Итак, привет, дорогой друг, это новый урок на канале Молодой Репетитор, и сегодня я хотел бы с тобой поспорить. Вот, давай сделаем так, что ты говоришь, что я не знаю логарифмы и не умею их решать, а я попробую научить тебя, и в конце занятия мы посмотрим на результат нашего спора и поймем, что я буду прав. Давай.
итак давай начнем с того что в школах логарифм объясняется объясняется даже неплохо но многие ребята все-таки немножко недопонимают не понимают всей сути логарифма не понимают назначение этого алгоритм то есть какие-то три страшные буквы, с которыми непонятно, что делать. Давай сначала разберемся, что это такое, и ты уже поймешь, что это все достаточно круто. И еще по поводу спора.
Смотри, если я в конце занятия научу тебя решать вот эти задачи, значит, я выиграл. И ты поставишь лайк и подпишешься на канал. Если ты не сможешь решить эти задачки к концу занятия хотя бы вместе со мной, то отписывайся, уходи и больше никогда не смотри меня.
Все. Давай начнем с чего. Самое главное в логарифме это понимать, что это такое.
Вот давай запишем. Например. какой-нибудь логарифм, это L, да?
Логарифм A, B равно C. Вот допустим, пока для тебя это непонятные буковки, и давай с каждой из них разберемся. Вот A и B и C это какие-то числа.
Это, я надеюсь, ты понимаешь. Ты видел наверняка запись какой-нибудь логарифм, там 2 от 8 равен 3 и так далее. Окей, буковка... Буковку А называют основанием логарифма.
Это нужно вот запомнить и принять как факт. То есть, как вообще читается логарифм? Я могу прочитать, например, данный логарифм. Каким образом? Логарифм по основанию А от Б.
Соответственно, А это основание. B это подлогарифмическое выражение. То есть B это какое-то число. Давай сразу закрепим с тобой.
Какими числами могут быть A и B? То есть для C у нас нет определенных. промежутка c.
Может быть, любым числом логарифм может равняться чему угодно. Но a и b это какие-то определенные числа. a это числа положительные, то есть больше нуля и обязательно не равные единичке.
Мы сейчас поймем с тобой почему. b это обязательно положительные числа. И давай теперь я немножко переформулирую вот эти три буквы лог и скажу тебе так.
Логарифм числа B по основанию A это такое число C, причем C является степенью основания. Если я поставлю мое основание вот в эту степень C, я получу B. То есть зачем вообще введен логарифм? Логарифм введен, чтобы убрать вот эти лишние слова.
Каким образом? Например, вот в данном случае, что это такое? Что такое тройка?
Тройка это степень, в которой мне нужно... поставить вот это маленькое по размеру число чтобы получить восьмерку то есть 2 в третьей степени равно 8 а по определению логарифма логарифм по основанию а от b равен c тогда когда основание в степени c равно бэшки то есть логарифмом мы просто заменили целое предложение которое просто неудобно произносить говорить чтобы было удобнее рассматривать свойства логарифмом было удобнее но вот свойства вот этих вот степеней Было удобнее каким-то образом производить какие-то действия с ними. Просто придумали вот эти вот лог и все. Пока вот на этом мы остановимся.
Ну что, по свойствам тогда пройдемся. Давай пока мы не пошли про свойства, давай мы с тобой решим что-нибудь. Например, логарифм по основанию 5 от 25. Начнем с такого самого легкого.
Опять, я переформулирую логарифм. В какую степень мне нужно поставить вот это маленькое число, пятерку, чтобы получить 25? Ты мне скажешь во вторую. Соответственно, ответом для данного логарифма будет являться 25. Давай еще логарифм от 3 по 27. В какую степень мне нужно поставить тройку, чтобы получить 27?
Ты говоришь, ну так, 3 на 3 это 9, то есть это вторая степень. И еще раз на 3 это 27, то есть третья степень. Все.
Определение логарифма мы с тобой посмотрели, мы в нем разобрались и погнали дальше. Все логарифмы обладают какими-то свойствами. Давай мы запишем все эти свойства, особенно самые важные мы проговорим, посмотрим на них.
И тебе, к сожалению, придется либо их понять и каким-то образом выучить без выучения, вот просто на уровне понимания. либо их выучить. То есть самое простое, я считаю, здесь это выучить эти свойства и спокойно ими пользоваться. Но понять главное, куда эти свойства применимы и как они применимы.
Давай начнем с первого. Это свойство, которое в принципе при решении задач, при решении уравнений не часто, но используется. И нам нужно его будет посмотреть.
Смотри, если у меня число А стоит... Ну, стоит... под степенью, степень которой будет являться логарифм по основанию а от числа b, то это число, ну, то ответ вот этого всего выражения будет являться просто b. Давай придумаем, например, там 3 в степени логарифм 3 от там, давай, ну, 27, да, допустим. По свойству ответом будет являться число 27. Давай проверим.
Логарифм по основанию 3 от 27. Что это такое? Это степень, в которой нужно подставить тройку, чтобы получить 27. Ты мне скажешь, а мы только что решали, это третья степень. Я говорю, отлично. Это значит, что 3 в третьей степени чему будет равно? 27. Вот наша 27. Вот она откуда вышла.
Это первое свойство, которое нужно просто вот зрительно хотя бы запомнить и пользоваться им. Главное, чтобы основание логарифма и основание вот это было одинаковыми числами. Второе свойство.
Если я встречу вот такую запись, я сразу могу сказать, что это единичка. Почему? Давай с тобой проверим.
Логарифм. 3 от 3. Почему будет равен? Так, в какую степень мне нужно подставить вот эту тройку, чтобы получить тройку?
Мне скажешь, ну, в первую степень ставим, число не поменяется, соответственно, ответ единичка. Вот, мы можем написать абсолютно любое число, логарифм там, 100, 40, 4, 5, 8 от этого же числа. будет равен единичке потому что мне нужно в первую степень поставить чтобы она не изменилась третье свойство логарифм по основанию а от единички будет равен нулю Давай разбираться.
Например, логарифм по основанию 3 от единички. Чему будет равен? Итак, в какую степень мне нужно подставить тройку, чтобы получить единицу?
Если мы вспомним свойства степеней. У нас там было одно очень классное свойство, что число а стоящие в нулевой степени, любое число а стоящих в нулевой степени всегда равно единичке. То есть мне нужно подставить тройку в нулевую степень, чтобы получить единичку.
Соответственно ответом для данного логарифма будет 0. Это применимо опять же абсолютно к любому числу. Потому что если я любое число подставлю на любую степень, я получу единичку. Самое главное это что? Что у нас основание не должно быть отрицательным и не должно быть равно единичке. Так.
Четвертое свойство. Ну да, четвертое. Вот это свойство уже, оно используется довольно часто.
Оно есть и в ЕГЭшке во второй части, и в школе у тебя оно наверняка было. или будет, поэтому давай сразу посмотрим. Если у нас есть сумма двух логарифмов с одинаковым основанием, то мы эту сумму логарифм можем заменить как логарифм по этому же основанию А от произведения B на C. То есть, например, давай что-нибудь. Например, у меня есть логарифм двух от четырех плюс логарифм.
2 от 8. По моему свойству это будет равно логарифму 2 от 4 умножить на 8, 32. Давай проверять. Логарифм по основанию 2 от 4. Что это такое? Это вторая степень, то есть 2. Здесь третья степень.
Сложу, получу что? Пятерку. Давай проверим, пятерка ли это. В какую степень мне нужно подставить двойку, чтобы получить 32? 2 на 2, 4. 4 на 2 будет...
8 на 2 16, 16 на 2 32. Пятая степень. Вот мы это получили. Ну и пятое свойство довольно похожее.
Мы его не будем даже расписывать, я думаю. Оно идентично четвертому, только со знаком минус. И равно наша разность. Наша разность будет равна логарифму А от Б деленного на С. Легко?
Я думаю, что да. По степеням. Давай посмотрим.
новое откроем, это у нас получается шестое свойство, да, будет? Шестое свойство. Если у меня логарифм по основанию А от Б, и Б B, например, стоит в какой-то степени C. Что я могу с этим сделать? Я могу эту степень C выкинуть за логарифм, умножив на мой логарифм.
То есть C умножить на логарифм A от B. И все. Давай представим, например, логарифм 2 от 8 в третьей степени.
Довольно тяжело будет считать вот это. Поэтому мы просто выкидываем тройку. Субтитры сделал DimaTorzok И находим просто вот это выражение. Логарифм 2 от 8. Логарифм по основанию 2 от 8. Это тройка. 3 на 3, 9. Мы могли бы это доказать в принципе.
Мы могли бы представить как? Могли бы восьмерку представить уже как 2 в третьей степени. И все стоящее в третьей степени.
Степени перемножаются. Получили бы логарифм 2 от 2 в девятой степени. Опять у нас девятка эта ушла бы сюда.
а здесь бы мы получили 9 умножить на логарифм 2 от 2. То есть, единичку 9 на 2. Ой, 9 на единичку, девятка. Это шестое, да, или пятое? Я уже не пойму своих занятий. Седьмое, да, сейчас будет седьмое.
Седьмое свойство. Мы разобрали что? Мы разобрали степень у подлогарифмического.
А теперь подставим эту степень к ашке. Так. Если у меня а, мое основание стоит в степени c, что я могу сделать?
Я могу эту степень опять же выкинуть за алгоритм. Но только не просто выкинуть, а выкинуть именно в знаменатель. Как это будет выглядеть? Это будет равно 1 деленное на c, умноженное на алгоритм а от b. То есть давай проверим, ну что-нибудь попишем, да, чтобы было более наглядно.
Там логарифм 5, стоящий в третьей степени от 25 будет. равен тройку выкидываем знаменатель получаем одну третью умноженную на логарифм 5 от 25 то есть 2 то есть две третьих вот мой ответ я думаю что пока все легко и все понятно и давай распишем такую штуку Вот это свойство, оно, конечно, очень редко встречается, но все равно его нужно знать и понимать. Это свойство, оно называется переходом к новому основанию. Смотри, если у меня есть логарифм А от Б, я могу... логарифм заменить каким образом если мне вдруг каким-то образом там для чего-то нужно представить мой логарифм out by не по основанию а а по основанию какому-нибудь ценному я могу записать логарифм как логарифм по основанию Основание С от А, ой-ой-ой, от Б, от Б, от Б, от подлогарифмического, деленное на логарифм по основанию С от А.
То есть, ну, мы как бы вот начинаем с большого числа, идем к маленькому. Давай проверим. Ну, что-нибудь распишем. Например, у нас есть логарифм 2 от 8, и, допустим, хочу я привести это все к основанию какому-нибудь 3. То есть, ну, здесь это, наверное, будет не очень красиво выглядеть, но давай попробуем. То есть, логарифм.
трех в числителе, логарифм трех в знаменателе. Ну, по основанию три. Здесь восьмерка, здесь двойка. Все. То есть, ну, у нас числа я подобрал такие, которые нам не дадут никакой хороший ответ, но я поменял основание.
Я могу уже дальше там что-то с чем-то сокращать, допустим, если у меня есть какое-то дальнейшее действие и прочее, прочее, прочее. Вот. Я думаю, что свойства логарифмов закончились.
Ну да, мы рассмотрели степени, мы рассмотрели смену основания. я думаю все смотри какие вообще задачки вот встречаются в гигашки вообще очень много задачек когда у нас есть что-то типа вот такого например логарифм по основанию 5 от там икса ну я к примеру Не буду полностью записывать выражение. Будет равно логарифму по основанию 5 от 8. Так как у меня и здесь, и здесь логарифм, я могу просто подлогарифмически приравнять. Почему я могу это сделать? Давай посмотрим.
подумаем, что будет являться ответом для вот этого. То есть какая-то степень, в которой я взведу пятерку, чтобы получить х. Для вот этого какая-то степень, в которой я взведу пятерку, чтобы получить 8. Но если эти степени равны, что это значит?
Что я пятерку возвожу в одну и ту же степень. И здесь она уже есть возведенная. Это моя восьмерка. Соответственно, я просто говорю, что х равен 8. И все.
И давай мы немножко с тобой порешаем те задачки, которые планировали решить в самом начале. Это задачки из открытого банка ЕГЭ. Это задачки первой части.
Давай порешаем эти уравнения. Вот о чем я говорил по поводу логарифм, по поводу равенства логарифм. Самое главное, чтобы основания были одинаковыми.
Поэтому я просто приравню х-2 к 11. Ну и переношу двойку в правую часть. Получу 11. плюс 2, 13. Здесь 15 минус х равно 7, так как опять одинаковое основание. В правую часть, ну, давайте х перенесем в правую, а 7 в левую, да?
То есть у нас получится 15 минус 7 в левой это что? Восьмерка равна х, то есть х равен 8. Вот с этим. Я считаю, что это уже нужно сделать по классическому определению алгоритма.
В какую степень Мне нужно возвести 3, чтобы получить вот это выражение. В четвертую. То есть 3 в четвертой степени это 8х-15.
Верно? Давай почитаем 3 в четвертой. 3 на 3. 9. 9 на 3. 27. 27 на 3. Ух, наверное, 81. Вроде бы 81. То есть 81 равно 8х минус 15. Перенесем 15 в левую. Получим 8х равно 81 плюс 15. 96. Тогда х равен 96 поделить на 8. Это вроде бы 12. Вот как-то так. Давай вот это решим.
Опять, в какую степень мне нужно возвести четверку, чтобы получить 4х минус 8? В третью степень. соответственно 4 в третьей степени это 4x минус 8 осталось просто найти 4 в третьей степени 4 на 4 16 16 на 4 наверное 64 64 равно 4x минус 8 восьмерку перенесем в левую часть что получим 64 плюс 8 равно 4x так Равно 4х.
Тогда здесь у меня что? 72 равно 4х. Х будет чему там равен-то?
Если буду делить здесь единичка. 32 это 18. И давай вот с такими выражениями поработаем. Посмотрим, что с ними делать.
Давай я запишу 3 в степени логарифм 9 от 4х плюс 1. Итак, а, ну и равно это 9, да? Здесь есть, по сути, два варианта. Первый вариант, мы можем воспользоваться вот этим свойством нашим первым, да? Но нам обязательно нужно каким-то образом получить одинаковое основание у логарифма и одинаковое число, вот это а. Что можно здесь сделать?
Например... Можно сказать, что 9 это что? Это... Нет, наверное, это будет не самым лучшим. Не самым лучшим, нет.
Мы получим 1 вторую. Здесь нет. Давайте немножко по-другому сделаем. Смотрите. Вот то же, что мы делали здесь, мы можем нечто похожее получить и здесь.
Если я представлю сейчас логарифм 9 от 4х плюс 1, а 9 представлю как 3 во второй степени, что я получаю? что у меня 3 в какой-то там степени равно 3 во второй степени какой вывод я могу сделать что логарифм 9 от 4 x плюс 1 равно двойки то есть девятку мы возводим в двойку и получаем 4x плюс 1 здесь у нас 81 равно 4 x плюс 1 4 x равен 81 минус 1 то есть 80 x равен 8 74 20 все и давай с последним 2 логарифма 4 2 x плюс 2 равно 4 опять четверка я сразу вижу что это 2 во второй степени то есть два в степени логарифм 4 от 2 x плюс 2 равно 2 во второй степени опять здесь у меня два возведенная в какую-то степень равно 2 возведенную во вторую степень какой вывод я могу сделать что эти степени равны и они равен будет только тогда когда у меня эти степени будут равны между собой соответственно я получаю логарифм 4 2 x плюс 2 Равно, ой, да, все правильно, равно 2. Опять, 4 я возвожу во вторую степень, чтобы получить 2х плюс 2. 4 во второй 16 равно 2х плюс 2. 2х равно чему? 14, да, вроде бы.
Х равен 7. Там, за мной не видно, да, х равен 7. Как-то так. Мы сегодня разобрали все свойства логарифма. Мы посмотрели, как они работают. как они работают, и мы решили за счет знаний вот этих свойств и парочки дополнительных новых знаний, которые в принципе немножко похожи на эти свойства, вот по поводу равенства, мы решили несколько заданий из первой части ЕГЭшки профильного уровня, естественно. Поэтому тебе осталось поставить лайк, подписаться на канал.
выучить свойства логарифмов и стать отличником. Все. Давай, пока-пока.