e की पा e की power x का integration e की power x minus dx by dx कितना होगा? 1 होगा e की power x का integration e की power x और साथ में dx x e की power x minus e की power x का integration e की power x plus c ऐसे करते हैं बच्चो इसी logarithmic वाले sorry इसी integration by part वाले तरीके से हम आपको एक बहुत खास चीज़ सिखा रहे हुए कि log x को कैसे integrate करें 1 by x को integrate करते हैं तो log x आता है लॉग एक्स को कैसे इंटिग्रेट करें?
तो बच्चों लॉग एक्स को इंटिग्रेट करने के लिए हम क्या करते हैं? जैसे हम से कहा लॉग एक्स को इंटिग्रेट करो तो इसको हम ये लिख सकते हैं वन मल्टीप्लाइड बाई लॉग एक्स लिख सकते हैं वन एलजेब्रिक हो गया और ये लोगैरदमिक पहले कौन आ रहा है? तो ये यू बनेगा ये भी तो चलिए लिख लेते हैं लॉग एक्स और यहां लिख लिया वन अब तरीका क्या है, U को बाहर करूँ, बाहर किया, integration of VDX, मतलब 1DX, minus, DU by DX, यह U है, यानि differentiation of log X with respect to X, integration of VDX, लिकान है 1DX, और पूरे के बाहर एक लगा लिया DX, अब यह हो किया, log X, integration of DX क्या होता है, आपको सिखाया मैंने, X आता है, minus log x का differentiation x के respect में log x का differentiation 1 by x क्योंकि 1 by x का integration log x फिर dx, dx का integration x पूरे के बाहर लगा है dx तो x ए x मर गया 1 बचा तो finally लिखेंगे हम वहाँ क्या बचा x log x minus dx का integration x बाद सब तो cancel हो गया तो x log x minus x चेके, तो बेटर होगा आप log x का integration याद भी रखो, सभी लोग याद रखते हैं, log x का integration होता है x log x minus x, तो इसको अपनी copy में उपल लिख लो, या notes में कहीं लिख लो, कि log x का integration है x log x minus x, और करने का तरीका यही i-lead principle से, x log x minus x, यह था i-lead principle, अब बच्चों कुछ इस टाइपी चीज़ें आपको बताता हूँ जैसे आपसे कहा integration of sin 2x कर लिए तो आपको integration of sin x तो पता है आपसे sin 2x बोला तो आप टेंशन मद लो sin x का integration क्या होता है? minus cos x तो sin 2x का minus cos 2x ठीक? आपने मान लिया यह x था अब यह चीज़ x को है नहीं तो इसको आपने x माना है एक काम करो इसके differentiation से इसको divide कर दो 2x को differentiate करोगे क्या आएगा तो 2 से divide कर दिया एक और example लेते हैं टेंशन मत लो जैसे लिखा है e की power 4x और हमसे बोला integrate करो तो e की power x का integration होता है e की power x तो e की power 4x का e की power 4x divided by इसको तुमने x माना है तो इसके differentiation से divide कर दो 4x का differentiation 4 चलो एक और example लेते हैं जैसे integration of, ध्यान से दिखना, cos x square plus 1, dx, cos x का integration होता है plus sin x, ठीक है, तो ये पूरा x मान लिया, तो हो जाएगा sin x square plus 1, अब ये x तो है नहीं, तो इस पूरे के differentiation से इसको divide कर दो, तो x square plus 1 का differentiation, 2x, 1 का differentiation, 0, और साथ में plus c तीनों में लगेगा, plus c, plus c क्यों लगा रहे हैं, क्योंक अब समझ में आ रही है चीज़ जैसे हमसे कहा integrate करिये integrate करिये जैसे हमसे बोला sin x square plus e की power x dx तो आप क्या करो आप sin x का integration जानते हो minus cos x square plus x अब ये x तो है नहीं पूरा तो इसके differentiation से divide कर दो x square का differentiation 2x e की power x का e की power x ठीक है, समझ में आ रहा है, तो इस तरह से डिफिशिएट करना आ रहा है, इंटिग्रेट करना पड़ेगा, अगर एक्स की जगह कोई दूसरा टम आपको दिख जाए, ठीक है, फ्लियर हो गया, बच्चो इसके बाद इंटिग्रेशन यहाँ खतम नहीं होता, क्योंकि इंटि जैसे मालों हम लिखें x upon 1 plus x square को आप integrate करो with respect to dx अब आपको लग रहा है ये u by v form है पर integration में कोई u by v form नहीं होता वो differentiation में था अब इसके लिए एक substitution method है ध्यान देना अगर मैं बोलूं कि 1 plus x square को मैं t मालूं अगर मैं 1 plus x square को t मालूं अब मुझे बताओ ऐसे लिख सकते हैं t is equals to 1 plus x square अब मुझे बताओ DT by DX कितना होगा इसको डिफरेंशियेट कर दो 1 का डिफरेंशियेशन 0, X square का 2X यहां से आप DT is equals to बोल सकते हो 2X DX ठीक है, अब आओ यहाँ पर, उपर लिखा है xdx, तो xdx क्या बन जाएगा, dt by 2, xdx को क्या लिख सकते हो, dt by 2, और 1 plus x square को क्या माना है, t, तो यह हो गया t, अब यहाँ से 1 by 2 बाहर, integration of dt by t, यानि 1 by t, और 1 by t का integration क्या होगा बच्चों, log t, बाई 1 by x का log x, तो 1 by t का log t plus c अब t है क्या?
1 plus x square तो half log 1 plus x square plus c तो बहुत से तरीके के integration होते हैं ये just एक example दिया है मैंने ठीक है? जैसे एक example और दे देता हूँ तो ये चीज़ आपको और clear हो जाएगी जो अभी अभी मैंने किया same ये ही चीज़ और clear हो जाएगी माल लो उनसे कहा कि sin x minus cos x upon sin x plus cos x dx को integrate करूँ अब आपको कोई तरीका नहीं पता इसको integrate करने का पर मैं आपको बताता हूँ अगर sin x plus cos x को हम t मानें तो t is equals to sin x plus cos x अब जड़ा t को differentiate कर दो dt by dx is equals to sin x का differentiation minus cos x cos x का differentiation sin x तो हम बोल सकते हैं dt is equals to sin x minus cos x into dx अब देखो उपर क्या लिखा है sin x minus cos x into dx तो उपर की जगा हम dt लिख सकते हैं और नीचे sin x plus cos x क्या बन गया t बन गया dt by t का integration log t plus c फिर t की जगा value put कर दो log क्या है अपने पास sin x plus cos x plus c तो यह जस्ट एक एग्जांपियो ता बच्चों, इसके बहुत से एग्जांपियो हैं सब्स्ट्रिट्यूशन फॉर्म के तो इसका कोई दूसरा वीडियो ले आएगे बीच में या स्लेबस के बीच में भी एग्जांपियो मिलते रहेंगे तब तक पढ़ते रहें