L'intorno! Poi detto così sembra il titolo di un film horror, tipo l'intorno. In realtà è un concetto matematico molto molto semplice. Prendiamo la linea dei numeri, quindi tutti i numeri reali esistenti.
Piazziamoci su un punto qualunque, io lo chiamo genericamente x con 0, può essere 1, 2, meno 50, radice di 62, quello che vi pare. Facciamo finta che su x con 0 si piazza. Rufy di One Piece.
Se non seguite One Piece siete delle brutte persone. Tra l'altro un saluto al re del Biker Rast. Rufy che si trova su X con Zero apre le braccia e aprendo le braccia copre tutta una zona della linea dei numeri.
Questa zona corrisponde sulla linea dei numeri a tutto questo intervallo che sta a destra e a sinistra di X con Zero. Ecco, questa zona coperta da Rufy che apre le braccia si chiama... intorno di x con 0. Adesso però cerchiamo di essere un pochino più specifici.
La prima cosa importante è che l'intorno ha la stessa larghezza a sinistra e a destra di x con 0. Questa larghezza, quindi da x con 0 fino al bordo sinistro e da x con 0 fino al bordo destro, questo è il raggio dell'intorno. Occhio tra l'altro che i bordi dell'intorno sono delimitati con delle parentesi tonde. Che vuol dire? Perché ci vogliono le parentesi tonde. È per dire che i...
I punti di bordo non sono compresi all'interno dell'intorno. Adesso quindi posso darvi la definizione vera e propria. Un intorno è un sotto insieme di R del tipo tutti i numeri da x con 0 meno R fino a x con 0 più R esclusi i bordi con R maggiore di 0. E se ancora non vi è troppo chiara questa cosa prendiamo di nuovo tutta la linea dei numeri e questa volta che ne so scegliamo il numero 2. Ecco, un intorno di 2 potrebbe essere, per esempio, un insieme che ha i bordi alla stessa distanza a destra e a sinistra di 2. Scegliamo in questo caso, lo prendo completamente a caso, r uguale a 1, quindi il raggio di questo intorno vale 1. Cosa vuol dire? Il bordo sinistro sarà 1, cioè a distanza 1 dal punto centrale che è 2, il bordo destro è 3. Scritto in matematichese, questo intorno è 1, 3. Cosa vuol dire questa cosa in italiano? Tutti i numeri da...
1 a 3 esclusi 1 e 3. Quindi per esempio che ne so 2, 1,5, 2,9, 1,99998 sono tutti i numeri che stanno in questo intorno che è l'intorno di 2. Facciamo un altro esempio. Se vi do l'intervallo di numeri 0,4 questo che cos'è? Questo è l'intorno di 2 tiraggio 2. Cioè sono tutti i numeri che vanno da 0 a 4 esclusi lo 0 al 4. Chi ci sta in mezzo?
Ci sta il numero 2. Ha la stessa distanza da 0,4, quindi questo è un intorno di 2, di raggio 2. Se invece vi do insieme 1,5 ma scritto con le parentesi quadre, questo non è un intorno. Perché non è un intorno? Perché ha i bordi compresi.
Ma perché ho preso proprio Ruffi come esempio? Perché Ruffi è un uomo di gomma, cioè può allungarsi quanto gli pare. Questo significa che l'intorno di x con 0 dove sta Ruffi può essere largo quanto vuole.
Basta che Ruffi allarghi le braccia e... può creare un intorno più grande di quello di partenza. Quindi dal punto tutto a sinistra che si troverà in x con 0 meno r al punto tutto a destra in x con 0 più r, questo è di nuovo un intorno di x con 0. Semplicemente ho cambiato il raggio. Esistono però anche gli intorni destri e gli intorni sinistri.
Rimettiamoci sulla nostra linea dei numeri sempre nel punto. punto x con 0. Rufy potrebbe questa volta alzare soltanto il braccio destro. Questo cosa significa? Che si viene a creare un intorno solo nella parte a destra di x con 0. Cioè se vado a vedere fino a dove arriva il suo braccio, lui arriva fino a questo valore. Quello che si crea da x con 0 fino al punto tutto a destra si chiama intorno destro di x con 0. Anche qui la distanza che c'è tra x con 0 e il bordo di questo intorno si chiama raggio dell'interno.
intorno. Occhio che come nel caso di prima i bordi non sono compresi e questa volta x con 0 stesso è un bordo quindi l'intorno destro di x con 0 non contiene x con 0. Anche qui quindi diamo la definizione l'intorno destro di x con 0 è un sotto insieme a dei numeri reali che ha la forma del tipo da x con 0 a x con 0 più r esclusi bordi la parentesi tonda vuol dire sempre esclusi bordi con r che è il raggio positivo. Facciamo un esempio prendiamo sempre la linea dei numeri ci mettiamo sul punto 1 e creiamo un intorno di 1 di raggio 3. Vuol dire che arriviamo fino a 4. Questo significa che 1, 4 sono tutti i numeri da 1 a 4 esclusi l'1 e il 4. E in questo caso questo è anche un intorno destro di 1 di raggio 3. Di nuovo fate tanta attenzione perché se per caso vi capitasse una roba del genere, per esempio l'insieme 1, 4 ma con l'1 in parentesi quadra, questo non è un intorno.
L'intorno non ha i bordi compresi. Quindi, visto che l'1 è compreso, questo è semplicemente l'intervallo di tutti i numeri da 1 a 4, compreso l'1, ma non è un intorno. Così come esiste l'intorno destro, poi ovviamente esiste anche l'intorno sinistro. Quindi Rufy questa volta alza solo il braccio sinistro e tiene giù il destro.
Questo crea sulla linea dei numeri un intervallo a sinistra di x con 0. Oppure qui stessa situazione di prima, cioè la distanza che c'è tra x con 0 e l'altro bordo si chiama R ed è il raggio dell'intervallo. intorno e questo intervallo di numeri è l'intorno, questa volta a sinistro, di x con 0. Anche qua la definizione dell'intorno a sinistro sarà un sottoinsieme di R del tipo x con 0 meno R x con 0 esclusi, cioè tutti i numeri da x con 0 meno R a x con 0 con R che è il raggio che deve essere un numero positivo. Di nuovo i bordi non sono compresi, quindi x con 0 non è parte del suo intorno a sinistro.
Facciamo un esempio, prendiamo la linea dei numeri e ci mettiamo, che ne so, sul punto 5. Creiamo un intorno sinistro di 5 di raggio 7. Quale sarà l'altro estremo devo fare? 5 meno 7 sarà meno 2. Come scrivo questo intervallo? Questo è meno 2 5, che vuol dire tutti i numeri da meno 2 a 5 esclusi i bordi. E questa cosa, per quello che abbiamo fatto adesso, questo è quindi un intorno sinistro di 5 di raggio 7. In matematichese però a volte si sente parlare anche di intorno dell'infinito. Qua però c'è qualcosa che non quadra, nel senso che se disegnate di nuovo la linea dei numeri è impossibile mettersi su più infinito o su meno infinito e disegnare un intorno.
Non è che più infinito o meno infinito sono dei numeri che trovate da qualche parte e potete semplicemente piazzarli lì tipo ah guarda ho trovato meno infinito e faccio il lavoretto di prima di trovare un intorno. Purtroppo questa cosa non funziona. Diamo quindi la definizione per capire.
Cos'è? Un intorno di più infinito non è altro che un sotto insieme, tanto per cambiare di r, del tipo da m più infinito. Cosa vuol dire questa cosa? Vuol dire che sulla linea dei numeri piazzate un punto qualunque m, tutto. Tutti i numeri da m in avanti sono considerati un intorno di più infinito.
È come se molto molto a destra da qualche parte ci fosse il più infinito che ha l'altra parentesi tonda. Il problema è che non potete piazzare il più infinito da qualche parte in modo preciso sulla linea dei numeri perché più infinito essendo infinito è inevitabilmente fuori dalla linea dei numeri. Questo è un intorno per definizione di più infinito. Allo stesso modo esistono gli intorni di meno infinito.
Questi sono Tanto per cambiare dei sottoinsiemi di R del tipo da meno infinito a m, che vuol dire sta roba che sulla linea dei numeri voi piazzate un numero m, tutti i numeri da m in giù sono un intorno di meno infinito. Occhio che come per gli intorni di prima i bordi sono esclusi, cioè m non fa parte dell'intorno di meno più infinito a seconda di quale state perdendo. Facciamo un esempio, se vi trovate davanti questo intervallo meno infinito più 3, questa roba effettivamente è un intorno di meno infinito perché questa cosa vuol dire tutti i numeri più piccoli di 3 ed è effettivamente un intorno.
Se però il 3 di Io ve ne scampi avesse la parentesi quadra, questo non è più un intorno di meno infinito perché se il 3 diventa compreso non si parla. più l'intorno. Allo stesso modo facciamo conto che vi trovate con meno 60 più infinito.
Questo effettivamente è un intervallo che è un intorno di più infinito. Cosa vuol dire? Questi sono tutti i numeri più grandi di meno 60. Eh ma meno 60 è negativo.
Pazienta, non importa. L'importante è che meno 60 non abbia la parentesi quadra e che dall'altra parte ci sia un più infinito. Se vuoi sapere cosa sono i punti di accumulazione oppure se hai bisogno di capire cosa diavolo è la definizione di limite, qui trovi due video che ti possono aiutare. Ricordati che puoi supportare questo canale con una mancia se stai trovando questi video utili e se ti stiamo aiutando a superare l'anno indenne.
Noi ci vediamo alla prossima, ciao!