Mga Problema sa Matematika at Solusyon

What's up sa inyong lahat? Good morning, good afternoon, good evening. Today, ito na yung ano natin. Ito na yung make-up class na synchronous. Ngayon lang ako nakapag-record, as you can see. Today is Saturday, October 12, 8.21am. So ngayon lang ako nakapag-hanap ng oras para mag-record. And ito, ito na yung supposedly na make-up class ninyo last time. So, tuloy ang gagawin lang natin ay mag-answer ako ng 15 na problems doon sa 5 worksheets na ibinigay ko sa inyo. So, ito nag-randomizer ako. So, nagpili ako. Randomizer, out of doon sa mga 50 problems per week, yan, nasasabutan ko itong mga problems ito. 3 problems sa worksheet 1, 3 problems sa worksheet 2, at 3 problems. Okay, simulan agad natin. Kasi may klase pa ako sa Masters mamayang 9. So, bilisan lang natin. Malilita ko. Isa ba ang worksheet dito? So, buksan natin. Worksheets. Iman tayo sa Worksheet 1. Tala. So, ano ba yung mga ano? So, number 11. Unayin natin yung number 11. So sabi dito Factor Factor the expression 3x cubed minus 3x squared minus 18x So let us factor that Tapoy ko muna yung powerpoint So dito na lang ako mag-ano kasi na-mention ko naman sa inyo dati na pangit ang sulat ko. So ito na lang. I-encode ko na lang. So ano ba yun? Factor the expression 3x squared minus 3x minus 18x. Pagin natin dyan. Ang answer daw ay 3x minus 3x times the quantity of x minus 3 times x plus 2. So singin natin. So, paano ba yung isolve? Ito. So, 3x squared minus... Ay, nag-run out. Ako. Buti lang may charge pa tong laptop ko. So, run out ngayon. Ang init na pati kaagad. So, minus 18x. Continue tayo. So, first step sa pag-factor ng ganyan... Pwede natin gawin ay ilabas natin yung greatest common factor ng bawat term. So ano ba yung greatest common factor ng mga term na yan? So 3x. So ilabas natin yung 3x sa equation na yan. Magiging 3x times the quantity of 3x squared divided by 3x ay x. minus 3x squared divided by 3x, ay, cube ito, cube, kaya raw, cube pala ito. So, ito ay x squared. 3x squared divided by 3x ay x, at 18x, negative 18x divided by 3x ay, ano, 18 divided by 3 is 612186. So, tama na ba? Yun. Nailabas ko na yung greatest common factor ng bawat term. And we can factor itong equation na yan. x squared minus x minus 6. So paano ba mag-factor na yan? Ito lang yan. So linear factor lang naman yan. Madali lang yan. Kapag nakakita kayo ng ganyang form ng equation, ibig sabihin yan ay x. Tapos ito plus or minus, tsaka ito x plus or minus din. So since negative parehas, ibig sabihin yung isa positive, yung isa negative. Kasi positive times negative, negative. And positive plus negative, depende lang kung ano yung mas mataas, ang sagot ay negative. So mag-iisip tayo ng number na kapag imumultiply natin ay magiging negative 6. At kapag i-add naman natin ay magiging negative 1. So ano kaya yun? So 3 and 2. So, pero alin doon yung negative? Yung 3. Kasi negative 3 times positive 2 ay negative 6. At negative 3 plus 2 ay negative 1. So ibig sabihin ito raw ay 2. At ito naman ay 3. So that is our answer. 3x. Times the quantity of x plus 2 times x minus 3. Ayun, tama. Nabaliktad lang pero parehas lang yan. Yan. This is our answer. Okay, next question. Number 19. Ano yung 19 natin? Number 19 ito. Find the LCM of 22.5. 3.5 and 0.55. So dati, sa mga example na binigay ko sa inyo ng lesson, naghanap tayo ng LCM ng dalawang number. So this time, napansin ko rin yung iba sa inyo, di pa alam kung paano maghanap ng LCM ng tatlong number. Okay, so paano ba yung least common multiple niyan? So unang-una, gawin ko muna siyang whole number sa lahat Ano kaya yung pwede kong i-multiply dyan sa tatlo para maging whole number lahat? Ano kaya? So, ang pwede kang umultiply dyan ay 100. Kasi 222.5 times 100 ay magiging, just move to decimal places, magiging 2,250 at 3.5 times 100. Magiging 350, just move 2 decimal places, and 0.55 times 100. Oops, but 44. 0.55 times 100. Ang sagot ay 55, just move 2 decimal places. So, bakit ko siya kinonvert into whole number muna? Para mas madaling mahanap yung mga GCF. So, i-divide na lang ulit natin yung LCM. And i-divide na lang natin mamaya sa mga halod yung mga answer. Kasi ang gagamitin natin dito ay prime factorization. Eh, diba ang prime number ay mga whole number? Diba? So, ito di man ito whole number. So, ginawa ko muna yung whole number. So, kunin natin ang mga prime factors nito. Hmm, paano nga yun? Hierarchy. Asan yung hierarchy? Ba't di ko makita? Yan. Hierarchy. Yan. Ito. Hindi na ang gulah. Kaya ito na lang. So, hanapin natin muna yung prime factorization ng 2,250. So, ano ba yung mga ano yan? Yung mga, paano mag-insert dito? Paano nga yun? Hindi. Ayan, ito. Odd shape. Ayan. So, ano yung mga prime factor ito? So, di ba ang technique ang gamitin natin yung mga mabababang prime number? So, yung isa, 2. Yung isa naman, ano? 1,125. Yun. 2 times 1,125 ay 2,250. So, titigil na ba tayo? Hindi pa. Hindi pa ito prime factor eh. So, pwede pa siyang ma-divide ng 3. Ops, mali. 3 at saka... Ano, 1,125 divided by 3 ay 375. Malit. Ito, malit. Paano ito? Eh tama naman. Hindi lang maayos yung pagkakalagay. Yan. So, yung isa ay, itutuloy ko yung 3. Ayun, may kulinti na. Wait lang, gulo. Tapos, itong isa ay, 125. So, titigil na ba tayo? Hindi pa, kasi ito, pwede pa natin itong A'factorize. Itong 125. So pwede pa natin siya i-divide sa 5, diba? Ops, mali. Saan yung ito? Unshake. Ops, ang gulo na. So, ito pwede maging 5 times, ano yung isa? 5 times 25. So, titigil na ba tayo dyan? Hindi pa kasi pwede pa. Pwede pa natin siyang i-prime factorize. Magiging 5 times 5. Ang gulo na. Hindi ko lang kung naiintindihan nyo. Basta, I hope marunong na kayo kung paano mag prime factor ay paggawa ng prime factor 3. Isa pa. So, ganyan. So, pwede natin tumigil kasi lahat naman na ito ay prime factor 2, 3, 5, 5, 5. Okay? So, ilista natin yan. Hindi naman nakaka-copy. Bakit ayaw makaka-copy? Hindi, wala. 2 times... 3 times 5. O, ba't ganyan na? Biglang lumiit. 2 times... 2 times 3 times 5 times... Ganyan. Ganyan. O, ba't lumiliit? Ayan. 2 times 3 times 5 times 5 times 5. Ayan. 2, 3, 5, 5, 5. Ayan. Lagyan natin yung dyan. So, yung the rest, hindi ko nakagawa ng prime factor 3 kasi ang hirap gawan dito. Lagay ko, ilist ako na lang. So, ito namang, ano, ito namang... 350, ang prime factor, pag i-prime factor natin yan, ang sakot ay, ano, 2 times, 2 times, oh matuloy talaga, 2 times, ano. 2 times 5 times 5 times 7. So, 2 times 5 times 5 times 7 ay 350. Next naman, itong 55. Yan, ang dali lang. 5 times 11. 55 is equal to 5 times 11. Oh, namiliw talaga nangyari. So, kapag i-prime factorize natin yung tatlong number, magiging ganyan. So, this time, paano natin makukuha yung least common multiple, yung tatlong number niyan? Kasi dati, ang tinuro ko lang sa inyo ay pag dalawang number. Ngayon, paano naman kapag tatlo? So, ako, ang technique ko kapag tatlo, ina-align ko muna sila sa mga parehas na number. Kunyari ito, i-align ko. Ito, hiwalay ko muna ito. Tapos, dapat dalawa lang yung mga magkaka-align. So, hiwalay ko muna ito. Sige, usog pa. Yan. So, ito. 2. Okay na yan. Yung 3, may kaparehas ba? Wala, diba? So, okay na yan. Itong 5, i-partner natin yan doon. Wait lang. Kaya, mas gusto kong magsusulat sa board. Wala kasi ko ng ano. Wala ako ng stylus and pen. So, ito lang. Next time, mayroon akong stylus pen. So, baka mas madali na akong magturo. So, ito. Magka-align na yung 2. Align na. Ito rin 5. Align na. Ito rin 5. Tapos ito, usog natin. Ito hindi naman siya magkano. So, okay na yan. Next naman, itong 5. So, dapat ang magkaka-align lang ay dalawang linya. Ito, 2. Okay na yan. Ito, 5. Tapos, 5. Ito. Tapos, ito. Pwede pa rin yung magkakalinya. Ito, isugusog natin yung doon. Yan. And with that, i-count natin as 1 yung mga magkakalinya. Kanyari ito. Counted lang yan as 1. Tapos ito rin. Yung dalawang 5. Tapos ito. Tapos ito. And with that, makakabot tayo ng equation na 2 times 3 times 5. Times 5 times 5 times 7 times 11. And i-compute lang natin yan, magiging... Sige nga, try natin. 2 times 3 times 5 times 5 times 7 times 11. And the answer is... Ops, kulang ako. 3 5 dapat, di ba? Times 5. O, ano ba? 2 times 3 times 5 times 5 times 5 times 7 times 11. Yan. Tama ba? Ay, hindi. Dalawang ano? Dalawang 3 pala dapat ito. So, 3 times 3 to. Tama ba? Dalawang 3 dapat ito. Lagay pa nga natin. Times 3. To adjust na natin ito. Pati ito. So sorry, dalawang 3 pala dapat ito. Kasi ang 2 times 3 times 3 times 5 times 5 times 5 ay yan. So dalawang 3 dapat yan. Ibig sabihin ito, dalawang 3 din. Yan. Ngayon, check na natin. Ito, sub-sub ko. Ayan. So, yan na. 2 times 3 times 3 times 5 times 5 times 5 times 7 times 11. So, yung mga naka-encircle, counted siya as 1. Bali, ang answer natin ay 2 times 3 times 3 times 5 times 5 times 5 times 7. Ayan. 17,300. 173,250. Ayan. 173,250. So, hindi pa yan yung final answer natin kasi itong 173,250, yan yung least common multiple nitong tatlong number. 2,250, 350, 55. Ang tanong ito, 22.5, 3.5, 0.55. So, i-divide naman natin ito ng 100 kasi minultiply natin yung kanina ng 100, diba? Now, and divide naman natin yung answer ng 100. Balik ang least common multiple daw ay 1732.5 1000 ay 17000 tama ba? ayun dito tama 1732.5 That is our answer. Check nga natin kung tama. Number 19. Ito, 173, 2.5. Tama. So, yan ang solution dyan. Next naman, number 40. Number 40. So, ano yan? Ito. So simplify, 27 over 8, x raised to negative 3, y raised to 1 half, time, i raised to negative 4 over 3. So yan, simplify natin yan. Okay, so paano yan? So dapat alam nyo yung mga laws of... exponent. Okay? Pwede natin i-distribute yung mga exponent na yun. So, ito pwede natin siyang i-relate as ito muna, 27 all over 8. Kasi i-distribute natin yan ha. Raise to negative 4 over 3. over 3, tapos yung times x raised to negative 3 raised to negative 4 over 3 times y raised to 1 half raised to negative 4 over 3. Kasi ganito. Yan. So, nire-write ko lang, ha? D-distribute ko lang yung exponent sa mga term, sa lahat ng term. Okay? So, itong malaki. So, loss of exponent yan. So, tanda nyo lang. Tapos ito, pwede pa natin itong i-distribute. Tiki-isa. Magiging. Ito ay magiging. Dito lang. Magiging. Ano ito? 27. Raise 2. Negative 4 over 3. Yan, all over A trace 2. negative 4 over 3. Yan. So, pwede yan. Nidistribute ko lang sa sa bawat term. Next, simplify natin. Simplify lang natin yung mga nasa loob dyan. Unahin natin yung ito na. Yan. Input lang natin sa calculator. So 27 daw, raise 2, negative 4 over 3. So magiging 1 over 81. 1 all over 81. Tapos ito namang isa, itong 8 ay magiging 1 over 16. 1 all over 16. Inat. Tapos ito, distribute lang natin Magiging negative 3 times Loss of exponent lang yan ha Negative 4 all over 3 So ito raw ay magiging x raised to 4 Kasama ka Yan, x raised to 4 Tapos ito namang y ay magiging times lang natin yung 1 half. And 1 half times negative 4 over 3. And magiging raise to negative 2 over 3. y raise to negative 2 over 3. Tama ba? Negative 2 over 3? Yes. Ops, laging ko lang ito ng parenthesis. Yan. So, lang natin ito. Ito rin. At ito. So, yan. Nasimplify natin. Times lang natin yan. Ay, hindi. Simplify muna natin itong nasa fraction within na yung fraction. So, hanggang ito, pwede natin siya masimplify. By multiplying both side ng 81. Tsaka 6 tama ba? 81 yan. Okay, 81 yan. Multiply natin ito ng 81, both side, para makancel yung denominator na 81. As well as yung 16 na rin, para isahan. Ito rin, 16. Multiply ko lang both yung numerator and denominator. So makakancel ang... Ito 81. Ya, makakansi itong 81 dito. Pati yung 16 dito sa baba. Ito. Tsaka ito. So, magiging. Magiging. 16. Tama. 16 all over 81. Tama ba? O, ben. Naglalagyan lang yung laptop ko. Ito ay magiging 81. Tapos ito, x raised to 4. Tapos ito ay magiging Ang mga may negative na exponent, pwede natin iyang ibaba. Magiging 1 all over y raised to 2 over 3. Ayan, magiging ganyan. Next, simple pa lang natin. Times na lang natin lahat. Magiging Ito, lagyan lang natin ito dito. 16 x raised to 4 all over 81 raised to 2 over 3. So, ito ba yung answer natin? Tingnan natin, tama ba? Oh yes! 16 x raised to 4 all over 81. y raised to 2 over 3. So, this is our answer. So, ganun lang ang pagsimplify niyan. Basta alam nyo lang yung mga laws of the exponent and yung pag-distribute ng mga terms. Ayan. So proceed tayo. O, worksheet number 2 na. O, number 1. Ops, wala pa pala. Worksheet number 2, ito. Ano yung question sa number 1? O, i-divide daw natin. Itong polynomial sa x minus 5. Ano yung remainder? So compute natin. Compute daw natin yan. So ito, x cubed plus 4x, 4x squared minus 3x plus 8. Didebide daw natin sa x minus 5. Hanapin natin yung remainder. So ano daw yung remainder? Lagay natin yung line dito. So, okay na yan, kahit d straight. Tapos, yan, okay na yan. Divide daw natin siya sa x minus 5. So, tandaan nyo kung paano mag long division method. So, ito, sundin nyo na lang itong gagawin ko. Divide muna natin yung mga first term. So, x cubed divided by xi, x squared. So, x squared. So, x squared times x ay, x squared times x ay x cubed. x squared times negative 5 ay negative 5x squared. Negative 5x squared. Yun. So next, i-minus natin sila. Bale, ito. Minus. Yun. Bale, ang magiging answer natin ay negative x cubed minus x cubed, 0. So, 4 minus negative 5x squared ay positive 9x squared. Yan. And bring down negative 3x. Ang lit na lang. Biglang lumiliit. Bring down lang natin. Ganyan na. Yan. Ay, hindi. Bring down 3. So, ito, mininest ko lang. And bring down. Sulit naman, divide ulit natin yung mga first term. Ito ay magiging positive 9x squared divided by x ay positive 9x. Ganyan na. 9x times x ay 9x squared. Tapos 9x times negative 5 ay negative 45x. Tama ba? 9 times 5, yan. So, i-minus lang natin sila. Magiging, so, pag i-minus natin sila, magiging, makakancel ito. And, 3 minus negative 45 ay, ano, 42. 42x. And bring down positive 8. Bring down to kalang 8. Next, divide natin yung mga first time. 42x divided by x ay... 42. Positive. 42. So, 42 times negative 5i. Ay, hindi. 42 times xi. 42x. And, 42 times negative 5i. Negative, syempre. Negative 210. Tama ba? Check ko nga. 42. Times negative 210. Matatanong. Next naman, i-minus natin sila. I-minus. I-minus sa kapila. So, makakancel yung 42x. And, 8. 8 minus negative 210 ay 218. So, ang tinatanong lang naman, kung ano yung remainder, diba? So, ito yung remainder natin. 218. Tama ba answer natin? Saan yung answer? Wala. 2 answer. Tama. 218. So, ganun ang paghanap ng remainder ng polynomial. I-divide nyo lang using long division method at yung matira yun ang remainder. Okay, next question. Number 8. Ano ba yung number 8 natin? Ah, simplify. Yan, divide daw natin yan. Rational expression. So, paano ba yan? So unang step, pwede natin i-distribute yung mga exponent. Magiging, ito munang una. So distribute natin sa lahat. Balit 2, raise to 2. Tapos a, raise to, ganyan. a, raise to negative 1, raise to 2. Ganyan. So, yun, lahat ng term, i-distributean ko ng exponent. Next, b. b raised to negative 1 raised to 2. Yun, ganoon din. Sa kapila, ganoon din. Divided by... divided by, 3 raised to negative 1, hindi, 3 raised to negative 1 times a raised to negative 2 raised to negative 1. Hello, Ber! B raised to negative 3 raised to negative 1. Yun. Next, pwede natin isimplify muna yung mga exponent. Magiging, ito pag i-distribute natin magiging A raised to negative 2. Ito rin, b raised to negative 2. I-distribute ko lang. Oops. b raised to negative 2. Ito okay na yan. Ito naman magiging a raised to 2. At ito, b raised to 3. Next, pwede pa natin itong maisimplify. Yung may mga negative sign, i-baba natin. Yung mga negative sign naman ito, sa baba, itaas natin. Magiging, ito ay magiging B raised to 2. At ito naman ay A raised to 2. So yung may mga ano ha, belated ko lang. Ito rin. Ito, mapupunta siya sa baba. Yan. Ito, pwede natin ito isimplify. 2 squared i 4. So, next step, i-receptrocal lang natin yung second, ano, rational equation. Tapos, ito times na natin. Ito, receptrocal. 3 plus b raised to 2. Ay, 3 ba? 3 all over a squared. Ay, diba? a squared. And, itimes lang natin. So, 4ab. Ayun to. Plus 3? Hindi, hindi. Wala tong plus. Times 2 yan. Binaba lang naman natin. Bale, magiging 4 times 3 ay 12. Tapos, b squared times b cubed. Plus lang natin yung exponent. Magiging b raised to 5. At ito, a squared times a squared. Times lang. Plus lang natin yung exponent. Magiging a raised to 4. So, that is our... Parang mali. Tama ba? 12b. Ano yung answer dito? Number na yun? 8. Ah, tama. 12B raised to 5 all over A raised to 4. So, that is our answer. So, dinistribute ko lang yung mga exponents, sinimplify. Yung mga pwedeng ibaliktad, pwede rin. Tapos, simultiply natin. So, yung ganoon lang. Next, number 45. Ano yung 45 dito? So, yan. Ah, yung maminus lang. Simple lang yan. Minus lang natin. So, yan. So, diba ang pag-minus ng dalawang rational expression na may... magkaibang, ano, denominator, pwede natin itong gawin. 1 all over i-ano natin yung multiply natin yung mga, ano, saka, basta tinuro ko na, diba? Tingnan nyo kung anong ginagawa ko. All over p minus 5. Ayan. Ay, dapat na, ano, to. Kasi times natin sya sa p plus 5 minus 1 times p minus 5 naman. All over p minus 5 times p plus 5. Yan. Nangitindihan? So, ang ginawa ko, tinimes ko lang yung denominator sa nakabila. Sa numerator and denominator. And ito rin dun sa kabila. Numerator and denominator. So para maging parehas ng kanilang denominator. And simplify lang muna natin yung sa taas. Ito ay magiging. Ito matatanggal lang naman to. As well as ito. Yan. It's one lang naman. And try natin pagsamahin yung. denominator. Ay, yung fraction since same naman na ang kanilang denominator. Minus P minus 5. Yun. Simplify lang natin yung ano. Yung ito. Distribute natin yung sign. Kabilaan magiging P, P plus 5 minus P plus 5. So, di-distribute ko yung negative sign na ito negative. So, minus 5 tapos minus negative 5 ay positive 5. Tapos, simplify natin yung mga pwede i-simplify. Itong sa taas, add na natin yung mga like term. Ito, mawawala ito. P minus P, mawawala. At 5 plus 5 ay 10. So, 10 daw ito. Ito, pwede natin itong if-file method. Yung denominator. Magiging, o yung first muna, P squared, P squared, outside, plus 5P, inside, minus 5P, and out, plus, negative 25. So, itong 5P minus 5P maka-cancel. And yan na. Tapaban sila natin. 10 over P squared minus 25. Number 45. Ayan. 10 over P squared minus 25. So that is our answer. So next question. Okay, worksheet number 3 na. Bukin natin yung worksheet number 3. Close ko na ito. So, number 4. Unayin natin yung number 4. Find the value of x in x plus 1 over 3 plus 2x over 4. Yan. Hanapin natin yung value ng x dyan. So, paano ba yan? So unang step, simplify natin yung mga pwede i-simplify. Try natin i-add tong dalawang fraction. So paano ngayon i-add? Pwede natin gawin ang ito. x plus 1, yung i-multiply natin both side, yung ano, yung denominator nung kabila. 4 all over 3. times 4. Yan. Plus, ganun din, 2x times 4. Ay, 3 naman. 3 all over 4 times 3. So, ito, itong denominator, tinimes ko, magkapilaan, taas-baba. Yan. Ito rin naman 3 doon sa magkabilaan. Kaya ito is equal to 47 minus 2x. Yun. Next, simplify natin. Ito ay magiging 4x. So, since same naman na yung denominator, pwede natin siyang pagsamahin. Ito, 4 times 3 ay 12. Diba? So 12 na yung baba. At yung sa taas naman ay 4x plus 4 plus 4 distribute ko na plus 3 times 2x ay 6x. Tama? 6x. Plus 6x. Yun. Dini-distribute ko lang. And simplify natin. Magiging Ito like term to eh. Magiging 6x plus 4xi. 10x plus 4. Yun. Try nating. So next step. Try nating i-multiply both side ng 12. Para makancel out yung denominator na 12. Both sides ah. Magiging. Ito magiging 10x plus 4 lang. is equal to 10x plus 4 is equal to ano bang 47 times 12? 47 times 12 ay 564. 564 minus 12 times 2 ay 24x. Next, transpose natin yung mga pwedeng i-transpose. Magiging Ito, lipat natin sa kabila. Magiging positive 24x. Positive 24x. Sa kabila naman, ay yung 4. Lipat din natin sa kabila. Magiging negative 4. Tama ba? Ayan. Tapos, simple pa lang natin. So, 10 plus 24 ay 34. Tama ba? 34. 34x. Ano ito? 560. 564 minus 4 ay 560. Next, divide natin both sides by 34 para ma-isolate yung x. So, So, nabin, 560, wale, divided by 34. So, ang answer daw ay 16.47. x is equal to 16.47. So, tama ba answer natin? Number 4. So, yung answer nito ay... Ayun, 16.47. Tama. Okay, next question. Number 39. Ops, mag-iit. Number 39. Ayun. Anong gagawin dyan? Ah, ito. So, for item. So, find... f of g, f plus g of x at f minus g of x. So number 39, ito yun. So screenshot ko muna. Find, find out f plus g of x, tsaka. F minus g of x nung number 39. So, paano ba yan? So, i-minus lang natin itong ano. Yung f of x. Ah, ito muna. F plus g of x. So, i-plus lang natin itong dalawa. Magiging bang shortcut itong ano. Control, shift, okay. Control, shift, okay. So, minus lang na. Lagi lang natin, x minus 2, plus, yung g of x. Ano yung g of x? 1 over x. Tapos, yan na. Yan na ata yung sabot. Number 39. Okay na ata. O tama, x minus 2 plus 1 over x. Yung ilagay lang natin. So, yan ang f plus g of x. Yung namang f minus g, minus lang natin. x minus 2 minus. Yan rin ba yung answer? Ayun lang, madali lang naman pala. So, sila-substitute lang natin yung f of g tsaka f of x. Ay, f of x tsaka g of x. Yun lang. Inadd tsaka minus. Yan. In answer. Next, 45. 45. Yan. Ito. Ito. Find f of g ay f times g of x tsaka f over g of x. Yan daw. So, times and divide naman. Absolutely. Naglidyan lang. Dito na lang ulit. Next slide na nga lang. Find f times g of x and f over g of x. Nung number 45. Ito raw. Yan. So, substitute lang natin yung mga, no, f of x at ge of x times na natin. Ito. Ano yung f of x natin? Ay 1 plus x. O times lang natin. 1 plus x. 1 plus x times x. Ganyan daw. O multiply lang natin. Magiging distribute. Magiging x plus x squared. Yan na ata ang sagot. Number 45. ayun, x squared plus x, so paras lang yan at yung divide naman magiging, ito divide lang natin yan, so pwede itong maging pwede itong maging 1 over x plus x over x. Tapos, since x over x, 1 lang naman yan, pwede itong maging 1 over x plus 1. So, ito natang answer. Tingnan natin. Ay, hindi, ito. Ay, okay. Hindi na niya sinimplify. Pero, paras lang. Ito, sinimplify ko pa. Pero, ito na palang answer. Yun lang. Hindi na bayad lang natin. So, yun lang. Dali lang naman pala. O, worksheet number 4, number 5. Worksheet 4, number 5. Ano yung number 5 natin? Ay, nakuha. Ang haba nito. Solve the value of x. So, ito. Type po yan. Y dapat yan. Y. Okay? So, solve daw natin yan. Mga baba solution dyan. So, tara. So, gumating. Yan. So, ito, y to. Palitan ko lang. Y. Pwede na yan. Ah, basta y yan. So, 2x minus y plus j is equal to 6. x minus... 3y minus 2z is equal to 13. At 2x minus 3y minus 3z is equal to 16. Find the value of x daw. So, x lang naman ang hinahanap. So, tara. Ano kaya pwede gawin? So, lagay lang natin ito. Try natin yung elimination method. Eliminate muna natin yung isang variable dyan. Ito, 2x minus y plus j is equal to 6. Equation 1 yan. I-annul natin siya dito sa x minus 3y. x minus 3y. 3y minus 2j. It's all 13. Eliminate natin y by multiplying both side by negative 3. Yan, magiging negative 6x. Plus 3y minus 3z is equal to negative 18. Yan, laki natin yan dyan. Tapos i-add lang natin. So kapag i-add natin magiging... Ito, makakancel yung 3y, bali magiging negative 6x plus x ay magiging 5x, 5x, tapos negative 3 plus negative 5z. So, equal to negative 18 plus 13i, 5, tama ba 5? Tapos issues, negative 18. Plus 13. 5 yan. Ay, negative 5. Ano yan? Kailangan ko pang i-calculator. So, andaw. Equation A. Negative 5x minus 5z is equal to negative 5. Is equal to negative 5. So, i-release ko na ito. May isang equation na tayo. Yan. So, next naman ay yung... Ay, wait nga lang. Iwan ako ng isa. So, i-release ko na ito. Ito, gilid na natin ito. Ayan. Tapos, ito namang isa. Ayan. x minus 3y minus 2j. And, ihad natin yan dito sa 2x minus 3y minus 3j. is equal to 16. Okay. Times natin itong isa ng negative 1. Ito ng isa. Para ma-cancel out natin yung ma-eliminate natin yung 1. Ay yung y. Yun. So, ito. Copy lang natin ito. At ito ay magiging So, yun. Palitan lang natin yung mga sign. Magiging negative x. plus 3y plus 2z is equal to negative 13. At i-add lang natin yan ng dalawang equation at yan ay magiging 2x. Plus negative x ay x. Yan lang toko. So, 3y, makakancel yung 3y. And 2z minus, plus negative 3z ay negative, negative z. Tama, x minus z is equal to 3. So, yan, may equation bida tayo. Ipag-i-pag-i-pag dito. And with that, pwede natin mahanap yung value ng... Ano dito? Value ng x by multiplying ito both side by 5. Wait nga lang. Parang di mawala. Ito, multiply natin both side by 5 para makancel out natin yung z. Bye. Saan na yan? Tama ba 5? O negative 5? Tama ba yung nagawa ko? X minus O Negative 5 Cancel out natin yung negative 5 Ay hindi, I mean Ima-multiply natin yung negative 5 Okay, magiging Ito, copy lang ito At ito ay magiging Negative 5X Tapos, tama ba? Wait lang, parang namali ako. Ah, kanina, dapat ito pala negative to. Ito negative yan. So, kanina na. Basta yan, dapat pala negative. Namali lang ata sa sign. Negative 5x minus 5z is equal to 2. Ay, hindi. Hindi ito yung answer dapat. Negative 5x minus 5z is equal to negative 5. That pala may negative. So, sorry. Ito may negative to. So, siguro kanina tataka kayo kung bakit positive 5. Pero yan, okay. So, ito pa. Negative magiging positive 5z. is equal to negative 15. Is equal to negative 15. Oops, ang liit na naman. Yun. At i-minus na natin yan. I mean i-add. Ito ay magiging... Negative 10x, maka-cancel yung say, is equal to 20. Negative 20. And divide both side by negative 10. So, ang x daw ay magiging 2. So, is that our answer? Saan yung answer nito? Ang answer daw ay 2. 5. Yun, 2. Tama. So, since x lang ang tinatanong, huwag natin hanapin yung ibang value. Okay na yan. So, namali ako dito kanina. Dapat pala ay negative 5x. Yan na. So, next question ay number 8. Ano yung number 8 natin? So, find f of g of x. Okay. Find daw f. F of g of x. And, saan na yun? Ito. Number 8. So, yan. Ilagay lang natin. Yung g of x sa f of x magiging f of g of x. So ano ba yung g of x natin? Magiging ito raw ay f of x squared. So lagay natin yung ano dun sa... Equation of f of x is x plus 3, bali magiging x squared plus 3. Tama ba yung answer? Ang alam po ganyan. Number 8. Yun, tama. x squared plus 3. So yun, ang simple lang. Pinasok lang natin yung x squared dun sa x nung f of x. Ganun lang, simple lang. Next, number 24. 24 for the f of x is equal to x minus 4 and find the inverse function daw. Oops daw ba ito laptop ko? Wait lang. And yung isa, I mean yung question ay, find the inverse function of x. So, laki lang natin. f of x. Habang ganyan, habang ganyan, ano ka? f of x, tumataas, ano to? f of x daw is equal to 2x minus 4. So, diba ang first step sa paghanap ng inverse function ay gagawin natin y, ito. Yan, ganun lang. Simple. Next, pagbabalita rin natin yung x at y, magiging x at y. Next naman, hanapin natin yung value ng y. So, transpose natin. Pwede yung transpose. x minus 4, equal to 2y. Divide na rin natin both side ng 2. Magiging, magiging, ito ay, pwede. x minus 4 over 2. Yan. And answer natin ay magiging f raised to negative 1 of x daw ay equal sa x minus 4 over 2. Actually, pwede pa yung masimplify. Magiging x over 2. Kasi same denominator. Minus 4 over 2. Yan. Tama ba? Tapos, ito magiging 1 half. Hindi. 4 over 2 is 2. Tama ba? x over 2 minus 2 ang answer. Ang number yan? Number 24. Ah, tama. Ay, ba't 2 plus? Tanong ko lang ang bali. Ay, ito pala. Sorry, sorry, sorry, sorry, sorry. Um, magiging plus pala to. Sorry, sorry guys. Transpose pala eh. So, ang answer natin ay x over 2 plus 2. Tama? San na yun? Yan. So, next. Mali. Worksheet 5 na pala. Yun lang. Worksheet number 5. Next ko na ito. So, number 3. Hanapin natin. Number 3. So, determine the progression if there are 7 arithmetic mean between 3 and 5. So, paano ba yan answeran? So, sum of the progression arithmetic mean. So, arithmetic mean. Ano yung formula ng sum of progression ng arithmetic mean? Tandaan nyo ba? Kakalason ko lang yan kahapon. So, ano yung number 3? Ops! Yan, determine the progression of arithmetic mean. Uhhh! So, paano ba yung answeran? So, ang formula, as you can remember, sa arithmetic mean ay, S is equal to, wait lang, S is equal to n over 2, hindi kasi gumagana yung shortcut ng ano, S is equal to n over 2, Times a sub 1 plus a sub n. Yun. So, yan ang formula natin sa sum. So, given ba ang a sub 1, tsaka a sub n, tapos n. So, paano ba yan? Alamin muna natin kung paano yan. Ay, kung ano yung mga data na yan. So, sabi dito, Determine the sum of progress if there are 7 arithmetic mean between 3 and 5. So, between 3 daw and 5, ay 35. So, meron daw dyan ano, may meron daw dyan 7 na arithmetic mean. So, sabihin natin na ito ay yung isa wa and then, except 1 yung ganoon. So, 1, tapos 2, 3, 4, 5, 6, and 7. So, yun. Yan ang ibig sabihin yan. May 7 arithmetic mean daw between 3 and 5. So, all in all, ilang terms sila? So, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. So, all in all daw, may 9 terms. So, ito, ang n daw natin ay 9. So, ulitin ko, bakit 9? Kasi meron daw 7 na arithmetic mean sa low, sa gitna ng 3 and 35. Ito yung 7. Yan. Pero all in all, 9 siya. Okay? So, 9. Ano yung a sub 1 natin? Ay 7. At ay a sub n naman ay, ano, 35. Yung pang last. Yan. So, yan lang. Complete lang natin yan. Input lang natin ito sa calculator. Magiging 9 over 2. So, times 7 plus 35. It's equal to 189. Tama ba? Ay, hindi. Ito pala 3. Sorry. Ba't san galing yung 7? 3 to 3. So, 3. I-sub ko natin ito. Ayan, 3. So, edit ko lang ito. Ito daw ay 3. 171 ang answer natin. Yun daw ang sum nung... progression na yun. So, tama bang answer natin? Let's see. Where's our answer? Ang number yun? 3. Number 3. 1, 7, 1. Tama. So, next. Number 30. Sambay number 30. Ops. Sige pa, sige pa, sige pa. Ito. A rubber ball is made to fall from a height of 50 feet and is observed to rebound two-thirds of the distance it falls. It falls. How far will the ball travel before coming to rest if the ball continues to fall in this manner? So, ibig sabihin daw, may bola raw tayo. May bola raw tayo dito. Yan. Tapos, nahulog daw siya. Tama, nahulog. Tingnan lang, screenshot ko muna yan. Wait lang. So yan. May rubber ball daw tayo na nahulog ng 50 feet. Ito yan. Yan. So, yung haba nito ay 50 feet, ha. Yung nahulog. Tapos, nag-bounce daw siya. So, nag-bounce daw siya ng height ay 2 thirds nung height nung 50 feet. So, let's say ito. So, nag-bounce back daw siya ng 2 thirds ng height. Yan. Let's say bandang dito. Tapos, syempre, pang nag-bounce pa taas, mahuhulog ulit yan, syempre. So, ganyan naman. Tapos, nag-bounce ulit. Siyempre, nag-bounce ulit yan. Tapos, 2-third ulit nung height nun. Bandang dito na yun. So, nag-bounce back. Nag-bounce back daw ulit. Ayan. 2-third ulit yung height. Tapos, siyempre, nahulog. Hindi naman yung mag-stay sa hangin. Diba? So, mahulog ulit yan. Ayan. Ganyan. Tapos nagbounce back ulit Siyempre ang rubber ball bounce lang yan ang bounce Pero yung height naman nun ay 2 third ulit Ayan ganyan Ay hindi 2 third lang 2 third Ayan and so on Mayroon ba nitong draw? So yan, nagbounce ulit. Yan. Tapos syempre 2-3rd. Tapos nahulog ulit. 2-3rd, nagbounce ulit. Yan, hanggang sa infinite. Ito lang pangit. Insert, shapes, line. So, nagets nyo? So, may bola raw na nagdrop ng 50 feet. Tapos, syempre, nagbounce sya nung 2 thirds nung 50 feet. Tapos, syempre, nahulog, nagbounce ulit, nahulog, nagbounce ulit, tapos nahulog. Nag-bounce ulit. Yan. Tapos, nahulog na naman, syempre. At, nag-bounce. Nahulog. Nag-bounce. So, two-third daw yung ano niya. Hanggang sa... Hanggang sa hindi na sa nag-bounce. Okay? Nakits nyo? Kung kunyari ito, may bola. Okay, hinulog ko raw dito. Up. Tapos, nag-bounce. Up. Nahulog ulit. Bounce. bounce, bounce, bounce, hanggang sa di na siya gumagalaw. So, ganun yung tinutukoy ng problem. Compute daw natin yung distance nung na-travel niya hanggang sa di na siya gumagalaw. Galing dito, 50 feet. So, 50 feet na yun, di ba? 50 feet, up, yun. Yung lahat nung hanggang sa di na siya gumagalaw. Ayan, i-compute daw natin yung distance. So, ito, nalala ko ito, itong problem, nababas ito nung diagnostic. test nung nagre-review kami for board exam. Kaming lahat na taga sa SPC, ako lang yung naka-answer nito. Pero, ang ginamit ko dito ay yung mano-mano na computation. Hindi ko pa alam yung solution, I mean, hindi ko pa alam yung formula nun. So, minano-mano ko siya, kinumpit ko 50 times 2 third, yan, hanggang sa hindi na gumagalaw. Napakahaba ng solution ko nun. Tatlong papel ata yun. yung nagamit ko. So, ako lang nakakompute nun. Pero, nung nalaman na namin kung paano, napaka-simple lang pala kung paano isolve. So, ang formula niya, so as you can see, this is a type of geometric, infinite geometric sequence. Kasi infinite siya hanggang sa, hanggang sa di na gumagalaw yun. Nakita niyo itong line? Yan. So, since infinite siya, hanapin na natin yung sum. Ano yung formula ng sum ng infinite ano? infinite geometric sequence. Hindi dyan. Hindi dyan. So, ang sum daw ay S lakay natin ng infinite. Yan. Is equal to ano yun? A sub 1 all over 1 minus R. Oops. Yan. Yan ang Yan ang formula. Pero in this case, ay hindi, substitute muna natin. Ano yung, ay hindi, sige na. Alamin na muna natin kung ano yung a sub 1. Kasi, kunyari ito. Alasin ko muna nga ito. Ito, dagdagan ko nga ito para mas ma-imagine nyo. So, basta imagine yung infinite yan na yung mga line ko. So, kung ito raw ang distance daw nito 50, pero wala naman siyang kaparehas, diba? Ilagay mo natin sa gilid. Ito yung may mga kaparehas. So, ito yung may mga pattern. Ito, lagyan natin dito. Yan, ganyan. Lahat muna ng pataas. Yan. Lagay ko muna dyan. Tapos, lahat naman ng pababa ito. So, may dalawang ano ako. May dalawa akong... As you can see, may dalawa akong infinite geometric sequence. Yung pataas at saka yung pababa. Pero, equal lang yan. Bali, ito, itatimes natin ito ng 2. Itong magiging formula natin, ito times natin ito ng 2. Kasi dalawa sila eh. Yung isa pataas, yung isa naman pababa. Puro sila infinite. So times natin ito ng 2. Okay? So ulitin ko kung bakit kurusya ito times ito ng 2. Kasi, di ba nag-bounce up and bounce down? Di ba? So pinagsama ko yung pataas, tsaka yung pababa. And, As you can see, nakabuo tayo ng dalawang infinite geometric sequence. Kaya tinayos natin ang ito. Okay? So ano ba yung a sub 1 natin? Ang a sub 1 natin... Is 50 divided by, I mean, times 2 3rd. Kasi yung bounce daw nitong ano, ay 2 3rd, diba? Bali, 50 times 2 3rd. Lagay natin. A sub 1 daw ay 50. Bakit 50? Kasi yung 50 yung galing, yung unang bounce, unang hulog ng bola. Okay? So, 50 times. 2 3rd. Bakit 2 3rd? Kasi 2 3rd daw yung pag-rebound ng bola. Yan. Is equal to, times natin, 100 over 3. Tama ba? 100 over 3. Times natin yung numerator. Lagyan natin ito sa gilid. Yan, may a sub 1 tayo. Lagyan natin yan dito, a sub 1. 100 over 3. Tapos ang r natin, yung ito, 2 over 3. Yan yung common ratio natin, 2 over 3. Yan. Tapos input lang natin. So, 100 over 3 all over 1 minus 2 over 3. Ayan, tapos times 2 natin. Kasi, kasi yung dalawa. Ito, 100 yung distance nito. Ito, 100 din. So, pinagsama ko lang. So, 200 daw ang ano. Pero, hindi pa yan yung final answer natin. Kasi, yung 200 na yan, ito lang yun. So, ito 100, diba? Tapos, ito 100 din. Isama pa natin ito, kasama to sa computation eh So plus 50 Dapat daw may plus 50 sya So bale, ang answer ay Kung ito daw ay 200 Yan The final answer daw ay 250 So ibig sabihin, yung distance traveled ng bola Galing dito sa taas na yan Hanggang sa, yan, bounce ng bounce, hanggang sa di na siya gumagalaw, 250 daw, 250 feet. Naintindihan? Tama ba yung answer natin? Number 30. O, tama, 250. So, ako na-compute ko yun noon, mano-mano. So, ito, 50 times 2 third. Ito yun, 50 times 2 third. Tapos, plinas ko ulit kasi nag-bounce, diba? Nag-bounce siya pataas. I mean, yung rebound niya, ito, 50 times 2 third. Tapos, nahulog na naman. Tapos, plus, yung sagot ko dito, tinimes ko ng 2 third. Yan. Tapos, plinas ko ulit nun, or tinimes 2 ko. Kasi, nahulog. Tapos, plus, yung sagot dun, tinimes ko ng 2 third. Tapos, tinimes 2 ko kasi 2. Plus, yung sagot ko dun, tinimes ko ng 2 third. Times 2 kasi 2. Times yun, yun, yun. Hanggang sa naging 0 yung answer ko. Napakahaba ng solution ko nun. At 250 ang answer. Pero yun, may formula naman pala dyan. Ito yun. So, ang answer dyan sa question ay 250. So, next. Final ano ay number 36. Number 36. Ah, ito. Mahaba ba rin solution dito? So, ano ba ito? O, decompose na natin ito. Partial fraction. Ay, sabagi. Madali lang yan. Pero, mahaba solution. So, yan. So, this is example ng case number 2. I repeated linear factor. So ano yun? Ano? Equation dyan? Gito. Copy ko muna. 7x squared minus 17x plus 38 all over x plus 6 times. Oops. Times x minus 1 squared. Yun. So, ang formula dyan, I mean, ang equation dyan ay, pag-repeated, is equal to a over yung unang factor, x plus 6, plus... Ano yan? B all over yung sa loob na factor, x minus 1, plus C all over yung buo, x minus 1 squared. Yan. Ang ingay itong lapak ko. So next step, multiply natin both side ng least common denominator. So multiply daw both side ng least common denominator which is x plus 6 times x minus 1 squared. So, magiging, ito, ay mali. Magiging ganyan, maka-cancel yung sa ilalim nun, is equal to a times ganyan. Ito, 38. Yan, a times, makakancel yung x plus 6, matitira ang x minus 1 squared. Plus b times x plus 6, pero may natira pang isang x minus 1. Plus c times x plus 6. So, maababa ang solution dito. Next, isimplify natin yung mga pwedeng isimplify. Yung mga pwedeng if-all method, if-all method natin. Ito ay magiging, itong ax plus 1 magiging a times, if-all method natin first, magiging, ito ay magiging x times xi x squared. Tapos, magiging minus outside. Saan? Hindi ko nakita. Minus 2x yan. Kasi negative x minus negative x ay negative 2x plus 1. Yan, full method. Tama ba? Check nyo rin kung tama. x squared minus 2x plus 1. Tapos ito naman, full method din. x times x ay x squared. x squared times negative x plus 6x magiging 5x plus 5x tapos negative negative 1 times 6 ay negative 6 yun, ganyan tama ba x squared plus 5x minus 6 tama Next, distribute natin yung ano, yung may mga sign. Ito ay magiging a times a, tapos ito a. So, distribute ko lang yung mga a. Ito, ganito, 2a. Tama ba? a x squared minus 2a x plus a, tama. Ito, distribute din natin ito, magiging... Bx squared plus 5Bx minus 6B. Tama? Bx squared plus 5Bx minus 6B. Tapos ito distribute lang din natin. 6x plus 6c. Yan. Okay, delete ko na ito. So, ang next step nito, di ba, gagawa tayo ng equation by pairing up yung may mga pareparas na coefficient. Ito ay magiging, yung may mga x squared muna. Ito, 7 is equal to, ito may x squared, a plus b. Yun. Next, yung lahat ng may x, yun, negative 17 is equal to negative 2a. Ano pa yung may mga x? Um, plus 5b. 5b plus c. Yung lahat na may x, ha? Next, yung constant naman. Yun, 38 is equal to um, a minus 6b. Tapos, plus 6c. Class 6C. Yun. Yun na. Three equation, three unknown. Alisin ko na ito. Hanapin natin yung value ng A, B, and C. And na-input na natin yan dun sa equation. So, paano ba? So, try natin ito. Try natin ipag-add itong dalawa. Tapos, i-elimate natin yung C. Para ma-add natin yan dun sa equation 1. Ayan, add natin yung dalawa. Alisin natin yung C by ito. Multiply natin ito ng 6. Multiply natin ito ng 6. Magiging ito ay 6 times negative 17. 6 times negative 2 is negative 102. Ah, hindi. Para makansil pala yung C, dapat ito ay negative. Bale, negative 102. Ah, hindi. Pulit na. 102. 102 is equal to negative 6 times negative 2 ay 12a. Tama diba? Minus 30 30B. Negative 6 times 5 negative 30. Minus 6 yun. Yan. Yan. With that pwede natin i-add itong dalawa para makancel yung C. Magiging add lang natin dalawa. Ito 102 Plus 38 ay 140. Is equal to. Ito na to. 13a. Kasi 12 plus 1 ay 13. Tapos ito ay negative 36. 36b. At makakancel out yung c. So yun. May equation a na tayo. And pwede natin yan i-add doon sa. Dun sa equation A. Yan, ito. Lagay ko muna yan dyan. Oops. Yan. Pwede ko na siyang i-add dito para makancel out yung isang variable. Ito, times natin ito ng... Anong gagamit natin? Pwede itimes natin siya ng 36 ito. Para makancel out yung B. Positive 36. So, magiging, ito ay magiging, lagay ko dito. Ito ay magiging, 36 times 7 ay, ano kaya? 36 times 7, 252, 252 is equal to 7. 36 times 13 ay... Ay, niyari. 36 times A, A yun diba? Magiging 36. 36 A, pati yung B. Plus 36 B. Kasi A and B lang naman po yun. Yan, with that, pwede natin makancel out yung B. Matitira ang, add natin yan, magiging 140 plus 252, 293, 392. 392 is equal to 36 plus 13 ay 49. 49A. Ops, magbiglang lumilit. And divide natin both side ng 49 magiging 392 divided by 49 ay 8. So ang value daw ng A natin ay 49A. 8. Yun, may A na tayo. Hanapin natin yung B. Ano kaya pwedeng gamitin natin yung equation? Yun na, itong... So itong... Oops, nawala yung ano ko. Ito na lang. 7. Nawala pala, sorry. So, pwede natin itong gamitin kasi may value na tayo ng 8. So, palitan lang natin itong 8. Magiging transpose sa kabila. Ang b raw ay negative 1. Yun. So, lagyan natin dito. And substitute na natin yan. sa mga equation yung a and b. Ito pwede itong magiging, hindi, yung isa na lang para mas madali. Ito ay magiging times 8 at ito naman ay times negative 1. So, sinubstitute ko lang. And simplify natin. Ito ay magiging negative 16 tapos negative 5. 8 times negative 2, negative 16 Tapos 5 times negative 1 ay negative 5 plus C And lipat lang natin yung sa kabila Magiging C daw ay equal sa negative 17 plus 16 plus 5 So, kubit lang natin kung ano yun Negative 17 plus 16 plus 5. So, 4 daw ang C natin. Ang C daw ay is equal to 4. And pwede natin yan i-substitute dun sa equation na nabuo natin kanina. Ito, lagay lang natin dyan yung a, b, and c. Ito ay 8, ito naman ay negative 1. So kung negative 1, pwede natin gawin ito. Palitan natin ito ng minus. Plus c, yung c ay 4. So this is our answer. 8 over x plus 6 minus 1 over x minus 1 plus 4 over x minus 1 squared. Check nga natin, number 36. Ito, 8 over x plus 6 minus x minus 1. Tama ba? So, yun. Tapos na. So, yun, hanggang dun lang muna tayo ngayon. So, nag-solve tayo ng 15 problems dun sa limang worksheet. So, pag-reviewan nyo yung mga worksheets ninyo. And, get ready sa ating exam. So, I hope may natutunan kayo dito sa lesson ko ngayon. And, pag-aralan nyo na lang yung mga iba pang problems. So, thank you and have a great day. Good luck sa mga incoming exams ninyo. So, God bless you all.

What's up sa inyong lahat? Good morning, good afternoon, good evening. Today, ito na yung ano natin.

Ito na yung make-up class na synchronous. Ngayon lang ako nakapag-record, as you can see. Today is Saturday, October 12, 8.21am.

So ngayon lang ako nakapag-hanap ng oras para mag-record. And ito, ito na yung supposedly na make-up class ninyo last time. So, tuloy ang gagawin lang natin ay mag-answer ako ng 15 na problems doon sa 5 worksheets na ibinigay ko sa inyo. So, ito nag-randomizer ako. So, nagpili ako.

Randomizer, out of doon sa mga 50 problems per week, yan, nasasabutan ko itong mga problems ito. 3 problems sa worksheet 1, 3 problems sa worksheet 2, at 3 problems. Okay, simulan agad natin. Kasi may klase pa ako sa Masters mamayang 9. So, bilisan lang natin. Malilita ko.

Isa ba ang worksheet dito? So, buksan natin. Worksheets.

Iman tayo sa Worksheet 1. Tala. So, ano ba yung mga ano? So, number 11. Unayin natin yung number 11. So sabi dito Factor Factor the expression 3x cubed minus 3x squared minus 18x So let us factor that Tapoy ko muna yung powerpoint So dito na lang ako mag-ano kasi na-mention ko naman sa inyo dati na pangit ang sulat ko. So ito na lang. I-encode ko na lang.

So ano ba yun? Factor the expression 3x squared minus 3x minus 18x. Pagin natin dyan. Ang answer daw ay 3x minus 3x times the quantity of x minus 3 times x plus 2. So singin natin.

So, paano ba yung isolve? Ito. So, 3x squared minus...

Ay, nag-run out. Ako. Buti lang may charge pa tong laptop ko. So, run out ngayon.

Ang init na pati kaagad. So, minus 18x. Continue tayo.

So, first step sa pag-factor ng ganyan... Pwede natin gawin ay ilabas natin yung greatest common factor ng bawat term. So ano ba yung greatest common factor ng mga term na yan?

So 3x. So ilabas natin yung 3x sa equation na yan. Magiging 3x times the quantity of 3x squared divided by 3x ay x. minus 3x squared divided by 3x, ay, cube ito, cube, kaya raw, cube pala ito.

So, ito ay x squared. 3x squared divided by 3x ay x, at 18x, negative 18x divided by 3x ay, ano, 18 divided by 3 is 612186. So, tama na ba? Yun. Nailabas ko na yung greatest common factor ng bawat term.

And we can factor itong equation na yan. x squared minus x minus 6. So paano ba mag-factor na yan? Ito lang yan.

So linear factor lang naman yan. Madali lang yan. Kapag nakakita kayo ng ganyang form ng equation, ibig sabihin yan ay x. Tapos ito plus or minus, tsaka ito x plus or minus din.

So since negative parehas, ibig sabihin yung isa positive, yung isa negative. Kasi positive times negative, negative. And positive plus negative, depende lang kung ano yung mas mataas, ang sagot ay negative.

So mag-iisip tayo ng number na kapag imumultiply natin ay magiging negative 6. At kapag i-add naman natin ay magiging negative 1. So ano kaya yun? So 3 and 2. So, pero alin doon yung negative? Yung 3. Kasi negative 3 times positive 2 ay negative 6. At negative 3 plus 2 ay negative 1. So ibig sabihin ito raw ay 2. At ito naman ay 3. So that is our answer. 3x.

Times the quantity of x plus 2 times x minus 3. Ayun, tama. Nabaliktad lang pero parehas lang yan. Yan.

This is our answer. Okay, next question. Number 19. Ano yung 19 natin? Number 19 ito.

Find the LCM of 22.5. 3.5 and 0.55. So dati, sa mga example na binigay ko sa inyo ng lesson, naghanap tayo ng LCM ng dalawang number. So this time, napansin ko rin yung iba sa inyo, di pa alam kung paano maghanap ng LCM ng tatlong number. Okay, so paano ba yung least common multiple niyan?

So unang-una, gawin ko muna siyang whole number sa lahat Ano kaya yung pwede kong i-multiply dyan sa tatlo para maging whole number lahat? Ano kaya? So, ang pwede kang umultiply dyan ay 100. Kasi 222.5 times 100 ay magiging, just move to decimal places, magiging 2,250 at 3.5 times 100. Magiging 350, just move 2 decimal places, and 0.55 times 100. Oops, but 44. 0.55 times 100. Ang sagot ay 55, just move 2 decimal places.

So, bakit ko siya kinonvert into whole number muna? Para mas madaling mahanap yung mga GCF. So, i-divide na lang ulit natin yung LCM. And i-divide na lang natin mamaya sa mga halod yung mga answer.

Kasi ang gagamitin natin dito ay prime factorization. Eh, diba ang prime number ay mga whole number? Diba? So, ito di man ito whole number.

So, ginawa ko muna yung whole number. So, kunin natin ang mga prime factors nito. Hmm, paano nga yun?

Hierarchy. Asan yung hierarchy? Ba't di ko makita? Yan.

Hierarchy. Yan. Ito.

Hindi na ang gulah. Kaya ito na lang. So, hanapin natin muna yung prime factorization ng 2,250. So, ano ba yung mga ano yan? Yung mga, paano mag-insert dito?

Paano nga yun? Hindi. Ayan, ito. Odd shape. Ayan.

So, ano yung mga prime factor ito? So, di ba ang technique ang gamitin natin yung mga mabababang prime number? So, yung isa, 2. Yung isa naman, ano? 1,125.

Yun. 2 times 1,125 ay 2,250. So, titigil na ba tayo? Hindi pa.

Hindi pa ito prime factor eh. So, pwede pa siyang ma-divide ng 3. Ops, mali. 3 at saka... Ano, 1,125 divided by 3 ay 375. Malit.

Ito, malit. Paano ito? Eh tama naman.

Hindi lang maayos yung pagkakalagay. Yan. So, yung isa ay, itutuloy ko yung 3. Ayun, may kulinti na.

Wait lang, gulo. Tapos, itong isa ay, 125. So, titigil na ba tayo? Hindi pa, kasi ito, pwede pa natin itong A'factorize.

Itong 125. So pwede pa natin siya i-divide sa 5, diba? Ops, mali. Saan yung ito? Unshake. Ops, ang gulo na.

So, ito pwede maging 5 times, ano yung isa? 5 times 25. So, titigil na ba tayo dyan? Hindi pa kasi pwede pa. Pwede pa natin siyang i-prime factorize. Magiging 5 times 5. Ang gulo na.

Hindi ko lang kung naiintindihan nyo. Basta, I hope marunong na kayo kung paano mag prime factor ay paggawa ng prime factor 3. Isa pa. So, ganyan. So, pwede natin tumigil kasi lahat naman na ito ay prime factor 2, 3, 5, 5, 5. Okay?

So, ilista natin yan. Hindi naman nakaka-copy. Bakit ayaw makaka-copy? Hindi, wala. 2 times...

3 times 5. O, ba't ganyan na? Biglang lumiit. 2 times... 2 times 3 times 5 times... Ganyan.

Ganyan. O, ba't lumiliit? Ayan. 2 times 3 times 5 times 5 times 5. Ayan.

2, 3, 5, 5, 5. Ayan. Lagyan natin yung dyan. So, yung the rest, hindi ko nakagawa ng prime factor 3 kasi ang hirap gawan dito. Lagay ko, ilist ako na lang. So, ito namang, ano, ito namang...

350, ang prime factor, pag i-prime factor natin yan, ang sakot ay, ano, 2 times, 2 times, oh matuloy talaga, 2 times, ano. 2 times 5 times 5 times 7. So, 2 times 5 times 5 times 7 ay 350. Next naman, itong 55. Yan, ang dali lang. 5 times 11. 55 is equal to 5 times 11. Oh, namiliw talaga nangyari. So, kapag i-prime factorize natin yung tatlong number, magiging ganyan.

So, this time, paano natin makukuha yung least common multiple, yung tatlong number niyan? Kasi dati, ang tinuro ko lang sa inyo ay pag dalawang number. Ngayon, paano naman kapag tatlo? So, ako, ang technique ko kapag tatlo, ina-align ko muna sila sa mga parehas na number.

Kunyari ito, i-align ko. Ito, hiwalay ko muna ito. Tapos, dapat dalawa lang yung mga magkaka-align. So, hiwalay ko muna ito. Sige, usog pa.

Yan. So, ito. 2. Okay na yan. Yung 3, may kaparehas ba?

Wala, diba? So, okay na yan. Itong 5, i-partner natin yan doon.

Wait lang. Kaya, mas gusto kong magsusulat sa board. Wala kasi ko ng ano. Wala ako ng stylus and pen.

So, ito lang. Next time, mayroon akong stylus pen. So, baka mas madali na akong magturo. So, ito.

Magka-align na yung 2. Align na. Ito rin 5. Align na. Ito rin 5. Tapos ito, usog natin.

Ito hindi naman siya magkano. So, okay na yan. Next naman, itong 5. So, dapat ang magkaka-align lang ay dalawang linya. Ito, 2. Okay na yan. Ito, 5. Tapos, 5. Ito.

Tapos, ito. Pwede pa rin yung magkakalinya. Ito, isugusog natin yung doon.

Yan. And with that, i-count natin as 1 yung mga magkakalinya. Kanyari ito.

Counted lang yan as 1. Tapos ito rin. Yung dalawang 5. Tapos ito. Tapos ito.

And with that, makakabot tayo ng equation na 2 times 3 times 5. Times 5 times 5 times 7 times 11. And i-compute lang natin yan, magiging... Sige nga, try natin. 2 times 3 times 5 times 5 times 7 times 11. And the answer is... Ops, kulang ako. 3 5 dapat, di ba?

Times 5. O, ano ba? 2 times 3 times 5 times 5 times 5 times 7 times 11. Yan. Tama ba?

Ay, hindi. Dalawang ano? Dalawang 3 pala dapat ito.

So, 3 times 3 to. Tama ba? Dalawang 3 dapat ito. Lagay pa nga natin. Times 3. To adjust na natin ito.

Pati ito. So sorry, dalawang 3 pala dapat ito. Kasi ang 2 times 3 times 3 times 5 times 5 times 5 ay yan.

So dalawang 3 dapat yan. Ibig sabihin ito, dalawang 3 din. Yan. Ngayon, check na natin.

Ito, sub-sub ko. Ayan. So, yan na.

2 times 3 times 3 times 5 times 5 times 5 times 7 times 11. So, yung mga naka-encircle, counted siya as 1. Bali, ang answer natin ay 2 times 3 times 3 times 5 times 5 times 5 times 7. Ayan. 17,300. 173,250.

Ayan. 173,250. So, hindi pa yan yung final answer natin kasi itong 173,250, yan yung least common multiple nitong tatlong number.

2,250, 350, 55. Ang tanong ito, 22.5, 3.5, 0.55. So, i-divide naman natin ito ng 100 kasi minultiply natin yung kanina ng 100, diba? Now, and divide naman natin yung answer ng 100. Balik ang least common multiple daw ay 1732.5 1000 ay 17000 tama ba?

ayun dito tama 1732.5 That is our answer. Check nga natin kung tama. Number 19. Ito, 173, 2.5.

Tama. So, yan ang solution dyan. Next naman, number 40. Number 40. So, ano yan? Ito.

So simplify, 27 over 8, x raised to negative 3, y raised to 1 half, time, i raised to negative 4 over 3. So yan, simplify natin yan. Okay, so paano yan? So dapat alam nyo yung mga laws of...

exponent. Okay? Pwede natin i-distribute yung mga exponent na yun.

So, ito pwede natin siyang i-relate as ito muna, 27 all over 8. Kasi i-distribute natin yan ha. Raise to negative 4 over 3. over 3, tapos yung times x raised to negative 3 raised to negative 4 over 3 times y raised to 1 half raised to negative 4 over 3. Kasi ganito. Yan. So, nire-write ko lang, ha?

D-distribute ko lang yung exponent sa mga term, sa lahat ng term. Okay? So, itong malaki.

So, loss of exponent yan. So, tanda nyo lang. Tapos ito, pwede pa natin itong i-distribute.

Tiki-isa. Magiging. Ito ay magiging. Dito lang.

Magiging. Ano ito? 27. Raise 2. Negative 4 over 3. Yan, all over A trace 2. negative 4 over 3. Yan.

So, pwede yan. Nidistribute ko lang sa sa bawat term. Next, simplify natin. Simplify lang natin yung mga nasa loob dyan.

Unahin natin yung ito na. Yan. Input lang natin sa calculator. So 27 daw, raise 2, negative 4 over 3. So magiging 1 over 81. 1 all over 81. Tapos ito namang isa, itong 8 ay magiging 1 over 16. 1 all over 16. Inat. Tapos ito, distribute lang natin Magiging negative 3 times Loss of exponent lang yan ha Negative 4 all over 3 So ito raw ay magiging x raised to 4 Kasama ka Yan, x raised to 4 Tapos ito namang y ay magiging times lang natin yung 1 half.

And 1 half times negative 4 over 3. And magiging raise to negative 2 over 3. y raise to negative 2 over 3. Tama ba? Negative 2 over 3? Yes.

Ops, laging ko lang ito ng parenthesis. Yan. So, lang natin ito. Ito rin. At ito.

So, yan. Nasimplify natin. Times lang natin yan.

Ay, hindi. Simplify muna natin itong nasa fraction within na yung fraction. So, hanggang ito, pwede natin siya masimplify.

By multiplying both side ng 81. Tsaka 6 tama ba? 81 yan. Okay, 81 yan. Multiply natin ito ng 81, both side, para makancel yung denominator na 81. As well as yung 16 na rin, para isahan. Ito rin, 16. Multiply ko lang both yung numerator and denominator.

So makakancel ang... Ito 81. Ya, makakansi itong 81 dito. Pati yung 16 dito sa baba.

Ito. Tsaka ito. So, magiging.

Magiging. 16. Tama. 16 all over 81. Tama ba? O, ben. Naglalagyan lang yung laptop ko.

Ito ay magiging 81. Tapos ito, x raised to 4. Tapos ito ay magiging Ang mga may negative na exponent, pwede natin iyang ibaba. Magiging 1 all over y raised to 2 over 3. Ayan, magiging ganyan. Next, simple pa lang natin. Times na lang natin lahat. Magiging Ito, lagyan lang natin ito dito.

16 x raised to 4 all over 81 raised to 2 over 3. So, ito ba yung answer natin? Tingnan natin, tama ba? Oh yes! 16 x raised to 4 all over 81. y raised to 2 over 3. So, this is our answer.

So, ganun lang ang pagsimplify niyan. Basta alam nyo lang yung mga laws of the exponent and yung pag-distribute ng mga terms. Ayan. So proceed tayo. O, worksheet number 2 na.

O, number 1. Ops, wala pa pala. Worksheet number 2, ito. Ano yung question sa number 1? O, i-divide daw natin.

Itong polynomial sa x minus 5. Ano yung remainder? So compute natin. Compute daw natin yan. So ito, x cubed plus 4x, 4x squared minus 3x plus 8. Didebide daw natin sa x minus 5. Hanapin natin yung remainder.

So ano daw yung remainder? Lagay natin yung line dito. So, okay na yan, kahit d straight.

Tapos, yan, okay na yan. Divide daw natin siya sa x minus 5. So, tandaan nyo kung paano mag long division method. So, ito, sundin nyo na lang itong gagawin ko.

Divide muna natin yung mga first term. So, x cubed divided by xi, x squared. So, x squared. So, x squared times x ay, x squared times x ay x cubed. x squared times negative 5 ay negative 5x squared.

Negative 5x squared. Yun. So next, i-minus natin sila.

Bale, ito. Minus. Yun.

Bale, ang magiging answer natin ay negative x cubed minus x cubed, 0. So, 4 minus negative 5x squared ay positive 9x squared. Yan. And bring down negative 3x. Ang lit na lang.

Biglang lumiliit. Bring down lang natin. Ganyan na.

Yan. Ay, hindi. Bring down 3. So, ito, mininest ko lang. And bring down.

Sulit naman, divide ulit natin yung mga first term. Ito ay magiging positive 9x squared divided by x ay positive 9x. Ganyan na. 9x times x ay 9x squared. Tapos 9x times negative 5 ay negative 45x.

Tama ba? 9 times 5, yan. So, i-minus lang natin sila.

Magiging, so, pag i-minus natin sila, magiging, makakancel ito. And, 3 minus negative 45 ay, ano, 42. 42x. And bring down positive 8. Bring down to kalang 8. Next, divide natin yung mga first time. 42x divided by x ay...

42. Positive. 42. So, 42 times negative 5i. Ay, hindi.

42 times xi. 42x. And, 42 times negative 5i. Negative, syempre. Negative 210. Tama ba?

Check ko nga. 42. Times negative 210. Matatanong. Next naman, i-minus natin sila. I-minus.

I-minus sa kapila. So, makakancel yung 42x. And, 8. 8 minus negative 210 ay 218. So, ang tinatanong lang naman, kung ano yung remainder, diba?

So, ito yung remainder natin. 218. Tama ba answer natin? Saan yung answer? Wala. 2 answer.

Tama. 218. So, ganun ang paghanap ng remainder ng polynomial. I-divide nyo lang using long division method at yung matira yun ang remainder.

Okay, next question. Number 8. Ano ba yung number 8 natin? Ah, simplify.

Yan, divide daw natin yan. Rational expression. So, paano ba yan? So unang step, pwede natin i-distribute yung mga exponent.

Magiging, ito munang una. So distribute natin sa lahat. Balit 2, raise to 2. Tapos a, raise to, ganyan. a, raise to negative 1, raise to 2. Ganyan. So, yun, lahat ng term, i-distributean ko ng exponent.

Next, b. b raised to negative 1 raised to 2. Yun, ganoon din. Sa kapila, ganoon din.

Divided by... divided by, 3 raised to negative 1, hindi, 3 raised to negative 1 times a raised to negative 2 raised to negative 1. Hello, Ber! B raised to negative 3 raised to negative 1. Yun. Next, pwede natin isimplify muna yung mga exponent. Magiging, ito pag i-distribute natin magiging A raised to negative 2. Ito rin, b raised to negative 2. I-distribute ko lang.

Oops. b raised to negative 2. Ito okay na yan. Ito naman magiging a raised to 2. At ito, b raised to 3. Next, pwede pa natin itong maisimplify.

Yung may mga negative sign, i-baba natin. Yung mga negative sign naman ito, sa baba, itaas natin. Magiging, ito ay magiging B raised to 2. At ito naman ay A raised to 2. So yung may mga ano ha, belated ko lang. Ito rin.

Ito, mapupunta siya sa baba. Yan. Ito, pwede natin ito isimplify. 2 squared i 4. So, next step, i-receptrocal lang natin yung second, ano, rational equation.

Tapos, ito times na natin. Ito, receptrocal. 3 plus b raised to 2. Ay, 3 ba? 3 all over a squared. Ay, diba?

a squared. And, itimes lang natin. So, 4ab. Ayun to.

Plus 3? Hindi, hindi. Wala tong plus. Times 2 yan. Binaba lang naman natin.

Bale, magiging 4 times 3 ay 12. Tapos, b squared times b cubed. Plus lang natin yung exponent. Magiging b raised to 5. At ito, a squared times a squared. Times lang.

Plus lang natin yung exponent. Magiging a raised to 4. So, that is our... Parang mali. Tama ba?

12b. Ano yung answer dito? Number na yun? 8. Ah, tama.

12B raised to 5 all over A raised to 4. So, that is our answer. So, dinistribute ko lang yung mga exponents, sinimplify. Yung mga pwedeng ibaliktad, pwede rin.

Tapos, simultiply natin. So, yung ganoon lang. Next, number 45. Ano yung 45 dito?

So, yan. Ah, yung maminus lang. Simple lang yan.

Minus lang natin. So, yan. So, diba ang pag-minus ng dalawang rational expression na may... magkaibang, ano, denominator, pwede natin itong gawin.

1 all over i-ano natin yung multiply natin yung mga, ano, saka, basta tinuro ko na, diba? Tingnan nyo kung anong ginagawa ko. All over p minus 5. Ayan.

Ay, dapat na, ano, to. Kasi times natin sya sa p plus 5 minus 1 times p minus 5 naman. All over p minus 5 times p plus 5. Yan. Nangitindihan?

So, ang ginawa ko, tinimes ko lang yung denominator sa nakabila. Sa numerator and denominator. And ito rin dun sa kabila.

Numerator and denominator. So para maging parehas ng kanilang denominator. And simplify lang muna natin yung sa taas. Ito ay magiging. Ito matatanggal lang naman to.

As well as ito. Yan. It's one lang naman. And try natin pagsamahin yung.

denominator. Ay, yung fraction since same naman na ang kanilang denominator. Minus P minus 5. Yun.

Simplify lang natin yung ano. Yung ito. Distribute natin yung sign.

Kabilaan magiging P, P plus 5 minus P plus 5. So, di-distribute ko yung negative sign na ito negative. So, minus 5 tapos minus negative 5 ay positive 5. Tapos, simplify natin yung mga pwede i-simplify. Itong sa taas, add na natin yung mga like term.

Ito, mawawala ito. P minus P, mawawala. At 5 plus 5 ay 10. So, 10 daw ito. Ito, pwede natin itong if-file method.

Yung denominator. Magiging, o yung first muna, P squared, P squared, outside, plus 5P, inside, minus 5P, and out, plus, negative 25. So, itong 5P minus 5P maka-cancel. And yan na. Tapaban sila natin.

10 over P squared minus 25. Number 45. Ayan. 10 over P squared minus 25. So that is our answer. So next question. Okay, worksheet number 3 na.

Bukin natin yung worksheet number 3. Close ko na ito. So, number 4. Unayin natin yung number 4. Find the value of x in x plus 1 over 3 plus 2x over 4. Yan. Hanapin natin yung value ng x dyan. So, paano ba yan?

So unang step, simplify natin yung mga pwede i-simplify. Try natin i-add tong dalawang fraction. So paano ngayon i-add? Pwede natin gawin ang ito. x plus 1, yung i-multiply natin both side, yung ano, yung denominator nung kabila.

4 all over 3. times 4. Yan. Plus, ganun din, 2x times 4. Ay, 3 naman. 3 all over 4 times 3. So, ito, itong denominator, tinimes ko, magkapilaan, taas-baba. Yan.

Ito rin naman 3 doon sa magkabilaan. Kaya ito is equal to 47 minus 2x. Yun. Next, simplify natin.

Ito ay magiging 4x. So, since same naman na yung denominator, pwede natin siyang pagsamahin. Ito, 4 times 3 ay 12. Diba?

So 12 na yung baba. At yung sa taas naman ay 4x plus 4 plus 4 distribute ko na plus 3 times 2x ay 6x. Tama? 6x.

Plus 6x. Yun. Dini-distribute ko lang. And simplify natin. Magiging Ito like term to eh.

Magiging 6x plus 4xi. 10x plus 4. Yun. Try nating.

So next step. Try nating i-multiply both side ng 12. Para makancel out yung denominator na 12. Both sides ah. Magiging.

Ito magiging 10x plus 4 lang. is equal to 10x plus 4 is equal to ano bang 47 times 12? 47 times 12 ay 564. 564 minus 12 times 2 ay 24x. Next, transpose natin yung mga pwedeng i-transpose. Magiging Ito, lipat natin sa kabila.

Magiging positive 24x. Positive 24x. Sa kabila naman, ay yung 4. Lipat din natin sa kabila. Magiging negative 4. Tama ba?

Ayan. Tapos, simple pa lang natin. So, 10 plus 24 ay 34. Tama ba?

34. 34x. Ano ito? 560. 564 minus 4 ay 560. Next, divide natin both sides by 34 para ma-isolate yung x. So, So, nabin, 560, wale, divided by 34. So, ang answer daw ay 16.47.

x is equal to 16.47. So, tama ba answer natin? Number 4. So, yung answer nito ay...

Ayun, 16.47. Tama. Okay, next question.

Number 39. Ops, mag-iit. Number 39. Ayun. Anong gagawin dyan?

Ah, ito. So, for item. So, find...

f of g, f plus g of x at f minus g of x. So number 39, ito yun. So screenshot ko muna. Find, find out f plus g of x, tsaka.

F minus g of x nung number 39. So, paano ba yan? So, i-minus lang natin itong ano. Yung f of x.

Ah, ito muna. F plus g of x. So, i-plus lang natin itong dalawa. Magiging bang shortcut itong ano. Control, shift, okay.

Control, shift, okay. So, minus lang na. Lagi lang natin, x minus 2, plus, yung g of x.

Ano yung g of x? 1 over x. Tapos, yan na.

Yan na ata yung sabot. Number 39. Okay na ata. O tama, x minus 2 plus 1 over x.

Yung ilagay lang natin. So, yan ang f plus g of x. Yung namang f minus g, minus lang natin.

x minus 2 minus. Yan rin ba yung answer? Ayun lang, madali lang naman pala. So, sila-substitute lang natin yung f of g tsaka f of x. Ay, f of x tsaka g of x.

Yun lang. Inadd tsaka minus. Yan.

In answer. Next, 45. 45. Yan. Ito.

Ito. Find f of g ay f times g of x tsaka f over g of x. Yan daw.

So, times and divide naman. Absolutely. Naglidyan lang.

Dito na lang ulit. Next slide na nga lang. Find f times g of x and f over g of x. Nung number 45. Ito raw.

Yan. So, substitute lang natin yung mga, no, f of x at ge of x times na natin. Ito.

Ano yung f of x natin? Ay 1 plus x. O times lang natin.

1 plus x. 1 plus x times x. Ganyan daw.

O multiply lang natin. Magiging distribute. Magiging x plus x squared.

Yan na ata ang sagot. Number 45. ayun, x squared plus x, so paras lang yan at yung divide naman magiging, ito divide lang natin yan, so pwede itong maging pwede itong maging 1 over x plus x over x. Tapos, since x over x, 1 lang naman yan, pwede itong maging 1 over x plus 1. So, ito natang answer. Tingnan natin.

Ay, hindi, ito. Ay, okay. Hindi na niya sinimplify. Pero, paras lang. Ito, sinimplify ko pa.

Pero, ito na palang answer. Yun lang. Hindi na bayad lang natin. So, yun lang.

Dali lang naman pala. O, worksheet number 4, number 5. Worksheet 4, number 5. Ano yung number 5 natin? Ay, nakuha. Ang haba nito.

Solve the value of x. So, ito. Type po yan. Y dapat yan.

Y. Okay? So, solve daw natin yan.

Mga baba solution dyan. So, tara. So, gumating. Yan. So, ito, y to.

Palitan ko lang. Y. Pwede na yan. Ah, basta y yan. So, 2x minus y plus j is equal to 6. x minus...

3y minus 2z is equal to 13. At 2x minus 3y minus 3z is equal to 16. Find the value of x daw. So, x lang naman ang hinahanap. So, tara.

Ano kaya pwede gawin? So, lagay lang natin ito. Try natin yung elimination method. Eliminate muna natin yung isang variable dyan.

Ito, 2x minus y plus j is equal to 6. Equation 1 yan. I-annul natin siya dito sa x minus 3y. x minus 3y. 3y minus 2j.

It's all 13. Eliminate natin y by multiplying both side by negative 3. Yan, magiging negative 6x. Plus 3y minus 3z is equal to negative 18. Yan, laki natin yan dyan. Tapos i-add lang natin. So kapag i-add natin magiging... Ito, makakancel yung 3y, bali magiging negative 6x plus x ay magiging 5x, 5x, tapos negative 3 plus negative 5z.

So, equal to negative 18 plus 13i, 5, tama ba 5? Tapos issues, negative 18. Plus 13. 5 yan. Ay, negative 5. Ano yan?

Kailangan ko pang i-calculator. So, andaw. Equation A. Negative 5x minus 5z is equal to negative 5. Is equal to negative 5. So, i-release ko na ito.

May isang equation na tayo. Yan. So, next naman ay yung...

Ay, wait nga lang. Iwan ako ng isa. So, i-release ko na ito.

Ito, gilid na natin ito. Ayan. Tapos, ito namang isa.

Ayan. x minus 3y minus 2j. And, ihad natin yan dito sa 2x minus 3y minus 3j.

is equal to 16. Okay. Times natin itong isa ng negative 1. Ito ng isa. Para ma-cancel out natin yung ma-eliminate natin yung 1. Ay yung y.

Yun. So, ito. Copy lang natin ito. At ito ay magiging So, yun. Palitan lang natin yung mga sign.

Magiging negative x. plus 3y plus 2z is equal to negative 13. At i-add lang natin yan ng dalawang equation at yan ay magiging 2x. Plus negative x ay x.

Yan lang toko. So, 3y, makakancel yung 3y. And 2z minus, plus negative 3z ay negative, negative z. Tama, x minus z is equal to 3. So, yan, may equation bida tayo. Ipag-i-pag-i-pag dito.

And with that, pwede natin mahanap yung value ng... Ano dito? Value ng x by multiplying ito both side by 5. Wait nga lang. Parang di mawala. Ito, multiply natin both side by 5 para makancel out natin yung z.

Bye. Saan na yan? Tama ba 5?

O negative 5? Tama ba yung nagawa ko? X minus O Negative 5 Cancel out natin yung negative 5 Ay hindi, I mean Ima-multiply natin yung negative 5 Okay, magiging Ito, copy lang ito At ito ay magiging Negative 5X Tapos, tama ba? Wait lang, parang namali ako.

Ah, kanina, dapat ito pala negative to. Ito negative yan. So, kanina na. Basta yan, dapat pala negative. Namali lang ata sa sign.

Negative 5x minus 5z is equal to 2. Ay, hindi. Hindi ito yung answer dapat. Negative 5x minus 5z is equal to negative 5. That pala may negative. So, sorry. Ito may negative to.

So, siguro kanina tataka kayo kung bakit positive 5. Pero yan, okay. So, ito pa. Negative magiging positive 5z. is equal to negative 15. Is equal to negative 15. Oops, ang liit na naman.

Yun. At i-minus na natin yan. I mean i-add. Ito ay magiging... Negative 10x, maka-cancel yung say, is equal to 20. Negative 20. And divide both side by negative 10. So, ang x daw ay magiging 2. So, is that our answer?

Saan yung answer nito? Ang answer daw ay 2. 5. Yun, 2. Tama. So, since x lang ang tinatanong, huwag natin hanapin yung ibang value.

Okay na yan. So, namali ako dito kanina. Dapat pala ay negative 5x. Yan na.

So, next question ay number 8. Ano yung number 8 natin? So, find f of g of x. Okay. Find daw f. F of g of x.

And, saan na yun? Ito. Number 8. So, yan. Ilagay lang natin. Yung g of x sa f of x magiging f of g of x.

So ano ba yung g of x natin? Magiging ito raw ay f of x squared. So lagay natin yung ano dun sa...

Equation of f of x is x plus 3, bali magiging x squared plus 3. Tama ba yung answer? Ang alam po ganyan. Number 8. Yun, tama. x squared plus 3. So yun, ang simple lang.

Pinasok lang natin yung x squared dun sa x nung f of x. Ganun lang, simple lang. Next, number 24. 24 for the f of x is equal to x minus 4 and find the inverse function daw. Oops daw ba ito laptop ko?

Wait lang. And yung isa, I mean yung question ay, find the inverse function of x. So, laki lang natin. f of x.

Habang ganyan, habang ganyan, ano ka? f of x, tumataas, ano to? f of x daw is equal to 2x minus 4. So, diba ang first step sa paghanap ng inverse function ay gagawin natin y, ito.

Yan, ganun lang. Simple. Next, pagbabalita rin natin yung x at y, magiging x at y. Next naman, hanapin natin yung value ng y. So, transpose natin.

Pwede yung transpose. x minus 4, equal to 2y. Divide na rin natin both side ng 2. Magiging, magiging, ito ay, pwede.

x minus 4 over 2. Yan. And answer natin ay magiging f raised to negative 1 of x daw ay equal sa x minus 4 over 2. Actually, pwede pa yung masimplify. Magiging x over 2. Kasi same denominator.

Minus 4 over 2. Yan. Tama ba? Tapos, ito magiging 1 half. Hindi. 4 over 2 is 2. Tama ba?

x over 2 minus 2 ang answer. Ang number yan? Number 24. Ah, tama.

Ay, ba't 2 plus? Tanong ko lang ang bali. Ay, ito pala. Sorry, sorry, sorry, sorry, sorry.

Um, magiging plus pala to. Sorry, sorry guys. Transpose pala eh. So, ang answer natin ay x over 2 plus 2. Tama? San na yun?

Yan. So, next. Mali.

Worksheet 5 na pala. Yun lang. Worksheet number 5. Next ko na ito. So, number 3. Hanapin natin.

Number 3. So, determine the progression if there are 7 arithmetic mean between 3 and 5. So, paano ba yan answeran? So, sum of the progression arithmetic mean. So, arithmetic mean. Ano yung formula ng sum of progression ng arithmetic mean? Tandaan nyo ba?

Kakalason ko lang yan kahapon. So, ano yung number 3? Ops!

Yan, determine the progression of arithmetic mean. Uhhh! So, paano ba yung answeran?

So, ang formula, as you can remember, sa arithmetic mean ay, S is equal to, wait lang, S is equal to n over 2, hindi kasi gumagana yung shortcut ng ano, S is equal to n over 2, Times a sub 1 plus a sub n. Yun. So, yan ang formula natin sa sum. So, given ba ang a sub 1, tsaka a sub n, tapos n. So, paano ba yan?

Alamin muna natin kung paano yan. Ay, kung ano yung mga data na yan. So, sabi dito, Determine the sum of progress if there are 7 arithmetic mean between 3 and 5. So, between 3 daw and 5, ay 35. So, meron daw dyan ano, may meron daw dyan 7 na arithmetic mean. So, sabihin natin na ito ay yung isa wa and then, except 1 yung ganoon.

So, 1, tapos 2, 3, 4, 5, 6, and 7. So, yun. Yan ang ibig sabihin yan. May 7 arithmetic mean daw between 3 and 5. So, all in all, ilang terms sila?

So, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. So, all in all daw, may 9 terms. So, ito, ang n daw natin ay 9. So, ulitin ko, bakit 9? Kasi meron daw 7 na arithmetic mean sa low, sa gitna ng 3 and 35. Ito yung 7. Yan. Pero all in all, 9 siya.

Okay? So, 9. Ano yung a sub 1 natin? Ay 7. At ay a sub n naman ay, ano, 35. Yung pang last. Yan. So, yan lang.

Complete lang natin yan. Input lang natin ito sa calculator. Magiging 9 over 2. So, times 7 plus 35. It's equal to 189. Tama ba?

Ay, hindi. Ito pala 3. Sorry. Ba't san galing yung 7? 3 to 3. So, 3. I-sub ko natin ito.

Ayan, 3. So, edit ko lang ito. Ito daw ay 3. 171 ang answer natin. Yun daw ang sum nung... progression na yun. So, tama bang answer natin?

Let's see. Where's our answer? Ang number yun? 3. Number 3. 1, 7, 1. Tama.

So, next. Number 30. Sambay number 30. Ops. Sige pa, sige pa, sige pa. Ito.

A rubber ball is made to fall from a height of 50 feet and is observed to rebound two-thirds of the distance it falls. It falls. How far will the ball travel before coming to rest if the ball continues to fall in this manner?

So, ibig sabihin daw, may bola raw tayo. May bola raw tayo dito. Yan.

Tapos, nahulog daw siya. Tama, nahulog. Tingnan lang, screenshot ko muna yan. Wait lang.

So yan. May rubber ball daw tayo na nahulog ng 50 feet. Ito yan.

Yan. So, yung haba nito ay 50 feet, ha. Yung nahulog.

Tapos, nag-bounce daw siya. So, nag-bounce daw siya ng height ay 2 thirds nung height nung 50 feet. So, let's say ito.

So, nag-bounce back daw siya ng 2 thirds ng height. Yan. Let's say bandang dito.

Tapos, syempre, pang nag-bounce pa taas, mahuhulog ulit yan, syempre. So, ganyan naman. Tapos, nag-bounce ulit. Siyempre, nag-bounce ulit yan. Tapos, 2-third ulit nung height nun.

Bandang dito na yun. So, nag-bounce back. Nag-bounce back daw ulit.

Ayan. 2-third ulit yung height. Tapos, siyempre, nahulog.

Hindi naman yung mag-stay sa hangin. Diba? So, mahulog ulit yan. Ayan. Ganyan.

Tapos nagbounce back ulit Siyempre ang rubber ball bounce lang yan ang bounce Pero yung height naman nun ay 2 third ulit Ayan ganyan Ay hindi 2 third lang 2 third Ayan and so on Mayroon ba nitong draw? So yan, nagbounce ulit. Yan. Tapos syempre 2-3rd.

Tapos nahulog ulit. 2-3rd, nagbounce ulit. Yan, hanggang sa infinite.

Ito lang pangit. Insert, shapes, line. So, nagets nyo?

So, may bola raw na nagdrop ng 50 feet. Tapos, syempre, nagbounce sya nung 2 thirds nung 50 feet. Tapos, syempre, nahulog, nagbounce ulit, nahulog, nagbounce ulit, tapos nahulog.

Nag-bounce ulit. Yan. Tapos, nahulog na naman, syempre. At, nag-bounce. Nahulog.

Nag-bounce. So, two-third daw yung ano niya. Hanggang sa...

Hanggang sa hindi na sa nag-bounce. Okay? Nakits nyo?

Kung kunyari ito, may bola. Okay, hinulog ko raw dito. Up.

Tapos, nag-bounce. Up. Nahulog ulit.

Bounce. bounce, bounce, bounce, hanggang sa di na siya gumagalaw. So, ganun yung tinutukoy ng problem.

Compute daw natin yung distance nung na-travel niya hanggang sa di na siya gumagalaw. Galing dito, 50 feet. So, 50 feet na yun, di ba? 50 feet, up, yun. Yung lahat nung hanggang sa di na siya gumagalaw.

Ayan, i-compute daw natin yung distance. So, ito, nalala ko ito, itong problem, nababas ito nung diagnostic. test nung nagre-review kami for board exam. Kaming lahat na taga sa SPC, ako lang yung naka-answer nito. Pero, ang ginamit ko dito ay yung mano-mano na computation.

Hindi ko pa alam yung solution, I mean, hindi ko pa alam yung formula nun. So, minano-mano ko siya, kinumpit ko 50 times 2 third, yan, hanggang sa hindi na gumagalaw. Napakahaba ng solution ko nun.

Tatlong papel ata yun. yung nagamit ko. So, ako lang nakakompute nun. Pero, nung nalaman na namin kung paano, napaka-simple lang pala kung paano isolve. So, ang formula niya, so as you can see, this is a type of geometric, infinite geometric sequence.

Kasi infinite siya hanggang sa, hanggang sa di na gumagalaw yun. Nakita niyo itong line? Yan.

So, since infinite siya, hanapin na natin yung sum. Ano yung formula ng sum ng infinite ano? infinite geometric sequence. Hindi dyan.

Hindi dyan. So, ang sum daw ay S lakay natin ng infinite. Yan.

Is equal to ano yun? A sub 1 all over 1 minus R. Oops.

Yan. Yan ang Yan ang formula. Pero in this case, ay hindi, substitute muna natin. Ano yung, ay hindi, sige na. Alamin na muna natin kung ano yung a sub 1. Kasi, kunyari ito.

Alasin ko muna nga ito. Ito, dagdagan ko nga ito para mas ma-imagine nyo. So, basta imagine yung infinite yan na yung mga line ko.

So, kung ito raw ang distance daw nito 50, pero wala naman siyang kaparehas, diba? Ilagay mo natin sa gilid. Ito yung may mga kaparehas. So, ito yung may mga pattern.

Ito, lagyan natin dito. Yan, ganyan. Lahat muna ng pataas. Yan.

Lagay ko muna dyan. Tapos, lahat naman ng pababa ito. So, may dalawang ano ako.

May dalawa akong... As you can see, may dalawa akong infinite geometric sequence. Yung pataas at saka yung pababa.

Pero, equal lang yan. Bali, ito, itatimes natin ito ng 2. Itong magiging formula natin, ito times natin ito ng 2. Kasi dalawa sila eh. Yung isa pataas, yung isa naman pababa.

Puro sila infinite. So times natin ito ng 2. Okay? So ulitin ko kung bakit kurusya ito times ito ng 2. Kasi, di ba nag-bounce up and bounce down?

Di ba? So pinagsama ko yung pataas, tsaka yung pababa. And, As you can see, nakabuo tayo ng dalawang infinite geometric sequence.

Kaya tinayos natin ang ito. Okay? So ano ba yung a sub 1 natin?

Ang a sub 1 natin... Is 50 divided by, I mean, times 2 3rd. Kasi yung bounce daw nitong ano, ay 2 3rd, diba? Bali, 50 times 2 3rd. Lagay natin.

A sub 1 daw ay 50. Bakit 50? Kasi yung 50 yung galing, yung unang bounce, unang hulog ng bola. Okay?

So, 50 times. 2 3rd. Bakit 2 3rd?

Kasi 2 3rd daw yung pag-rebound ng bola. Yan. Is equal to, times natin, 100 over 3. Tama ba?

100 over 3. Times natin yung numerator. Lagyan natin ito sa gilid. Yan, may a sub 1 tayo.

Lagyan natin yan dito, a sub 1. 100 over 3. Tapos ang r natin, yung ito, 2 over 3. Yan yung common ratio natin, 2 over 3. Yan. Tapos input lang natin. So, 100 over 3 all over 1 minus 2 over 3. Ayan, tapos times 2 natin. Kasi, kasi yung dalawa.

Ito, 100 yung distance nito. Ito, 100 din. So, pinagsama ko lang. So, 200 daw ang ano.

Pero, hindi pa yan yung final answer natin. Kasi, yung 200 na yan, ito lang yun. So, ito 100, diba?

Tapos, ito 100 din. Isama pa natin ito, kasama to sa computation eh So plus 50 Dapat daw may plus 50 sya So bale, ang answer ay Kung ito daw ay 200 Yan The final answer daw ay 250 So ibig sabihin, yung distance traveled ng bola Galing dito sa taas na yan Hanggang sa, yan, bounce ng bounce, hanggang sa di na siya gumagalaw, 250 daw, 250 feet. Naintindihan?

Tama ba yung answer natin? Number 30. O, tama, 250. So, ako na-compute ko yun noon, mano-mano. So, ito, 50 times 2 third.

Ito yun, 50 times 2 third. Tapos, plinas ko ulit kasi nag-bounce, diba? Nag-bounce siya pataas.

I mean, yung rebound niya, ito, 50 times 2 third. Tapos, nahulog na naman. Tapos, plus, yung sagot ko dito, tinimes ko ng 2 third. Yan. Tapos, plinas ko ulit nun, or tinimes 2 ko.

Kasi, nahulog. Tapos, plus, yung sagot dun, tinimes ko ng 2 third. Tapos, tinimes 2 ko kasi 2. Plus, yung sagot ko dun, tinimes ko ng 2 third. Times 2 kasi 2. Times yun, yun, yun.

Hanggang sa naging 0 yung answer ko. Napakahaba ng solution ko nun. At 250 ang answer. Pero yun, may formula naman pala dyan.

Ito yun. So, ang answer dyan sa question ay 250. So, next. Final ano ay number 36. Number 36. Ah, ito.

Mahaba ba rin solution dito? So, ano ba ito? O, decompose na natin ito. Partial fraction. Ay, sabagi.

Madali lang yan. Pero, mahaba solution. So, yan.

So, this is example ng case number 2. I repeated linear factor. So ano yun? Ano? Equation dyan? Gito.

Copy ko muna. 7x squared minus 17x plus 38 all over x plus 6 times. Oops.

Times x minus 1 squared. Yun. So, ang formula dyan, I mean, ang equation dyan ay, pag-repeated, is equal to a over yung unang factor, x plus 6, plus... Ano yan? B all over yung sa loob na factor, x minus 1, plus C all over yung buo, x minus 1 squared.

Yan. Ang ingay itong lapak ko. So next step, multiply natin both side ng least common denominator. So multiply daw both side ng least common denominator which is x plus 6 times x minus 1 squared.

So, magiging, ito, ay mali. Magiging ganyan, maka-cancel yung sa ilalim nun, is equal to a times ganyan. Ito, 38. Yan, a times, makakancel yung x plus 6, matitira ang x minus 1 squared.

Plus b times x plus 6, pero may natira pang isang x minus 1. Plus c times x plus 6. So, maababa ang solution dito. Next, isimplify natin yung mga pwedeng isimplify. Yung mga pwedeng if-all method, if-all method natin. Ito ay magiging, itong ax plus 1 magiging a times, if-all method natin first, magiging, ito ay magiging x times xi x squared. Tapos, magiging minus outside.

Saan? Hindi ko nakita. Minus 2x yan. Kasi negative x minus negative x ay negative 2x plus 1. Yan, full method.

Tama ba? Check nyo rin kung tama. x squared minus 2x plus 1. Tapos ito naman, full method din. x times x ay x squared.

x squared times negative x plus 6x magiging 5x plus 5x tapos negative negative 1 times 6 ay negative 6 yun, ganyan tama ba x squared plus 5x minus 6 tama Next, distribute natin yung ano, yung may mga sign. Ito ay magiging a times a, tapos ito a. So, distribute ko lang yung mga a. Ito, ganito, 2a.

Tama ba? a x squared minus 2a x plus a, tama. Ito, distribute din natin ito, magiging... Bx squared plus 5Bx minus 6B. Tama?

Bx squared plus 5Bx minus 6B. Tapos ito distribute lang din natin. 6x plus 6c.

Yan. Okay, delete ko na ito. So, ang next step nito, di ba, gagawa tayo ng equation by pairing up yung may mga pareparas na coefficient. Ito ay magiging, yung may mga x squared muna. Ito, 7 is equal to, ito may x squared, a plus b.

Yun. Next, yung lahat ng may x, yun, negative 17 is equal to negative 2a. Ano pa yung may mga x?

Um, plus 5b. 5b plus c. Yung lahat na may x, ha? Next, yung constant naman.

Yun, 38 is equal to um, a minus 6b. Tapos, plus 6c. Class 6C.

Yun. Yun na. Three equation, three unknown. Alisin ko na ito.

Hanapin natin yung value ng A, B, and C. And na-input na natin yan dun sa equation. So, paano ba?

So, try natin ito. Try natin ipag-add itong dalawa. Tapos, i-elimate natin yung C. Para ma-add natin yan dun sa equation 1. Ayan, add natin yung dalawa. Alisin natin yung C by ito.

Multiply natin ito ng 6. Multiply natin ito ng 6. Magiging ito ay 6 times negative 17. 6 times negative 2 is negative 102. Ah, hindi. Para makansil pala yung C, dapat ito ay negative. Bale, negative 102. Ah, hindi. Pulit na. 102. 102 is equal to negative 6 times negative 2 ay 12a.

Tama diba? Minus 30 30B. Negative 6 times 5 negative 30. Minus 6 yun. Yan.

Yan. With that pwede natin i-add itong dalawa para makancel yung C. Magiging add lang natin dalawa. Ito 102 Plus 38 ay 140. Is equal to.

Ito na to. 13a. Kasi 12 plus 1 ay 13. Tapos ito ay negative 36. 36b.

At makakancel out yung c. So yun. May equation a na tayo.

And pwede natin yan i-add doon sa. Dun sa equation A. Yan, ito. Lagay ko muna yan dyan.

Oops. Yan. Pwede ko na siyang i-add dito para makancel out yung isang variable. Ito, times natin ito ng...

Anong gagamit natin? Pwede itimes natin siya ng 36 ito. Para makancel out yung B. Positive 36. So, magiging, ito ay magiging, lagay ko dito. Ito ay magiging, 36 times 7 ay, ano kaya?

36 times 7, 252, 252 is equal to 7. 36 times 13 ay... Ay, niyari. 36 times A, A yun diba?

Magiging 36. 36 A, pati yung B. Plus 36 B. Kasi A and B lang naman po yun. Yan, with that, pwede natin makancel out yung B. Matitira ang, add natin yan, magiging 140 plus 252, 293, 392. 392 is equal to 36 plus 13 ay 49. 49A.

Ops, magbiglang lumilit. And divide natin both side ng 49 magiging 392 divided by 49 ay 8. So ang value daw ng A natin ay 49A. 8. Yun, may A na tayo. Hanapin natin yung B.

Ano kaya pwedeng gamitin natin yung equation? Yun na, itong... So itong... Oops, nawala yung ano ko.

Ito na lang. 7. Nawala pala, sorry. So, pwede natin itong gamitin kasi may value na tayo ng 8. So, palitan lang natin itong 8. Magiging transpose sa kabila.

Ang b raw ay negative 1. Yun. So, lagyan natin dito. And substitute na natin yan.

sa mga equation yung a and b. Ito pwede itong magiging, hindi, yung isa na lang para mas madali. Ito ay magiging times 8 at ito naman ay times negative 1. So, sinubstitute ko lang.

And simplify natin. Ito ay magiging negative 16 tapos negative 5. 8 times negative 2, negative 16 Tapos 5 times negative 1 ay negative 5 plus C And lipat lang natin yung sa kabila Magiging C daw ay equal sa negative 17 plus 16 plus 5 So, kubit lang natin kung ano yun Negative 17 plus 16 plus 5. So, 4 daw ang C natin. Ang C daw ay is equal to 4. And pwede natin yan i-substitute dun sa equation na nabuo natin kanina.

Ito, lagay lang natin dyan yung a, b, and c. Ito ay 8, ito naman ay negative 1. So kung negative 1, pwede natin gawin ito. Palitan natin ito ng minus.

Plus c, yung c ay 4. So this is our answer. 8 over x plus 6 minus 1 over x minus 1 plus 4 over x minus 1 squared. Check nga natin, number 36. Ito, 8 over x plus 6 minus x minus 1. Tama ba? So, yun. Tapos na.

So, yun, hanggang dun lang muna tayo ngayon. So, nag-solve tayo ng 15 problems dun sa limang worksheet. So, pag-reviewan nyo yung mga worksheets ninyo.

And, get ready sa ating exam. So, I hope may natutunan kayo dito sa lesson ko ngayon. And, pag-aralan nyo na lang yung mga iba pang problems. So, thank you and have a great day. Good luck sa mga incoming exams ninyo.

So, God bless you all.

Transcript for:Mga Problema sa Matematika at Solusyon

Transcript for:
Mga Problema sa Matematika at Solusyon