Логарифмы: Урок 1

Введение

• Урок на канале "Молодой Репетитор"
• Цель: научить решать задачи на логарифмы
• Спор: если научишься решать, то ставишь лайк и подписываешься
• Если не научишься, то отписываешься

Основные понятия логарифмов

• Логарифм обозначается как L: ( \log_A B = C )

  • A — основание логарифма (должно быть > 0 и ≠ 1)
  • B — подлогарифмическое выражение (должно быть > 0)
  • C — результат логарифма

• Определение логарифма: ( \log_A B = C ) означает, что ( A^C = B )

Свойства логарифмов

1. Первое свойство: ( A^{\log_A B} = B )

   • Пример: ( 3^{\log_3 27} = 27 )

2. Второе свойство: ( \log_A A = 1 )

   • Пример: ( \log_3 3 = 1 )

3. Третье свойство: ( \log_A 1 = 0 )

   • Пример: ( \log_3 1 = 0 )

4. Четвертое свойство: Сумма логарифмов с одинаковым основанием:

   • ( \log_A B + \log_A C = \log_A (B \cdot C) )
   • Пример: ( \log_2 4 + \log_2 8 = \log_2 32 )

5. Пятое свойство: Разность логарифмов с одинаковым основанием:

   • ( \log_A B - \log_A C = \log_A \left( \frac{B}{C} \right) )

6. Шестое свойство: Если ( B ) стоит в степени ( C ):

   • ( \log_A (B^C) = C \cdot \log_A B )

7. Седьмое свойство: Если основание ( A ) в степени ( C ):

   • ( \log_{A^C} B = \frac{1}{C} \cdot \log_A B )

8. Переход к новому основанию:

   • ( \log_A B = \frac{\log_C B}{\log_C A} )_

Примеры задач

1. Решение уравнений с логарифмами:

   • При равенстве логарифмов приравниваем показатели.
   • Пример 1: ( \log_5 x = \log_5 8 ) ⟹ ( x = 8 )
   • Пример 2: ( 3^{\log_3 (4x - 8)} = 81 ) ⟹ ( 4x - 8 = 4 ) ⟹ ( x = 3

2. Задачи из открытого банка ЕГЭ:

   • Примеры простых уравнений с логарифмами, где основание одинаковое.

Заключение

• Повторить свойства логарифмов
• Решить несколько задач из ЕГЭ
• Поставить лайк и подписаться на канал для дальнейшего обучения.